10.1 二元一次方程组的概念
【重难点1】二元一次方程的定义 1
【重难点2】二元一次方程组的定义 3
【重难点3】二元一次方程(组)的解 5
【重难点4】根据实际问题列二元一次方程(组) 7
【重难点5】参数问题 9
【小试牛刀】 12
内容索引·常考题型
内容 常考题型
重点01 二元一次方程的定义 选择题、填空题
重点02 二元一次方程组的定义 选择题、填空题
重点03 二元一次方程(组)的解 选择题、填空题
难点 根据实际问题列二元一次方程(组) 选择题、填空题
易错点 参数问题 选择题、填空题、解答题
【重难点1】二元一次方程的定义
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程
例1:
【典例1】 (2025春 高邮市期中)下列各式是二元一次方程的是( )
A. B.2x=3y+1 C. D.3xy﹣2x=y
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义,依次分析各个选项,选出是二元一次方程的选项即可.含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的整式方程叫做二元一次方程.
【解答】解:A.方程是一元一次方程,不符合二元一次方程的定义,不是二元一次方程,即A选项不符合题意;
B.方程2x=3y+1,符合二元一次方程的定义,是二元一次方程,即B选项符合题意;
C.不是整式方程,不符合二元一次方程的定义,不是二元一次方程,即C选项不符合题意;
D.方程3xy﹣2x=y不是一次方程,不符合二元一次方程的定义,不是二元一次方程,即D选项不符合题意;
故选:B.
【典例2】 (2025春 宿城区校级期中)下列方程中:①x+y=1;②;③x2+2x=﹣1;④3xy=1;⑤,是二元一次方程的是( )
A.①⑤ B.①② C.①④ D.①②④
【答案】A
【分析】含有两个未知数,且两个未知数的次数都为1的整式方程叫二元一次方程,据此逐一判断即可求解.
【解答】解:二元一次方程的定义可知:
是二元一次方程的是①x+y=1;⑤.
故选:A.
【典例3】 (2025春 确山县期中)下列方程中,属于二元一次方程的是( )
A.x﹣xy=8 B.x2﹣2x+1=0 C. D.y=x+1
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可.
【解答】解:根据二元一次方程的定义:方程中含有两个未知数,且含未知数的项的次数是1.可得:方程y=x+1是二元一次方程.
故选:D.
方法点拨
1.在方程中“元”是指未知数,“二元”是指方程中有且只有两个未知数. 2.一个方程是二元一次方程必须满足: (1)等号两边的式子都是整式; (2)有且只有两个未知数; (3)含有未知数的项的次数都是1.
【重难点2】二元一次方程组的定义
方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组
例1:
【典例4】 (2025春 仁寿县期中)下列是二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数,且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程.
【解答】解:A、第一个方程是分式方程,该方程组不上二元一次方程组,故本选项错误;
B、该方程组是三元一次方程组,故本选项错误;
C、该方程组是二元二次方程组,故本选项错误;
D、是二元一次方程组,故本选项正确;
故选:D.
【典例5】 (2024秋 丹巴县期末)下列方程组中,是二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】二元一次方程的定义:含有两个未知数,并且未知数的项的最高次数是1的方程叫二元一次方程.
二元一次方程组的定义:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.
【解答】解:根据定义可以判断
A、满足要求;
B、有a,b,c,是三元方程;
C、有x2,是二次方程;
D、有x2,是二次方程.
故选:A.
【典例6】 (2025春 邯郸期中)方程组中,不属于二元一次方程组的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
【分析】根据由两个一次方程组成,共含有2个未知数的方程组叫做二元一次方程组,进行判断即可.
【解答】解:根据二元一次方程组的定义逐项分析判断如下:
不是整式方程组,不是二元一次方程组,
是二元一次方程组,
是二元二次方程组,不是二元一次方程组,
故选:C.
方法点拨
(1)组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程,但这两个方程必须一共含有两个未知数.如也是二元一次方程组. (2)在方程组的每个方程中,相同字母必须代表同一未知量,否则不能将两个方程联立. (3)二元一次方程组中的各个方程应是整式方程. (4)二元一次方程组有时也由两个以上的二元一次方程组成
【重难点3】二元一次方程(组)的解
一般地,使二元一次方程两边的值两个的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
例1:
【典例7】 (2024秋 永安市期末)下列4组数值中,不是二元一次方程3x﹣y=6的解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的解的定义逐项计算判断即可.
【解答】解:A、把代入方程的左边,左边=3×0﹣6=﹣6,右边=6,左边≠右边,所以不是方程3x﹣y=6的解,故此选项符合题意;
B、把代入方程的左边,左边=3×2﹣0=6,右边=6,左边=右边,所以是方程3x﹣y=6的解,故此选项不符合题意;
C、把代入方程的左边,左边=3×4﹣6=6,右边=6,左边=右边,所以是方程3x﹣y=6的解,故此选项不符合题意;
D、把代入方程的左边,左边=3×(﹣3)﹣(﹣15)=6,右边=6,左边=右边,所以是方程3x﹣y=6的解,故此选项不符合题意;
故选:A.
【典例8】 (2024秋 新田县期末)若是二元一次方程ax+by=﹣2的一个解,则3a﹣2b+2026的值为 .
【答案】2024.
【分析】把x=3,y=﹣2代入方程ax+by=﹣2中得3a﹣2b=﹣2,再整体代入代数式求值即可.
【解答】解:根据题意可得3a﹣2b=﹣2,
∴3a﹣2b+2026=﹣2+2026=2024.
故答案为:2024.
【典例9】 (2025 武汉三模)若是关于x,y的二元一次方程组的解,则2m+6n的值是 .
【答案】12.
【分析】先解二元一次方程组,再代入2m+6代入求解.
【解答】解:由题意得,
∴m=3,n=1.
∴2m+6n=6+6=12.
故答案为:12.
方法点拨
(1)检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解,常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程.只有当这对数值同时满足所有方程时,才能说这对数值是此方程组的解;如果这对数值不满足其中的某个方程,那么它就不是此方程组的解. (2)一般情况下,二元一次方程有无数个解,但并不是说任何一对数值就是它的解.
【重难点4】根据实际问题列二元一次方程(组)
①审:审清题意;
②找:找出题中的两个相等关系;
③设:设两个未知数(一般求什么,就设什么);
④列:根据相等关系列出两个方程,组成方程组.
例1:
【典例10】 (2025 滑县二模)某校九(1)班级部分学生参加社会实践活动,实践基地有宿舍若干间.如果每间宿舍住4人,那么有2人没有宿舍住;如果每间宿舍住6人,那么会空出一间宿舍.设宿舍有x间,学生有y人,则可列出方程组为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据两种住宿安排的描述,分别找出宿舍间数、学生人数的等量关系,从而列出方程组.
【解答】解:根据题意,得:
,
故选:C.
【典例11】 (2025 蒙阴县三模)在某款游戏的周边制作中,某工厂安排工人制作手办和徽章.已知一共有60名工人参与制作,每人每天能制作手办5个或者徽章8个,且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖,设安排x名工人制作手办,y名工人制作徽章,能恰好全部配成套装,下面所列方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据每人每天能制作手办5个或者徽章8个,且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖,列出二元一次方程组即可.
【解答】解:由题意得:,
故选:C.
【典例12】 (2025 拱墅区校级三模)《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”,其原文是:甲乙隔沟放牧,二人暗里参详,甲云得乙九只羊,多你一倍之上;乙说得甲九只,二家之数相当,两人闲坐恼心肠,画地算了半晌.这个题目的意思是:甲、乙两个牧人隔着山沟放羊,甲对乙说:“我若得你9只羊,我的羊多你一倍.”乙对甲说:“我若得你9只羊,我们两家的羊数就一样多.”设甲有x只羊,乙有y只羊,根据题意列出二元一次方程组为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】根据“我若得你9只羊,我的羊多你一倍.”和“我若得你9只羊,我们两家的羊数就一样多”为等量关系,列出方程组即可.
【解答】解:由题意得:
,
故选:B.
方法点拨
解题关键是找相等关系
【重难点5】参数问题
将方程(组)的解代入适合它的方程,得到关于字母参数的新方程,通过解方程或整体代入求值.
例1:
【典例13】 (2025春 九龙坡区校级月考)若关于x,y的方程组的解满足x﹣y=2,则a的值为( )
A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2
【答案】B
【分析】方程②×2得③,再把①﹣③,选取x,a,求出y,再把y值代入x﹣y=2,求出x,最后把x,y的值代入②求出a即可.
【解答】解:,
②×2得:2x﹣8y=4a+6③,
①﹣③得:,
把代入x﹣y=2得:,
把,代入②得:
,
2a+3=7,
2a=4,
a=2,
故选:B.
【典例14】 (2025春 重庆月考)如果二元一次方程组的解是二元一次方程2x﹣3y+14=0的一个解,那么a的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】首先根据加减消元法解二元一次方程组,得到方程组的解(用含a的代数式表示),然后根据二元一次方程的解定义,将x,y的值代入方程2x﹣3y+14=0中,得到关于a的方程,解方程即可求出a的值.
【解答】解:,
①+②得:2x=12a,即x=6a,
①﹣②得:2y=﹣6a,即y=﹣3a,
∵二元一次方程组的解是二元一次方程2x﹣3y+14=0的一个解,
∴把x=6a,y=﹣3a代入方程2x﹣3y+14=0得:12a+9a+14=0,
解得:.
故选:D.
【典例15】 (2025春 莘县期中)已知关于x,y的方程组的解满足x与y互为相反数,则m的值为( )
A. B.2 C.3 D.
【答案】B
【分析】利用方程组中的方程①加方程②可得3x+3y=6﹣3m,进而得到x+y=2﹣m,再根据相反数的定义进行计算即可.
【解答】解:关于x,y的方程组,
①+②得,
3x+3y=6﹣3m,
即x+y=2﹣m,
又∵x与y互为相反数,即x+y=0,
∴2﹣m=0,
解得m=2.
故选:B.
方法点拨
注意不要忽略隐含条件
10.1 二元一次方程组的概念
一、选择题(共10小题)
1.(2025春 南开区校级月考)在下列方程组中,属于二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
2.(2024秋 奉节县期末)已知是关于x,y的二元一次方程mx+ny=7的解,则代数式4m+6n﹣3的值是( )
A.14 B.11 C.7 D.4
3.(2025春 广东期末)已知是关于x,y的二元一次方程2x﹣my=10的一个解,则m的值为( )
A.6 B.﹣6 C.4 D.﹣4
4.(2025春 沙坪坝区期中)已知是二元一次方程y+kx=7的解,则k的值是( )
A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4
5.(2025春 郸城县期中)方程4x+3y=19在正整数范围内的解有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
6.(2025春 迁安市期中)若是二元一次方程mx﹣3y=4(m为常数)的一组解,则m的值为( )
A.10 B.5 C.2 D.﹣1
7.(2025春 江都区期中)下列方程是二元一次方程的是( )
A.x2﹣1=0 B.x C.xy+2=0 D.x0
8.(2025春 曹妃甸区期中)下列方程组中,哪个是二元一次方程组( )
A. B.
C. D.
9.(2025春 封丘县期中)若关于x,y的二元一次方程组的解为,则多项式A可能是( )
A.x﹣3y B.2x﹣y C.x﹣2y D.3x﹣y
10.(2025 舟山三模)动画电影《哪吒2》以打破中国影史记录的票房引起国内外关注,某商家相应推出了联名款的玩偶和人物卡片.已知购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元,购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元,问联名款的玩偶和人物卡片的单价分别为多少?设玩偶单价为x元/个,人物卡片单价为y元/包,可列方程组为( )
A. B.
C. D.
二、填空题(共10小题)
11.(2025 拱墅区校级二模)已知是方程ax﹣6y=4的一组解,则a的值为 .
12.(2025春 闵行区校级期末)已知是二元一次方程mx﹣3y=1的一个解,则m的值为 .
13.(2025春 钱塘区校级期末)若是关于x、y的方程3x﹣2y=2m和5x+y=3n的公共解,则m+n= .
14.(2025春 徐州期末)若关于x,y的方程组的解满足2x+y=1,则m的值为 .
15.(2025春 新沂市月考)二元一次方程x+3y=4有一组解互为相反数,则y的值为 .
16.(2025春 长乐区校级月考)已知是关于x、y的方程6x+my=30的解,则m= .
17.(2025春 宿城区校级期中)已知是关于x,y的二元一次方程组,则x+y= .
18.(2024秋 长寿区校级月考)若方程组是二元一次方程组,则a的值为 .
19.(2025春 南阳期中)已知二元一次方程2x+y=7,请写出该方程的一组整数解: .
20.(2025春 新市区校级期中)若关于x,y的方程(k﹣2)x|k﹣1|+y+1=0是二元一次方程,则k= .
三、解答题(共4小题)
21.(2025春 阳谷县期中)若关于x,y二元一次方程组的解是,求关于a,b的二元一次方程组的解.
22.(2025春 祁东县期中)已知方程组与方程组的解相同,求(2a+b)2025的值.
23.(2025春 沛县月考)若关于x、y的方程组的解x与y相等,求k的值.
24.(2025春 平昌县期中)已知是关于x、y的方程组的解.
(1)求:a、b的值;
(2)求2ab﹣a的值.
一、选择题(共10小题)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C B D B D C D
一、选择题(共10小题)
1.【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义对选项逐一判断:方程组中有两个未知数,含有未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.
【解答】解:A.选项方程组有三个未知数,不是二元一次方程组,故不符合题意;
B.选项方程组是二元一次方程组,故符合题意;
C.选项方程组方程组中的次数是2,不是二元一次方程组,故不符合题意;
D.选项方程组不是二元一次方程组,故不符合题意.
故选:B.
2.【答案】B
【分析】把代入mx+ny=7,求出2m+3n的值,再把所求代数式化成含有2m+3n的形式,最后整体代入进行计算即可.
【解答】解:把代入mx+ny=7得:2m+3n=7,
∴4m+6n﹣3
=2(2m+3n)﹣3
=2×7﹣3
=14﹣3
=11,
故选:B.
3.【答案】D
【分析】把代入方程2x﹣my=10得出2﹣2m=10,再根据等式的性质求出方程的解即可.
【解答】解:∵是关于x,y的二元一次方程2x﹣my=10的一个解,
∴2×1﹣2m=10,
∴2﹣2m=10,
∴﹣2m=10﹣2,
∴﹣2m=8,
∴m=﹣4.
故选:D.
4.【答案】C
【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入二元一次方程y+kx=7中即可求出k的值.
【解答】解:把代入二元一次方程y+kx=7中,﹣1+2k=7,
解得k=4,
故选:C.
5.【答案】B
【分析】由4x+3y=19,可得出y,结合x,y均为正整数,即可得出方程4x+3y=19在正整数范围内的解有2组.
【解答】解:∵4x+3y=19,
∴y,
又∵x,y均为正整数,
∴或,
∴方程4x+3y=19在正整数范围内的解有2组.
故选:B.
6.【答案】D
【分析】将代入原方程,可得出2m﹣3×(﹣2)=4,解之即可得出m的值.
【解答】解:将代入原方程得:2m﹣3×(﹣2)=4,
解得:m=﹣1,
∴m的值为﹣1.
故选:D.
7.【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义进行判断即可.
【解答】解:A、是一元二次方程,故此选项错误,不符合题意;
B、符合二元一次方程的定义,故是二元一次方程,所以此选项正确,符合题意;
C、有两个未知数,但含未知数的项的次数是二次的,不是二元一次方程,故此选项错误,不符合题意;
D、方程左边不是整式,不是二元一次方程,故此选项错误,不符合题意;
故选:B.
8.【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的特点判断即可.主要从3个方面来判断:①两个方程都是整式方程;②含有2个未知数;③含未知数的项的次数是1次.
【解答】解:A、有两个未知数,第一个方程不是整式方程,故不是二元一次方程组,不合题意;
B、有四个未知数,故不是二元一次方程组,不合题意;
C、有两个未知数,第一个方程的次数是2次,故不是二元一次方程组,不合题意;
D、符合二元一次方程组的定义,故是二元一次方程组,符合题意;
故选:D.
9.【答案】C
【分析】将分别代入各选项中的多项式,如果计算结果为0,则多项式A可能是该多项式,否则,多项式A不可能是该多项式.
【解答】解:将代入x﹣3y,
得x﹣3y=2﹣3=﹣1≠0,
∴多项式A不可能是x﹣3y,
∴A不符合题意;
将代入2x﹣y,
得2x﹣y=4﹣1=3≠0,
∴多项式A不可能是2x﹣y,
∴B不符合题意;
将代入x﹣2y,
得x﹣2y=2﹣2=0,
∴多项式A可能是x﹣2y,
∴C符合题意;
将代入3x﹣y,
得3x﹣y=6﹣1=5,
∴多项式A不可能是3x﹣y,
∴D不符合题意.
故选:C.
10.【答案】D
【分析】根据“购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元,购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组.
【解答】解:依题意得:
,
故选:D.
二、填空题(共10小题)
11.【答案】16.
【分析】直接把代入方程ax﹣6y=4中求出a的值即可.
【解答】解:由题意可知:a﹣6×2=4,
∴a=16,
故答案为:16.
12.【答案】7.
【分析】把代入方程计算即可求出m的值.
【解答】解:将代入方程mx﹣3y=1,得:m﹣6=1,
解得:m=7,
故答案为:7.
13.【答案】7.
【分析】把x与y的值分别代入已知两个方程中计算求出m与n的值,代入计算即可求出m+n的值.
【解答】解:把分别代入方程3x﹣2y=2m和5x+y=3n得:6+2=2m,10﹣1=3n,
解得:m=4,n=3,
则m+n=4+3=7.
故答案为:7.
14.【答案】﹣1.
【分析】将方程组中的两方程相加可得2x+y=3m+4,再整体代入可求得此题结果.
【解答】解:将方程组中的两方程相加可得2x+y=3m+4,
由题意得,3m+4=1,
解得m=﹣1,
故答案为:﹣1.
15.【答案】2.
【分析】根据二元一次方程有一组解互为相反数得出x=﹣y,代入方程即可求出y的值.
【解答】解:由题意得x=﹣y,
∴﹣y+3y=4,
∴y=2,
故答案为:2.
16.【答案】﹣6.
【分析】将x、y的值代入方程,然后解一个关于m的方程即可.
【解答】解:将x、y的值代入6x+my=30,
6×3﹣2m=30,
得:m=﹣6,
故答案为:﹣6.
17.【答案】3.
【分析】把方程组的两个方程相加得到x+y=3.
【解答】解:方程组两个方程相加得3(x+y)=9,
解得,x+y=3.
故答案为:3.
18.【答案】0.
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可.
【解答】解:两个一次方程组成,并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组,
则a=0,
故答案为:0.
19.【答案】见试题解答内容
【分析】由2x+y=7,可得出y=7﹣2x,代入x=1求出y值即可.
【解答】解:∵2x+y=7,
∴y=7﹣2x.
当x=1时,y=7﹣2×1=5,
∴是该方程的一组整数解.
故答案为:(答案不唯一).
20.【答案】0.
【分析】二元一次方程满足的条件:含有2个未知数,含未知数的项的次数是1的整式方程,据此解答即可.
【解答】解:依题意,k﹣2≠0,|k﹣1|=1,
解得:k=0,
故答案为:0.
三、解答题(共4小题)
21.【答案】.
【分析】对比两个方程组,可得a+b就是第一个方程组中的x,即a+b=﹣1,同理:a﹣b=﹣2,可得方程组解出即可.
【解答】解:∵关于x、y的二元一次方程组的解是,
∴关于a、b的二元一次方程组满足,
解得.
故关于a、b的二元一次方程组的解是.
22.【答案】﹣1.
【分析】根据题意得到方程组,解出x,y的值再代入可得出a,b的值,然后代入(2a+b)2025求解即可.
【解答】解:由题意可得:,
解二元一次方程组得,
把代入,得,
解得,
∴原式=(2﹣3)2025=﹣1.
23.【答案】k=1.
【分析】根据解二元一次方程组的步骤进行解答.
【解答】解:,
①+②得:x+3x﹣3y﹣y=k﹣2+k,
4x﹣4y=2k﹣2,
∵x=y,
∴4x﹣4y=2k﹣2=0.
解得:k=1.
24.【答案】(1)a=5,b=4;
(2)35.
【分析】(1)根据题意,把方程组的解代入原方程,得到a,b的值;
(2)把a,b的值代入2ab﹣a,得到结果.
【解答】解:(1)∵是关于x、y的方程组的解,
∴,
解得;
(2)2ab﹣a=2×5×4﹣5=3510.1 二元一次方程组的概念
【重难点1】二元一次方程的定义 1
【重难点2】二元一次方程组的定义 2
【重难点3】二元一次方程(组)的解 3
【重难点4】根据实际问题列二元一次方程(组) 4
【重难点5】参数问题 6
【小试牛刀】 7
内容索引·常考题型
内容 常考题型
重点01 二元一次方程的定义 选择题、填空题
重点02 二元一次方程组的定义 选择题、填空题
重点03 二元一次方程(组)的解 选择题、填空题
难点 根据实际问题列二元一次方程(组) 选择题、填空题
易错点 参数问题 选择题、填空题、解答题
【重难点1】二元一次方程的定义
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程
例1:
【典例1】 (2025春 高邮市期中)下列各式是二元一次方程的是( )
A. B.2x=3y+1 C. D.3xy﹣2x=y
【典例2】 (2025春 宿城区校级期中)下列方程中:①x+y=1;②;③x2+2x=﹣1;④3xy=1;⑤,是二元一次方程的是( )
A.①⑤ B.①② C.①④ D.①②④
【典例3】 (2025春 确山县期中)下列方程中,属于二元一次方程的是( )
A.x﹣xy=8 B.x2﹣2x+1=0 C. D.y=x+1
方法点拨
1.在方程中“元”是指未知数,“二元”是指方程中有且只有两个未知数. 2.一个方程是二元一次方程必须满足: (1)等号两边的式子都是整式; (2)有且只有两个未知数; (3)含有未知数的项的次数都是1.
【重难点2】二元一次方程组的定义
方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组
例1:
【典例4】 (2025春 仁寿县期中)下列是二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
【典例5】 (2024秋 丹巴县期末)下列方程组中,是二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
【典例6】 (2025春 邯郸期中)方程组中,不属于二元一次方程组的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
方法点拨
(1)组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程,但这两个方程必须一共含有两个未知数.如也是二元一次方程组. (2)在方程组的每个方程中,相同字母必须代表同一未知量,否则不能将两个方程联立. (3)二元一次方程组中的各个方程应是整式方程. (4)二元一次方程组有时也由两个以上的二元一次方程组成
【重难点3】二元一次方程(组)的解
一般地,使二元一次方程两边的值两个的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
例1:
【典例7】 (2024秋 永安市期末)下列4组数值中,不是二元一次方程3x﹣y=6的解的是( )
A. B.
C. D.
【典例8】 (2024秋 新田县期末)若是二元一次方程ax+by=﹣2的一个解,则3a﹣2b+2026的值为 .
【典例9】 (2025 武汉三模)若是关于x,y的二元一次方程组的解,则2m+6n的值是 .
方法点拨
(1)检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解,常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程.只有当这对数值同时满足所有方程时,才能说这对数值是此方程组的解;如果这对数值不满足其中的某个方程,那么它就不是此方程组的解. (2)一般情况下,二元一次方程有无数个解,但并不是说任何一对数值就是它的解.
【重难点4】根据实际问题列二元一次方程(组)
①审:审清题意;
②找:找出题中的两个相等关系;
③设:设两个未知数(一般求什么,就设什么);
④列:根据相等关系列出两个方程,组成方程组.
例1:
【典例10】 (2025 滑县二模)某校九(1)班级部分学生参加社会实践活动,实践基地有宿舍若干间.如果每间宿舍住4人,那么有2人没有宿舍住;如果每间宿舍住6人,那么会空出一间宿舍.设宿舍有x间,学生有y人,则可列出方程组为( )
A. B.
C. D.
【典例11】 (2025 蒙阴县三模)在某款游戏的周边制作中,某工厂安排工人制作手办和徽章.已知一共有60名工人参与制作,每人每天能制作手办5个或者徽章8个,且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖,设安排x名工人制作手办,y名工人制作徽章,能恰好全部配成套装,下面所列方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
【典例12】 (2025 拱墅区校级三模)《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”,其原文是:甲乙隔沟放牧,二人暗里参详,甲云得乙九只羊,多你一倍之上;乙说得甲九只,二家之数相当,两人闲坐恼心肠,画地算了半晌.这个题目的意思是:甲、乙两个牧人隔着山沟放羊,甲对乙说:“我若得你9只羊,我的羊多你一倍.”乙对甲说:“我若得你9只羊,我们两家的羊数就一样多.”设甲有x只羊,乙有y只羊,根据题意列出二元一次方程组为( )
A.
B.
C.
D.
方法点拨
解题关键是找相等关系
【重难点5】参数问题
将方程(组)的解代入适合它的方程,得到关于字母参数的新方程,通过解方程或整体代入求值.
例1:
【典例13】 (2025春 九龙坡区校级月考)若关于x,y的方程组的解满足x﹣y=2,则a的值为( )
A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2
【典例14】 (2025春 重庆月考)如果二元一次方程组的解是二元一次方程2x﹣3y+14=0的一个解,那么a的值是( )
A. B. C. D.
【典例15】 (2025春 莘县期中)已知关于x,y的方程组的解满足x与y互为相反数,则m的值为( )
A. B.2 C.3 D.
方法点拨
注意不要忽略隐含条件
10.1 二元一次方程组的概念
一、选择题(共10小题)
1.(2025春 南开区校级月考)在下列方程组中,属于二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
2.(2024秋 奉节县期末)已知是关于x,y的二元一次方程mx+ny=7的解,则代数式4m+6n﹣3的值是( )
A.14 B.11 C.7 D.4
3.(2025春 广东期末)已知是关于x,y的二元一次方程2x﹣my=10的一个解,则m的值为( )
A.6 B.﹣6 C.4 D.﹣4
4.(2025春 沙坪坝区期中)已知是二元一次方程y+kx=7的解,则k的值是( )
A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4
5.(2025春 郸城县期中)方程4x+3y=19在正整数范围内的解有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
6.(2025春 迁安市期中)若是二元一次方程mx﹣3y=4(m为常数)的一组解,则m的值为( )
A.10 B.5 C.2 D.﹣1
7.(2025春 江都区期中)下列方程是二元一次方程的是( )
A.x2﹣1=0 B.x C.xy+2=0 D.x0
8.(2025春 曹妃甸区期中)下列方程组中,哪个是二元一次方程组( )
A. B.
C. D.
9.(2025春 封丘县期中)若关于x,y的二元一次方程组的解为,则多项式A可能是( )
A.x﹣3y B.2x﹣y C.x﹣2y D.3x﹣y
10.(2025 舟山三模)动画电影《哪吒2》以打破中国影史记录的票房引起国内外关注,某商家相应推出了联名款的玩偶和人物卡片.已知购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元,购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元,问联名款的玩偶和人物卡片的单价分别为多少?设玩偶单价为x元/个,人物卡片单价为y元/包,可列方程组为( )
A. B.
C. D.
二、填空题(共10小题)
11.(2025 拱墅区校级二模)已知是方程ax﹣6y=4的一组解,则a的值为 .
12.(2025春 闵行区校级期末)已知是二元一次方程mx﹣3y=1的一个解,则m的值为 .
13.(2025春 钱塘区校级期末)若是关于x、y的方程3x﹣2y=2m和5x+y=3n的公共解,则m+n= .
14.(2025春 徐州期末)若关于x,y的方程组的解满足2x+y=1,则m的值为 .
15.(2025春 新沂市月考)二元一次方程x+3y=4有一组解互为相反数,则y的值为 .
16.(2025春 长乐区校级月考)已知是关于x、y的方程6x+my=30的解,则m= .
17.(2025春 宿城区校级期中)已知是关于x,y的二元一次方程组,则x+y= .
18.(2024秋 长寿区校级月考)若方程组是二元一次方程组,则a的值为 .
19.(2025春 南阳期中)已知二元一次方程2x+y=7,请写出该方程的一组整数解: .
20.(2025春 新市区校级期中)若关于x,y的方程(k﹣2)x|k﹣1|+y+1=0是二元一次方程,则k= .
三、解答题(共4小题)
21.(2025春 阳谷县期中)若关于x,y二元一次方程组的解是,求关于a,b的二元一次方程组的解.
22.(2025春 祁东县期中)已知方程组与方程组的解相同,求(2a+b)2025的值.
23.(2025春 沛县月考)若关于x、y的方程组的解x与y相等,求k的值.
24.(2025春 平昌县期中)已知是关于x、y的方程组的解.
(1)求:a、b的值;
(2)求2ab﹣a的值.