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2.1.1相交与平行
第二章 相交线与平行线
【新知探究】
1.在同一平面内,两条直线的位置关系有 和 两种。
2.若两条直线只有 个公共点,我们称这两条直线为相交线。
3.在同一平面内, 的两条直线叫作平行线。
【例1】 在同一个平面内,不重合的两条直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.无法确定
相交
相交与平行
平行
一
不相交
C
【新知巩固】
1.下列说法正确的是( )
A.同一个平面内,不相交的两条线段是平行线
B.同一个平面内,两条直线不相交就重合
C.同一个平面内,没有公共点的两条直线是平行线
D.不相交的两条直线是平行线
2.如图所示,两条直线相交,最多有1个交点;三条直线相交最多有3个交点,那么四条直线相交最多有 个交点。
C
6
【新知探究】
1.定义:有公共顶点,且两边互为 线,具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。
2.性质:对顶角 。
【例2-1】 下列选项中,∠1和∠2是对顶角的是( )
反向延长
对顶角
B
相等
【例2-2】 如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠DOE=∠AOD,OF平分∠BOE,如果∠BO C=35°,则∠EOF的度数为 。
55°
【新知巩固】
1.(2024承德期末)如图所示是一把剪刀的示意图,我们可想象成一个相交线模型,若∠AOB+∠COD=76°,则∠AOB等于( )
A.36° B.38° C.52° D.46°
2.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC。若∠BOD=35°,则∠EOD的度数为 。
B
110°
【新知探究】
1.定义:一般地,如果两个角的和是 ,那么称这两个角互为补角。如果两个角的和是 ,那么称这两个角互为余角。
2.性质:同角(或等角)的补角 ,同角(或等角)的余角 。
余角和补角
180°
90°
相等
相等
【例3-1】 已知∠1与∠2互余,若∠1=46°,求∠2的补角的度数。
解:因为∠1与∠2互余,∠1=46°,
所以∠2=90°-∠1=90°-46°=44°。
因为180°-∠2=136°,
所以∠2的补角的度数为136°。
【例3-2】 如图所示,O是直线AB上的一点,OE是∠BOD的平分线,
∠AOD=60°,∠COD=90°。
(1)图中互为余角的角有 ;
(2)∠BOD的度数为 ;
解:(1)∠DOE与∠EOC,∠COB与∠DOE,∠COB与∠AOD,∠EOC与∠AOD
(2)120°
(3)求∠COE的度数。
【新知巩固】
1.已知∠1与∠2互为补角,∠1=40°,则∠2的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.140°
2.若∠α的补角为125°,则∠α的余角的度数为 。
3.如图所示,一副三角尺(直角顶点重合)摆放在桌面上,此时∠AOC=
∠BOD,依据是 。
4.一个角的余角的3倍比这个角的补角少12°,则这个角的度数为 。
D
35°
同角的余角相等
51°
5.三角尺和直尺按如图所示位置放置。
(1)∠1与∠2的数量关系是 ;
(2)若∠1的补角比∠2的2倍多25°,求∠1的度数。
解:(1)∠1+∠2=90°
(2)设∠1=x°,则∠2=(90-x)°。
根据题意,得180-x=2(90-x)+25,解得x=25。
所以∠1=25°。
6.如图所示,直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD。
(1)图中∠AOF的余角有 (填写所有符合条件的角);
解:(1)∠EOF,∠AOC,∠BOD
(2)设∠EOF=x,则∠AOD=5x。
因为∠EOF,∠BOD都是∠AOF的余角,所以∠BOD=∠EOF=x。
因为∠AOD+∠BOD=180°,所以5x+x=180°。
所以x=30°,即∠EOF=30°。
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2.2.2利用内错角、同旁内角判定两直线平行
【新知探究】
1.如图所示,直线AB,CD被直线EF所截,∠4和∠5位于被截线AB,CD的
内侧,位于截线EF的两旁,我们把具有这样位置关系的一对角称为
。图中的∠3与 也是内错角。
内错角
内错角、同旁内角
∠8
2.如图所示,直线AB,CD被直线EF所截,∠4和∠8位于被截线AB,CD的
内侧,位于截线EF的同旁,我们把具有这样位置关系的一对角称为
,图中∠3和 也是同旁内角。
同旁内角
∠5
【例1】 如图所示,直线BF,DE相交于点A,直线BG交直线BF于点B,交直线AC于点C。
(1)指出直线DE,BG被直线BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角;
(2)指出直线DE,BC被直线AC所截形成的内错角;
(3)指出直线FB,BG被直线AC所截形成的同旁内角。
解:(1)同位角:∠FAE和∠B;
内错角:∠B和∠DAB;
同旁内角:∠EAB和∠B。
(2)∠EAC和∠BCA,∠DAC和∠ACG都是内错角。
(3)∠BAC和∠BCA,∠FAC和∠ACG都是同旁内角。
【新知巩固】
1.如图所示,若直线a,b,c相交,则∠3的内错角为( )
A.∠1 B.∠2
C.∠4 D.∠5
2.如图所示,∠1的同旁内角有 个。
D
3
3.如图所示。
(1)∠AED和∠ACB是直线 , 被直线AC所截得的 ;
(2) 和 是直线AB,AC被直线BE所截得的内错角。
(3) 和 是直线DE,BC被直线AC所截而成的同旁内角。
DE
CB
同位角
∠ABE
∠BEC
∠DEC
∠ECB
【新知探究】
1.两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。简述为 。
2.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。简述为 。
内错角相等,两直线平行
利用内错角、同旁内角判定两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
【例2-1】 已知:如图所示,∠ABD=∠D,BD平分∠ABC。说明:AD∥BC。
解:因为BD平分∠ABC,
所以∠ABD=∠CBD。
因为∠ABD=∠D,
所以∠CBD=∠D。
所以AD∥BC(内错角相等,两直线平行)。
【例2-2】 如图所示,直线a,b被直线c所截,且∠1+∠2=180°,试判断直线a,b的位置关系,并说明理由。
解:a∥b。理由如下:
因为∠1+∠2=180°,∠1=∠3,
所以∠3+∠2=180°。
所以a∥b(同旁内角互补,两直线平行)。
【新知巩固】
1.如图所示,下列不能判定DE∥BC的条件是( )
A.∠B=∠ADE
B.∠2=∠4
C.∠1=∠3
D.∠ACB+∠DEC=180°
C
2.如图所示,直线EF分别与直线AB,CD相交于点P,Q,PM⊥EF,∠1+∠2=
90°。说明:AB∥CD。
解:因为PM⊥EF,
所以∠MPQ=∠APQ+∠2=90°。
因为∠1+∠2=90°,
所以∠APQ=∠1。
所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行)。
3.如图所示,根据下列条件:①∠2=∠B;②∠1=∠D;③∠3+∠F=180°。可以判定哪两条直线平行 并说明判定的根据是什么。
解:①∠2=∠B,可判定AB∥ED,根据“同位角相等,两直线平行”;
②∠1=∠D,可判定AC∥FD,根据“内错角相等,两直线平行”;
③∠3+∠F=180°,可判定AC∥FD,根据“同旁内角互补,两直线平行”。
【例3】 如图所示,以点B为顶点,射线BC为一边,利用尺规作∠EBC,使∠EBC=∠A(画出所有符合条件的情况,不写作法,保留作图痕迹),并写出图中互相平行的直线。
用尺规作已知直线的平行线
解:如图所示。当所作的角在BC上方时,EB∥AD。
【新知巩固】
已知:△ABC,过点A画BC的平行线
(说明:只允许尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)。
解:如图所示,直线AD即为BC的平行线。
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2.2.1利用同位角判定两直线平行
【新知探究】
如图所示,具有∠1和∠8这样位置关系的两个角称为同位角,∠2和
,∠3和 ,∠4和 也是同位角。
∠5
同位角
∠6
∠7
【例1】 如图所示,∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的 它们是什么角 ∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的 它们是什么角
解:∠1和∠2是直线EF,CD被直线AB所截形成的同位角,∠1和∠3是直线AB,CD被直线EF所截形成的同位角。
【新知巩固】
1.下列选项中,∠1和∠2是同位角的是( )
2.如图所示,∠A的同位角是 。
C
∠BED和∠CDE
3.如图所示的∠1与∠C,∠2与∠B,∠3与∠C,各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的同位角
解:∠1与∠C是直线DE,BC被直线AC所截形成的同位角,∠2与∠B是直线DE,BC被直线AB所截形成的同位角,∠3与∠C是直线DF,AC被直线BC所截形成的同位角。
【新知探究】
1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。简述为 。
2.两直线平行,用符号“ ”表示。例如,直线a与直线b平行,记作 。
同位角相等,两直线平行
利用同位角判定两直线平行
∥
a∥b
【例2】 如图所示,已知点B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,问射线CF与BD平行吗 说明理由。
解:CF∥BD。
理由如下:
因为BD⊥BE,所以∠DBE=90°。
所以∠1+∠2=90°。
因为∠1+∠C=90°,所以∠2=∠C。
所以CF∥BD。
【新知巩固】
1.如图所示,直线AB,CD被直线EF所截,∠1=55°,下列条件中能判定AB∥CD的是( )
A.∠2=35° B.∠2=45°
C.∠2=55° D.∠2=125°
2.如图所示,将木条a,b与c钉在一起,∠1=85°,∠2=50°,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是( )
A.15° B.25°
C.35° D.50°
C
C
3.如图所示,把三角尺的直角顶点放在直线b上。若∠1=50°,则当∠2= 时,a∥b。
40°
4.如图所示,已知直线a和直线外一点P,用直尺和三角尺,过点P画已知直线a的平行线b。操作步骤如下:①用三角尺的一边贴住直线a;②用直尺紧靠三角尺的另一边;③沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P;④沿三角尺的边作出直线b。
这种画平行线的依据是 。
同位角相等,两直线平行
【新知探究】
1.过直线外一点有且只有 条直线与这条直线平行。
2.平行于同一条直线的两条直线 。
平行线的性质
一
平行
【例3-1】 (2024博野月考)如图所示,在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线,可作的条数分别是m条和n条,则m+n的值为( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.无数条
C
【例3-2】 如图所示,AB∥EF,∠1=∠2,那么AB与CD平行吗 为什么
解:AB∥CD。理由如下:
因为∠1=∠2,
所以EF∥CD(同位角相等,两直线平行)。
因为AB∥EF,
所以AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)。
【新知巩固】
1.下列说法不正确的是( )
A.过任意一点可作已知直线的一条平行线
B.同一平面内两条不相交的直线是平行线
C.在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D.平行于同一直线的两直线平行
A
2.(2024枣阳期末)下列说法正确的是( )
A.在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b∥c,则a∥c
B.在同一平面内,a,b,c是直线,且a⊥b,b⊥c,则a⊥c
C.在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则a∥c
D.在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b∥c,则a⊥c
A
3.如图所示,直线AB,CD,EF被直线MN所截,MN交AB于点P,交EF于点Q,如果∠1=∠2,AB∥CD,那么CD与EF平行吗 为什么
解:CD∥EF。理由如下:
因为∠1=∠APQ,∠1=∠2,所以∠2=∠APQ。
所以AB∥EF(同位角相等,两直线平行)。
因为AB∥CD,
所以CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)。
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2.1.2 垂 直
【新知探究】
两条直线相交成四个角,如果有一个角是 ,那么称这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的 ,它们的交点叫作垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。
直角
垂直与垂线
垂线
【例1-1】 如图所示,在方格纸中,直线AC⊥CD,垂足为C。
(1)过点E画直线EF,使EF⊥AC;
(2)猜想直线EF与直线CD之间的位置关系。
解:(1)直线EF如图所示。
(2)EF与CD平行。
【例1-2】 如图所示,直线BC,DE相交于点O,AO⊥BC于点O,OM平分∠BOD,∠AOE=50°,求∠BOM的度数。
【新知巩固】
1.下列各图中,过直线l外的点P画直线l的垂线,三角尺操作正确的是
( )
C
2.(2023诸城期中)如图所示,有一个与水平地面成20°角的斜坡,现要在斜坡上竖起一根与水平地面垂直的电线杆,电线杆与斜坡的夹角∠1的度数为( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.已知∠AOB=22.5°,分别以射线OA,OB为始边,在∠AOB的外部作∠AOC=∠AOB,∠BOD=2∠AOB,则OC与OD的位置关系是 。
C
垂直或重合
4.如图所示,AOB是一条直线,∠AOD∶∠DOB=3∶1,OD平分∠COB。
(1)求∠DOC的度数;
(2)判断AB与OC的位置关系。
解:(2)因为∠DOC=∠DOB=45°,
所以∠COB=∠DOB+∠DOC=45°+45°=90°。
所以OC⊥AB,
即AB与OC的位置关系是垂直。
【新知探究】
1.垂线的性质
(1)同一平面内,过一点有且只有 条直线与已知直线垂直;
(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中, 最短。
2.点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作这点到直线的距离。
一
垂线的性质和点到直线的距离
垂线段
【例2-1】 如图所示,在灌溉时,要把河水引到农田P处,为保证渠道最短,挖渠的位置这样确定:过点P作PQ⊥AB于点Q,垂线段PQ即为渠道的位置,其中的数学依据是 。
【例2-2】 如图所示,点A,B,C在直线l上,PB⊥l,PA=6,PB=5,PC=7,点P到直线l的距离是 。
垂线段最短
5
【新知巩固】
1.如图所示,在平面内过A点作已知直线m的垂线,可作垂线的条数有( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.无数条
2.如图所示,河道l的一侧有A,B两个村庄,现要铺设一条引水管道把河水引向A,B两村,下列四种方案中最节省材料的是( )
B
B
3.如图所示,P是直线l外一点,A,B,C三点在直线l上,且PB⊥l于点B,
∠APC=90°,则下列结论:
①线段PA是点A到直线PC的距离;
②线段PB的长是点P到直线l的距离;
③PA,PB,PC三条线段中,PB最短;
④点C到直线PA的垂线段是线段PC。
其中,正确的是( )
A.②③④ B.①②③
C.③④ D.①②③④
A
4.如图所示,甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为DA=4.4 m,
DB=4.2 m,则小明的跳远成绩应该为 ,根据是 。
4.2 m
垂线段最短
5.如图所示,在三角形ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,垂足为D,AC=10,AB=
6,BC=8,则点A到BC的距离为 ,点C到AB的距离为 ,点B到AC的距离为 。
6
8
4.8
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2.3.2平行线的性质与判定的综合应用
【新知探究】
1.平行线的性质
(1)两直线平行,同位角 ;
(2)两直线平行,内错角 ;
(3)两直线平行,同旁内角 。
2.平行线的判定
(1)同位角 ,两直线平行;
相等
利用平行线的性质与判定进行运算或说理
相等
互补
相等
(2)内错角 ,两直线平行;
(3)同旁内角 ,两直线平行;
(4)平行于 的两条直线平行。
【例1】 如图所示,已知∠A=∠ADE,∠C=∠E。
(1)若∠EDC=3∠C,则∠C= ;
相等
互补
同一条直线
解:(1)45°
(2)试说明:BE∥CD。
解:(2)因为∠A=∠ADE,
所以AC∥DE。
所以∠E=∠ABE。
又因为∠C=∠E,
所以∠C=∠ABE。
所以BE∥CD。
【新知巩固】
1.如图所示,∠1=∠B,∠2=51°,则∠D的度数为( )
A.39°
B.49°
C.45°
D.51°
D
2.(2024巴中模拟)如图所示,直线a∥b,点A,B分别在直线a,b上,BC⊥
AC于点C,若∠2=52°,则∠1的度数为( )
A.38° B.52° C.48° D.30°
3.如图所示,已知直线a,b,c被直线m所截,截点分别为点A,B,C,已知a∥b,∠1=60°,当∠2= 时,直线c∥a。
A
120°
4.(2024榆林月考)如图所示,直线AB∥CD,连接AC,CE平分∠ACD交AB于点E,过点E作FE⊥AB交CD于点F。
(1)试说明:CD⊥EF;
解:(1)因为FE⊥AB,
所以∠AEF=90°。
因为AB∥CD,
所以∠DFE=∠AEF=90°。
所以CD⊥EF。
(2)若∠A=130°,求∠CEF的度数。
【例2】 如图所示,某工程队从A点出发,沿北偏西67°方向修一条公路AD,在BD路段出现塌陷区,于是改变方向,由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段,到达C点又改变方向,从C点继续修建CE段,若使所修路段CE∥AB,∠ECB应为多少度 试说明理由。此时CE与BC有怎样的位置关系
平行线的性质与判定的实际应用
解:∠ECB=90°。理由如下:
因为AP∥BQ,
所以∠1=∠A=67°。
所以∠CBD=23°+67°=90°。
当∠ECB+∠CBD=180°时,CE∥AB,
所以∠ECB=180°-∠CBD=180°-90°=90°。
此时CE与BC的位置关系为垂直。
【新知巩固】
1.如图所示的为某景区电动升降门的示意图,若BA垂直于地面AE于点A,当CD平行于地面AE时,则∠ABC+∠BCD的值为( )
A.180° B.210° C.250° D.270°
D
2.为响应国家新能源建设,某市公交站亭装上了太阳能电池板。如图所示,当地某一季节的太阳光(平行光线)与水平线的最大夹角为68°,电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相互垂直,此时电池板CD与水平线夹角为43°,要使AB∥CD,需将电池板CD至少逆时针旋转α(0<α<
90)度,则α的大小为 。
21
3.如图所示的是潜望镜工作原理示意图,AB和CD是平行放置在潜望镜里的两面镜子。已知光线经过镜子反射时,有∠2=∠1,∠4=∠3,请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的
解:因为AB∥CD,
所以∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)。
因为∠2=∠1,∠4=∠3,
所以∠1=∠2=∠3=∠4。
所以180°-(∠1+∠2)=180°-(∠3+∠4)。
因为∠5=180°-(∠1+∠2),
∠6=180°-(∠3+∠4),
所以∠5=∠6。
所以l∥m(内错角相等,两直线平行)。
4.如图所示,在台球运动中,如果母球P击中桌边点A,经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点B,然后又反弹击中球C。母球P经过的路线BC与PA一定平行吗 请说明理由(提示:每次撞击桌边时,撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等)。
解:BC与PA一定平行。理由如下:
因为∠PAD=∠BAE,∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE,
所以∠PAB=180°-2∠BAE。
同理可得∠ABC=180°-2∠ABE。
因为∠BAE+∠ABE=90°,
所以∠PAB+∠ABC=360°-2(∠BAE+∠ABE)=180°。
所以BC∥PA。
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第二章 相交线与平行线-章末考点复习
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思维导图·发展创新意识
考点整合·提升核心素养
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考点整合·提升核心素养
考点一 相交线
1.(2023河南)如图所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1=80°,∠2=30°,则∠AOE的度数为( )
A.30° B.50°
C.60° D.80°
2.(2024兰州)若∠A=80°,则∠A的补角度数是( )
A.100° B.80° C.40° D.10°
B
A
3.一个角的余角的2倍比这个角的补角少24°,求这个角的度数。
解:设这个角的度数为x,则它的余角为(90°-x),补角为(180°-x)。
根据题意,得2(90°-x)=180°-x-24°,解得x=24°。
因此,这个角的度数为24°。
4.(2024商洛期末)如图所示,已知直线AB,CD,EF交于点O,OM⊥CD,且OE平分∠AOM。
(1)若∠BOF=20°,求∠AOC的度数;
解:(1)因为∠AOE=∠BOF,∠BOF=20°,
所以∠AOE=20°。
因为OE平分∠AOM,所以∠AOM=2∠AOE=40°。
因为OM⊥CD,
所以∠COM=∠DOM=90°。
所以∠AOC=∠COM-∠AOM=50°。
(2)∠AOM∶∠BOD=5∶4,求∠AOF的度数。
考点二 平行线的判定与性质
5.(2024青海)如图所示,一个弯曲管道AB∥CD,∠ABC=120°,则∠BCD的度数是( )
A.120° B.30° C.60° D.150°
C
6.(2024赤峰)将一副三角尺(厚度不计)按如图所示摆放,使有刻度的两条边互相平行,则图中∠1的度数为( )
A.100° B.105° C.115° D.120°
B
7.(2024南充)如图所示,两个平面镜平行放置,光线经过平面镜反射
时,∠1=∠2=40°,则∠3的度数为( )
A.80° B.90° C.100° D.120°
C
8.(2024通辽)将三角尺ABC按如图所示位置摆放,顶点A落在直线l1上,顶点B落在直线l2上,若l1∥l2,∠1=25°,则∠2的度数是( )
A.45° B.35° C.30° D.25°
B
9.(2024资阳改编)如图所示,AB∥CD,∠A=140°,∠D=50°,则DE与AC的位置关系是( )
A.垂直 B.相交但不垂直
C.平行 D.无法确定
A
10.(2024达州)当光线从空气射入水中时,光线的传播方向发生了改
变,这就是光的折射现象(如图所示)。图中∠1=80°,∠2=40°,则
∠3的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
B
11.(2024广州)如图所示,直线l分别与直线a,b相交,a∥b,若∠1=
71°,则∠2的度数为 。
12.若∠1与∠2有一条边在同一直线上,且另一边互相平行,∠1=50°,则∠2的度数为 。
109°
50°或130°
13.(2024自贡改编)如图所示,在△ABC中,DE∥BC,∠EDF=∠C。
(1)试说明∠BDF=∠A;
解:(1)因为DE∥BC,
所以∠C=∠AED。
因为∠EDF=∠C,
所以∠AED=∠EDF。
所以DF∥AC。
所以∠BDF=∠A。
(2)若∠A=45°,DF平分∠BDE,求∠B的度数。
解:(2)因为∠BDF=∠A,∠A=45°,
所以∠BDF=∠A=45°。
因为DF平分∠BDE,
所以∠BDE=2∠BDF=90°。
因为DE∥BC,
所以∠B=180°-∠BDE=90°。
14.(2024北京期中)如图所示,已知三角形ABC,点D在BC边上。
(1)过点A作BC的平行线MN;
(2)过点D作AB的垂线段DF,垂足为F;比较线段BD与DF
的大小:BD DF(选填“>”“<”或“=”),理
由: 。
解:(1)如图所示,直线MN即为所求。
(2)如图所示,DF即为所求。
> 垂线段最短
15.(2024广安期末改编)如图(1)所示是一盏可以伸缩的台灯,图(2)所示是这盏台灯的示意图。已知台灯水平放置,当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度,此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE=130°,两支架BC和CD的夹角∠BCD=110°。
(1)求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数;
解:(1)如图所示,过点C作CF∥BE,
所以∠BCF+∠CBE=180°。
因为∠CBE=130°,
所以∠BCF=50°。
因为∠BCD=110°,
所以∠DCF=∠BCD-∠BCF=60°。
因为BE∥MN,所以CF∥MN。
所以∠CDM=∠DCF=60°。
(2)求此时灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数。
解:(2)因为AB∥CD,
所以∠ABC+∠BCD=180°,
因为∠BCD=110°,
所以∠ABC=70°。
因为∠CBE=130°,
所以∠ABE=∠CBE-∠ABC=60°。
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2.3.1平行线的性质
【新知探究】
两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。简述为
。
同位角相等
两直线平行,同位角相等
两直线平行,
【例1】 如图所示,AC∥DF,AB∥EF,点D,E分别在AB,AC上。若∠2=
50°,求∠1的度数。
解:因为AB∥EF,
所以∠A=∠2=50°。
因为AC∥DF,
所以∠1=∠A=50°。
【新知巩固】
1.如图所示,l1∥l2,若∠1=30°,则∠2的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如图所示,把一块直角三角尺的60°角的顶点放在直尺的一边上,如果∠1=75°,那么∠2的度数为 。
A
45°
3.如图所示,点B,C在直线AD上,∠ABF=65°,BF平分∠ABE,如果CG∥BE,
求∠DCG的度数。
解:因为∠ABF=65°,BF平分∠ABE,
所以∠ABE=2∠ABF=130°。
所以∠DBE=180°-∠ABE=180°-130°=50°。
因为CG∥BE,
所以∠DCG=∠DBE=50°。
【新知探究】
两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。简述为
。
两直线平行,
两直线平行,内错角相等
内错角相等
【例2】 如图所示,某科学兴趣小组发现,将光线AB照在平面镜MN上会形成反射光线BP,且两条光线与MN形成的夹角相等,即∠MBA=∠NBP。将一条平行于AB的光线CD照在平面镜EF上,两条反射光线交于点P,若 ∠CDP=40°,∠BPD=70°,求AB与MN形成的夹角(锐角)的度数。
【新知巩固】
1.(2024亳州期末)在几千年前,我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤。如图所示是木杆秤在称物时的状态,已知∠2=78°,则∠1的度数为 。
2.如图所示的是一探照灯灯碗的纵剖面,从位于O点的灯泡发出的两束光线OB,OC经灯碗反射后平行射出。若∠ABO=30°,∠DCO=80°,则∠BOC的度数为 。
102°
110°
3.如图所示,已知直线AB∥CD,直线EF分别交直线AB,CD于点E,F,点G为AB上一点,连接FG,FG平分∠EFD,∠EGF=35°,求∠1的度数。
解:因为AB∥CD,∠EGF=35°,
所以∠EGF=∠GFD=35°。
因为FG平分∠EFD交AB于点G,
所以∠EFD=2∠GFD=2×35°=70°。
因为AB∥CD,
所以∠1=∠EFD=70°。
【新知探究】
两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补。简述为
。
两直线平行,同旁内角互补
两直线平
行,同旁内角互补
【例3】 如图所示,已知a∥b,若AB与BC的夹角为105°,∠1=55°,求∠2的度数。
解:如图所示,过点B作BD∥a,
因为a∥b,所以a∥BD∥b。
所以∠1=∠ABD=55°,∠2+∠CBD=180°。
又因为AB与BC的夹角为105°,即∠ABC=105°,
所以∠CBD=105°-55°=50°。
所以∠2=180°-50°=130°。
【新知巩固】
1.(2023重庆)如图所示,AB∥CD,AD⊥AC,若∠1=55°,则∠2的度数为
( )
A.35° B.45° C.50° D.55°
2.如图所示,AB∥CD,AE∥CF,若∠A=40°,则∠C的度数为 。
A
140°
3.(2024聊城期末)如图所示,a∥b,∠1=140°,∠2=105°,则∠3的度数是 。
65°
4.(2024济宁期中)如图所示是某电动伸缩遮阳帘形状示意图。已知AF∥CD,小明观察分析该图形得出图中∠A,∠ABC,∠C之间存在如下数量关系:∠ABC=∠A+∠C。他的解题思路如下,请将他的解题过程补充完整。
解:过点B作直线BM,使BM∥AF。
因为BM∥AF,AF∥CD,
所以BM∥CD( )。
因为BM∥AF,
所以∠A=∠ABM( )。
因为 ,
所以∠MBC=∠C( )。
因为∠ABC=∠ABM+∠MBC,
所以∠ABC= (等量代换)。
平行于同一条直线的两条直线平行
两直线平行,内错角相等
BM∥CD
两直线平行,内错角相等
∠A+∠C
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