10.1 二元一次方程组的概念
【重难点1】二元一次方程的定义 1
【重难点2】二元一次方程组的定义 3
【重难点3】二元一次方程（组）的解 5
【重难点4】根据实际问题列二元一次方程（组） 7
【重难点5】参数问题 9
【小试牛刀】 12
内容索引·常考题型
内容 常考题型
重点01 二元一次方程的定义 选择题、填空题
重点02 二元一次方程组的定义 选择题、填空题
重点03 二元一次方程（组）的解 选择题、填空题
难点 根据实际问题列二元一次方程（组） 选择题、填空题
易错点 参数问题 选择题、填空题、解答题
【重难点1】二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程
例1：
【典例1】 （2025春 高邮市期中）下列各式是二元一次方程的是（ ）
A． B．2x＝3y+1 C． D．3xy﹣2x＝y
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【解答】解：A．方程是一元一次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即A选项不符合题意；
B．方程2x＝3y+1，符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，即B选项符合题意；
C．不是整式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即C选项不符合题意；
D．方程3xy﹣2x＝y不是一次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即D选项不符合题意；
故选：B．
【典例2】 （2025春 宿城区校级期中）下列方程中：①x+y＝1；②；③x2+2x＝﹣1；④3xy＝1；⑤，是二元一次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④
【答案】A
【分析】含有两个未知数，且两个未知数的次数都为1的整式方程叫二元一次方程，据此逐一判断即可求解．
【解答】解：二元一次方程的定义可知：
是二元一次方程的是①x+y＝1；⑤．
故选：A．
【典例3】 （2025春 确山县期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A．x﹣xy＝8 B．x2﹣2x+1＝0 C． D．y＝x+1
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：根据二元一次方程的定义：方程中含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1．可得：方程y＝x+1是二元一次方程．
故选：D．
方法点拨
1．在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数． 2．一个方程是二元一次方程必须满足： （1）等号两边的式子都是整式； （2）有且只有两个未知数； （3）含有未知数的项的次数都是1．
【重难点2】二元一次方程组的定义
方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组
例1：
【典例4】 （2025春 仁寿县期中）下列是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【解答】解：A、第一个方程是分式方程，该方程组不上二元一次方程组，故本选项错误；
B、该方程组是三元一次方程组，故本选项错误；
C、该方程组是二元二次方程组，故本选项错误；
D、是二元一次方程组，故本选项正确；
故选：D．
【典例5】 （2024秋 丹巴县期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的方程叫二元一次方程．
二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．
【解答】解：根据定义可以判断
A、满足要求；
B、有a，b，c，是三元方程；
C、有x2，是二次方程；
D、有x2，是二次方程．
故选：A．
【典例6】 （2025春 邯郸期中）方程组中，不属于二元一次方程组的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据由两个一次方程组成，共含有2个未知数的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可．
【解答】解：根据二元一次方程组的定义逐项分析判断如下：
不是整式方程组，不是二元一次方程组，
是二元一次方程组，
是二元二次方程组，不是二元一次方程组，
故选：C．
方法点拨
（1）组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组． （2）在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立． （3）二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． （4）二元一次方程组有时也由两个以上的二元一次方程组成
【重难点3】二元一次方程（组）的解
一般地，使二元一次方程两边的值两个的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
例1：
【典例7】 （2024秋 永安市期末）下列4组数值中，不是二元一次方程3x﹣y＝6的解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的解的定义逐项计算判断即可．
【解答】解：A、把代入方程的左边，左边＝3×0﹣6＝﹣6，右边＝6，左边≠右边，所以不是方程3x﹣y＝6的解，故此选项符合题意；
B、把代入方程的左边，左边＝3×2﹣0＝6，右边＝6，左边＝右边，所以是方程3x﹣y＝6的解，故此选项不符合题意；
C、把代入方程的左边，左边＝3×4﹣6＝6，右边＝6，左边＝右边，所以是方程3x﹣y＝6的解，故此选项不符合题意；
D、把代入方程的左边，左边＝3×（﹣3）﹣（﹣15）＝6，右边＝6，左边＝右边，所以是方程3x﹣y＝6的解，故此选项不符合题意；
故选：A．
【典例8】 （2024秋 新田县期末）若是二元一次方程ax+by＝﹣2的一个解，则3a﹣2b+2026的值为 ．
【答案】2024．
【分析】把x＝3，y＝﹣2代入方程ax+by＝﹣2中得3a﹣2b＝﹣2，再整体代入代数式求值即可．
【解答】解：根据题意可得3a﹣2b＝﹣2，
∴3a﹣2b+2026＝﹣2+2026＝2024．
故答案为：2024．
【典例9】 （2025 武汉三模）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则2m+6n的值是 ．
【答案】12．
【分析】先解二元一次方程组，再代入2m+6代入求解．
【解答】解：由题意得，
∴m＝3，n＝1．
∴2m+6n＝6+6＝12．
故答案为：12．
方法点拨
（1）检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解，常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程．只有当这对数值同时满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；如果这对数值不满足其中的某个方程，那么它就不是此方程组的解． （2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，但并不是说任何一对数值就是它的解．
【重难点4】根据实际问题列二元一次方程（组）
①审：审清题意；
②找：找出题中的两个相等关系；
③设：设两个未知数（一般求什么，就设什么）；
④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组．
例1：
【典例10】 （2025 滑县二模）某校九（1）班级部分学生参加社会实践活动，实践基地有宿舍若干间．如果每间宿舍住4人，那么有2人没有宿舍住；如果每间宿舍住6人，那么会空出一间宿舍．设宿舍有x间，学生有y人，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两种住宿安排的描述，分别找出宿舍间数、学生人数的等量关系，从而列出方程组．
【解答】解：根据题意，得：
，
故选：C．
【典例11】 （2025 蒙阴县三模）在某款游戏的周边制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章．已知一共有60名工人参与制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖，设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章，能恰好全部配成套装，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
故选：C．
【典例12】 （2025 拱墅区校级三模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可．
【解答】解：由题意得：
，
故选：B．
方法点拨
解题关键是找相等关系
【重难点5】参数问题
将方程（组）的解代入适合它的方程，得到关于字母参数的新方程，通过解方程或整体代入求值．
例1：
【典例13】 （2025春 九龙坡区校级月考）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝2，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】B
【分析】方程②×2得③，再把①﹣③，选取x，a，求出y，再把y值代入x﹣y＝2，求出x，最后把x，y的值代入②求出a即可．
【解答】解：，
②×2得：2x﹣8y＝4a+6③，
①﹣③得：，
把代入x﹣y＝2得：，
把，代入②得：
，
2a+3＝7，
2a＝4，
a＝2，
故选：B．
【典例14】 （2025春 重庆月考）如果二元一次方程组的解是二元一次方程2x﹣3y+14＝0的一个解，那么a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据加减消元法解二元一次方程组，得到方程组的解（用含a的代数式表示），然后根据二元一次方程的解定义，将x，y的值代入方程2x﹣3y+14＝0中，得到关于a的方程，解方程即可求出a的值．
【解答】解：，
①+②得：2x＝12a，即x＝6a，
①﹣②得：2y＝﹣6a，即y＝﹣3a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程2x﹣3y+14＝0的一个解，
∴把x＝6a，y＝﹣3a代入方程2x﹣3y+14＝0得：12a+9a+14＝0，
解得：．
故选：D．
【典例15】 （2025春 莘县期中）已知关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则m的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】利用方程组中的方程①加方程②可得3x+3y＝6﹣3m，进而得到x+y＝2﹣m，再根据相反数的定义进行计算即可．
【解答】解：关于x，y的方程组，
①+②得，
3x+3y＝6﹣3m，
即x+y＝2﹣m，
又∵x与y互为相反数，即x+y＝0，
∴2﹣m＝0，
解得m＝2．
故选：B．
方法点拨
注意不要忽略隐含条件
10.1 二元一次方程组的概念
一、选择题（共10小题）
1．（2025春 南开区校级月考）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 奉节县期末）已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（ ）
A．14 B．11 C．7 D．4
3．（2025春 广东期末）已知是关于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一个解，则m的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
4．（2025春 沙坪坝区期中）已知是二元一次方程y+kx＝7的解，则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
5．（2025春 郸城县期中）方程4x+3y＝19在正整数范围内的解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．（2025春 迁安市期中）若是二元一次方程mx﹣3y＝4（m为常数）的一组解，则m的值为（ ）
A．10 B．5 C．2 D．﹣1
7．（2025春 江都区期中）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x C．xy+2＝0 D．x0
8．（2025春 曹妃甸区期中）下列方程组中，哪个是二元一次方程组（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025春 封丘县期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可能是（ ）
A．x﹣3y B．2x﹣y C．x﹣2y D．3x﹣y
10．（2025 舟山三模）动画电影《哪吒2》以打破中国影史记录的票房引起国内外关注，某商家相应推出了联名款的玩偶和人物卡片．已知购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元，问联名款的玩偶和人物卡片的单价分别为多少？设玩偶单价为x元/个，人物卡片单价为y元/包，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共10小题）
11．（2025 拱墅区校级二模）已知是方程ax﹣6y＝4的一组解，则a的值为 ．
12．（2025春 闵行区校级期末）已知是二元一次方程mx﹣3y＝1的一个解，则m的值为 ．
13．（2025春 钱塘区校级期末）若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝ ．
14．（2025春 徐州期末）若关于x，y的方程组的解满足2x+y＝1，则m的值为 ．
15．（2025春 新沂市月考）二元一次方程x+3y＝4有一组解互为相反数，则y的值为 ．
16．（2025春 长乐区校级月考）已知是关于x、y的方程6x+my＝30的解，则m＝ ．
17．（2025春 宿城区校级期中）已知是关于x，y的二元一次方程组，则x+y＝ ．
18．（2024秋 长寿区校级月考）若方程组是二元一次方程组，则a的值为 ．
19．（2025春 南阳期中）已知二元一次方程2x+y＝7，请写出该方程的一组整数解： ．
20．（2025春 新市区校级期中）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k﹣1|+y+1＝0是二元一次方程，则k＝ ．
三、解答题（共4小题）
21．（2025春 阳谷县期中）若关于x，y二元一次方程组的解是，求关于a，b的二元一次方程组的解．
22．（2025春 祁东县期中）已知方程组与方程组的解相同，求（2a+b）2025的值．
23．（2025春 沛县月考）若关于x、y的方程组的解x与y相等，求k的值．
24．（2025春 平昌县期中）已知是关于x、y的方程组的解．
（1）求：a、b的值；
（2）求2ab﹣a的值．
一、选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C B D B D C D
一、选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义对选项逐一判断：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
【解答】解：A．选项方程组有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意；
B．选项方程组是二元一次方程组，故符合题意；
C．选项方程组方程组中的次数是2，不是二元一次方程组，故不符合题意；
D．选项方程组不是二元一次方程组，故不符合题意．
故选：B．
2．【答案】B
【分析】把代入mx+ny＝7，求出2m+3n的值，再把所求代数式化成含有2m+3n的形式，最后整体代入进行计算即可．
【解答】解：把代入mx+ny＝7得：2m+3n＝7，
∴4m+6n﹣3
＝2（2m+3n）﹣3
＝2×7﹣3
＝14﹣3
＝11，
故选：B．
3．【答案】D
【分析】把代入方程2x﹣my＝10得出2﹣2m＝10，再根据等式的性质求出方程的解即可．
【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一个解，
∴2×1﹣2m＝10，
∴2﹣2m＝10，
∴﹣2m＝10﹣2，
∴﹣2m＝8，
∴m＝﹣4．
故选：D．
4．【答案】C
【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入二元一次方程y+kx＝7中即可求出k的值．
【解答】解：把代入二元一次方程y+kx＝7中，﹣1+2k＝7，
解得k＝4，
故选：C．
5．【答案】B
【分析】由4x+3y＝19，可得出y，结合x，y均为正整数，即可得出方程4x+3y＝19在正整数范围内的解有2组．
【解答】解：∵4x+3y＝19，
∴y，
又∵x，y均为正整数，
∴或，
∴方程4x+3y＝19在正整数范围内的解有2组．
故选：B．
6．【答案】D
【分析】将代入原方程，可得出2m﹣3×（﹣2）＝4，解之即可得出m的值．
【解答】解：将代入原方程得：2m﹣3×（﹣2）＝4，
解得：m＝﹣1，
∴m的值为﹣1．
故选：D．
7．【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义进行判断即可．
【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；
B、符合二元一次方程的定义，故是二元一次方程，所以此选项正确，符合题意；
C、有两个未知数，但含未知数的项的次数是二次的，不是二元一次方程，故此选项错误，不符合题意；
D、方程左边不是整式，不是二元一次方程，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
8．【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的特点判断即可．主要从3个方面来判断：①两个方程都是整式方程；②含有2个未知数；③含未知数的项的次数是1次．
【解答】解：A、有两个未知数，第一个方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意；
B、有四个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意；
C、有两个未知数，第一个方程的次数是2次，故不是二元一次方程组，不合题意；
D、符合二元一次方程组的定义，故是二元一次方程组，符合题意；
故选：D．
9．【答案】C
【分析】将分别代入各选项中的多项式，如果计算结果为0，则多项式A可能是该多项式，否则，多项式A不可能是该多项式．
【解答】解：将代入x﹣3y，
得x﹣3y＝2﹣3＝﹣1≠0，
∴多项式A不可能是x﹣3y，
∴A不符合题意；
将代入2x﹣y，
得2x﹣y＝4﹣1＝3≠0，
∴多项式A不可能是2x﹣y，
∴B不符合题意；
将代入x﹣2y，
得x﹣2y＝2﹣2＝0，
∴多项式A可能是x﹣2y，
∴C符合题意；
将代入3x﹣y，
得3x﹣y＝6﹣1＝5，
∴多项式A不可能是3x﹣y，
∴D不符合题意．
故选：C．
10．【答案】D
【分析】根据“购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
【解答】解：依题意得：
，
故选：D．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】16．
【分析】直接把代入方程ax﹣6y＝4中求出a的值即可．
【解答】解：由题意可知：a﹣6×2＝4，
∴a＝16，
故答案为：16．
12．【答案】7．
【分析】把代入方程计算即可求出m的值．
【解答】解：将代入方程mx﹣3y＝1，得：m﹣6＝1，
解得：m＝7，
故答案为：7．
13．【答案】7．
【分析】把x与y的值分别代入已知两个方程中计算求出m与n的值，代入计算即可求出m+n的值．
【解答】解：把分别代入方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n得：6+2＝2m，10﹣1＝3n，
解得：m＝4，n＝3，
则m+n＝4+3＝7．
故答案为：7．
14．【答案】﹣1．
【分析】将方程组中的两方程相加可得2x+y＝3m+4，再整体代入可求得此题结果．
【解答】解：将方程组中的两方程相加可得2x+y＝3m+4，
由题意得，3m+4＝1，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．【答案】2．
【分析】根据二元一次方程有一组解互为相反数得出x＝﹣y，代入方程即可求出y的值．
【解答】解：由题意得x＝﹣y，
∴﹣y+3y＝4，
∴y＝2，
故答案为：2．
16．【答案】﹣6．
【分析】将x、y的值代入方程，然后解一个关于m的方程即可．
【解答】解：将x、y的值代入6x+my＝30，
6×3﹣2m＝30，
得：m＝﹣6，
故答案为：﹣6．
17．【答案】3．
【分析】把方程组的两个方程相加得到x+y＝3．
【解答】解：方程组两个方程相加得3（x+y）＝9，
解得，x+y＝3．
故答案为：3．
18．【答案】0．
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
【解答】解：两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，
则a＝0，
故答案为：0．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】由2x+y＝7，可得出y＝7﹣2x，代入x＝1求出y值即可．
【解答】解：∵2x+y＝7，
∴y＝7﹣2x．
当x＝1时，y＝7﹣2×1＝5，
∴是该方程的一组整数解．
故答案为：（答案不唯一）．
20．【答案】0．
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【解答】解：依题意，k﹣2≠0，|k﹣1|＝1，
解得：k＝0，
故答案为：0．
三、解答题（共4小题）
21．【答案】．
【分析】对比两个方程组，可得a+b就是第一个方程组中的x，即a+b＝﹣1，同理：a﹣b＝﹣2，可得方程组解出即可．
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴关于a、b的二元一次方程组满足，
解得．
故关于a、b的二元一次方程组的解是．
22．【答案】﹣1．
【分析】根据题意得到方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，然后代入（2a+b）2025求解即可．
【解答】解：由题意可得：，
解二元一次方程组得，
把代入，得，
解得，
∴原式＝（2﹣3）2025＝﹣1．
23．【答案】k＝1．
【分析】根据解二元一次方程组的步骤进行解答．
【解答】解：，
①+②得：x+3x﹣3y﹣y＝k﹣2+k，
4x﹣4y＝2k﹣2，
∵x＝y，
∴4x﹣4y＝2k﹣2＝0．
解得：k＝1．
24．【答案】（1）a＝5，b＝4；
（2）35．
【分析】（1）根据题意，把方程组的解代入原方程，得到a，b的值；
（2）把a，b的值代入2ab﹣a，得到结果．
【解答】解：（1）∵是关于x、y的方程组的解，
∴，
解得；
（2）2ab﹣a＝2×5×4﹣5＝3510.1 二元一次方程组的概念
【重难点1】二元一次方程的定义 1
【重难点2】二元一次方程组的定义 2
【重难点3】二元一次方程（组）的解 3
【重难点4】根据实际问题列二元一次方程（组） 4
【重难点5】参数问题 6
【小试牛刀】 7
内容索引·常考题型
内容 常考题型
重点01 二元一次方程的定义 选择题、填空题
重点02 二元一次方程组的定义 选择题、填空题
重点03 二元一次方程（组）的解 选择题、填空题
难点 根据实际问题列二元一次方程（组） 选择题、填空题
易错点 参数问题 选择题、填空题、解答题
【重难点1】二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程
例1：
【典例1】 （2025春 高邮市期中）下列各式是二元一次方程的是（ ）
A． B．2x＝3y+1 C． D．3xy﹣2x＝y
【典例2】 （2025春 宿城区校级期中）下列方程中：①x+y＝1；②；③x2+2x＝﹣1；④3xy＝1；⑤，是二元一次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④
【典例3】 （2025春 确山县期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A．x﹣xy＝8 B．x2﹣2x+1＝0 C． D．y＝x+1
方法点拨
1．在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数． 2．一个方程是二元一次方程必须满足： （1）等号两边的式子都是整式； （2）有且只有两个未知数； （3）含有未知数的项的次数都是1．
【重难点2】二元一次方程组的定义
方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组
例1：
【典例4】 （2025春 仁寿县期中）下列是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例5】 （2024秋 丹巴县期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例6】 （2025春 邯郸期中）方程组中，不属于二元一次方程组的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
方法点拨
（1）组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组． （2）在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立． （3）二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． （4）二元一次方程组有时也由两个以上的二元一次方程组成
【重难点3】二元一次方程（组）的解
一般地，使二元一次方程两边的值两个的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
例1：
【典例7】 （2024秋 永安市期末）下列4组数值中，不是二元一次方程3x﹣y＝6的解的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例8】 （2024秋 新田县期末）若是二元一次方程ax+by＝﹣2的一个解，则3a﹣2b+2026的值为 ．
【典例9】 （2025 武汉三模）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则2m+6n的值是 ．
方法点拨
（1）检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解，常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程．只有当这对数值同时满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；如果这对数值不满足其中的某个方程，那么它就不是此方程组的解． （2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，但并不是说任何一对数值就是它的解．
【重难点4】根据实际问题列二元一次方程（组）
①审：审清题意；
②找：找出题中的两个相等关系；
③设：设两个未知数（一般求什么，就设什么）；
④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组．
例1：
【典例10】 （2025 滑县二模）某校九（1）班级部分学生参加社会实践活动，实践基地有宿舍若干间．如果每间宿舍住4人，那么有2人没有宿舍住；如果每间宿舍住6人，那么会空出一间宿舍．设宿舍有x间，学生有y人，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【典例11】 （2025 蒙阴县三模）在某款游戏的周边制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章．已知一共有60名工人参与制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖，设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章，能恰好全部配成套装，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例12】 （2025 拱墅区校级三模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法点拨
解题关键是找相等关系
【重难点5】参数问题
将方程（组）的解代入适合它的方程，得到关于字母参数的新方程，通过解方程或整体代入求值．
例1：
【典例13】 （2025春 九龙坡区校级月考）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝2，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【典例14】 （2025春 重庆月考）如果二元一次方程组的解是二元一次方程2x﹣3y+14＝0的一个解，那么a的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例15】 （2025春 莘县期中）已知关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则m的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
方法点拨
注意不要忽略隐含条件
10.1 二元一次方程组的概念
一、选择题（共10小题）
1．（2025春 南开区校级月考）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 奉节县期末）已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（ ）
A．14 B．11 C．7 D．4
3．（2025春 广东期末）已知是关于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一个解，则m的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
4．（2025春 沙坪坝区期中）已知是二元一次方程y+kx＝7的解，则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
5．（2025春 郸城县期中）方程4x+3y＝19在正整数范围内的解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．（2025春 迁安市期中）若是二元一次方程mx﹣3y＝4（m为常数）的一组解，则m的值为（ ）
A．10 B．5 C．2 D．﹣1
7．（2025春 江都区期中）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x C．xy+2＝0 D．x0
8．（2025春 曹妃甸区期中）下列方程组中，哪个是二元一次方程组（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025春 封丘县期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可能是（ ）
A．x﹣3y B．2x﹣y C．x﹣2y D．3x﹣y
10．（2025 舟山三模）动画电影《哪吒2》以打破中国影史记录的票房引起国内外关注，某商家相应推出了联名款的玩偶和人物卡片．已知购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元，问联名款的玩偶和人物卡片的单价分别为多少？设玩偶单价为x元/个，人物卡片单价为y元/包，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共10小题）
11．（2025 拱墅区校级二模）已知是方程ax﹣6y＝4的一组解，则a的值为 ．
12．（2025春 闵行区校级期末）已知是二元一次方程mx﹣3y＝1的一个解，则m的值为 ．
13．（2025春 钱塘区校级期末）若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝ ．
14．（2025春 徐州期末）若关于x，y的方程组的解满足2x+y＝1，则m的值为 ．
15．（2025春 新沂市月考）二元一次方程x+3y＝4有一组解互为相反数，则y的值为 ．
16．（2025春 长乐区校级月考）已知是关于x、y的方程6x+my＝30的解，则m＝ ．
17．（2025春 宿城区校级期中）已知是关于x，y的二元一次方程组，则x+y＝ ．
18．（2024秋 长寿区校级月考）若方程组是二元一次方程组，则a的值为 ．
19．（2025春 南阳期中）已知二元一次方程2x+y＝7，请写出该方程的一组整数解： ．
20．（2025春 新市区校级期中）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k﹣1|+y+1＝0是二元一次方程，则k＝ ．
三、解答题（共4小题）
21．（2025春 阳谷县期中）若关于x，y二元一次方程组的解是，求关于a，b的二元一次方程组的解．
22．（2025春 祁东县期中）已知方程组与方程组的解相同，求（2a+b）2025的值．
23．（2025春 沛县月考）若关于x、y的方程组的解x与y相等，求k的值．
24．（2025春 平昌县期中）已知是关于x、y的方程组的解．
（1）求：a、b的值；
（2）求2ab﹣a的值．
