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第四章 三角形-问题解决策略 特殊化
【新知探究】
如果一般的式子与字母的取值没准确的关系,我们就可以给字母附一个合适的数值来代替字母进行计算或比较,在选择题和填空题中,合理的运用特殊值法可以快速地解决题目。
【例1-1】 两数m,n在数轴上的对应点如图所示,则下列各式子正确的是( )
A.m>n B.-n>|m|
C.-m>|n| D.|m|<|n|
C
利用特殊值法解决代数问题
D
C
2.(2024德州期中)有理数a,b在数轴上的对应点如图所示,则下面式子中正确的是( )
①b<0
0;④a-b>a+b。
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
3.(2024遵义期末)三个有理数a,b,c在数轴上表示的位置如图所示,则化简|a+b|-|c-b|+a的结果是( )
A.2a+2b B.2a+2b-c
C.-c D.-2b-c
B
C
【新知探究】
1.面对一般性的问题时,可以先考虑特殊情形,借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题,这就是特殊化策略。
2.特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中。因此,从特殊情形出发,有助于我们发现解决问题的思路。
利用特殊化法解决几何图形问题
【例2】 (综合与探究)数学活动课上,同学们利用全等三角形的学习经验,对等腰三角形ABC和△ADE从特殊情形到一般情形进行了如下探究:
已知△ABC是等腰三角形,AB=AC。
(1)特殊情形:如图(1)所示,当DE∥BC时,试探究DB与EC之间的数量关系;
解:(1)因为AB=AC,
所以∠B=∠C。
又DE∥BC,所以∠ADE=∠B,∠AED=∠C。
所以∠ADE=∠AED。
所以AD=AE。
所以AB-AD=AC-AE,
即DB=EC。
(2)发现探究:若将图(1)中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α≤180°)到图(2)位置,则(1)中的结论还成立吗 若成立,请给予说明:若不成立,请说明理由。
解:(2)结论还成立。理由如下:
由(1)可知AD=AE,∠DAE=∠BAC,
所以∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,
即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中,因为AD=AE,∠BAD=∠CAE,AB=AC,
所以△ABD≌△ACE(SAS)。
所以DB=EC。
【新知巩固】
1.如图所示,将一副三角板叠放在一起,使直角顶点重合于O点,则∠AOC+∠DOB等于( )
A.180° B.90° C.270° D.150°
A
2.如图所示,等腰三角形ABC中,∠C=90°,D是斜边AB的中点,点D又是直角三角形DEF的直角顶点,DF>DE>AC,△DEF绕点D转动,DE,DF分别与AC,BC交于点M,N,若AC=2,则这两个三角形重叠部分的面积为 。
1
3.如图所示,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长都为2,无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积均为 (定值)。
1
4.为了解决一些较为复杂的数学问题,我们常常采用从特殊到一般的思想,先从特殊的情形入手,从中找到解决问题的方法。
已知:在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°。
(1)【特例探究】如图(1)所示,当∠B=90°时,猜想CD BC(选填“>”
“<”或“=”)。并说明理由。
解:(1)=
理由如下:
因为∠B+∠D=180°,∠B=90°,
所以∠D=90°。
因为AC平分∠BAD,所以∠CAD=∠CAB。
又AC=AC,所以△ACD≌△ACB。
所以CD=BC。
(2)【问题推广】如图(2)所示,当∠B<90°时,试探究CD与BC之间的关系。
解:(2)如图所示,过点C作CE⊥BA于点E,过点C作CF⊥AD交AD延长线于点F,
因为∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠FDC=180°,所以∠B=∠FDC。
由(1)同理可得△ACE≌△ACF。
所以CF=CE。
在△CFD和△CEB中,
因为∠CDF=∠B,∠DFC=∠BEC,CF=CE,所以△CDF≌△CBE(AAS)。
所以CD=BC。
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4.3.2 角边角(ASA)与角角边(AAS)
【新知探究】
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写为“ ”或
“ ”。
角边角
根据“ASA”说明三角形全等
ASA
【例1-1】 如图所示,已知点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,AB∥DE,
∠A=∠D,试说明△ACB≌△DFE。
解:因为AB∥DE,
所以∠B=∠E。
在△ACB和△DFE中,
因为∠B=∠E,AB=DE,∠A=∠D,
所以△ACB≌△DFE。
【例1-2】 (2024西安月考)如图所示,已知AE∥CF,AB=CD,∠ADF=
∠CBE。试说明△ABE≌△CDA。
解:因为AE∥CF,所以∠BAE=∠C。
因为∠ADF=∠CBE,
所以180°-∠ADF=180°-∠CBE,
即∠ADC=∠EBA。
在△ABE和△CDA中,因为∠BAE=∠C,AB=CD,∠ADC=∠EBA,
所以△ABE≌△CDA(ASA)。
【新知巩固】
1.如图所示,∠B=∠E,∠1=∠2,若根据“ASA”说明△ABC≌△DEF,那么需要补充的条件是( )
A.AC=DF B.AB=DE
C.BF=CF D.BF=CE
D
2.(2024沈阳月考)小轩用如图所示的方法测量小河的宽度AB(AB⊥BC)。他利用适当的工具,使BO=OC,CD⊥BC,点A,O,D在同一直线上,这样就能保证△ABO≌△DCO,从而测量CD的长度可得小河的宽度AB。在这个问题中,可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是( )
A.SSS B.AAS C.ASA D.SSA
C
3.(2024南京期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是CB延长线上的点,BD=BA,DE⊥AC于点E,交AB于点F,若DC=2.6,BF=1,则AF的长为
( )
A.0.6 B.0.8 C.1 D.1.6
A
4.如图所示,在△ABC和△EDC中,∠ABC=∠EDC=90°,B是EC的中点,BC=DC。
(1)说明:△ABC≌△EDC;
(2)若DC=2,求AC的长。
解:(1)在△ABC和△EDC中,
因为∠ABC=∠EDC=90°,BC=DC,
∠C=∠C,所以△ABC≌△EDC(ASA)。
(2)因为DC=2,所以BC=DC=2。
因为B是EC的中点,所以EC=2BC=4。
因为△ABC≌△EDC,
所以AC=EC=4。
【新知探究】
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写为
“ ”或“ ”。
角角边
根据“AAS”说明三角形全等
AAS
【例2-1】 如图所示,∠1=∠2,∠A=∠B,EC=ED,点D在边AC上,试说明AC=BD。
解:因为∠1=∠2,
所以∠1+∠AED=∠2+∠AED,
即∠AEC=∠BED。
在△AEC和△BED中,
因为∠A=∠B,∠AEC=∠BED,EC=ED,
所以△AEC≌△BED。
所以AC=BD。
【例2-2】 (2024长沙三模)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
AE⊥CE于点E,BD⊥CE于点D。
(1)试说明:△ACE≌△CBD;
解:(1)因为AE⊥CE,BD⊥CE,
所以∠AEC=∠BDC=90°。
因为∠ACB=90°,
所以∠CAE=90°-∠ACD=∠DCB。
又因为AC=BC,
所以△ACE≌△CBD。
(2)若AE=5,BD=2,求DE的长度。
解:(2)因为△ACE≌△CBD,
所以CD=AE=5,CE=BD=2。
所以DE=CD-CE=3。
【新知巩固】
1.如图所示,已知AB=CD,∠B=∠C,AC和BD相交于点O,则能直接运用“AAS”判定全等的三角形是( )
A.△AOD≌△AOB
B.△AOD≌△COD
C.△ADC≌△DAB
D.△AOB≌△DOC
D
2.如图所示,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=6,CF=4,则BD的长是( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
B
3.如图所示,点E在△ABC的边AC上,AE=BC,BC∥AD,∠D=∠BAC。试说
明:AB=DE。
解:因为BC∥AD,
所以∠C=∠DAE。
在△ABC和△DEA中,
因为∠BAC=∠D,∠C=∠DAE,BC=EA,
所以△ABC≌△DEA(AAS)。
所以AB=DE。
4.如图所示,AE∥DF,EC∥BF,AE=DF,其中点A,B,C,D在一条直线上。若AD=14,BC=6,求线段BD的长。
解:因为AE∥DF,EC∥BF,所以∠A=∠D,∠ACE=∠DBF。
在△ACE和△DBF中,
因为∠ACE=∠DBF,∠A=∠D,AE=DF,所以△ACE≌△DBF。
所以CA=BD。所以AB+BC=BC+DC。所以AB=DC。
因为AD=14,BC=6,所以AB+DC=2DC=AD-BC=14-6=8。
所以DC=4。所以BD=BC+DC=6+4=10,即线段BD的长为10。
【例3】 已知:∠α,∠β,线段c(如图所示)。
求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=2c(要求:用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)。
已知两角及夹边,用尺规作三角形
解:如图所示,△ABC即为所求作的三角形。
【新知巩固】
1.(2024石家庄期中)如图所示,已知∠α;∠β,线段m,求作△ABC。
作法:(1)作线段AB=m;
(2)在AB的同旁作∠A=∠α,∠B=∠β,∠A与∠B的另一边交于点C。则△ABC是所作三角形,这样作图的依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
C
2.已知:∠α,∠β和线段a,如图所示。
求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=2∠β,AB=a。要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,标明字母。
解:如图所示,△ABC即为所求作的三角形。
3.(2024永州期中)下面是作一个三角形与已知三角形全等的方法:已知:△ABC如图所示。
求作:△A′B′C′,使得△A′B′C′≌△ABC。
作法:①画A′B′=AB;
②在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A,∠EB′A′=∠B,A′D,B′E相交于点C′;
③△A′B′C′即为所求作的三角形。
请你根据以上材料完成下列问题:
(1)根据作法作出△A′B′C′;
解:(1)作图如下:
(2)完成下面推导过程(将正确答案填在相应的空上):
解:由作图可知,在△A′B′C′和△ABC中,∠C′A′B′=∠A,A′B′=
( ),( )=∠B,
所以△A′B′C′≌ 。
(3)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 。
解:(2)AB ∠EB′A′ △ABC
(3)ASA
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4.3.1 边边边(SSS)
【新知探究】
三边分别相等的两个三角形全等,简写为“ ”或“ ”。
【例1-1】 如图所示,有一个三角形钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架。试说明△ABD≌△ACD。
边边边
根据“SSS”说明三角形全等
SSS
解:因为D是BC的中点,所以BD=CD。
在△ABD和△ACD中,
因为AB=AC,BD=CD,AD=AD,
所以△ABD≌△ACD。
【例1-2】 如图所示,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=CF。说明:AB∥DF。
解:因为BE=CF,
所以BE+EC=CF+EC,即BC=FE。
在△ABC和△DFE中,
因为AB=DF,AC=DE,BC=FE,
所以△ABC≌△DFE(SSS)。
所以∠B=∠F。所以AB∥DF。
【新知巩固】
1.如图所示,AC=BD,AO=BO,CO=DO,∠D=30°,∠A=95°,则∠AOC的度数为( )
A.60° B.55°
C.50° D.45°
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD=DC,则下列结论错误的是( )
A.∠BAC=∠B B.∠BAD=∠CAD
C.AD⊥BC D.∠B=∠C
B
A
3.如图所示,PN=QN,若想用三角形判定条件“边边边”来说明△MNP≌
△MNQ,则需要添加的条件是 。
MP=MQ
4.如图所示,已知AD=CE,BD=BE,点B是AC的中点,∠ABD=60°。求∠DBE的度数。
解:因为点B是AC的中点,所以AB=CB。
在△ABD和△CBE中,
因为AD=CE,BD=BE,AB=CB,
所以△ABD≌△CBE(SSS)。
所以∠ABD=∠CBE=60°。
所以∠DBE=180°-∠ABD-∠CBE=180°-60°-60°=60°。
【例2】 已知线段a,b和m,求作△ABC,使 BC=2a,AB=b,BC边上的中线AD=m(尺规作图,保留作图痕迹)。
已知三角形的三边,用尺规作三角形
解:如图所示,△ABC即为所求作的三角形。
【新知巩固】
1.尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法。如图所示,为了得到∠MBN=∠PAQ,在用直尺和圆规作图的过程中,得到△ACD≌△BEF的依据是( )
A.SAS B.SSS
C.ASA D.AAS
B
2.如图所示,已知线段a,b,c,求作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,下面作法中:①分别以B,C为圆心,c,b的长为半径作弧,两弧交于点A;②作线段BC=a;③连接AB,AC,△ABC为所求作的三角形。正确的顺序应为
(填序号)。
②①
③
3.已知:线段a,b,如图所示。
求作:△ABC,使AB=a,BC=b,AC=2a(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)。
解:如图所示,△ABC即为所求作的三角形。
【新知探究】
三角形具有 。
三角形的稳定性
稳定性
【例3】 如图所示,有一个人用四根木条钉了一个四边形的模具,两根木条连接处钉一颗钉子,但他发现这个模具老是走形,为什么 如果想把这个模具固定,再给你一根木条,你怎么把它固定下来,画出示意图,并说出理由。
解:因为多边形ABCD是四边形,四边形具有不稳定性,所以这个模具老是走形。
如图所示,把木条放在BD(或AC)处,在B,D(或A,C)处固定。理由如下:
钉上木条后,四边形ABCD被分成2个三角形,三角形具有稳定性。
【新知巩固】
1.下列生活实物中,没有用到三角形的稳定性的是( )
B
2.(原创)2024年巴黎奥运会男子50 m步枪三姿比赛中,中国选手夺得金牌。运动员在跪姿射击时由左手、左肘、左肩构成了一个枪托三角形。这样做的数学依据是( )
A.三角形全等
B.三点确定一线
C.三角形具有稳定性
D.垂线段最短
C
3.如图所示,四边形木架ABDC,AB=BD,AC=DC。
(1)为使木架不易变形,你会如何操作 依据的数学原
理是什么
(2)若连接BC,试说明BC平分∠ABD。
解:(1)在B,C或A,D两端固定一个木条,依据:三角形具有稳定性。
(2)因为AB=DB,AC=DC,BC=BC,
所以△ABC≌△DBC(SSS)。
所以∠ABC=∠DBC。
所以BC平分∠ABD。
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4.1.2 三角形的三边关系
【新知探究】
1.三角形按边分为不等边三角形和 三角形。
2.有两边 的三角形是等腰三角形、三边 的三角形是等边三角形。
【例1-1】 下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②等腰三角形也可能是直角三角形;③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形。其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
等腰
三角形按边分类
相等
相等
C
【例1-2】 用一条长24 cm的细绳围成一个等腰三角形。
(1)若等腰三角形的底边长为4 cm,求腰长。
(2)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少
【新知巩固】
1.如图所示的是三角形按常见关系进行分类的图,则关于P,Q区域的说法正确的是( )
A.P是等边三角形,Q是等腰三角形
B.P是等腰三角形,Q是等边三角形
C.P是直角三角形,Q是锐角三角形
D.P是钝角三角形,Q是等腰三角形
B
2.已知等腰三角形的一腰长为6,底边长为4,则这个等腰三角形的周长为( )
A.13 B.14 C.15 D.16
3.用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形。
(1)如果底边长是腰长的一半,那么各边的长是多少
(2)如果有一边长是6 cm,那么另两边的长是多少
D
解:(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,
则2x+2x+x=20,解得x=4,所以2x=8。
故各边的长是8 cm,8 cm,4 cm。
(2)①当6 cm为底时,腰长为7 cm,另两边的长为7 cm,7 cm;
②当6 cm为腰时,底边为8 cm,另两边的长为6 cm,8 cm。
【新知探究】
三角形任意两边之和 第三边,任意两边之差 第三边。
【例2-1】 下列各组数中不可能是一个三角形的三边长的是( )
A.3,4,5 B.5,7,7
C.5,7,12 D.6,8,10
大于
三角形的三边关系
小于
C
【例2-2】 小亮想用长度均为奇数的三根木棒搭一个三角形,其中两根木棒的长度分别为9 cm和3 cm,则第三根木棒的长度为多少
解:设第三根木棒的长度为x cm。
根据三角形的三边关系,得9-3即6又因为第三根木棒的长度为奇数,
所以x=7或9或11。
所以第三根木棒的长度为7 cm或9 cm或11 cm。
【新知巩固】
1.(2023金华)在下列长度的四条线段中,能与长6 cm,8 cm的两条线段围成一个三角形的是( )
A.1 cm B.2 cm
C.13 cm D.14 cm
2.△ABC的三边分别是a,b,c,化简|a-b+c|+|a-c-b|-|b-c-a|的结果为
。
C
b+c-a
3.在△ABC中,a=4,b=2,若第三边c的长是偶数,则△ABC的周长是 。
4.某花店打算制作一批有两边长分别是7 dm,3 dm,第三边长为奇数
(单位:dm)的不同规格的三角形木框。满足上述条件的三角形木框共有 种。
10
3
5.判断下列各组线段是否能组成三角形。
(1)a=3.2,b=2.1,c=5;
(2)a=2,b=2,c=4;
(3)a=1,b=4,c=4。
解:(1)因为a+b=3.2+2.1=5.3>5=c,
所以a,b,c能组成三角形。
(2)因为a+b=2+2=4=c,
所以a,b,c不能组成三角形。
(3)因为1+4>4,4-1<4,
所以a,b,c能组成三角形。
6.已知a,b,c是△ABC的三边,且a=2,b=5。
(1)求第三边c的取值范围;
(2)若三角形的周长是奇数,求c的值;
解:(1)根据三角形的三边关系,得
5-2即3所以第三边c的取值范围是3(2)因为三角形的周长是奇数,a+b=7,
所以c=4或6。
(3)若第三边c为奇数,求c的取值,并判断此时△ABC的形状。
解:(3)因为第三边c为奇数,
所以c=5。
因为a=2,b=5,
所以△ABC为等腰三角形。
7.已知a,b,c是△ABC的三条边的长,且b,c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|a-4|=2的解,求出该三角形的周长,并判断△ABC的形状。
解:因为(b-2)2+|c-3|=0,
所以b-2=0,c-3=0,解得b=2,c=3。
因为a为方程|a-4|=2的解,
所以a-4=±2,解得a=6或2。
因为a,b,c为△ABC的三边的长,b+c<6,
所以a=6不符合题意,舍去。
所以a=2。所以△ABC的周长为2+2+3=7。
所以△ABC是等腰三角形。
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4.1.1 三角形的分类及内角和
第四章 三角形
【新知探究】
由不在同一直线上的三条线段 所组成的图形叫作三角形。用符号“△”表示。
如图所示的△ABC,边BC可以用 表示,边AC,边AB分别用 ,
表示。
首尾顺次相接
与三角形有关的概念
a
b
c
【例1】 如图所示,图中共有 个三角形,∠B的对边是 。
3
AD,AC
【新知巩固】
1.三角形是( )
A.由三条线段所组成的封闭图形
B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形
C
2.如图所示,在△ABC中,D,E分别是BC,AC上的点,连接BE,AD交于点F。
(1)图中共有多少个以AB为边的三角形 并把它们表示出来。
(2)除△ABF外,以点F为顶点的三角形还有哪些
解:(1)以AB为边的三角形有4个,
△ABF,△ABD,△ABE,△ABC。
(2)除△ABF外,以点F为顶点的三角形还有△BDF,△AEF。
【新知探究】
1.三角形三个内角和等于 。
2.三角形按角分类为锐角三角形、直角三角形和 。
如图所示,锐角三角形:三个内角都是 ;直角三角形:有一个内角是 ;钝角三角形:有一个内角是 。
180°
三角形的内角和及按角分类
钝角三角形
锐角
直角
钝角
40°
60°
【新知巩固】
1.在下列说法中:①三角形至少有两个锐角;②三角形最多有一个钝
角;③三角形至少有一个内角的度数不少于60°。其中正确的是( )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
2.在△ABC中,∠A=80°,∠B=4∠C,则∠C的度数为 。
D
20°
3.如图所示,在△ABC中,∠1=∠2=36°,∠3=∠4,求∠DAC的度数。
解:因为∠1=∠2=36°,
所以∠ADB=180°-36°-36°=108°。
所以∠3=∠4=180°-∠ADB=180°-108°=72°。
在△ACD中,∠DAC=180°-(∠3+∠4)=180°-2×72°=36°。
所以∠DAC的度数为36°。
【新知探究】
直角三角形两个锐角 。
【例3】 如图所示,在△ABC中,∠A=90°,点D在AC边上,DE∥BC,若∠ADE=150°,求∠B的度数。
直角三角形
互余
解:因为∠ADE=150°,
所以∠EDC=180°-∠ADE=180°-150°=30°。
因为DE∥BC,所以∠C=∠EDC=30°。
因为∠A=90°,所以∠B=90°-∠C=90°-30°=60°。
【新知巩固】
1.具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.∠A=∠B=3∠C
2.直角三角形的一个锐角的度数是30°,那么另一个锐角的度数是
( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
D
C
3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,EF∥AB,∠B=39°,则∠1的度数为
( )
A.39° B.51° C.38° D.52°
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=10°,则∠A的度数为 。
B
50°
5.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC。若∠ABC=
70°,∠DAC=50°。求∠AEB的度数。
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4.3.4 三角形全等的综合应用
【新知探究】
全等三角形的判定方法:“SSS”“ASA”“ ”“ ”。
【例1】 如图所示,在△ABC与△ADC中,已知AD=AB。
(1)在不添加任何辅助线的前提下,以下条件中,能使△ABC≌△ADC的条件有 (填序号),
①DC=BC;②∠D=∠B;③∠DAC=∠BAC;④∠DCA=∠BCA;
AAS
三角形全等条件的综合应用
SAS
解:(1)①③
(2)分别对(1)中添加条件的情况证明△ABC≌△ADC,并指出两个三角形全等的判定方法。
解:(2)当添加①DC=BC,
在△ABC和△ADC中,
因为AB=AD,AC=AC,BC=DC,
所以△ABC≌△ADC(SSS)。
当添加③∠DAC=∠BAC时,
在△ABC和△ADC中,
因为AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,
所以△ABC≌△ADC(SAS)。
【新知巩固】
1.(2024金沙期末)如图所示,已知AE=AC,∠C=∠E,下列条件中,无法判定△ABC≌△ADE的是( )
A.∠B=∠D B.BC=DE
C.∠1=∠2 D.AB=AD
D
2.(2024九江期末)如图所示,∠ABC=∠BAD,请你添加一个条件:
,使△ABC≌△BAD(只添一个即可)。
BC=AD
(答案不唯一)
3.如图所示,点E在AB上,∠ACB=∠ADB,∠CAB=∠DAB,那么△BCE和△BDE全等吗 请说明理由。
解:△BCE≌△BDE,理由如下:
在△ACB与△ADB中,
因为∠ACB=∠ADB,∠CAB=∠DAB,AB=AB,
所以△ACB≌△ADB(AAS)。
所以BC=BD,∠ABC=∠ABD。
在△BCE与△BDE中,因为BC=BD,∠ABC=∠ABD,BE=BE,
所以△BCE≌△BDE(SAS)。
【例2-1】 (2024泸县二模)如图(1)所示是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架如图(2)所示,已知AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,试说明:
∠C=∠D。
三角形全等判定与性质的综合应用
解:因为∠BAD=∠EAC,所以∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC。
所以∠BAC=∠EAD。
在△BAC和△EAD中,因为AB=AE,∠BAC=∠EAD,AC=AD,
所以△BAC≌△EAD(SAS)。所以∠C=∠D。
【例2-2】 如图所示,在△ABC中,点D是AC上一点,AD=AB,过点D作DE∥
AB,且DE=AC。
(1)试说明:△ABC≌△DAE;
解:(1)因为DE∥AB,
所以∠BAC=∠ADE。
在△ABC和△DAE中,因为AB=DA,∠BAC=∠ADE,AC=DE,
所以△ABC≌△DAE(SAS)。
(2)若点D是AC的中点,△ABC的面积是20,求△AEC的面积。
解:(2)因为△ABC≌△DAE,
所以S△ABC=S△DAE=20。
因为点D是AC的中点,
所以S△AEC=2S△DAE=2×20=40。
【新知巩固】
1.如图所示,A,B,C,D是四个村庄,其中B,D,C在一条直线上,BD=DC,且AD⊥BC,村庄A,B之间有一个小湖EF。为方便通行,现要在湖面上建一座桥,测得AE=1.2 km,BF=0.7 km,AC=4 km,则建造的桥长至少为( )
A.1.1 km B.2.1 km
C.4 km D.5 km
B
2.(2024咸阳三模)如图所示,在△ABC中,D为边BC的中点,AB=1,AD=2,延长AD至点E,使得DE=AD,则AC长度可以是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
A
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E。
(1)试说明:BE=CD;
解:(1)因为BE⊥CE,AD⊥CE,
所以∠E=∠ADC=90°。
所以∠EBC+∠BCE=90°。
因为∠BCE+∠ACD=90°,
所以∠EBC=∠DCA。
在△ACD和△CBE中,
因为∠ADC=∠E,∠DCA=∠EBC,AC=CB,
所以△ACD≌△CBE(AAS)。
所以BE=CD。
(2)若AD=12,BE=3,求DE的长。
解:(2)因为△ACD≌△CBE,
所以AD=CE=12,CD=BE=3。
所以DE=CE-CD=12-3=9。
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4.1.3 三角形的高线、中线和角平分线
【新知探究】
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的 叫作三角形的高线,简称三角形的高。
如图所示的△ABC中,AF⊥BC,则线段AF是△ABC的BC边上的高。
2.三角形的三条高所在的 相交于一点。
线段
三角形的高线
直线
【例1-1】 如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,EC⊥BC交AB于点E,
CF⊥AB,垂足为F,BG⊥AC,垂足为点G。
(1)分别写出△ABC各条边上的高;
(2)CF是哪几个三角形的高
解:(1)由题图知,在△ABC中,AB边上的高是CF,BC边上的高是AD,AC边上的高是BG。
(2)CF是△BCF,△BCE,△BCA,△FCE,△FCA,△ECA的高。
【例1-2】 如图所示,AD,CE是△ABC的两条高,AB=6 cm,BC=12 cm,CE=
9 cm。求:
(1)△ABC的面积;
(2)AD的长。
【新知巩固】
1.下面的说法正确的是( )
A.三角形的高都在三角形内
B.直角三角形的高只有一条
C.三角形的高至少有一条在三角形内
D.钝角三角形的三条高都在三角形外面
C
2.如图所示,在△ABC中,∠BAC是钝角,完成下列画图,并用适当的符号在图中表示。
(1)AC边上的高;
(2)BC边上的高。
解:画图如图所示。
(1)线段BE为AC边上的高。
(2)线段AD为BC边上的高。
3.如图所示,在△ABC中,∠B=40°,∠ACB=110°,AE是△ABC的角平分线,AD是BC边上的高,求∠DAE的度数。
【新知探究】
1.在三角形中,连接一个顶点与它对边 的线段,叫作这个三角形的中线。如图所示的△ABC中,线段AE是边BC的中线,则BE= 。
2.三角形的三条中线交于一点,这个点称为三角形的 。
中点
三角形的中线
CE
重心
【例2-1】 如图所示,在△ABC中,点E是△ABC的重心,连接AE并延长,交BC于点D。已知AB=6,AC=7,△ABD的周长为16,求△ACD的周长。
解:因为点E是△ABC的重心,且点E在AD上,
所以AD为BC边上的中线。
所以BD=CD。
因为△ABD的周长为16,AB=6,
所以AD+BD=10,即AD+CD=10,
所以AD+CD+AC=10+7=17,
即△ACD的周长为17。
【例2-2】 如图所示,AD是△ABC中线,DE是△ADB的中线,
(1)图中有几对面积相等的三角形 把它们写出来;
(2)如果S△ADB=12,求△ABC的面积。
解:(1)题图中有2对面积相等的三角形,它们为△ABD和△ACD,△EBD和△EAD。
(2)S△ABC=S△ABD+S△ACD=2S△ABD=2×12=24。
三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形。
【新知巩固】
1.如果三角形三条中线的交点在三角形的内部,那么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
2.如图所示,G是△ABC的重心,则下列结论正确的是( )
A.AD⊥BC
B.BD=CD
C.∠BAD=∠CAD
D.BD=CD且AD⊥BC
D
B
3.如图所示,点D,点E分别是△ABC的边BC和AC的中点,若△DEC的面积是2 cm2,则△ABC的面积为 cm2.
8
4.如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD是BC边上的中线,已知△ABD与△ACD的周长的差为6 cm,求AB-AC的值。
解:因为AD是△ABC的中线,
所以BD=CD。
所以△ABD和△ACD的周长差为(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC。
因为△ABD与△ACD的周长的差为6 cm,所以AB-AC=6 cm。
【新知探究】
1.在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,该角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的 。如图所示,线段AD是△ABC的一条角平分线,则∠1= 。
2.三角形的三条角平分线交于一点。
三角形的角平分线
角平分线
∠2
【例3】 如图所示,AD平分∠BAC,其中∠B=35°,∠ADC=82°,求∠BAC,
∠C的度数。
解:因为∠ADC=82°,
所以∠ADB=180°-82°=98°。
所以∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-35°-98°=47°。
因为AD平分∠BAC,
所以∠BAC=2∠BAD=2×47°=94°。
所以∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-35°-94°=51°。
【新知巩固】
1.如图所示,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,点E是AB上一点,且DE∥
CB。若∠A=60°,∠C=70°,则∠BDE的大小为( )
A.20° B.25°
C.30° D.35°
2.如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BD,CE交于点O。若∠A=
80°,则∠BOC的度数为 。
B
130°
3.如图所示,在△ABC中,若点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,且∠ABC=50°,∠ACB=60°,则∠OAB= 。
35°
4.如图所示,在△ABC中,∠A=60°,∠ABC=80°,BD是△ABC的高线,BE是△ABC的角平分线,求∠DBE的度数。
解:因为∠ABC=80°,BE平分∠ABC,
所以∠ABE=40°。
又因为∠A=60°,
所以∠AEB=180°-∠A-∠ABE=80°。
因为BD是△ABC的高线,
所以∠BDE=90°,
所以∠DBE=90°-∠AEB=10°。
5.如图所示,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD平分∠ABC交AC于点D,
DE∥AB,交BC于点E,求∠BDE的度数。
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4.2 全等三角形
【新知探究】
能够 的两个三角形叫作全等三角形。
【例1-1】 下列说法中不正确的是( )
A.能够重合的两个三角形是全等三角形
B.全等三角形的面积相等
C.全等三角形的周长相等
D.周长相等的两个三角形全等
完全重合
全等三角形
D
【例1-2】 两个全等三角形如图所示放置,完成下列填空:
(1)如图(1)所示,AD的对应边是 ,∠E的对应角是 ;
(2)如图(2)所示,ED的对应边是 ,∠DAE的对应角是 ;
(3)如图(3)所示,EF的对应边是 ,∠D的对应角是 ;
(4)如图(4)所示,AD的对应边是 ,∠ACD的对应角是 。
CB
∠BAC
CB
∠BAC
CA
∠B
CB
∠CAB
【新知巩固】
1.下列说法正确的是( )
A.全等三角形是指形状相同的三角形
B.全等三角形是指面积相等的两个三角形
C.全等三角形的周长和面积相等
D.所有等边三角形是全等三角形
C
2.如图所示,将△ABC沿AC对折,点B与点E重合,则全等的三角形有( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
3.如图所示,△ABC与△CDA全等,下列结论:①AB与AD是对应边;②AC与CA是对应边;③∠BAC与∠DAC是对应角;④∠CAB 与∠ACD是对应角。其中正确的是 (填序号)。
C
②④
【新知探究】
1.△ABC与△DEF全等,记作△ABC △DEF。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在 上。
2.全等三角形的对应边 ,对应角 。
3.全等三角形的对应边的高 ,对应中线 ,对应角平分线相等。
≌
全等三角形的性质
对应的位置
相等
相等
相等
相等
【例2-1】 (2024宜兴月考)如图所示,已知△ABC≌△DBE。
(1)若∠ABC=80°,∠DBC=30°,则 ∠CBE= °;
(2)若△ABC的面积为6,则△DBE的面积为 ;
解:(1)50
(2)6
(3)若△ABC的周长为20,AB=9,BC=4,求DE的长。
解:(3)因为△ABC的周长为20,AB=9,
BC=4,
所以AC=20-9-4=7。
因为△ABC≌△DBE,
所以DE=AC=7,
即DE的长为7.
【例2-2】 如图所示,已知AD⊥BC于点D,△ABD≌△CFD。
(1)若BC=10,AD=7,求BD的长;
解:(1)因为△ABD≌△CFD,
所以AD=CD=7。
因为BC=10,
所以BD=BC-CD=10-7=3。
所以BD的长为3。
(2)说明:CE⊥AB。
解:(2)因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°。
所以∠B+∠BAD=90°。
因为△ABD≌△CFD,
所以∠BAD=∠DCF。
所以∠B+∠DCF=90°。
所以∠CEB=180°-(∠B+∠DCF)=90°。
所以CE⊥AB。
【新知巩固】
1.如图所示,△DBC≌△ECB,且BE与CD相交于点A,下列结论错误的是
( )
A.BE=CD B.AB=AC
C.∠D=∠E D.BD=AE
2.如图所示,AB,CD相交于点O,△OCA≌△OBD,AO=6,BO=4,则CD的长是
( )
A.9 B.10
C.11 D.12
D
B
3.(2023成都)如图所示,已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F依次在同一条直线上。若BC=8,CE=5,则CF的长为 。
4.如图所示,已知△ABC≌△EDF,点F,A,D在同一条直线上,AD是∠BAC的平分线,∠EDA=20°,∠F=60°,则∠DAC的度数是 。
3
50°
5.(2024临汾期末)如图所示,△ABC的两条高AD,CE相交于点F,若△ABD
≌△CFD,DC=6,DF=2,则△ABC的面积为 。
24
6.如图所示,已知△ABC≌△DEF,∠A=32°,∠B=48°,BF=3,求∠DFE的度数和EC的长。
解:因为△ABC≌△DEF,∠A=32°,∠B=48°,
所以∠D=∠A=32°,∠E=∠B=48°。
在△DEF中,∠D+∠E+∠DFE=180°,
所以∠DFE=180°-∠D-∠E=180°-32°-48°=100°。
因为△ABC≌△DEF,所以BC=EF。
所以BF+FC=EC+FC。所以BF=EC。
因为BF=3,所以EC=3。
所以∠DFE的度数为100°,EC的长为3。
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4.4 利用三角形全等测距离
【例1】 如图所示,为了方便游客的观赏,需要在人工湖两侧A,B两点之间修建一条观光步道,但无法直接量出A,B两点之间的距离,现有足够长的米尺,请你利用所学数学知识,设计一种方案,大致测出A,B两点之间的距离,并说明理由。
根据“SAS”构造全等三角形
解:如图所示,在点A,B一侧的池塘边的平地上取一点P,连接AP并延长到点C,使 PC=PA,连接BP并延长到点D,使PD=PB,连接CD。
在△PAB和△PCD中,
因为PA=PC,∠APB=∠CPD,PB=PD,
所以△PAB≌△PCD(SAS)。
所以AB=CD。
故量取CD的长度,即为A,B两点之间的距离。
【新知巩固】
1.(2024连平期末)如图所示,亮亮想测量某湖A,B两点之间的距离,他选取了可以直接到达点A,B的一点C,连接CA,CB,并作BD∥AC,截取BD=
AC,连接CD,他说,根据三角形全等的判定定理,可得△ABC≌△DCB,所以AB=CD,他用到的三角形全等的判定定理是( )
A.SAS B.AAS
C.SSS D.ASA
A
2.数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务,善思小组想到了以下方案:如图所示,用螺丝钉将两根小棒AD,BC的中点O固定,只要测得C,D之间的距离,就可知道内径AB的长度,此方案依据的数学定理或基本事实是 。
SAS
3.学习了《三角形》后,王老师给同学们布置了一个任务:请设计一个方案,测量出如图所示的零件的厚度x(该零件厚度处处均匀),并说明方案的可行性。
解:找两根长度相等的木棒,在中点O处固定,按如图所示的方法放置,测量CD和EF的长,即可求出x。
全等三角形
【例2】 如图所示,A,B两建筑物位于河的两岸,需想办法测得它们之间的距离。请把你的设计画在图上并说明理由。
根据“ASA”或“AAS”构造
解:如图所示,从B点出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取BC=CD,过点D作DE∥AB,使E,C,A在同一直线上,则DE的长就是A,B之间的距离。理由如下:
因为DE∥AB,所以∠CAB=∠CED。
在△ABC和△EDC中,
因为∠CAB=∠CED,∠ACB=∠ECD,BC=DC,
所以△ABC≌△EDC(AAS)。
所以AB=ED。
所以DE的长就是A,B之间的距离。
(1)数学方法:构造全等三角形,把难以测量或无法测量的长度转化为容易测量的;
(2)解题步骤:①画图,构造全等三角形;②说明三角形全等;③得出结论。
【新知巩固】
1.要得知某一池塘两端A,B的距离,发现其无法直接测量,两同学提供了如下间接测量方案。
方案Ⅰ:如图(1)所示,先过点B作BF⊥AB,再在BF上取C,D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于点E,则测量DE的长即可。
方案Ⅱ:如图(2)所示,过点B作BD⊥AB,再由点D观测,用测角仪在AB的延长线上取一点C,使∠BDC=∠BDA,则测量BC的长即可。对于方案Ⅰ、Ⅱ,说法正确的是( )
A.只有方案Ⅰ可行
B.只有方案Ⅱ可行
C.方案Ⅰ和Ⅱ都可行
D.方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
C
2.如图所示,小明与小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm,当小红从水平位置CD下降30 cm时,小明离地面的高度是 cm。
80
3.小明利用一根长3 m的竿子来测量路灯的高度AB。他的方法如下:如图所示,在路灯前选一点P,使BP=3 m,并测得∠BPA=70°,然后把竖直的竿子CD(CD=3 m)在BP的延长线上左右移动,使∠CPD=20°,此时测得BD=11.2 m。请根据这些数据,计算出路灯的高度AB。
解:因为∠CPD=20°,∠BPA=70°,
∠CDP=90°,所以∠DCP=90°-∠CPD=90°-20°=70°。
所以∠DCP=∠BPA=70°。
在△CPD和△PAB中,因为∠CDP=∠PBA,CD=PB,∠DCP=∠BPA,
所以△CPD≌△PAB(ASA)。
所以DP=AB。
因为BD=11.2 m,BP=3 m,所以DP=BD-BP=8.2(m),即AB=8.2 m。
所以路灯的高度AB是8.2 m。
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4.3.3 边角边(SAS)
【新知探究】
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“ ”或
“ ”。
边角边
根据“SAS”说明两个三角形全等
SAS
【例1-1】 (2023泸州)如图所示,点B在线段AC上,BD∥CE,AB=EC,DB=
BC。说明:AD=EB。
解:因为BD∥CE,
所以∠ABD=∠C。
在△ABD和△ECB中,
因为AB=EC,∠ABD=∠C,DB=BC,
所以△ABD≌△ECB(SAS),
所以AD=EB。
【例1-2】 如图所示,点B在CD上,OB=OD,AB=CD,∠OBA=∠D。
(1)说明:△ABO≌△CDO;
解:(1)在△ABO和△CDO中,
因为OB=OD,∠OBA=∠D,AB=CD,
所以△ABO≌△CDO(SAS)。
(2)当AO∥CD,∠BOD=30°时,求∠A的度数。
解:(2)因为△ABO≌△CDO,
所以∠AOB=∠COD,∠A=∠C。
所以∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB。
所以∠AOC=∠BOD=30°。
因为OA∥CD,
所以∠C=∠AOC=30°。
所以∠A=30°。
【新知巩固】
1.如图所示,已知AB=AC,AD=AE,下列结论错误的是( )
A.∠B=∠C B.BD=CE
C.BE⊥CD D.△ABE≌△ACD
C
2.如图所示,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,AD<
AB,且点E在线段CD上,则下列结论中不一定成立的是( )
A.△ABD≌△ACE B.BD=CE
C.BD⊥CD D.DE=CE
3.如图所示,已知∠ACB=∠DBC,要用“SAS”判断△ABC≌△DCB,需添加的一个条件: 。
D
AC=DB
4.如图所示,C,A,D三点在同一直线上,AB∥CE,AB=CD,AC=CE。试说明△ABC≌△CDE。
解:因为AB∥CE,
所以∠BAC=∠DCE。
在△ABC和△CDE中,
因为AB=CD,∠BAC=∠DCE,AC=CE,
所以△ABC≌△CDE(SAS)。
5.(2024云南改编)如图所示,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,
AC=AD。△ABC与△AED全等吗 请说明理由。
解:△ABC≌△AED,理由如下:
因为∠BAE=∠CAD,
所以∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC,
即∠BAC=∠EAD。
在△ABC和△AED中,因为AB=AE,∠BAC=∠EAD,AC=AD,
所以△ABC≌△AED(SAS)。
【例2】 已知:线段a,∠α如图所示。
求作:△ABC,使AB=a,AC=2a,∠A=∠α。
已知三角形的两边及其夹角,用尺规作三角形
解:如图所示,△ABC为所求作的三角形。
【新知巩固】
1.如图所示,已知∠AOB,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,
OB于点C,D;再以点O为圆心,大于OC为半径画弧,分别交OA,OB于点E,F;连接CF,DE,则△EOD≌△FOC,其全等的依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
B
2.(2024佛山期末)如图所示,已知△ABC。请根据“SAS”作△BCD,使△DCB≌△ABC,其中点D在BC右侧,且DC=AB(要求:尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)。
解:图形如图所示。
3.如图所示,已知△ABC。
实践操作:
(1)在△ABC下方作△ABD,使△ABD≌△ABC,其中BD=BC,∠ABC=∠ABD。(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)。
解:(1)如图所示△ABD即为所求。
推理与探究:
(2)若点E是BC上一点,AE∥BD。探究:线段CE+AE与DB有怎样的数量关系,并说明理由。
解:(2)CE+AE=DB。理由如下:
因为AE∥BD,所以∠EAB=∠ABD。
因为∠CBA=∠ABD,
所以∠CBA=∠EAB。
所以EA=EB
因为CB=CE+EB,CB=DB,
所以CE+AE=DB。
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第四章 三角形-章末考点复习
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思维导图·发展创新意识
考点整合·提升核心素养
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考点一 三角形的基本知识
1.(2024陕西)如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是BC的中点,连接AE,则图中的直角三角形共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
2.(2023岳阳)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )
A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,8 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm D.4 cm,5 cm,6 cm
3.(2024凉山)如图所示,在△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则∠AEB的度数是 。
D
100°
4.如图所示,点G为△ABC的重心,具有性质AG∶GD=BG∶GE=CG∶GF=
2∶1.已知△AFG的面积为3,则△ABC的面积为 。
5.一个等腰三角形的边长分别是4 cm和 7 cm,则它的周长是
。
6.已知AD是△ABC的高,∠BAD=60°,∠CAD=20°,则∠BAC的度数为
。
18
15 cm
或18 cm
80°或40°
7.如图所示,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点P处,已知∠1+∠2=
100°,则∠A的度数为 。
8.(2023遂宁)若三角形三个内角的比为1∶2∶3,则这个三角形是
三角形。
50°
直角
考点二 全等三角形的性质与判定
9.(2024牡丹江改编)如图所示,在△ABC中,D是AB上一点,CF∥AB,D,E,
F三点共线,请利用三角形全等的知识,添加一个条件
,使得AE=CE(只添一种情况即可)。
AD=CF(答案不
唯一)
10.(2024成都)如图所示,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为 。
100°
11.(2024内江)如图所示,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,
BC=EF。
(1)试说明:△ABC≌△DEF;
解:(1)因为AD=BE,
所以AD+BD=BE+BD,
即AB=DE。
在△ABC和△DEF中,
因为AB=DE,AC=DF,BC=EF,
所以△ABC≌△DEF(SSS)。
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数。
解:(2)因为∠A=55°,∠E=45°,
由(1)可知:△ABC≌△DEF,
所以∠A=∠FDE=55°。
所以∠F=180°-(∠FDE+∠E)=
180°-(55°+45°)=80°。
12.(2024常州改编)如图所示,B,E,C,F是直线l上的四点,AC,DE相交于点G,AB=DF,AC=DE,BC=EF。
(1)试说明:∠BED=∠FCA。
解:(1)在△ABC和△DFE中,
因为AB=DF,AC=DE,BC=EF,
所以△ABC≌△DFE(SSS)。
所以∠ACB=∠DEF。
所以∠BED=∠FCA(等角的补角相等)。
(2)连接AD,若∠BAD=∠FDA,则AD与l有何位置关系 并说明理由。
13.(2023陕西)如图所示,在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°。过点A作AE⊥BC于点E,延长EA至点D,使AD=AC。在边AC上截取AF=AB,连接DF。试说明:DF=CB。
解:在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°,
所以∠CAB=180°-∠B-∠C=180°-50°-20°=110°。
因为AE⊥BC,所以∠AEC=90°。
所以∠CAE=90°-∠C=90°-20°=70°。
所以∠DAF=180°-∠CAE=180°-70°=110°。
所以∠DAF=∠CAB。
在△DAF和△CAB中,
因为AD=AC,∠DAF=∠CAB,AF=AB,所以△DAF≌△CAB(SAS)。
所以DF=CB。
考点三 用尺规作三角形
14.如图所示,已知∠α和线段a,用尺规作一个三角形,使其一个内角等于∠α,另一个内角等于2∠α,且这两内角的夹边等于a。
解:如图所示,△ABC即为所求作的三角形。
考点四 全等三角形的应用
15.(2023长春)如图所示,工人师傅设计了一种测量零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA′,BB′的中点,只要量出A′B′的长度,就可以知道该零件内径AB的长度。依据的数学基本事实是( )
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
D.两点之间线段最短
A
16.如图所示,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B间的距离,按照他的思路,还需要确定的量是 。
∠ACB=∠BCD
17.(2024达州期末)如图所示,小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她,若妈妈与爸爸到OA的水平距离BF,CG分别为1.8 m和2.2 m,∠BOC=90°。
(1)△CGO与△OFB全等吗 请说明理由。
解:(1)△OCG与△BOF全等。理由如下:
由题意可知∠CGO=∠BFO=90°,
OB=OC,
因为∠BOC=90°,所以∠COG+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°。
所以∠COG=∠OBF,
在△CGO与△OFB中,
因为∠CGO=∠OFB,∠COG=∠OBF,OC=OB,
所以△CGO≌△OFB(AAS)。
(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的
解:(2)因为△CGO≌△OFB,
所以CG=OF,OG=BF。
因为BF,CG分别为1.8 m和2.2 m,
所以OF=2.2 m,OG=1.8 m。
所以FG=OF-OG=CG-BF=2.2-1.8=0.4(m)。
因为妈妈在距地面1.2 m高的B处,即AF=1.2 m,
所以AG=1.6(m)。
答:爸爸是在距离地面1.6 m高的地方接住小丽的。
18.(2024郑州期末)某校七年级学生到野外活动,为测量一池塘两端A,B的距离,甲、乙、丙三位同学分别设计出如下三种方案。
甲:如图(1)所示,先在平地取一个可直接到达A,B的点C,再连接AC,BC,并分别延长AC至点D,BC至点E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的长即为A,B的距离。
乙:如图(2)所示,先过点B作AB的垂线BF,再在BF上取C,D两点,使 ,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于点E,则测出DE的长即为A,B的距离。
丙:如图(3)所示,过点B作BD⊥AB,再由点D观测,在AB的延长线上取一点C,使
,这时只要测出BC的长即为A,B的距离。
(1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案
中空缺的部分。
乙: ;丙: 。
解:(1)BC=CD ∠BDC=∠BDA
(2)请你选择其中一种方案,说明方案可行的理由。
解:(2)答案不唯一。
选甲:在△ABC和△DEC中,因为AC=DC,∠ACB=∠ECD,BC=EC,
所以△ABC≌△DEC(SAS)。所以AB=ED。
选乙:因为AB⊥BD,DE⊥BD,所以∠B=∠CDE=90°。
在△ABC和△EDC中,
因为∠ABC=∠EDC,CB=CD,∠ACB=∠ECD,
所以△ABC≌△EDC(ASA)。所以AB=ED。
选丙:在△ABD和△CBD中,
因为∠ABD=∠CBD,BD=BD,∠ADB=∠CDB,
所以△ABD≌△CBD(ASA)。所以AB=BC。
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