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3.3.2 游戏的公平性
【新知探究】
只要游戏双方获胜的 相等,我们就认为游戏是公平的,所以只要求出双方获胜的 进行对比,即可判断游戏公平与否。
概率
利用概率判断游戏的公平性
概率
【例1】 一个不透明的口袋里装有2个红球,3个白球,5个黄球,这些球除颜色外都相同。小星和小红做摸球游戏。
(1)小星从袋中任意摸出一球,求他摸到红球的概率。
(3)小红说:“如果你摸到红球,那么你获胜,如果摸到白球,那么我获胜”,如果你是小星,你会同意这样的游戏规则吗 请说明理由。
C
D
C
4.小颖和小丽玩摸球游戏:一个不透明的袋中装有2个红球,3个白球,
5个黑球,每个球除颜色外都完全相同,从中任意摸出一个球,若摸出的是黑球,则小颖获胜,否则小丽获胜,请你判断这个游戏公平吗
【例2-1】 (2024宝丰期末)数学老师在黑板上画出一个3×3表格,并设计双人游戏:一人在黑板上指出数字,另一人蒙眼猜数。若所猜数字与指出的数字相符,则猜数的人获胜,否则指数的人获胜。猜数的方法从以下三种中选一种:
①猜“是奇数”或“是偶数”;②猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”;③猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”。
设计游戏
8 1 6
3 5 7
4 9 2
(1)如果轮到你猜数,为了尽可能获胜,你将选择哪一种猜数方法 怎么猜 说明理由。
(2)请你设计第四种猜数方法,使猜数者获胜概率更大。
(2)猜“大于1或不大于1”中的“大于1”(答案不唯一)。
【例2-2】 明明与亮亮玩摸球游戏,在一个不透明的袋子中放有7个除标注数字不同其他完全一样的球,分别标有1,2,3,4,5,6,7七个数字,明明与亮亮轮流坐庄,从袋中摸出一球,记下号码,然后放回,规定:如果摸到的球号码大于4,则明明胜,否则亮亮胜。你认为这个游戏公平吗 请说明理由。若不公平如何修改游戏规则使明明和亮亮游戏公平
【新知巩固】
1.用8个球设计一个摸球游戏,使摸到白球与摸不到白球的可能性一样大,摸到红球的可能性比摸到黄球的可能性大,则满足上述条件的白、红、黄球的个数可能为( )
A.4,2,2 B.3,2,3
C.5,2,1 D.4,3,1
D
6
3.现有足够多除颜色外均相同的球,请你从中选12个球设计摸球游戏
(要求写出设计方案)。
(1)使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等。
(2)使摸到红球、白球、黑球的概率都相等。
(3)使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等,且都小于摸到黑球的
概率。
解:(1)12个球中,有6个红球,6个白球,从中任意摸出一球。
(2)12个球中,有4个红球,4个白球,4个黑球,从中任意摸出一球。
(3)12个球中,有3个红球,3个白球,6个黑球,从中任意摸出一球。
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第三章 概率初步-章末考点复习
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考点整合·提升核心素养
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考点整合·提升核心素养
考点一 事件分类
1.(2024湖北)在下列事件中,必然事件是( )
A.掷一次骰子,向上一面的点数是3
B.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中
C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯
D.任意画一个三角形,其内角和是180°
D
C
3.(2024宁明二模)“八月十五云遮月,正月十五雪打灯”是一句谚语,意思是说如果八月十五晚上阴天的话,来年正月十五这天就会下雪。你认为这句农谚是一个 (填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”)。
4.(2024徐州期中)将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列: 。
①瞎猫碰到死耗子;
②煮熟的鸭子飞了;
③种瓜得瓜,种豆得豆。
随机事件
②①③
考点二 频率的稳定性
5.(2023泰州)在相同条件下的多次重复试验中,一个随机事件发生的频率为f,该事件的概率为P。下列说法正确的是( )
A.试验次数越多,f越大
B.f与P都可能发生变化
C.试验次数越多,f越接近于P
D.当试验次数很大时,f在P附近摆动,并趋于稳定
D
6.(2024贵州)小星同学通过大量重复的定点投篮练习,用频率估计他投中的概率为 0.4,下列说法正确的是( )
A.小星定点投篮1次,不一定能投中
B.小星定点投篮1次,一定可以投中
C.小星定点投篮10次,一定投中4次
D.小星定点投篮4次,一定投中1次
A
7.(2024肇庆二模)近几年,二维码逐渐进入了人们的生活,成为广大民众生活中不可或缺的一部分。小刚将一个二维码打印在面积为20的正方形纸片上,如图所示,为了估计黑色阴影部分的面积,他在纸内随机掷点,经过大量重复试验,发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右,则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为( )
A.8 B.12
C.0.4 D.0.6
B
8.(2023锦州)一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球,这些球除颜色外均相同。经多次摸球试验后发现,摸到黑球的频率稳定在0.25左右,则盒子中红球的个数约为 。
15
9.(2024茂名期末)某种麦粒在相同条件下进行发芽试验,结果如表所示:
(1)表中的a= ,b= ;
(2)任取一粒麦粒,估计它能发芽的概率是 (精确到0.01);
(3)若某校劳动基地需要这种麦苗9 500棵,估计需要准备多少麦粒进行发芽培育。
解:(1)191 0.953
(2)0.95
(3)9 500÷0.95=10 000(粒)。
答:估计需要准备10 000粒麦粒进行发芽培育。
B
B
B
13.(2024长沙)某乡镇组织“新农村,新气象”春节联欢晚会,进入抽奖环节。抽奖方案如下:不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有3个,蓝球有5个,每次摇匀后从中随机摸一个球,摸到红球获一等奖,摸到黄球获二等奖,摸到蓝球获三等奖,每个家庭有且只有一次抽奖机会。小明家参与抽奖,获得一等奖的概率为 。
5
16.元旦晚会上,数学老师设置了一次抽奖活动——翻奖牌,翻奖牌的正面、背面如图所示,要求只能在9个数字中选择一个数字翻牌,请解决下面的问题:
翻奖牌正面 翻奖牌反面
(1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的概率是 ;
解:(2)设计九张牌中有四张写着电影票,其他的五张牌中手机、微波炉、球拍各一张,谢谢参与两张(答案不唯一)。
17.(2024渭南期末)如图(1),图(2)所示,是可以自由转动的两个转盘。图(1)被平均分成9份,分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字。转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字;图(2)被涂上红色与绿色,绿色部分的扇形圆心角是120°。转动转盘,当转盘停止后,指针指向的颜色即为转出的颜色。小明转动图(1)的转盘,小亮转动图(2)的转盘。若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转。小颖认为:小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同。小颖的观点对吗 为什么
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3.3.1 简单事件的概率
【新知探究】
设一个试验的所有可能的结果有n种,每次试验有且只有其中的
结果出现。如果每种结果出现的 ,那么我们就称这个试验的结果是等可能的。
一种
等可能事件
可能性相同
【例1】 下列事件中,是等可能事件的是 。(填序号)
①抛掷一枚均匀的正方体骰子一次,朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数;
②不透明袋子中装有红、黄两种颜色的球,每个球除颜色外都相同,一次抽到红球与黄球;
③将两副不同的扑克牌混合在一起,随机抽取一张;
④掷一枚图钉一次,钉尖着地与钉尖朝上。
①
【新知巩固】
1.下列随机事件中,结果具有“等可能性”的是( )
A.掷一枚图钉一次,钉尖着地与钉尖朝上
B.从透明袋子中摸球
C.某个路口,在一定时间内,“红黄绿”灯发生的时间
D.抛掷一枚质地均匀的骰子
D
2.在5张相同的纸条上分别标上1,2,3,4,5这5个号码,做成5支签后放在盒中,搅匀后从中任意抽出1支签。
(1)会出现哪些可能的结果 这些结果是等可能的吗
(2)抽到奇数号签与抽到偶数号签是等可能的吗 为什么
解:(1)搅匀后从中任意抽出1支签,会抽到的号码有5种结果,它们是1,
2,3,4,5,这些结果是等可能的。
(2)抽到奇数号签可能结果有3种,偶数号签的可能结果有2种,所以抽到奇数号签与抽到偶数号签不是等可能的。
【新知探究】
一般地,如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)= 。
简单等可能事件的概率计算
【例2-1】 一个口袋中有6个完全一样的球,球上分别标有1,2,3,4,5,
6.小明从口袋中摸出1个球。求:
(1)摸到球的号码是奇数的概率;
(2)摸到球的号码大于3的概率;
(3)摸到球的号码不大于6的概率。
(3)因为摸到球的号码不大于6的结果有6种,所以P(摸到球的号码不大于6)=1.
【例2-2】 (2024晋中期末)为了培养学生的科技创新能力,某校开展“科技创新展”活动。下表是某班级根据同学们上交的各类作品(每个人只交一个作品)绘制的统计表。
作品类型 小制作 小发明 科技绘画 其他
数量/个 14 10 18 8
请根据上表提供的信息,回答下列问题:
(1)如果从这个班的所有作品中,随机选择一个作品进行点评,那么正好选中“小发明”的概率是多少
(2)如果准备在“小发明”和“小制作”的作者中随机选择一名作为本班作品的“解说员”,求正好选中“小发明”的作者的概率是多少
D
D
B
5.将五张背面图案完全一样的卡片,分别标上数1,2,3,4,4.洗匀后,背面朝上放在桌面上。请完成下列各题。
(1)随机抽取一张,抽到4的概率;
(2)随机抽取一张,抽到奇数的概率;
(3)若哥哥和弟弟用这五张卡片来玩游戏,哥哥抽出标有偶数的卡片赢,弟弟抽出标有奇数的卡片赢。请用概率知识解释一下,哥哥赢的机会比弟弟大。
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3.1 感受可能性
第三章 概率初步
【新知探究】
在一定条件下进行可重复试验时,有些事件一定会发生,这样的事件称为 ;有些事件一定不会发生,这样的事件称为 ;有些事件可能发生也可能不发生,这样的事件称为 。
必然事件
事件的分类
不可能事件
随机事件
【例1】 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件。
(1)某人购买福利彩票一注,中奖500万元;
(2)圆锥的侧面展开图是扇形;
(3)没有空气和水,人类可以生存下去;
(4)同时抛掷两枚硬币一次,都出现正面向上;
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张,抽到1号标签。
解:(1)随机事件。
(2)必然事件。
(3)不可能事件。
(4)随机事件。
(5)随机事件。
【新知巩固】
1.下列事件中,是必然事件的是( )
A.射击运动员射击一次,命中靶心
B.掷一次骰子,向上一面的点数是6
C.任意买一张电影票,座位号是2的倍数
D.从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球
2.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是( )
A.水落石出 B.水涨船高
C.水滴石穿 D.水中捞月
D
D
3.(跨学科融合)《登鹳雀楼》一诗描绘出祖国河山的磅礴气势和壮丽景象,其中“黄河入海流”是 (选填“不可能”“随机”或“必然”)事件。
必然
4.在五个一模一样的小球上分别写上2,4,6,8,10这几个数字,并判断下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件。
(1)任意摸一个球,得到的数字是偶数;
(2)任意摸一个球,得到的数字是奇数;
(3)任意摸一个球,得到的数字是3的倍数;
(4)任意摸两个球,它们的和为20。
解:(1)必然事件。
(2)不可能事件。
(3)随机事件。
(4)不可能事件。
【例2】 小董和小明利用质地均匀的骰子做游戏,规则如下:
①两人同时做游戏,各自掷一枚骰子,每人可以只投掷一次骰子,也可以连续地掷几次骰子;
②当掷出的点数和不超过10,如果决定停止投掷,那么你的得分就是所掷出的点数和;当掷出的点数和超过10,必须停止投掷,并且你的得分为0;
③比较两人的得分,谁的得分多谁就获胜。
在一次游戏中,小明连续投掷两次,掷出的点数分别是2,6;小董也是连续投掷两次,但是掷出的点数分别是3,4.请问:
随机事件的可能性
(1)如果你是小明,你是否决定再投掷一次 请说明理由。
(2)如果小明不再投掷,小董决定再投掷一次,试说明小董如何才能
获胜。
解:(1)根据题意,小明再投一次骰子的点数为3,4,5,6时,得分为0,即再掷1次,点数和超过10的可能性要比不超过10的可能性大,并且小明分数已经比小董分数高了,所以不会再投掷一次骰子。
(2)小董再次投掷骰子,点数只有为2或3时得分为9分或10分,小董获胜。
【新知巩固】
1.一枚质地均匀的正六面体骰子标有数1到6,抛掷这枚骰子1次,下列事件中可能性最大的是( )
A.朝上的面的数是2
B.朝上的面的数是3的倍数
C.朝上的面的数不小于3
D.朝上的面的数是偶数
2.七年级(1)班有40位同学,他们的学号是1～40,随机抽取一名学生参加座谈会,下列事件:①抽到的学号为奇数;②抽到的学号是个位数;③抽到的学号不小于35。其中发生可能性最小的事件为 (填序号)。
C
③
3.某商场为吸引顾客,设置了大转轮游戏环节,胜出者奖励代金券30元。转轮上平均分布着5,10,15,20,…,100共20个数字。选手依次转动转轮,每人最多有两次机会。选手转动的数字之和最大不超过100者为胜出;若超过100则成绩无效,称为“爆掉”。
(1)某选手第一次转到了数字5,再转第二次,则他“爆掉”的可能性
大吗
解:(1)他“爆掉”的可能性不大。因为要“爆掉”,他两次转到的数字之和超过100,则第二次他要在20个数字中必须转到100这1个数字,可能性比较小。
(2)现在某选手第一次转到了数字65,若再转第二次则有可能“爆掉”,请你分析“爆掉”的情况有几种
解:(2)由题意分析可知,转到数字35以上就会“爆掉”,因此共有13种情况。
4.(教材习题变式)一个圆形转盘被平均分成10份,分别标有0,1,2,…,
9这10个数字,转动转盘,当转盘停止转动时,指针指向的数字即为转出的数字(若指针指向分界处则无效,需重新转动)。两人进行猜数游戏,规则如下:
①自由转动转盘,每人分别将转出的数填入四个方格中的任意一个;
②继续转动转盘,每人再将转出的数填入剩下的任意一个方格中;
③转动四次转盘后,每人得到一个“四位数”;
④比较两人得到的“四位数”,谁的大谁就获胜。
问题:(1)若第一次转出的数字是0或1,你会放在哪个方格中
(2)若第一次转出的数字是9,你会放在哪个方格中
(3)你认为可能得到的最小的数是多少 最大的四位数是多少 它们哪一个出现的可能性大 为什么
解:(1)放在第4格。
(2)放在第1格。
(3)最小的数是0,最大的四位数是9 999,出现的可能性一样大,因为4次都转到0和4次都转9的可能性都相同。
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3.2 频率的稳定性
【新知探究】
1.频率:在n次重复试验中,事件A发生了m次,则比值 称为事件A发生的频率。
2.在大量重复的试验中,一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动,这个性质称为频率的 性。
稳定
频率及频率的稳定性
【例1】 在一个不透明的盒子中有2个白球和1个黄球,每个小球除颜色外,其余的都相同,每次从该盒中摸出1个球,然后放回,搅匀再摸,在摸球试验中得到下表中部分数据:
试验 次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
摸出 黄球 的频数 14 24 38 52 67 97 111 120 136
摸出 黄球 的频率 0.35 0.32 0.33 0.34 0.36 0.35 0.35 0.33 0.34
(1)将表格中的数据补充完整。
(2)根据上表中的数据在下图中绘制折线统计图。
解:(1)86 0.3
(2)绘制折线统计图如图所示。
(3)观察该图表可以发现,随着试验次数的增加,摸出黄色小球的频率有何特点
解:(3)从折线统计图可以看出,随着试验次数的增加,摸出黄色小球的频率逐渐平稳。
D
B
3.“头盔是生命之盔”,质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查,抽查结果如表:
请估计该工厂生产10 000个头盔,合格的头盔数有 个。
9 600
4.某厂打算生产一种中学生使用的笔袋,但无法确定各种颜色的产量,于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5 000名中学生,并在调查到
1 000名,2 000名,3 000名,4 000名,5 000名时分别计算了各种颜色的频率,绘制折线图如图所示:
(1)随着调查次数的增加,红色的频率如何变化
(2)你能估计调查到10 000名同学时,红色的频率是多少吗
(3)若你是该厂的负责人,你将如何安排生产各种颜色的产量
解:(1)随着调查次数的增加,红色的频率基本稳定在0.4左右。
(2)估计调查到10 000名同学时,红色的频率仍是0.4。
(3)红、黄、蓝、绿及其他颜色的生产比例大约为4∶2∶1∶2∶1。
【新知探究】
1.我们把刻画事件A发生的可能性大小的 ,称为事件A发生的概率,记作 P(A)。
2.一般地,在大量重复的试验中,我们可以用事件A发生的频率来估计事件A发生的概率;必然事件发生的概率是 ,不可能事件发生的概率是 ,随机事件A发生的概率P(A)是 之间的一个常数。
数值
用频率估计概率
1
0
0与1
【例2-1】 某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下:
(1)上表中a= ,b= 。
(2)当n很大时,频率将会接近 。
(3)这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少 请简要说明理由。
(4)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%,则在相同条件下用10 000粒该种油菜籽估计可得到油菜秧苗多少棵
解:(1)0.70 0.70
(2)0.70
(3)这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70。理由如下:在相同条件下,当试验次数很大时,事件发生的频率可作为概率的近似值。
(4)10 000×0.70×90%=6 300(棵)。
所以10 000粒该种油菜籽估计可得到油菜秧苗6 300棵。
【例2-2】 某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率,对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图。
根据统计图提供的信息解决下列问题。
(1)这种树苗成活的频率稳定在 ,
成活的概率估计值为 。
解:(1)0.9 0.9
(2)该地区已经移植这种树苗5万棵。
①估计这种树苗成活多少万棵
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗,那么还需移植这种树苗约多少万棵
解:(2)①估计这种树苗成活5×0.9=4.5(万棵)。
②18÷0.9-5=15(万棵)。
即该地区还需移植这种树苗约15万棵。
【新知巩固】
1.在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60个,这些球除颜色外其余完全相同。某数学学习小组从盒子里随机摸出一个球记下颜色,再把球放回盒子中,多次重复上述过程,得到下表中的一组统计数据:
C
根据上表,从这个盒子里随机摸出一个球,它是红球的概率大约是( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
2.青田林业局考查一种树苗移植的成活率,将调查数据绘制成如图所示的统计图,则可估计这种树苗移植成活的概率是( )
A.0.95 B.0.90 C.0.85 D.0.80
B
3.一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外其他均相同的小球,小明每次从袋子中摸出一个球,记下颜色,然后放回,重复这样的试验1 000次,记录结果如下:
(1)表格中a= ;b= (精确到0.01);
(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率为 (精确到0.1);
(3)如果袋子中有28个红球、2个白球、若干黄球,请你估计袋子中黄球的个数。
解:(1)0.71 0.70
(2)0.7
(3)设袋子中黄球有x个。根据题意,得 0.7(x+28+2)=28,解得x=10。
答:估计袋子中黄球有10个。
4.【综合实践】 如图所示,某学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地ABC,为求得它的面积,学习小组设计了如下的一个方案:
①在此封闭图形内画出一个半径为1 m的圆。
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点),记录如下:
石子落在不规 则图形内的次 数(含外沿) 100 200 500 1 000 …
石子落在圆 内(含圆上) 的次数m 32 63 153 305 …
石子落在圆 外的阴影部分 (含外沿)的次数n 68 137 347 695 …
石子落在圆 内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …
【数学发现】
(1)若以小石子所落的有效区域为总数(即m+n),则表格中的数据
x= ;
随着投掷次数增大,小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在
附近(结果精确到0.1);
解:(1)0.305 0.3
【结论应用】
(2)请你利用(1)中所得的频率值,估计整个封闭图形的面积是多少平方米 (结果保留π)
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3.3.3 几何概率
【新知探究】
在与面积有关的概率中,事件A的概率等于事件A所包含的图形的面积除以所有可能的结果组成图形的面积。
与面积有关的概率
A
【例1-2】 如图所示,从一个大正方形中截去面积为 4 cm2 和 9 cm2 的两个小正方形,若随机向大正方形内投一粒米,则米粒落在图中阴影部分的概率为 。
B
2.一只蚂蚁在如图所示的正方形内部随机爬行,则它停在阴影部分的概率为 。
3.如图所示是一圆形飞镖游戏板,大圆的半径OB是小圆半径OA的2倍,向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上),则击中阴影部分的概率是 。
4.如图所示是扫雷游戏的一部分(说明:图中数字2表示在以该数字为中心相邻的8个方格中有2个地雷)。小旗表示该方格已被探明有地雷,现在还剩下A,B,C三个方格未被探明,其他地方为安全
区(包括有数字的方格)。
(1)现在还剩下几个地雷
解:由B下面的数字2,可知未被探明的A,B,C必有2个地雷;
由C下面的数字2,以及C右边已探明一个地雷,可知B,C中必有1个地雷;
因此,A必有地雷,B或C中有一个地雷。
(1)现在还剩2个地雷。
(2)A,B,C三个方格中有地雷的概率分别是多大
转盘问题中的概率
【例2】 如图所示的是可以自由转动的三个转盘,请根据下列情形
回答问题:
(1)转动转盘1,当转盘停止转动时,指针落在红色区域的概率是
;
(2)转动转盘2,当转盘停止转动时,指针落在红色区域的概率是
;
解:(3)转盘各个区域颜色如图所示。
B
3.某商场为促销活动准备了一个如图所示的抽奖转盘,转盘质地均匀,盘面被等分成八个扇形区域,每个扇形区域里标的数字1,2,3分别代表获得一、二、三等奖。若转动转盘一次,转盘停止后(当指针恰好指在分界线上时,不记,重转),指针所指区域里标的数字为获奖结果,那么获得 等奖的概率最大。
三
4.某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘如图所示,并规定顾客每购买200元商品,就能获得一次转动转盘的机会,如果转盘停止后,指针对准红、黄、绿的区域,顾客就可以分别获得50元、20元、10元的奖金,对准无色区域则无奖金(转盘等分成16份)。
(1)小明购物180元,他获得奖金的概率是多少
(2)小德购物210元,他获得奖金的概率是多少
解:(1)因为180<200,
所以小明购物180元,不能获得转动转盘的机会。
所以小明获得奖金的概率为0。
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