华师大版数学九年级下册26.2.1二次函数y=ax2的图像与性质

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华师大版数学九年级下册第26章第2节26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质同步练习
一、选择题
1．已知函数 是二次函数，则m等于（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1
答案：C
解析：解答：解：∵是二次函数，
∴，且，
∴
故选B．
分析：根据二次函数的定义，令，且，即可求出m的取值范围．
2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
答案：C
解析：解答：由意设抛物线解析式，
把B（5，﹣4）代入解析式，
得，
解得，
所以．
故选C．
分析：抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，解析式符合最简形式y=ax2，把点A或点B的坐标代入即可确定抛物线解析式．
3．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（　　）
A． B． C． D．
答案：C
解析：解答：A.函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B.函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；
C.函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D.函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．
故选C．
分析：抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，解析式符合最简形式y=ax2，把点A或点B的坐标分别代入即可确定抛物线解析式．本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）
4．已知反比例函数y=（a≠0），当x＞0时，它的图象y随x的增大而减小，那么二次函数y=ax2﹣ax的图象只可能是（　　）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：解答：∵反比例函数（a≠0），当x＞0时，它的图象y随x的增大而减小，
∴a＞0，
∴二次函数y=ax2﹣ax图象开口向上，
对称轴为直线
故选B．
分析：根据反比例函数的增减性判断出a＞0，再根据二次函数的性质判定即可．
5．函数y=ax2+1与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：解答：a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1），位于第一、三象限，没有选项图象符合；
a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1），
位于第二、四象限，B选项图象符合．
故选B．
分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．
6．二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：解答：A.对于反比例函数经过第二、四象限，则a＜0，所以抛物线开口向下，故A选项错误；
B.对于反比例函数经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故B选项正确；
C.对于反比例函数经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，故C选项错误；
D.对于反比例函数经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，而b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故D选项错误．
故选B．
分析：本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了反比例函数的图象．
7．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
答案：D
解析：解答：A.由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；
B.二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；
C.二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；
正确的只有D．
故选：D．
分析：本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致，逐一排除．
8．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
答案：C
解析：解答：由图可知，m＜﹣1，n=1，
∴m+n＜0，
∴一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限，且与y轴相交于点（0，1），
反比例函数的图象位于第二、四象限；
故选：C．
分析：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C D．
答案：D
解析：解答：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴一次函数y=cx+的图象过第一、二、四象限，反比例函数分布在第一、三象限．
故选：D．
分析：本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．
10．函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
答案：D
解析：解答：a＞0时，y=的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点;
a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，
纵观各选项，只有D选项图形符合．
故选：D．
分析：分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数图象和反比例函数图象作出判断即可得解．
11．下列函数中，当x＞0时y随x的增大而减小的是（ ）．
A.y=﹣x+1 B.y=2x C. D.y=x2．
答案：A
解析：解答：A.y=﹣x+1，y随x增大而减小，正确；
B.y=2x，y随x增大而增大，错误；
C. ，在每一个分支，y随x增大而增大，错误；
D.y=x2，在对称轴的左侧，y随x增大而减小，在对称轴的右侧，y随x增大而增大，错误．
故选：A．
分析：分别根据一次函数、正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可求解．
12.已知反比例函数(a≠0),当x<0时,y随x的增大而减小,则函数y=ax2的图象经过的象限是(　　)
A.第三、四象限 B.第一、二象限
C.第二、四象限 D.第一、三象限
答案：B
解析：解答：在反比例函数(a≠0)中,
当x<0时,y随x的增大而减小，所以a>0.
则函数中也有a>0,
故该二次函数开口向上,图象在x轴的上方,所以图象经过一、二象限
故选：B．
分析：根据二次函数的图象和性质即可求解．
13.在同一坐标系中,二次函数与反比例函数的图象的交点个数是(　　)
A.0 B.1　　　　C.2　　　　D.3
答案：B
解析：解答：因为二次函数y=-x2的图象在第三、四象限,开口向下,顶点在原点,y轴是对称轴;反比例函数的图象在第一、三象限,故两个函数的交点只有一个,在第三象限.
故选：B．
分析：根据二次函数的图象和性质即可求解．
14.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数(x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为 (　　)
A.40 m/s B.20 m/s C.10 m/s D.5 m/s
答案：C
解析：解答：当刹车距离为5m时,即y=5,代入二次函数关系式:.
解得x=±10(x=-10不符合实际,舍去),
故开始刹车时的速度为10m/s.
故选：C．
分析：根据二次函数的图象和性质即可求解．
15.函数y=a为二次函数,且开口向下,则a=______.
A.-1 B.2 C.-1或2 D.1
答案：A
解析：解答：依题意,得,
解得a=-1或2.
因为抛物线的开口向下,
所以二次项系数a<0,
所以a=-1.
故选：A．
分析：根据二次函数的图象和性质即可求解．
16.若点A(-1,m),B(-3,n)是二次函数图象上的两点,则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：二次函数的a=2013>0,所以x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小.因为-1<0,-3<0,-3<-1,所以m故选：A．
分析：根据二次函数的图象和性质即可求解．
二、填空题
17.如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），
则抛物线的对称轴是　 　；若y＞2，则自变量x的取值范围是　 　．
答案：|0＜x＜1．
解析：解答：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），
∵对称轴为
∵抛物线与y轴的交点坐标分别为（0，2），对称轴为x=，
∴抛物线还经过点（1，2），
∴y＞2，则自变量x的取值范围是 0＜x＜1，
分析：二次函数的图象与x轴交于（a，0）（b，0），则对称轴为；求得对称轴后即可求得图象经过的另一点为（1，2），据此可以确定自变量的取值范围．
18.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是　 　．
答案：﹣1＜x＜3．
解析：解答：已知抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0）对称轴为x=1，
根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
观察图象，当y＞0时，﹣1＜x＜3．
分析：由图可知，该函数的对称轴是x=1，则x轴上与﹣1对应的点是3．观察图象可知y＞0时x的取值范围．
19．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是　 　．
答案：2．
解析：解答：根据图示及抛物线、正方形的性质，
S阴影=S正方形=×2×2=2．
分析：根据图示及抛物线、正方形的性质不难判断出阴影部分的面积即为正方形面积的一半，从而得出答案．
20．函数与的图象及交点如图所示，则不等式x2＜x+2的解集是　 　．
答案：二次　一次
解析：解答：利用图象得出函数与的图象交点坐标分别为：（﹣1，1）和（2，4），
∴不等式的解集为：﹣1＜x＜2．
故答案为：﹣1＜x＜2．
分析：利用函数图象得出交点坐标，利用一次函数图象只有在二次函数图象上方时，不等式x2＜x+2，进而得出答案．
21．如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是　 　．
答案：2π．
解析：解答：∵C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，
∴两函数图象关于x轴对称，
∴阴影部分面积即是半圆面积，
∴面积为：π×22=2π．
故答案为：2π．
分析：根据C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．
三、解答题
22．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．
（1）求出m的值并画出这条抛物线；
（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？
（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
答案：解答：（1）由抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）得：m=3．
∴抛物线为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4．
列表得：
x -1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
图象如下．
（2）由﹣x2+2x+3=0，得：，．
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线顶点坐标为（1，4）．
（3）由图象可知：
当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．
（4）由图象可知：
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
解析：本题考查了二次函数的图象，．熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
分析：（1）直接把点（0，3）代入抛物线解析式求m，确定抛物线解析式，根据解析式确定抛物线的顶点坐标，对称轴，开口方向，与x轴及y轴的交点，画出图象．
（2）、（3）、（4）可以通过（1）的图象及计算得到．
23．分别在同一直角坐标系内，描点画出y=x2+3与y=x2的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标．
答案：解答：抛物线y=x2+3的开口方向向上，顶点坐标是（0，3），对称轴是y轴，且经过点（3，6）和（﹣3，6）
抛物线y=x2的开口方向向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，且经过点（3，3）和（﹣3，3）
则它们的图象如图所示：
解析：分析：根据抛物线的解析式求得抛物线与坐标轴的交点坐标、顶点坐标．则可画出图象．
24．在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=﹣3x2的图象，并比较两者的异同．
答案：解：如图所示：
两图象开口大小形状相同，但是开口方向不同．
解析：分析：根据二次函数解析式符合y=ax2得出图象，进而得出图象的异同即可．
25.已知是二次函数,且当x>0时,y随x的增大而增大.
(1)求a的值.
答案：解答：由已知,得且2-a≠0,
解得a=±3.
又当x>0时,y随x的增大而增大,
所以2-a>0,即a<2.
所以a=-3.
(2)用描点法画出函数的图象(不要求作答).
答案：解答：函数图象如图所示.
解析：分析：根据二次函数解析式符合y=ax2得出图象．
26．在同一直角坐标系中画出二次函数y=x2+1与二次函数y=﹣x2﹣1的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
答案：解答：如图：
，
（1）y=x2+1与y=﹣x2﹣1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
y=x2+1与y=﹣x2﹣1的不同点是：y=x2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y=﹣x2﹣1开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）性质的相同点：开口程度相同，不同点：y=x2+1 当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
y=﹣x2﹣1当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
解析：分析：本题考查了二次函数的图象，利用了二次函数图象与性质，a＞0图象开口向上，对称轴左侧，y随x的增大而减小，对称轴右侧，y随x的增大而增大；a＜0图象开口向下，对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小．
根据二次函数图象，可得二次函数的性质．
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