浙江省杭州市二中2024-2025学年下学期高一6月统测数学试卷（图片版，含答案）

2025杭州二中 6月统测
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.设集合A= 3,4,5 ，B= 2,3,4,8 ，则图中阴影部分表示的集合为 ( )
A. 2,8 B. 3,4
C. 2,5,8 D. 3,4,5
2. “ac= bc”是“a= b”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了 6名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，10，5，
8，4，2，则这组数据的平均数和 30%分位数分别为 ( )
A. 6，3 B. 5，3 C. 5，4 D. 6，4
4.在三棱锥P-ABC中，PA=BC= 10，PB=AC= 5，PC=AB= 13，则该三棱锥的外接球的表
面积为 ( )
A. 28π B. 28 73 π C. 7π D. 14π
5.在平面直角坐标系 xOy中，角 α与角 β均以 x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线 y=-x对称．
3
若角 α的终边与单位圆交点P的纵坐标为 5 ，则 cosβ= ( )
A. 3 B. - 3 C. 45 5 5 D. -
4
5
6.Deepseek(深度求索)是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络
G
优化中，指数衰减的学习率模型为 L=L DG00 ，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习
率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始
学习率 L0为 0.6，衰减速度G0为 20，且当训练迭代轮数为 10时，学习率衰减为 0.3，则学习率衰减到 0.2
以下 (不含 0.2)所需的训练迭代轮数至少为 ( )
(参考数据：lg2≈ 0.3，lg3≈ 0.477)
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
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2 2
7.已知函数 f x 1 = 2x+ x-1 的对称中心在直线 y= ax+ b a>0
a +2b
上，则 2a 的最小值为 ( )
A. 4 3- 4 B. 4 3+ 4 C. 2 6- 4 D. 2 6+ 4

8. 已知平面向量 a，b，c满足：a与 b的夹角为锐角， a = 2， b = 4， c = 1，且 t∈R， b+ta ≥ b-a ，

则 c -a c - 12 b 的最小值是 ( )
A. 0 B. 3+ 2 3 C. 6 D. 3- 2 3
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.已知事件A ,B，且P A = 0.4 ,P B = 0.5，则 ( )
A. 事件A与事件B互为对立事件 B. 若事件A与事件B互斥，则P A∪B = 0.9

C. 若事件A与事件B互斥，则P AB = 0.2 D. 若P AB = 0.3，则事件A与事件B相互独立
10.如图是一个棱长为 1的正方体的展开图，其中M，N分别为CH，DB的中点．如果将它还原成正方体，
那么下列选项中正确的是 ( )
A. π直线AB与CD所成角为 3
B. 直线EF与GH平行
C. 经过DEMN 9四个点的球的表面积为 4 π
D. P 7是正方形GKHI内的动点，若 |AP| = 2 ，那么 P点的轨迹长为
3
4 π
11.已知函数 f x = sinx+cos x sinx-cosx ，下列说法正确的是 ( )
A. f(x)的周期为 2π
B. f(x) π π在区间 - , 2 2 上是增函数
C. 若 f x1 + f x = 2 x + x = kπ 2 ，则 1 2 2 (k∈ Z)
D. 函数 g(x) = f(x) + 1在区间 [0 , 2π]上有且仅有 2个零点
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.在复数范围内，a a<0 的所有平方根为 ．
13.某海警船在A处看灯塔B在它的北偏东 75°，距离为 3 6nmile，在A处看灯塔C
在海警船的北偏西 30°，距离为 2 3nmile，海警船由A处向正北航行到D处时，
再看灯塔B在南偏东 60°，则灯塔C与D处之间的距离为 nmile．
14.在三棱锥A-BCD中，AC⊥AB ,BD⊥AB，且AC=BD= 20 ,AB= 6，若三
棱锥A-BCD的外接球表面积的取值范围为 661π,1636π ，则三棱锥A-BCD
体积的取值范围为 .
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. (13 ) e e a= 3e + e b=-2e + 2e c

分 已知 1， 2是平面内一对不共线的向量，且 1 2， 1 2， = λe1- 3e2．
(1) 2a - c

若 与 b+ 2c 共线，求实数 λ的值；

(2) c 若 = 12 a
+ μb，求 λ+ μ的值．
16. (15分)某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学
生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取 200名学生，将他们的周平均阅读时间 (单位：
小时)数据分成 5组： 2,4 , 4,6 , 6,8 , 8,10 , 10,12 ，根据分组数据制成了如图所示的频率分布
直方图.

(1)求 a的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；
(2)用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于 6小时的学生中抽出 6人，从这 6人中随机选出 2人作为
该活动的形象大使，求这 2人都来自 6,8 这组的概率.
sin 2A+B
17. ( 15分)已知 a , b , c a+c分别为△ABC三个内角A ,B ,C的对边，且 - 2cos A+B = .
sinA b
(1)证明：b2- a2= ac；
(2) cosA+ a求 的最小值.
b
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18. (17分)如图 1，在平面五边形ABCDE中，∠EAC=∠DCA= π2 ，AE= 4，CD= 2，AB= BC=AC=
2 3，F ,H分别为ED ,AD的中点，将△ABC沿AC翻折，使点B到点P的位置，如图 2.
(1)若PH⊥平面ACDE.
(ⅰ)求异面直线PA与CF所成角的大小；
(ⅱ)三棱锥P-ACD的各顶点都在球O上，M为球O球面上的动点，求EM的取值范围.
(2)在翻折的过程中，设平面PCD与平面PAE的交线为 l，求二面角A- l-C的最小值.
19. (17分)已知函数 f x = x-a - 1 x + a , a∈R．
(1)若 f 1 ≤ 2，求 a的取值范围；
(2)若存在两个不相等的正实数 x1 , x2，满足 f x1 = f x2 ．
(i)求 y= f x 在 x∈ 1,2 上的最小值；
(ii)证明：2< x1+ x2< 2a．
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参考答案
CBDDBCCD
BD ACD ACD
12．【答案】± -a i
13．【答案】2 3
14．【答案】 200 3 ,400
15．【答案】(1)λ=- 73
(2) 134

【分析】(1)首先求出 2a- c，b+ 2c ，依题意存在唯一的实数n，使得 2a- c=n b+2c ，即可得到方程
组，解得即可；

(2)用 e1 , e2作为基底，根据向量相等，得到方程组，解得即可；

【详解】(1)解：因为 a= 3e1+ e2，b=-2e1+ 2e2，c
= λe1- 3e2

所以 2a - c = 6-λ e1+ 5e

2，b+ 2c= 2λ-2 e1- 4e2.

因为 2a- c与 b+ 2c共线，所以存在唯一的实数n，使得 2a- c=n b+2c ，
6-λ=n 2λ-2 λ=-
7
6-λ e1+ 5e2= 2λ-2 ne - 4ne 31 2，即 =- ，解得5 4n 5 .n=- 4
(2)解：因为 a= 3e1+ e2，b=-2e1+ 2e

2，c= λe1- 3e2，且 c
= 12 a
+ μb，
3
所以 λe1- 3e2= 2 e1+
1
2 e2- 2μe1+ 2μe2=
3
2 -2μ e
1
1+ 2 +2μ e2，
λ=
3
2 -2μ, 7
所以 1 ，解得 λ= 5，μ=- ，-3= +2μ 42
所以 λ+ μ= 5- 7 134 = 4 .
16．【答案】(1)a= 0.15，6.92小时
(2) 15
【分析】(1)利用频率分布直方图各矩形面积和为 1求出 a的值，再根据频率分布直方图平均数的计算公
式求平均数即可；
(2)利用分层抽样的定义求出各组的人数，然后利用列举法求概率即可.
【详解】(1)依题意可得 0.02+0.05+0.1+a+0.18 × 2= 1，解得 a= 0.15，
又由频率分布直方图可得 3×0.02+5×0.18+7×0.15+9×0.1+11×0.05 × 2= 6.92，
所以估计全校学生周平均阅读时间的平均数为 6.92小时.
(2)由频率分布直方图可知 6,8 , 8,10 和 10,12 三组的频率的比为 0.15 : 0.1 : 0.05= 3 : 2 : 1，
所以利用分层抽样的方法抽取 6人，这三组被抽取的人数分别为 3 , 2 , 1,
记 6,8 中的 3人为 a1 , a2 , a3 , 8,10 中的 2人为 b1 , b2 , 10,12 中的 2人为 c1，
从这 6人中随机选出 2人，
则样本空间Ω= a1a2,a1a3,a1b1,a1b2,a1c1,a2a3,a2b1,a2b2,a2c1,a3b1,a3b2,a3c1,b1b2,b1c1,b2c1 共 15个样
本点，
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设事件A :选出的 2人都来自 6,8 ，则A= a1a2,a1a3,a2a3 共 3个样本点，
所以P A = 3 1 15 = 5 .
17．【答案】(1)证明见解析
(2) 2
【分析】(1) sinB a+c根据题意，化简得到 = ，结合正弦定理，即可得证；
sinA b
(2)由 (1) c+a和余弦定理，化简得 cosA= ，再由正弦定理，得到 sin B-A = sinA，得到B= 2A，求2b
1 a 1
得 2 < cosA< 1，得到 cosA+ = cosA+ ，结合基本不等式，即可求解.b 2cosA
sin 2A+B sin A+B +A( )
-2cos A+B sinA
【详解】 1 解：因为 - 2cos A+B = ，
sinA sinA
sin A+B cosA+cos A+B sinA-2cos A+B sinA=
sinA
sin A+B cosA-cos A+B sinA sin A+B -A= = = sinB
sinA sinA sinA
sinB = a+c b a+c可得 ，由正弦定理得 a = ，即 b
2- a2= ac.
sinA b b
2 2 2
(2) b +c -a解：由余弦定理得 cosA= ，因为 b2- a2= ac c+a，所以 cosA= ，
2bc 2b
可得 2bcosA= a+ c，所以由正弦定理可得
2sinBcosA= sinC+ sinA= sin A+B + sinA，
= sinAcosB+ cosAsinB+ sinA，
即 sinBcosA- sinAcosB= sin(B-A) = sinA，
即 sin B-A = sinA，故B= 2A，
π 1
又因为C= π-A-B= π- 3A，所以 0所以 cosA+ a = cosA+ sinAsinB = cosA+
1 ≥ 2，
b 2cosA
当且仅当 cosA= 2 = cosA+ a2 时，“ ”成立，故 的最小值为 2 .b
18．【答案】(1) (ⅰ)90°；(ⅱ) 2 ,4 2
(2) π3 .
【分析】(1) (ⅰ)先由AE CD等条件得出 sin∠CDA的值，再利用三角形全等得到CF⊥AD，接着因
为PH⊥平面ACDE，结合线面垂直性质与判定，证明CF⊥PA.
(ⅱ)解法一，先找外接球球心O在PH上，用勾股定理求半径R，再求EO，进而得EM最值与范围.
解法二，建立空间直角坐标系，写出点坐标，根据外接球性质求球心O坐标与半径R，最后求EO得出
EM范围.
(2)解法一：先作辅助线找二面角平面角∠MPN，因PA=PC，K为P在平面ACDE射影且是MN中
点，∠MPK=∠NPK.tan∠MPK= 3PK ，∠MPN最小则∠MPK最小，PK最大时∠MPK最小，K为AC
中点时PK最大，进而得二面角最小值.
解法二：取AC 中点Q建系，求各点及向量坐标.再分别求平面PAE和PCD法向量m、n.用向量夹角
公式求 cosφ，根据 sinθ取值求 cosφ最大值，从而得二面角 φ最小值.
【详解】(1) (ⅰ)如图，设CF与AD交于点G，
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由题可得AE CD，AD= AC2+CD2= 4，
则 sin∠CDA= sin∠DAE= 32 ，
所以∠CDA=∠DAE= π3 ，又AD=AE，所以△ADE为正三角形，
所以∠EDA=∠CDA= π3 ，又DF=
1
2 DE=CD，DG=DG，
故△DFG≌△DCG，所以FG=CG，故CF⊥AD.
因为PH⊥平面ACDE，CF 平面ACDE，所以CF⊥PH，
因为PH∩AD=H，PH ,AD 平面PAD，
所以CF⊥平面PAD，又PA 平面PAD，所以CF⊥PA，
即异面直线PA与CF所成角的大小为 90°.
(ⅱ) 1解法一：由 (ⅰ)AH= 2 AD= 2，由题可得PH= PA
2-AH 2= 2 2，
△ACD为直角三角形，且PH⊥平面ACDE，所以三棱锥P-ACD的外接球球心O在直线PH上，
设球O的半径为R，则OH= 2 2-R ，
如图，连接AO，在Rt△AOH中，OH 2+AH 2=OA2，即 2 2-R 2 + 22=R2，
3 2
得R= 2 .
2
连接EO，HE，因为OH= 2 ，HE= 2 3，
2
所以EO= OH 2+EH 2= 22 + 2 3 2= 5 2 2 ，
所以EM的最小值为EO-R= 2，EM的最大值为EO+R= 4 2，
故EM的取值范围为 2 ,4 2 .
解法二：
以H为坐标原点，点F ,H所在直线为 x轴，平面ACDE内过H且与 x轴垂直的直线为 y轴，HP所在
直线为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
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则A 1,- 3 ,0 ，C 1, 3 ,0 ，D -1, 3 ,0 ，P 0,0,2 2 ，E -3,- 3 ,0 .
设球心O x,y,z ，连接OA，OC，OD，OP，因为OA=OC=OD=OP，
所以 x-1 2 + y+ 3 2 +z2= x-1 2 + y- 3 2 +z2
= x+1 2 + y- 3 2 +z2= x2+y2+ z-2 2 2 ，
x= y= 0 z= 2 O 0,0, 2 O R= 2 2- 2 = 3 2解得 ， 2 ，故 2 ，所以球 的半径 2 2 .
2 2(另解：可以通过R=OA得到R= 0-1 2 + 0+ 3 2+ = 3 2 2 2 )
2 5 2
连接EO，因为E -3,- 3 ,0 ，所以EO= 32+ 3 2 + 22 = 2 ，
所以EM的最小值为EO-R= 2，EM的最大值为EO+R= 4 2，
故EM的取值范围为 2 ,4 2 .
(2)解法一 如图，过点P作平行于AE的直线，则该直线为平面PCD与平面PAE的交线 l.
设点P在平面ACDE内的射影为K，过点K作平行于AC的直线分别交CD，AE于点M ,N，连接PM
,PN，则∠MPN为二面角A- l-C的平面角.
因为PA=PC，所以KA=KC，K为MN的中点，PM=PN，
连接PK，则∠MPK=∠NPK，
tan∠MPK= MK 3PK = PK .
若∠MPN最小，则∠MPK最小，即 tan∠MPK最小，
所以当PK取最大值时，二面角A- l-C取得最小值.
易知当点K为AC的中点时，PK取得最大值，且最大值为 3，
因此 tan∠MPK 3 π的最小值为 3 ，即∠MPK的最小值为 6 ，
所以二面角A- l-C π的最小值为 3 .
解法二：取AC的中点Q，连接PQ，QF，则PQ⊥AC，PQ= 3，QF= 3，
以Q为坐标原点，分别以FQ，QC所在直线为 x , y轴，过点Q与平面ACDE垂直的直线为 z轴，建立
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如图所示的空间直角坐标系，
则A 0,- 3 ,0 ，C 0, 3 ,0 ，D -2, 3 ,0 ，E -4,- 3 ,0 ，

所以DC = 2,0,0 ，EA= 4,0,0 .设∠PQx= θ 0≤θ≤π ，则P 3cosθ,0,3sinθ ，

所以AP= 3cosθ, 3 ,3sinθ ，CP= 3cosθ,- 3 ,3sinθ .
设平面PAE 的法向量为m= x1,y1,z1 ，

m
A P =0 3cosθ x1+ 3y1+3sinθ z =0则 ，即
1 ，
m EA=0 4x1=0
取 z1=-1，则 x1= 0，y1= 3sinθ

，故m= 0, 3sinθ,-1 为平面PAE的一个法向量.
设平面PCD 的法向量为n= a,b,c ，

n
C P =0 3cosθ a- 3b+3sinθ c=0则 ，即n DC=0 2a= ，0
c= 1 a= 0 b= 3sinθ n 取 ，则 ， ，故 = 0, 3sinθ,1 为平面PCD的一个法向量.

易知此时m与n的夹角即二面角A- l-C的平面角.(取 c=-1，则n= 0,- 3sinθ,-1 ，此时m 与n
的夹角为二面角A- l-C的平面角的补角)
设二面角A- l-C的大小为 φ，
m n 2
则 cosφ= cosm ,n = 3sin θ-1 2 1

=
3sin2
= 1- 2 ≤ 2 ，m n θ+1 3sin θ+1
所以当 sinθ= 1时，cosφ 1 π π取得最大值 2 ，此时 φ取得最小值 3 ，故二面角A- l-C的最小值为 3 .
19．【详解】(1)因为 f(1)≤ 2，所以 1-a - 1+ a≤ 2，解得 a≤ 2．
x-
1
x ,x≥a,(2)因为 f(x) =
-x- 1 x +2a,x当 a≤ 0时，f(x) = x- 1x 在 0,+∞ 上递增，
0< a≤ 1 f(x) =-x- 1当 时， x + 2a在 (0 , a]
1
上递增，f(x) = x- x 在 [a ,+∞)上递增．
因此，当 a≤ 1时不存在两个不相等的正实数 x1 , x2满足 f x1 = f x2 ．
当 a> 1时，f(x)在 (0 , 1]上递增，在 1,a 上递减，在 [a ,+∞)上递增，
所以，存在两个不相等的正实数 x1 , x2，满足 f x1 = f x2 ．因此 a> 1．
(i)当 1< a< 2时，f(x) 1的最小值为 a- a ；
当 a≥ 2时，f(x)的最小值为 2a- 52 ．
(ii)不妨设 x1< x2，
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当 0< x1< x2≤ a时，f x 11 = f x2 即-x1- x + 2a=-x -
1
2 x + 2a，1 2
得 x1 x2= 1，所以，x1+ x2> 2 , x1+ x2< 2a；
当 0< x1< a< x 1 12时，f x1 = f x2 即-x1- x + 2a= x2- x ，1 2
1 1
所以，x1+ x2= x - x + 2a< 2a，2 1
又因为 x2> a，即 x2> 2a- x2，所以-x - 11 x + 2a> 2a- x2-
1
x ，得 x1 x2> 1．1 2
所以 2< x1+ x2< 2a．
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