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第一章 整式的乘除-章末考点复习
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考点整合·提升核心素养
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考点一 幂的运算
1.(2024眉山)下列运算中正确的是( )
A.a2-a=a B.a·a2=a3
C.(a2)3=a5 D.(2ab2)3=6a3b6
2.(2024烟台)下列计算结果为a6的是( )
A.a2·a3 B.a12÷a2
C.a3+a3 D.(a2)3
B
D
3.(2024大庆)人体内一种细胞的直径约为 1.56微米,相当于
0.000 001 56 m,数字 0.000 001 56 用科学记数法表示为( )
A.1.56×10-5 B.0.156×10-5
C.1.56×10-6 D.15.6×10-7
C
3
5.计算:
(1)(-x2)·x4+(-x2)3;
(2)(a-b)2·(b-a)3·(a-b);
解:(1)(-x2)·x4+(-x2)3
=-x6+(-x6)
=-x6-x6
=-2x6。
(2)(a-b)2·(b-a)3·(a-b)
=(a-b)2·[-(a-b)]3·(a-b)
=-(a-b)6。
6.已知3a=4,3b=10,3c=16。
(1)求3a+b的值;
(2)求32a-c的值。
解:(1)3a+b=3a·3b=4×10=40。
(2)32a-c=(3a)2÷3c=42÷16=1。
B
D
9.式子(4×106)×(-8×108)的计算结果用科学记数法表示为( )
A.32×1014 B.3.2×1015
C.-3.2×1015 D.-32×1014
10.(2024甘肃模拟)若(x+3)(2x-5)=2x2+mx+n,则nm的值为 。
11.计算:
(1)(-2xy2)2·3x2y;
C
-15
解:(1)(-2xy2)2·3x2y
=4x2y4·3x2y
=12x4y5。
(2)(-2a2)(3ab2-5ab3);
(3)(x+7)(x-6)-(x-2)(x+1)。
解:(2)(-2a2)(3ab2-5ab3)
=-2a2·3ab2-2a2·(-5ab3)
=-6a3b2+10a3b3。
(3)(x+7)(x-6)-(x-2)(x+1)
=x2-6x+7x-42-x2-x+2x+2
=2x-40。
考点三 乘法公式
12.(2024巴中)下列运算正确的是( )
A.3a+b=3ab
B.a3·a2=a5
C.a8÷a2=a4(a≠0)
D.(a-b)2=a2-b2
B
13.(2024泰安)下列运算正确的是( )
A.2x2y-3xy2=-x2y
B.4x8y2÷2x2y2=2x4
C.(x-y)(-x-y)=x2-y2
D.(x2y3)2=x4y6
14.(2024上海)计算:(a+b)(b-a)= 。
15.(2024乐山)已知a-b=3,ab=10,则a2+b2= 。
D
b2-a2
29
16.利用乘法公式计算下列各题:
(1)-2 0012;
(2)799×801+1。
解:(1)-2 0012=-(2 000+1)2
=-(2 0002+2×2 000×1+12)
=-(4 000 000+4 000+1)
=-4 004 001。
(2)799×801+1
=(800-1)×(800+1)+1
=8002-1+1
=640 000。
17.(2024江西月考)数学活动课上,刘老师准备了若干个如图(1)所示的三种纸片,A种纸片是边长为a的正方形,B种纸片是边长为b的正方
形,C种纸片是长为b,宽为a的长方形,并用A种纸片一张,B种纸片一张,
C种纸片两张拼成如图(2)所示的大正方形。
(1)根据图(1)、图(2),直接写出三个代数式(a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关系;
解:(1)(a+b)2=a2+b2+2ab。
(2)根据题(1)中的等量关系,解决如下问题:
①已知a+b=6,a2+b2=14,求ab的值;
②已知(x-2 022)2+(x-2 024)2=10,求(x-2 023)2的值。
解:(2)①因为a+b=6,所以(a+b)2=62,即a2+b2+2ab=36。
又因为a2+b2=14,所以ab=11。
②设x-2 023=a,
则x-2 024=a-1,x-2 022=a+1。
因为(x-2 022)2+(x-2 024)2=10,所以(a+1)2+(a-1)2=10,
即a2+2a+1+a2-2a+1=10。
解得a2=4,即(x-2 023)2=4。
考点四 整式的混合运算
18.计算:
(1)(3x6y)·(-4xy2)2÷(0.5x2y);
解:(1)(3x6y)·(-4xy2)2÷(0.5x2y)
=3x6y·16x2y4÷0.5x2y
=96x6y4。
(2)(2024南充)(x+2)2-(x3+3x)÷x,其中x=-2;
解:(2)(x+2)2-(x3+3x)÷x
=(x2+4x+4)-(x2+3)
=x2+4x+4-x2-3
=4x+1。
当x=-2时,原式=4×(-2)+1=-7。
(3)(3a3b+ab)÷(-ab)-(-a-2b)(-a+2b)-(-2a)2,其中a=2,b=-1;
解:(3)(3a3b+ab)÷(-ab)-(-a-2b)(-a+2b)-(-2a)2
=-3a2-1-(a2-4b2)-4a2
=-3a2-1-a2+4b2-4a2
=-8a2+4b2-1。
当a=2,b=-1时,
原式=-8×22+4×(-1)2-1
=-8×4+4×1-1
=-32+4-1
=-29。
(4)[(ab+2)(ab-2)-2a2b2+4]÷2ab,其中a=1,b=-2。
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4 整式的除法
【新知探究】
单项式相除,把系数、 分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
【例1-1】 根据单项式除法的法则计算:
(1)2x5y3÷x3y;
同底数幂
单项式除以单项式的法则
解:(1)2x5y3÷x3y
=(2÷1)x5-3y3-1
=2x2y2。
(3)20a4b6c2÷(-4a3b4)
=[20÷(-4)]a4-3b6-4c2
=-5ab2c2。
【例1-2】 计算:
(1)3a3b·(-2ab)÷6a2b;
(2)3x6y3÷14x4y3·(-7xy2)。
解:(1)3a3b·(-2ab)÷6a2b
=-6a4b2÷6a2b
=-a2b。
单项式除以单项式的注意事项
(1)要分清被除式与除式的系数;
(2)找出两式含有的相同字母;
(3)观察是否有只在被除式中存在的字母。
【新知巩固】
1.计算:(-6a6)÷(-3a2)的结果为( )
A.-2a4 B.2a4
C.2a3 D.-2a3
B
C
3.计算:
(1)12a2b÷(-3a);
(2)(5x2y3)2÷25x4y5;
(3)(-3x2y)2·6xy3÷9x3y4;
解:(1)12a2b÷(-3a)=-4ab。
(2)(5x2y3)2÷25x4y5=25x4y6÷25x4y5=y。
(3)(-3x2y)2·6xy3÷9x3y4
=9x4y2·6xy3÷9x3y4
=54x5y5÷9x3y4
=6x2y。
4.某中学新建了一栋科技楼,为了给该楼一间科技陈列室的顶棚装修,计划用宽为x m、长为30x m的塑料扣板,已知这间科技陈列室的长为5ax m、宽为3ax m,如果你是该校的采购人员,应该至少购买多少块这样的塑料扣板 当a=4时,求出具体的扣板数。
【新知探究】
多项式除以单项式,先把这个多项式的 分别除以单项式,再把所得的商 。
【例2-1】 计算:
(1)(24x3+12x2-4x)÷6x;
每一项
多项式除以单项式的法则
相加
(2)(15x4y2-12x2y3-3x2)÷(-3x2)。
解:(2)(15x4y2-12x2y3-3x2)÷(-3x2)
=15x4y2÷(-3x2)-12x2y3÷(-3x2)-3x2÷(-3x2)
=-5x2y2+4y3+1。
【例2-2】 某小区为了便民购物,计划在小区外一块长方形空地上
建一座大型超市,已知长方形空地的面积为(6xy+2x2y2+y3) m2,宽为
2y m,求这块长方形空地的长。
多项式除以单项式的注意事项
(1)结果仍是多项式,项数与被除式相同,切记不要漏项;
(2)先确定每一个商的符号,再相加。
【新知巩固】
1.(12x3-6x)÷(-6x)的计算结果为( )
A.-2x2 B.-2x2-x
C.-2x2-1 D.-2x2+1
2.张芳家有一个圆柱形的塑料桶,体积是3πx3+6πx2,底面半径为x,则这个塑料桶的高为( )
A.3x+6 B.3πx+6
C.3πx2+6πx D.3πx+6π
D
A
3.与单项式3a的积是18a3-6a2+3a的多项式是 。
4.任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出的结果是 (用含m的代数式表示)。
6a2-2a+1
m+1
5.计算:
(1)(6a3b-9a2c)÷3a2;
(2)(8x4+4x3-x2)÷(-2x)2;
解:(1)(6a3b-9a2c)÷3a2
=6a3b÷3a2-9a2c÷3a2
=2ab-3c。
6.已知一个三角形的面积为8x3y2-4x2y3,一条边长为8x2y2,求这条边上的高。
【例3-1】 计算:
(1)[(x+3y)(x-3y)-x2]÷9y;
(2)(x+y)(x-3y)+(2x2y+6xy2)÷2x。
整式的混合运算
解:(1)[(x+3y)(x-3y)-x2]÷9y
=(x2-9y2-x2)÷9y
=-9y2÷9y
=-y。
(2)(x+y)(x-3y)+(2x2y+6xy2)÷2x
=x2+xy-3xy-3y2+(xy+3y2)
=x2+xy-3xy-3y2+xy+3y2
=x2-xy。
【新知巩固】
1.计算:
(1)(-10a3b2-5a2b-5ab)÷5ab;
(2)[2a5b4-a2(4a2b2+2b)]÷2a2b。
解:(1)(-10a3b2-5a2b-5ab)÷5ab
=-10a3b2÷5ab-5a2b÷5ab-5ab÷5ab
=-2a2b-a-1。
(2)[2a5b4-a2(4a2b2+2b)]÷2a2b
=(2a5b4-4a4b2-2a2b)÷2a2b
=a3b3-2a2b-1。
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1.2.3多项式乘多项式
【新知探究】
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的
,再把所得的积相 ,即(m+n)(a+b)= 。
【例1-1】 如图所示,甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示大长方形面积的形式:①(2a+b)(m+n);②2a(m+n)+b(m+n);③m(2a+b)+
n(2a+b);④2am+2an+bm+bn。其中正确的是( )
A.①② B.③④
C.①②③ D.①②③④
每一项
多项式乘多项式
加
ma+mb+na+nb
D
【例1-2】 计算:
(1)(x+5)(x-3);
解:(1)(x+5)(x-3)
=x2+5x-3x-15
=x2+2x-15。
(2)(-2x+1)(-3x+5);
(3)(x-2y)(x2+2xy-3y2)。
解:(2)(-2x+1)(-3x+5)
=6x2-10x-3x+5
=6x2-13x+5。
(3)(x-2y)(x2+2xy-3y2)
=x3+2x2y-3xy2-2x2y-4xy2+6y3
=x3-7xy2+6y3。
【新知巩固】
1.计算(x-3)(x+2)的结果为( )
A.x2-6 B.x2-x+6
C.x2-x-6 D.x2+x-6
2.下列多项式相乘的结果为x2-4x-12的是( )
A.(x+3)(x-4)
B.(x+2)(x-6)
C.(x-3)(x+4)
D.(x+6)(x-2)
C
B
3.(2024郑州期末)观察图(1)中多项式乘多项式的运算规律,将之迁移到如图(2)所示的运算中,可得m,n(mA.-5,-2 B.-5,2
C.-2,5 D.5,2
B
4.计算:
(1)(3x-2)(x-1);
(2)(x2+1)(2-x2);
解:(1)(3x-2)(x-1)
=3x2-3x-2x+2
=3x2-5x+2。
(2)(x2+1)(2-x2)
=2x2-x4+2-x2
=-x4+x2+2。
(3)(3+2y)(9-6y+4y2)。
解:(3)(3+2y)(9-6y+4y2)
=27-18y+12y2+18y-12y2+8y3
=8y3+27。
5.已知多项式(x2+px+q)(x2-3x+2)的结果中不含x3项和x2项,求p和q
的值。
解:因为(x2+px+q)(x2-3x+2)
=x4-3x3+2x2+px3-3px2+2px+qx2-3qx+2q
=x4-(3-p)x3+(2-3p+q)x2+2px-3qx+2q。
因为多项式(x2+px+q)(x2-3x+2)的结果中不含x3项和x2项,
所以3-p=0,2-3p+q=0,
解得p=3,q=7。
【例2-1】 一个长方形的长为2x cm,宽比长少3 cm,若将长方形的长和宽都扩大2 cm。
(1)求扩大后长方形的面积是多少
(2)若x=3,求扩大后长方形的面积。
多项式乘多项式的实际应用
解:(1)根据题意,得
(2x+2)(2x-3+2)=(2x+2)(2x-1)=4x2-2x+4x-2=(4x2+2x-2)(cm2)。
所以扩大后长方形的面积是(4x2+2x-2)cm2。
(2)当x=3时,扩大后长方形的面积为4×9+2×3-2=40(cm2)。
所以扩大后长方形的面积是40 cm2。
【例2-2】 为了更好地开展劳动教育,某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造,已知该地块(如图所示)是长为(a+4b)m,宽为(a+3b)m的长方形地块,学校准备在该地块内修一条平行四边形小路,小路的底边宽为a m,并计划将阴影部分改造为种植区。
(1)用含有a,b的式子分别表示出小路面积S1和种植区的总
面积S2(结果化为最简);
解:(1)由题意可得
S1=a(a+4b)=(a2+4ab)m2,
S2=(a+3b)(a+4b)-(a2+4ab)
=a2+4ab+3ab+12b2-a2-4ab
=(3ab+12b2)m2。
(2)若a=2,b=4,求出此时种植区的总面积S2。
解:(2)当a=2,b=4时,
S2=3ab+12b2=3×2×4+12×42=24+192=216(m2)。
B
2.李老伯把一块长为a m,宽为b m(a>b>100)的长方形土地租给租户
张老伯,第二年,他对张老伯说:“我把这块地的长增加10 m,宽减少
10 m,继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何 ”如果这样,
你觉得张老伯的租地面积会( )
A.变小了 B.变大了
C.没有变化 D.无法确定
A
3.若有若干张如图所示的正方形和长方形卡片,如果要拼一个长为2a+
b,宽a+2b的长方形,则需要A类、B类、C类卡片共 张。
9
4.计算图中阴影部分的面积。
解:大长方形的面积为(3a+2b)(2a+b)=6a2+7ab+2b2,
小长方形的面积为(2b+a)(b+a)=a2+3ab+2b2,
所以阴影部分的面积为(3a+2b)(2a+b)-(2b+a)(b+a)=(6a2+7ab+2b2)-(a2+3ab+2b2)=5a2+4ab。
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3 乘法公式
第1课时 平方差公式的认识
【新知探究】
1.平方差公式:(a+b)(a-b)= 。即两数和与这两数差的积,等于它们的 。
2.结构特点
(1)公式的左边是两个二项式的积,并且这两个二项式中一项相同,另一项互为相反数(式);
(2)公式右边是左边括号内相同项的平方减去相反项的平方。
(3)公式中的a和b可以代表数,也可以是代数式。
a2-b2
平方差公式
平方差
【例1】 判断下列式子能否运用平方差公式进行计算,能用的进行计算,不能用的说出原因:
(1)(a+b)(a-c);
(2)(a+b)(-b-a);
(3)(-a+b)(a-b);
解:(1)不能,因为没有互为相反数的项,所以不能运用平方差公式进行计算。
(2)不能,因为没有相同的项,所以不能运用平方差公式进行计算。
(3)不能,因为没有相同的项,所以不能运用平方差公式进行计算。
(4)(-a+b)(a+b);
(5)(a+b)(b-a);
(6)(-2a+b)(-2a-b)。
解:(4)能,(-a+b)(a+b)=b2-a2。
(5)能,(a+b)(b-a)=b2-a2。
(6)能,(-2a+b)(-2a-b)=4a2-b2。
应用平方差公式的注意事项
(1)识别:识别相同的项,互为相反数的项;
(2)变形:将算式变形为(a+b)(a-b)的形式;
(3)运算:代入公式计算,并将结果化为最简形式。
【新知巩固】
1.下列各式中,能用平方差公式计算的是( )
A.(a+2b)(2a-b) B.(a-3)(-a+3)
C.(x-3)(x-3) D.(2x+y)(2x-y)
2.如果计算(x+my)(x+ny)时能使用平方差公式,那么m,n应满足( )
A.m,n同号 B.m,n异号
C.m+n=0 D.mn=1
D
C
3.等式(-a-1)( )=a2-1中,括号内应填入( )
A.a+1 B.-1-a
C.1-a D.a-1
C
2a
2a
【例2-1】 计算:
(1)(x3-y)(x3+y);
(2)(-xm+yn)(-xm-yn);
利用平方差公式计算
解:(1)(x3-y)(x3+y)
=(x3)2-y2
=x6-y2。
(2)(-xm+yn)(-xm-yn)
=(-xm)2-(yn)2
=x2m-y2n。
(3)(m+n)(m-n)(m2+n2);
(4)(3x-y)(9x2+y2)(3x+y)。
解:(3)(m+n)(m-n)(m2+n2)
=(m2-n2)(m2+n2)
=(m2)2-(n2)2
=m4-n4。
(4)(3x-y)(9x2+y2)(3x+y)
=(3x-y)(3x+y)(9x2+y2)
=[(3x)2-y2](9x2+y2)
=(9x2-y2)(9x2+y2)
=(9x2)2-(y2)2
=81x4-y4。
【例2-2】 先化简再求值:(2m+3)(2m-3)-(m-1)(m+5),其中m=-1。
解:(2m+3)(2m-3)-(m-1)(m+5)
=4m2-9-(m2+5m-m-5)
=4m2-9-m2-4m+5
=3m2-4m-4。
当m=-1时,原式=3×(-1)2-4×(-1)-4=3+4-4=3。
【新知巩固】
1.下列计算正确的是( )
A.(x2+3)(x2-3)=x2-9
B.(x+3)(x-2)=x2-6
C.(3x+2)(3x-2)=3x2-4
D.(-x+y)(-x-y)=x2-y2
2.(2024成都期末)已知实数a,b满足a-b=-3,a+b=2,则代数式a2-b2的值为 。
D
-6
3.(2024西安期中)某社区组织老年人参加太极拳比赛,由于比赛场地的原因,要把每边x人的方队一边增加2人,另一边减少2人,实际参加比赛的人比原来 人。
4.运用平方差公式计算:
(1)(2a+2b)(2a-2b);
少4
解:(1)(2a+2b)(2a-2b)
=(2a)2-(2b)2
=4a2-4b2。
解:(2)(-2a-3b)(2a-3b)
=(-3b-2a)(-3b+2a)
=(-3b)2-(2a)2
=9b2-4a2。
(4)(1-a)(a+1)(a2+1)(a4+1)。
解:(4)(1-a)(a+1)(a2+1)(a4+1)
=(1-a2)(1+a2)(a4+1)
=(1-a4)(1+a4)
=1-a8。
5.(2024唐山期末)已知代数式:b(a-4b)-(a+2b)(a-2b)。
(1)化简这个代数式;
(2)若(a-b)2=0,求原代数式的值。
解:(1)b(a-4b)-(a+2b)(a-2b)
=ab-4b2-(a2-4b2)
=ab-4b2-a2+4b2
=ab-a2。
(2)因为(a-b)2=0,
所以a=b。
所以原式=a2-a2=0。
第2课时 平方差公式的应用
【例1】 在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),如图(1)所示,把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形,如图(2)所示。
(1)图(2)中阴影部分的长是 ,宽是 ,这个长方形的面积为 ;
(2)图(1)中阴影部分的面积是 ;
(3)比较(1),(2)的结果,可验证的公式是 。
a+b
用图形验证平方差公式
a-b
(a+b)(a-b)
a2-b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
【新知巩固】
1.如图(1)所示,边长为a的大正方形中有一个边长为2的小正方形,若将图(1)中的阴影部分沿虚线剪开,拼成一个长方形如图(2)所示,上述操作能验证的等式是( )
A.a(a+4)=a2+4a
B.(a+4)(a-4)=a2-16
C.(a+2)(a-2)=a2-4
D.(a+2)2=a2+4a+4
C
2.如图(1)所示,将边长为a的大正方形剪去四个边长均为b的小正方
形,将阴影部分拼成了一个长方形,如图(2)所示,则这个长方形的面
积为( )
A.a2-4b2
B.(a+b)(a-b)
C.(a+2b)(a-b)
D.(a+b)(a-2b)
A
3.小明把L形的纸片进行如图所示的剪拼,改造成了一个长方形纸片,结合上述图形验证平方差公式。请进行具体说理。
解:由题图,知长方形纸片的面积为
S长方形=(a+b)(a-b),
L形纸片的面积为SL形=a2-b2。
因为S长方形=SL形,
所以(a+b)(a-b)=a2-b2。
4.如图(1)所示,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正
方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图(2)所示的等腰梯形。
(1)设图(1)中阴影部分面积为S1,图(2)中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1,S2;
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式。
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2。
【例2-1】 用平方差公式计算:
(1)198×202;
平方差公式的灵活运用
解:(1)198×202
=(200-2)×(200+2)
=2002-22
=40 000-4
=39 996。
(2)1012-1;
(3)(a+1)(a-1)(2a2+2)。
解:(2)1012-1
=(101-1)(101+1)
=100×102
=10 200。
(3)(a+1)(a-1)(2a2+2)
=(a2-1)(2a2+2)
=2(a2-1)(a2+1)
=2(a4-1)
=2a4-2。
【例2-2】 先化简,后求值:
(2x-y)(2x+y)-(3x+2y)(3x-2y),其中x=-1,y=2。
解:(2x-y)(2x+y)-(3x+2y)(3x-2y)=4x2-y2-(9x2-4y2)
=4x2-y2-9x2+4y2
=-5x2+3y2。
当x=-1,y=2时,
原式=-5×(-1)2+3×22=7。
【新知巩固】
1.将204×196变形更易于简便计算的是( )
A.(203+1)(195+1)
B.(202+2)(200-4)
C.(200+4)(200-4)
D.(210-6)(200-4)
2.计算:399×401+1= 。
C
160 000
3.用平方差公式简便计算。
(1)195×205;
(2)9×11×101。
解:(1)195×205=(200-5)×(200+5)=2002-52=40 000-25=39 975.
(2)9×11×101=(10-1)(10+1)(100+1)=(100-1)(100+1)=1002-1=9 999。
5.小明遇到下面一个问题:
计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)。
经过观察,小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构,进而应用平方差公式解决问题,具体解法如下:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)
=(28-1)(28+1)
=216-1。
请你根据小明解决问题的方法,试着解决下面的问题:
计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)。
第3课时 完全平方公式的认识
【新知探究】
1.完全平方公式:(a+b)2= ,(a-b)2= 。即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。
2.结构特点
(1)左边是两数和(差)的平方;
(2)右边是这两数的平方和加上(减去)这两数积的两倍。
即“首平方,尾平方,首尾2倍放中央,符号看前方”。
a2+2ab+b2
完全平方公式
a2-2ab+b2
解:(1)(3x+1)2=(3x)2+2×3x+12=9x2+6x+1。
(2)(2x-5)2=(2x)2-2×2x×5+52=4x2-20x+25。
(3)(-x+4)2=(-x)2+2×(-x)×4+42=x2-8x+16。
【新知巩固】
1.下列计算正确的是( )
A.(2a+1)2=4a2+1
B.(-2a-1)2=-4a2-4a-1
C.(2a-1)2=4a2-1
D.(-2a+1)2=4a2-4a+1
2.若(x+3)2=x2-mx+9,则m的值为 。
3.若a2+2a-2=0,则(a+1)2的值为 。
D
-6
3
(3)(-0.2a-7b)2=0.04a2+2.8ab+49b2。
【例2】 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式,根据如图所示的图形得到的数学公式为 。
(a-b)2=a2-2ab+b2
用图形验证完全平方公式
【新知巩固】
1.通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式,用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式,利用如图所示的图形可得的乘法公式为 。
(a+b)2=a2+2ab+b2
2.用正方形面积来说明公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。
解:如图所示。(a+b+c)2=S1+S2+S3+…+S9=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。
第4课时 完全平方公式的应用
【例1-1】 简便计算:
(1)1032;
(2)1982;
(3)2002-400×199+1992。
完全平方公式的直接应用
解:(1)1032=(100+3)2=1002+2×100×3+32=10 000+600+9=10 609。
(2)1982=(200-2)2=2002-2×200×2+22=40 000-800+4=39 204。
(3)2002-400×199+1992
=2002-2×200×199+1992
=(200-199)2=1。
【新知巩固】
1.(2024唐山一模)计算:952+10×95+52= 。
2.计算:
(1)1 0052; (2)79.82。
10 000
解:(1)1 0052=(1 000+5)2=1 0002+2×1 000×5+52=1 000 000+
10 000+25=1 010 025。
(2)79.82=(80-0.2)2=802-2×80×0.2+0.22=6 400-32+0.04=6 368.04。
3.计算:
(1)(2x-3y)2-(y-3x)(3x-y);
(2)(3-2x+y)(3+2x-y)。
解:(1)(2x-3y)2-(y-3x)(3x-y)
=(2x-3y)2+(y-3x)2
=4x2-12xy+9y2+y2-6xy+9x2
=13x2-18xy+10y2。
(2)(3-2x+y)(3+2x-y)
=[3-(2x-y)][3+(2x-y)]
=9-(2x-y)2
=9-4x2+4xy-y2。
【例2】 如图(1)所示的是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图(2)的方式拼成一个正方形。
(1)图(2)中阴影部分的正方形的边长等于 ;
完全平方公式的变形应用
解:(1)m-n
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图(2) 中阴影部分的面积。
方法①: ,
方法②: ;
(3)观察图(2),试写出(m+n)2,(m-n)2,mn这三个代数式之间的等量关系
。
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=5,ab=2,求(a-b)2及a2+b2的值。
解:(2)(m-n)2 (m+n)2-4mn
(3)(m-n)2=(m+n)2-4mn
(4)因为(a-b)2=(a+b)2-4ab,
又a+b=5,ab=2,所以(a-b)2=52-4×2=17。
a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×2=21。
完全平方公式的变形
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
(a-b)2+2ab=a2+b2;
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab。
A
4
27
4.(1)课本再现:图(1),图(2)应用“等积法”验证了乘法公式,是
“数形结合”的典型实例。图(1)验证的是 ,图(2)验证
的是 ;
解:(1)(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
(2)应用公式计算:
①已知x+y=6,xy=-2,求x2+y2的值;
②求9×1.22-16×1.42的值。
解:(2)①因为x+y=6,xy=-2,
所以x2+y2=(x+y)2-2xy=62-2×(-2)=36+4=40。
②9×1.22-16×1.42
=32×1.22-42×1.42
=3.62-5.62
=(3.6+5.6)×(3.6-5.6)
=-18.4。
【例3】 (2024瑞安期中)某校七(1)班同学参加了学校“科技点亮未来”的创新比赛,用KT板制作了宣传版画,它是由一个三角形、两个梯形组成,相关尺寸如图所示。
(1)用含a,b的代数式表示宣传版画的总面积(结果需化简);
完全平方公式的实际应用
【新知巩固】
1.一个底面是正方形的长方体,高为6 cm,底面正方形的边长为a cm,如果它的高不变,底面正方形的边长增加5 cm,则这个长方体的体积增加了 。
2.设圆的半径为r cm,把半径增加3 cm,得到一个大圆,把半径减少
2 cm,得到一个小圆,则大圆的面积比小圆的面积大 。
3.如图所示,将长方形ABCD的各边向外作正方形,若四个正方形的周长之和为32,面积之和为12,则长方形ABCD的面积为 。
(60a+150)cm3
5π(2r+1)cm2
5
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1 幂的乘除
第1课时 同底数幂的乘法
第一章 整式的乘除
【新知探究】
同底数幂相乘,底数不变,指数 ,即am·an= (m,n都是正整数)。
推广:am·an·ap=am+n+p。
相加
同底数幂的乘法法则
am+n
【例1】 计算:
(1)104×10;
(2)2n·2n+3;
(3)-a2·a6;
(4)(x-y)(x-y)n-3。
解:(1)104×10=104+1=105。
(2)2n·2n+3=2n+n+3=22n+3。
(3)-a2·a6=-a2+6=-a8。
(4)(x-y)(x-y)n-3=(x-y)1+n-3=(x-y)n-2。
B
D
D
4.计算:
(1)(a+b)3m·(b+a)m+n;
(2)-x3·(-x)3·(-x)4;
解:(1)(a+b)3m·(b+a)m+n
=(a+b)3m+m+n
=(a+b)4m+n。
(2)-x3·(-x)3·(-x)4
=x3·x3·x4
=x3+3+4
=x10。
(3)(x-y)6·(y-x)6。
解:(3)(x-y)6·(y-x)6
=(x-y)6·(x-y)6
=(x-y)6+6
=(x-y)12。
【新知探究】
am+n= (m,n为正整数)。
【例2】 已知am=4,an=16,求am+n的值。
am·an
同底数幂的乘法法则的逆用
解:因为am+n=am·an,am=4,an=16,
所以am+n=4×16=64。
【新知巩固】
1.已知3m=x,3n=y,其中m,n为正整数,则3m+n的结果为( )
A.xy B.x+y
C.3xy D.3x+3y
2.已知ax=9,a3=27,则ax+3的值是( )
A.36 B.18
C.243 D.253
3.若am=3,am+n=9,则an的值为 。
A
C
3
4.已知2x+2=6,求2x+5的值。
解:当2x+2=6时,
2x+5=2x+2+3=2x+2×23=6×8=48。
第2课时 幂的乘方
【新知探究】
幂的乘方,底数不变,指数 ,即(am)n= (m,n都是正整数)。
【例1】 计算:
(1)-(x5)3;
(2)[(a-b)2]5;
相乘
幂的乘方法则
amn
解:(1)-(x5)3=-x15。
(2)[(a-b)2]5=(a-b)10。
(3)a3·(a2)4;
(4)(-a2)3·a2;
(5)(a4)5-(-a2)10。
解:(3)a3·(a2)4=a3·a8=a11。
(4)(-a2)3·a2=-a6·a2=-a8。
(5)(a4)5-(-a2)10=a20-a20=0。
【新知巩固】
1.计算(-x7)2的结果是( )
A.x14 B.x9 C.x49 D.-x14
2.若33×9m=311,则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(2024潍坊期末)若2x+y-3=0,则9x·3y= 。
A
C
27
4.计算:
(1)-(22)3; (2)(-a)2(a2)2;
(3)[(z-y)2]3; (4)2(x3)5-(x5)3。
解:(1)-(22)3=-26。
(2)(-a)2(a2)2=a2·a4=a6。
(3)[(z-y)2]3=(z-y)6。
(4)2(x3)5-(x5)3=2x15-x15=x15。
【新知探究】
amn= =(an)m(m,n都是正整数)。
【例2】 已知am=3,an=2,求:
(1)am+n;
(2)(a3)n;
(3)a2m+3n。
(am)n
幂的乘方法则的逆用
解:(1)am+n=am×an=3×2=6。
(2)(a3)n=(an)3=23=8。
(3)a2m+3n=a2m×a3n=(am)2×(an)3=32×23=9×8=72。
幂的乘方法则的逆用,主要是把指数的积转化为幂的乘方,指数的积中的因数可以利用交换律灵活变化。
B
8
4
<
5.已知10a=5,10b=6,求:
(1)102a+103b的值;
(2)102a+3b的值。
解:(1)102a+103b
=(10a)2+(10b)3
=52+63
=241。
(2)102a+3b
=(10a)2·(10b)3
=52×63
=5 400。
第3课时 积的乘方
【新知探究】
积的乘方等于把积的每一个因式分别 ,再把所得的幂 。(ab)n= (n为正整数)。
【例1-1】 计算:
(1)(2x)2;
(2)(-2a)3;
乘方
积的乘方法则
相乘
anbn
解:(1)(2x)2=22x2=4x2。
(2)(-2a)3=(-2)3a3=-8a3。
(3)(-xy2)4;
(4)(2a2)n(n为正整数);
(5)(-2xy2)6+(-3x2y4)3。
解:(3)(-xy2)4=(-x)4(y2)4=x4y8。
(4)(2a2)n=2n(a2)n=2na2n。
(5)(-2xy2)6+(-3x2y4)3
=(-2)6x6(y2)6+(-3)3(x2)3(y4)3
=64x6y12+(-27)x6y12
=37x6y12。
积的乘方运算时的“四点”注意
(1)当底数为多个因式时,不能漏掉某些因式乘方;
(2)进行积的乘方时,不能忽略“-”号;
(3)进行积的乘方时,系数不能与幂指数相乘;
(4)注意运算顺序是先乘方,再乘除,最后算加减。
【新知巩固】
1.下列计算正确的是( )
A.(xy2)2=xy4 B.(3xy)3=9x3y
C.(-2a2)2=-4a4 D.(3ab2)2=9a2b4
2.填空:
(1)(a2b)5= ;
(2)(-2pq)3= ;
(3)(-anbn+1)4= 。
3.若am=4,bm=9(m是正整数),则(ab)m的值为 。
D
a10b5
-8p3q3
a4nb4(n+1)
36
(2)-(-3a2b3)4
=-(-3)4(a2)4(b3)4
=-81a8b12。
(3)(-x3y2)5; (4)(2×102)3。
解:(3)(-x3y2)5
=(-1)5(x3)5(y2)5
=-x15y10。
(4)(2×102)3=23×(102)3=8×106。
5.某养鸡场需定制一批棱长为3×102 mm的正方体鸡蛋包装箱(包装
箱的厚度忽略不计),求一个这样的包装箱的容积(结果用科学记数法表示)。
解:(3×102)3=33×(102)3=27×106=2.7×107(mm3)。
答:一个这样的包装箱的容积是2.7×107(mm3)。
【新知探究】
anbn= (n为正整数)。
【例2】 小明使用比较简便的方法完成了一道作业题,如下:
(ab)n
积的乘方法则的逆用
小明的作业
计算:85×(-0.125)5。
解:85×(-0.125)5=(-8×0.125)5=(-1)5=-1。
请你参考小明的方法解答下列问题。
计算:
(1)42 025×(-0.25)2 025;
解:(1)42 025×(-0.25)2 025
=(-4×0.25)2 025
=(-1)2 025
=-1。
三种运算法则逆用的规律
运算特点 适用法则
幂的指数为和的形式 同底数幂的乘法
幂的指数为积的形式 幂的乘方
幂的指数相同(或相差不大), 底数的积容易计算 积的乘方
D
4x2y5
9
(3)-82 025×(-0.125)2 026+0.253×26。
解:(3)-82 025×(-0.125)2 026+0.253×26
=-82 025×(-0.125)2 025×(-0.125)+0.253×23×23
=-[8×(-0.125)]2 025×(-0.125)+(0.25×2×2)3
=1×(-0.125)+1
=0.875。
第4课时 同底数幂的除法
【新知探究】
同底数幂相除,底数不变,指数 ,即am÷an= (a≠0,m,n都是正整数,且 m>n)。
【例1】 计算:
(1)m6÷m4;
相减
同底数幂的除法法则
am-n
解:(1)m6÷m4=m6-4=m2。
(2)(-x)7÷(-x)3;
(3)(ab)5÷ab;
(4)am+1÷a2(m>1);
(5)(x-y)5÷(x-y)2。
解:(2)(-x)7÷(-x)3=(-x)7-3=(-x)4=x4。
(3)(ab)5÷ab=(ab)5-1=(ab)4=a4b4。
(4)am+1÷a2=am+1-2=am-1。
(5)(x-y)5÷(x-y)2=(x-y)5-2=(x-y)3。
(1)底数可以是单项式或多项式;
(2)底数不同,可先转化为同底数幂,再利用法则进行计算,注意符号问题;
(3)若指数是多项式时,指数相减时应加括号。
【新知巩固】
1.下列计算正确的是( )
A.a6÷a2=a3 B.a6÷a2=a4
C.a2÷a2=a D.a6÷a2=4
2.计算:(-x)12÷(-x)3等于( )
A.-x4 B.x4 C.-x9 D.x9
B
C
解:(1)-a5÷a2=-a5-2=-a3。
(2)(-m)10÷(-m)=(-m)10-1=-m9。
(3)(s5)2÷s5=s10÷s5=s10-5=s5。
(2)因为x=2m+1,y=3+4m,所以2m=x-1。
因为x=2,所以2m=1。
所以y=3+(22)m=3+(2m)2=3+12=4。
【新知探究】
am-n= 。
【例2】 已知am=3,an=9,求a3m-n的值。
am÷an
同底数幂的除法法则的逆用
解:当am=3,an=9时,
a3m-n=a3m÷an=(am)3÷an=33÷9=3。
【新知巩固】
1.若3a=27,3b=3,则3a-b的值为( )
A.-9 B.-3 C.9 D.3
2.已知m,n为正整数,且xn=4,xm=8。
(1)求xm-n的值;
(2)求x3m-2n的值。
C
解:当xn=4,xm=8时,
(1)xm-n=xm÷xn=8÷4=2。
(2)x3m-2n=x3m÷x2n=(xm)3÷(xn)2=83÷42=32。
【新知探究】
1.规定:a0= (a≠0),即任何不等于零的数的0次幂都等于 。
2.a-p= (a≠0,p为正整数),即任何不为零的数的-p(p为正整数)次幂等于这个数的p次幂的 。
1
零指数幂和负整数指数幂
1
倒数
(1)任何非零数的零次幂都等于1;
(2)负整数指数幂是正整数指数幂的倒数,不是正整数指数幂的相
反数;
(3)负整数指数幂的底数不能取0,否则无意义。
A
8
【例4】 用科学记数法表示下列各数:
(1)成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6 g;
(2)某医学家发现了一种病毒,其长度约为0.000 000 29 mm;
(3)1粒某种药丸的质量约为0.156 g。
用科学记数法表示绝对值较小的数
解:(1)0.000 004 6=4.6×10-6。
(2)0.000 000 29=2.9×10-7。
(3)0.156=1.56×10-1。
用科学记数法a×10n表示绝对值较小的数,n的确定方法
(1)查0法,第一个非0的数字前,有几个0,n就等于负几;
(2)挪位法,小数点向后挪位到第一个非0数字后面,挪几位,n就等于负几。
【新知巩固】
1.人体中枢神经系统中含有1千亿个神经元。某个神经元的直径约
为52 μm,52 μm为 5.2×10-5 m。将5.2×10-5用小数表示为
。
2.(2024广元改编)2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家,以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”。什么是阿秒 1阿秒是10-18 s。目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒,将43阿秒用科学记数法表示为 s。
0.000 052
4.3×10-17
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1.2.1单项式乘单项式
【新知探究】
单项式与单项式相乘,把它们的系数、 分别相乘,其余字母连同它的指数 ,作为积的因式。
【例1】 计算:
(1)2x2·3x2y;
相同字母的幂
单项式乘单项式
不变
解:(1)2x2·3x2y
=(2×3)·(x2x2)·y
=6x4y。
(2)-5a2b·(-2b2);
(3)(4x2y)2·(-3xy2)。
解:(2)-5a2b·(-2b2)
=[-5×(-2)]·a2·(bb2)
=10a2b3。
(3)(4x2y)2·(-3xy2)
=16x4y2·(-3xy2)
=[16×(-3)]·(x4x)·(y2y2)
=-48x5y4。
(1)利用乘法的交换律和结合律,将单项式相乘转化为数与数相乘,同底数幂与同底数幂相乘的形式;
(2)按顺序计算,若有乘方,先算乘方;
(3)只在一个单项式里含有的字母,最后不要漏乘。
【新知巩固】
1.下列计算,正确的是( )
A.6a2·3a3=9a5
B.(-3x2)·(-2x3)=-5x5
C.-2x3·2x3=-4x9
D.3y2·2y3=6y5
D
A
-10x4y4
-5
5.7×
107
解:(1)3mn·(-2m2n3)
=[3×(-2)]m1+2n1+3
=-6m3n4。
解:(3)-xy2z3·(-x2y)3
=-xy2z3·(-x6y3)
=x7y5z3。
7.(2024青岛月考)已知-2x3m+1y2n与4x-3y4的积与-4x4y2是同类项。
(1)求m,n的值;
解:(1)-2x3m+1y2n·4x-3y4
=-8x3m+1-3y2n+4
=-8x3m-2y2n+4。
因为-2x3m+1y2n与4x-3y4的积与-4x4y2是同类项,
所以3m-2=4,2n+4=2。
所以m=2,n=-1。
(2)先化简,再求值:5m3n·(-3n)2+(6mn)2·(-mn)-mn3·(-4m)2。
解:(2)5m3n·(-3n)2+(6mn)2·(-mn)-mn3·(-4m)2
=5m3n·9n2+36m2n2·(-mn)-mn3·16m2
=45m3n3-36m3n3-16m3n3
=-7m3n3,
当m=2,n=-1时,原式=-7×23×(-1)3=56。
【例2-1】 如图所示,甲、乙、丙三人合作完成一道计算题目,规则
是:每人只能看到前一个人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人。自己负责的一步出现错误的是( )
A.只有甲 B.乙和丙
C.甲和丙 D.甲、乙、丙
C
单项式乘单项式的应用
【例2-2】 光在真空中的速度约是3×108 m/s,光在真空中穿行1年的距离称为1光年。1年以 3×107 s计算,1光年约是多少千米
解:1光年=(3×108)×(3×107)=(3×3)×(108×107)=9×1015(m)。
9×1015 m=9×1012 km。
所以1光年约是9×1012 km。
B
a3
3.某市环保局将一个长为2×106 dm,宽为 4×104 dm,高为8×102 dm的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化,那么请你想一想,能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满 若有,求出正方体贮水池的棱长;若没有,请说明理由。
解:有。
因为长方体废水池的容积为
(2×106)×(4×104)×(8×102)
=64×1012
=(4×104)3,
所以正方体贮水池的棱长为4×104 dm。
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1.2.2单项式乘多项式
【新知探究】
单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相 。即m(a+b+c)= (m,a,b,c都是单项式)。
加
单项式乘多项式
ma+mb+mc
解:(1)(-4x)(2x2+3x-1)=-8x3-12x2+4x。
(3)(3x2y-xy2)·3xy=9x3y2-3x2y3。
【例1-2】 (2024济南月考)某同学计算一个多项式乘-3x2时,因抄错符号,算成了加上-3x2,得到的答案是x2-2x+1。
(1)求这个多项式;
(2)正确的计算结果应该是多少
解:(1)这个多项式是x2-2x+1-(-3x2)
=x2-2x+1+3x2=4x2-2x+1。
(2)正确的计算结果为(4x2-2x+1)·(-3x2)=-12x4+6x3-3x2。
(1)积的项数与原多项式的项数相同,计算时不要漏乘;(2)多项式的每一项都包括前面的符号,计算时注意符号的确定;(3)含有乘方的运算,注意运算顺序,先乘方,再乘法,最后加减。
B
A
3.根据如图所示的图形的面积可得到一个整式乘法的等式为
。
2b(a+
b)=2ab+2b2
解:(2)2x(-3x2-4x-5)
=-6x3-8x2-10x。
单项式乘多项式的实际应用
D
【新知巩固】
1.已知一个长方体盒子的长为x+3,宽为2x,高为x,则这个长方体盒子的表面积为( )
A.10x2+18x B.12x2+6x
C.6x2+6x D.5x2+9x
2.已知长方形的周长为4a2+12a-2b,一边长为3a,则它的面积是( )
A.6a3+9a2+3ab B.6a3+9a2-3ab
C.6a3+9a2+6ab D.6a3+9a2-6ab
A
B
3.一块边长x cm的正方形地砖,被裁掉一块2 cm宽的长条,剩下部分的面积为 cm2。
4.如图所示,为提高业主的宜居环境,某小区物业准备在一个长为(4a+2b) m,宽为(3a+2b)m的长方形草坪上修建两条宽为b m的小路,则小路的面积为 (要求化成最简形式)。
(x2-2x)
(7ab+3b2)m2
5.一段防洪堤坝的横断面是梯形,其上底为a m,下底为(a+2b)m,坝高2a m。
(1)求这段防洪堤坝的横断面面积S。
(2)如果这段防洪堤坝长200 m,那么这段防洪堤坝的体积是多少立
方米
(2)(2a2+2ab)×200=(400a2+400ab)m3。
所以这段防洪堤坝的体积是(400a2+400ab)m3。
6.如图所示是用相同材料做成的A,B两种造型的长方形窗框,已知窗框的长都是x m,宽都是y m。
(1)制作这两种造型的窗框各一个,共需要多少材料
解:(1)根据题意,得制作一个A型窗框,需要材料(3x+2y)m,制作一个B型窗框,需要材料(2x+3y)m,
则(3x+2y)+(2x+3y)=(5x+5y)(m),
即制作这两种造型的窗框各一个,共需要(5x+5y)m的材料。
(2)若一位用户需要A型的窗框5个,B型的窗框3个,且这种材料每米的价格为 a元,求这位用户共需要花多少钱(接缝处忽略不计)
解:(2)共需材料的长度为5(3x+2y)+3(2x+3y)=15x+10y+6x+9y=
(21x+19y)(m),
a(21x+19y)=21xa+19ya,
即这位用户共需要花的钱数为(21xa+19ya)元。
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