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第五章 图形的轴对称☆问题解决策略 转化
数学学习中,常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题。转化是解决数学问题的一种重要策略。通过转化,可以把一个问题转化为与它等价的问题,达到化繁为简,化难为易,化不熟悉为熟悉的目的。
【例1】 小刚今天准备去河里打一桶水送去王奶奶家,如图所示,小刚的家在A处,王奶奶的家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=
BD,若点A到河岸CD的中点的距离为1 000 m,则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是多少
转化思想解决最短距离问题
解:如图所示,作点A关于CD的对称点A′,连接A′B与CD相交于点M,连接AM。
则A′B的长即为小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离。
由题意,得CM=DM,AM=1 000 m。
由作图可知∠A′MC=∠BMD,∠A′CM=∠BDM=90°,AC=BD=A′C,
所以△A′CM≌△BDM(AAS)。
所以A′M=BM。
又由轴对称的性质知,AM=A′M,
所以A′M=BM=1 000(m)。
所以A′B=2 000(m)。
此类问题的关键是把在直线同侧的点利用对称转化到直线两侧,再根据两点之间线段最短的性质,解决问题。
【新知巩固】
1.如图所示,直线l是一条河,A,B是两个新农村定居点。欲在l上的某点处修建一个水泵站,直接向A,B两地供水。现有如下四种管道铺设方案,图中实线表示铺设的供水管道,则铺设管道最短的方案是( )
D
2.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=15,△ABC的面积为90,BD平分∠ABC,若E,F分别是BD,BC上的动点,则CE+EF的最小值为( )
A.12 B.15 C.18 D.9
A
3.如图所示,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E,F。若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
C
4.如图所示,已知牧马营地在M处,每天牧马人要赶马群先到河边饮水,再到草地上吃草,最后回到营地,请你为牧马人设计出最短的牧马路线(保留画图痕迹,不写画法步骤)。
解:如图所示,最短路线为M→C→D→M。
转化在求面积方面的应用
求阴影部分的面积的问题,常常通过和、差、割、补、平移、旋转,把面积相等的图形补到另一个图形上,使不规则的图形变成规则的图形,以此来达到简算的目的。
C
2.(2024平泉模拟)求图中阴影部分的面积(π≈3.14)。
解:3.14×42÷2=50.24÷2=25.12(dm2)。
答:图中阴影部分的面积约是25.12 dm2。
【例3】 假设排列着100个乒乓球,由两个人轮流拿球装入口袋,能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。条件是:每次拿球者至少要拿1个,但最多不能超过5个,问:如果你是最先拿球的人,你该拿几个 以后怎么拿就能保证你能拿到第100个乒乓球
转化在智力游戏中的应用
解:先拿4个,然后对方如果拿1到5个,那么我就拿5到1个,即拿的球数要与对方拿的球数之和为6.于是无论如何剩下的球数为6n,n逐次少1,最后剩6个的时候恰好是我拿到第100个乒乓球。
【新知巩固】
两人轮番在下面的方格中画对号,最少画一个,最多画三个,谁画到最后一个格谁获胜,你认为获胜的策略是什么
解:给对方始终剩下4的倍数个小方格。
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5.2.1 等腰三角形及其性质
【新知探究】
1.等腰三角形是 图形。
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 (也称“三线合一”)。
3.等腰三角形的两个底角 。
轴对称
等腰三角形的性质
重合
相等
【例1-1】 如图所示,在△ABC中,AB=AC。
(1)若AD⊥BC于点D,BD=3,则CD的长为 ;
(2)若点D是BC的中点,则∠ADB的度数为 ;
(3)若AD平分∠BAC,则S△ABD S△ACD。
3
90°
=
【例1-2】 如图所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=72°,点D是BC的中点。
(1)求∠C的度数;
(2)求∠CAD的度数;
(3)E是AC上一点,连接DE,若EA=ED,试说明:ED∥AB。
解:(3)因为AB=AC,点D是BC的中点,
所以AD⊥BC。
所以∠ADC=90°。
因为AE=DE,
所以∠ADE=∠DAE=36°。
所以∠EDC=90°-36°=54°。
因为∠B=54°,所以∠B=∠CDE。
所以DE∥AB。
【新知巩固】
1.等腰三角形的一个内角是70°,则它的一个底角的度数是( )
A.110° B.70°
C.55° D.55°或70°
2.(2023新疆)如图所示,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C的度数为 。
D
52°
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且AE=AF,试说明:DE=DF。
解:如图所示,连接AD。
因为AB=AC,D是BC的中点,
所以∠EAD=∠FAD。
在△AED和△AFD中,
因为AE=AF,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
所以△AED≌△AFD(SAS)。
所以DE=DF。
4.(2024永寿期末)如图所示,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,
AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE。若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数。
【新知探究】
等边三角形是轴对称图形,有 条对称轴,三个内角都是 。
三
等边三角形的性质
60°
【例2-1】 如图所示,若△ABC是等边三角形,AB=6,BD是∠ABC的平分线,延长BC到点E,使CE=CD,求BE的长。
【例2-2】 如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为边作等边三角形ABD
(点C,D在边AB的同侧),连接CD。若∠BAC=30°,求∠BDC的度数。
解:因为△ABD是等边三角形,所以∠BAD=∠ADB=60°,AB=AD。
因为∠BAC=30°,所以∠DAC=60°-30°=30°。
在△CBA和△CDA中,
因为AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,所以△CBA≌△CDA(SAS)。
所以∠ADC=∠ABC=90°。
所以∠BDC=∠ADC-∠ADB=90°-60°=30°。
【新知巩固】
1.在△ABC中,AB=AC=BC,则∠A的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
2.如图所示,l1∥l2,等边三角形ABC的顶点B,C分别在l1,l2上,当∠1=
20°时,∠2的大小为( )
A.35° B.40° C.45° D.50°
C
B
3.如图所示,点D为等边三角形ABC内部一点,且∠ABD=∠BCD,则∠BDC的度数为 。
4.如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E是AD延长线上一
点,若AE=AC,则∠AEC的度数为 。
120°
75°
5.如图所示,已知AB∥CD,△ACE是等边三角形,∠DCE=40°,求∠EAB的度数。
解:因为△ACE是等边三角形,
所以∠ACE=∠CAE=60°。
因为CD∥AB,所以∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB=180°。
因为∠DCE=40°,
所以∠EAB=20°。
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5.1 轴对称及其性质
第五章 图形的轴对称
【新知探究】
1.如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相
,那么这个图形叫作轴对称图形,这条直线叫作 。
2.如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全 ,那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫作这两个图形的 。
重合
轴对称图形及两个图形成轴对称
对称轴
重合
对称轴
【例1-1】 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式,下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是( )
A
【例1-2】 下列图形是轴对称图形吗 如果是,画出它们的对称轴。
解:根据轴对称图形的意义,知四个图形都是轴对称图形。画出它们的对称轴如图所示。
【新知巩固】
1.下列四个图形中,是轴对称图形,且有2条对称轴的图形有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列各选项中,两个三角形成轴对称的是( )
C
A
3.下列说法:①轴对称图形只有一条对称轴;②轴对称图形的对称轴
是一条线段;③两个图形成轴对称,这两个图形是全等图形;④轴对称
图形是指一个图形,而轴对称是对两个图形而言。其中正确的是
(填序号)。
③④
4.如图所示,各组图形中成轴对称的是哪些
解:②,④中的两个图形成轴对称。
5.下列图形是轴对称图形吗 如果是,请画出它们的对称轴。
解:①③④⑤是轴对称图形,②不是轴对称图形。画出它们的对称轴,如图所示。
【新知探究】
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴
,对应线段相等,对应角 。
【例2-1】 折纸不仅是一门古老而有趣的艺术,还涉及了很多数学问题。如图所示,小明在课余时间把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,∠1=
65°,则∠2= 。
垂直平分
轴对称的性质
相等
50°
【例2-2】 如图所示,△ABC和△DFE关于直线MN对称。点A,B,C的对称点分别是D,F,E。
(1)若AB=6,则DF的长为 ;
(2)若∠A=70°,∠ABC=70°,则∠E的度数为 ;
(3)若△ABC的面积是50,则△DEF的面积是 ;
(4)连接BF,则MN 线段BF。
6
40°
50
垂直平分
【新知巩固】
1.如图所示,已知△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称,∠B=30°,∠BAD=
46°,则∠BCD的度数为( )
A.120° B.116° C.106° D.96°
C
2.如图所示,若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称,BB′交MN于点O,则下列说法不一定正确的是( )
A.AC=A′C′ B.AB∥B′C′
C.AA′⊥MN D.BO=B′O
B
3.如图所示,△ABC和△DEF关于直线l对称,已知∠A=115°,∠E=42°,
DF=5.求∠F的度数和AC的长。
解:因为△ABC和△DEF关于直线l对称,∠A=115°,∠E=42°,DF=5,
所以∠D=115°,AC=5。
在△DEF中,∠D=115°,∠E=42°,
所以∠F=23°。
4.如图(1)所示,将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图(2),点A,B的对应点分别为点A′,B′,折叠后A′M与CN相交于点E。
(1)若∠B′NC=48°,求∠A′MD的度数。
解:(1)因为NB′∥A′M,
所以∠A′EC=∠B′NC=48°。
因为CN∥MD,
所以∠A′MD=∠A′EC=48°。
(2)设∠B′NC=α,∠A′MN=β。
①请用含α的代数式表示β。
②当MA′恰好平分∠DMN时,求∠A′MD的度数。
②因为MA′恰好平分∠DMN,
所以∠A′MD=180°÷3=60°。
【例3-1】 现有如图所示的两种瓷砖,请从两种瓷砖中各选2块,拼成一个新的正方形地板图案,使拼铺的图案为轴对称图形[如图(1)所示]。要求:在图(2),图(3)中各设计一种与示例不同的拼法的轴对称图形。
轴对称作图
解:如图①,图②所示(答案不唯一)。
【例3-2】 如图所示,在正方形网格中有一个△ABC,请画出△ABC关于直线MN的对称图形△DEF(不写画法)。
解:如图所示,△DEF即为所求。
【新知巩固】
1.如图所示,正方形再任意涂黑一个,则所得黑色图案是轴对称图形的情况有 种。
4
2.画出下列图形关于直线l的轴对称图形。
解:如图所示。
3.(2024开江期末)如图所示,网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度,点A,B,C在小正方形的格点上。
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′;
解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求。
(2)△ABC的面积为 ;
(3)以AB为边作与△ABC全等的三角形(顶点在格点上,不包括△ABC),可作出 个。
解:(2)5
(3)如图所示,以AB为边作与△ABC全等的三角形(顶点在格点上,不包括△ABC),可作出3个,故答案为3。
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5.2.2 线段的垂直平分线
【新知探究】
1.垂直并 一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。简称中垂线。
2.线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的 是它的一条对称轴。
3.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 。
平分
线段的垂直平分线的性质
直线
相等
【例1-1】 如图所示,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,分别交AC,AB于点D,E,若△BCE的周长为8,BC=3,求AB的长。
解:因为△BCE的周长为8,
所以CE+BE+BC=8。
因为BC=3,所以CE+BE=5。
因为DE是AC的垂直平分线,所以CE=AE。
所以AB=AE+BE=CE+BE=5。
【例1-2】 如图所示,在△ABC中,∠BAC=100°,DG,EF分别垂直平分AB,AC,垂足分别为G,F,求∠DAE的度数。
解:因为∠BAC=100°,∠BAC+∠B+∠C=180°,
所以∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-100°=80°。
因为DG,EF分别垂直平分AB,AC,所以AD=BD,AE=EC。
所以∠B=∠DAB,∠C=∠EAC。
所以∠DAB+∠EAC=∠B+∠C=80°。
所以∠DAE=∠BAC-(∠DAB+∠EAC)=100°-80°=20°。
【新知巩固】
1.如图所示,在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点E,D。若△BCD的周长为8,则BC的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
2.如图所示,线段AC,AB的垂直平分线交于点O,连接OA,OB,OC,已知OC=
2 cm,则OB等于 。
3.如图所示,在△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF。若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF= 。
2 cm
48°
4.如图所示,在△ABC中,直线EF是AC的垂直平分线,AD⊥BC于点D,D是BE的
中点。
(1)试说明:AB=CE;
解:(1)因为AD⊥BC,且D是线段BE的中点,
所以∠ADB=∠ADE=90°,BD=ED。
在△ADB和△ADE中,
因为BD=ED,∠ADB=∠ADE,AD=AD,
所以△ADB≌△ADE(SAS)。
所以AB=AE。
因为EF垂直平分AC,所以AE=CE。
所以AB=CE。
(2)若∠C=32°,求∠BAC的度数。
解:(2)因为AE=CE,∠C=32°,
所以∠CAE=∠C=32°。
所以∠AEC=180°-∠CAE-∠C=180°-32°-32°=116°。
所以∠AEB=180°-∠AEC=64°。
因为AB=AE,
所以∠B=∠AEB=64°。
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-64°-32°=84°。
【例2-1】 如图所示,在△ABC中,求作点E,使得点E是AB上一点,EA=EC
(不写作法,保留作图痕迹)。
线段的垂直平分线的作法及应用
解:如图所示,点E即为所求。
【例2-2】 如图所示,在直线l上求作一点P,使得点P到A,B两点的距离相等。
解:点P如图所示。
【新知巩固】
1.如图所示的是作线段AB的垂直平分线的作图痕迹,则下列结论不一定成立的是( )
A.AC=BC B.AE=EB
C.∠B=45° D.AB⊥CD
C
2.某公园有三角形草坪ABC,如图所示,现准备在该三角形草坪内种一棵树,使得该树到△ABC三个顶点的距离相等,则该树应种在△ABC的
( )
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三个角的角平分线的交点
C.三条高的交点
D.三条中线的交点
A
56°
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC=16 cm。
(1)作线段AB的垂直平分线DE,交AB于点E,交AC于点D
(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,连接BD,若BC=10 cm,则△BCD的周长为 。
解:(1)如图所示,DE即为所求。
(2)26 cm
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5.2.3 角平分线
【新知探究】
1.角是轴对称图形, 所在的直线是它的对称轴。
2.角平分线上的点到这个角的两边的距离 。
角平分线
角平分线的性质
相等
【例1-1】 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,若DE=5 cm,∠CAD=32°,求CD的长及∠B的度数。
解:因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,∠CAD=32°,
所以CD=DE=5 cm,∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°。
所以∠B=90°-∠BAC=90°-64°=26°。
【例1-2】 如图所示,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,若AB=20,AC=16,DE=8,求△ABC的面积。
【新知巩固】
1.如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB=8,AC=6,若S△ACD=12,则△ABC的面积为( )
A.24 B.28 C.32 D.48
B
C
3.如图所示,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PD=6 cm,点E是射线OB上的动点,则PE的最小值为 。
6 cm
4.如图所示,已知BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N,试说明:PM=PN。
解:因为BD是∠ABC的平分线,
所以∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中,因为AB=BC,∠ABD=∠CBD,BD=BD,
所以△ABD≌△CBD(SAS)。
所以∠ADB=∠CDB。
因为点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
所以PM=PN。
【例2-1】 如图所示,求作一点P,使它到公路AB,AC的距离相等,并且到村庄D和村庄E的距离相等(保留作图痕迹,不写作法)。
角平分线的作法及应用
解:如图所示,点P就是所求作的点。
【例2-2】 如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,请用尺规作图法在AB边上求作一点D,使得点D到AC边的距离等于BD的长(不写作法,保留作图痕迹)。
解:如图所示,点D即为所求。
C
14
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是斜边AB上一点,且AC=AD。
(1)作∠BAC的平分线,交BC于点E(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,连接DE,说明:DE⊥AB。
解:(1)如图所示,AE为所作。
(2)如图所示,连接DE,
因为AE平分∠BAC,所以∠CAE=∠DAE。
在△ACE和△ADE中,
因为AC=AD,∠CAE=∠DAE,AE=AE,
所以△ACE≌△ADE(SAS)。
所以∠ADE=∠C=90°。
所以DE⊥AB。
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第五章 图形的轴对称-章末考点复习
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思维导图·发展创新意识
考点整合·提升核心素养
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考点一 轴对称及轴对称图形
1.(2024武汉)现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性。下列汉字是轴对称图形的是( )
C
2.(2024滨州)数学中有许多精美的曲线,以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”。其中不是轴对称图形的是( )
3.(2024河北)如图所示,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称,点A,B的对称点分别是点C,D。下列不一定正确的是( )
A.AD⊥BC B.AC⊥PQ
C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD
B
A
4.(2024甘肃)围棋起源于中国,古代称为“弈”。如图所示是两位同学的部分对弈图,轮到白方落子,观察棋盘,白方如果落子于点
的位置,则所得的对弈图是轴对称图形(填写A,B,C,D中的一处即可,A,
B,C,D位于棋盘的格点上)。
A或C
考点二 等腰三角形的性质
5.(2024兰州)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB等于( )
A.100° B.115° C.130° D.145°
B
6.(2024泰安)如图所示,直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若∠ABE=21°,则∠ACD的度数是( )
A.45° B.39° C.29° D.21°
7.(2024湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为 °。
B
100
8.(2024内江)如图所示,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为 。
100°
9.(2024广东模拟)如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AB上,BE=BD,∠BAC=80°。
(1)求∠BDE的度数;
(2)求∠ADE的度数。
(2)因为AB=AC,点D是BC的中点,所以AD⊥BC。
所以∠ADB=90°。
所以∠ADE=∠ADB-∠BDE=25°。
考点三 线段的垂直平分线的性质
10.(2024凉山)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC等于( )
A.25 cm B.45 cm
C.50 cm D.55 cm
C
11.(2024九江期末)如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,连接AE,且AE平分∠BAC,若∠C=60°,则∠B的度数
为 。
40°
12.如图所示,在△ABC中,∠B=40°,∠C=30°。边AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D和点F,连接AD,作∠CAD的平分线交BC于点E,求∠DAE的度数。
13.如图所示,已知甲村和乙村靠近公路a,b,为了发展经济,甲、乙两村准备合建一个工厂,经协商,工厂必须满足以下要求:①到两村的距离相等;②到两条公路的距离相等。你能帮忙确定工厂的位置吗
解:如图所示,点H或H′即为工厂的位置。
C
36
a-10
17.如图所示,在△ABC中,∠B=50°,∠C=70°,AD是△ABC的角平分线,
DE⊥AB于点E。
(1)求∠EDA的度数;
(2)若AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC。
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