2024-2025学年第二学期北师大版数学八年级下册期末模拟试题
答案解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 武汉期末）若分式有意义时，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x＞1
【解答】解：由题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：B．
2．（3分）（2022秋 襄汾县月考）下列各剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
3．（3分）（2022秋 青羊区校级期末）若m＞n，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．3m＜4n B．3+m＞3+n C．3﹣m＞3﹣n D．
【解答】解：∵m＞n，
∴3m＞3n，但是3m与4n的关系不确定，3m＞4n，3m＝4n，3m＜4n都有可能，
∴选项A不符合题意；
∵m＞n，
∴3+m＞3+n，
∴选项B符合题意；
∵m＞n，
∴﹣m＜﹣n，
∴3﹣m＜3﹣n，
∴选项C不符合题意；
∵m＞n，
∴，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
4．（3分）分解因式：9x2﹣12x+4的结果是（ ）
A．（3x+4）2 B．（3x﹣2）2 C．（2x+3）2 D．（3x﹣6）2
【解答】解：9x2﹣12x+4＝（3x﹣2）2．
故选：B．
5．（3分）（2023春 宜春期中）如图，通过平移图可以得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据平移性质可知：
为平移左图可以得到的图形，
故选：A．
6．（3分）（2022秋 曲沃县期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝36°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AC的平行线，交AB于点E．则图中的等腰三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：∵△ABC中，AB＝BC，∠B＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC＝∠BCA＝72°，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形；
∵∠BCA＝72°，∠CAD＝36°，
∴∠ADC＝72°，
∴△ADC是等腰三角形；
∵ED∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD＝36°，∠BED＝∠BAC＝72°，
∴△AED是等腰三角形；
∵在△EBD中，∠BED+∠B+∠BDE＝180°，
∴∠BDE＝72°，
∴△EDB是等腰三角形，
∴图中的等腰三角形有5个，
故选：C．
7．（3分）（2024 巴中）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为x km/h，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设慢车的速度为x km/h，则快车的速度为（x+20）km/h，
根据题意可得：．
故选：A．
8．（3分）（2023秋 赵县校级月考）如图，在 ABCD中，E为CD的中点，连接AE交BD于点F，射线CF与射线BA交于点G．结论Ⅰ：AF＝2EF；结论Ⅱ：S△ABF＝S△BCF．对上面两个结论，下列说法正确的是（ ）
A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误
B．结论Ⅱ正确，结论Ⅰ错误
C．两个结论都正确
D．两个结论都错误
【解答】解：∵在 ABCD中，E为CD的中点，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2ED，
∴△ABF∽△EDF，
∴，
∴AF＝2EF，故结论Ⅰ正确；
如图所示，过点A作AM⊥BD，过点C作CN⊥BD，
∵在 ABCD中，
∴AB＝CD，AD＝BC，BD＝BD，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴AM＝CN，
∴，，
∴S△ABF＝S△BCF，故结论Ⅱ正确，
综上所述，两个结论都正确．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2024春 七星关区校级期末）关于x的分式方程无解，则m＝ ﹣2 ．
【解答】解：方程去分母得：2x＝m，
解得：，
当x＝﹣1时分母为0，方程无解，
即，m＝﹣2时方程无解．
故答案为：﹣2．
10．（3分）（2023 伊通县三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB'C'（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接CC'．若∠CC'B'＝20°，则∠B的大小是 65° ．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′，
∴AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠B＝∠AB'C'，
∴△ACC'是等腰直角三角形，
∴∠ACC'＝45°，
∴∠AB'C'＝∠ACC'+∠B'C'C＝45°+20°＝65°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65°．
11．（3分）（2025 长沙模拟）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 六 ．
【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2） 180°＝2×360°，
解得n＝6，
∴这个多边形为六边形．
故答案为：六．
12．（3分）（2024 滕州市校级一模）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6 交于点P（3，5），则关于x的不等式kx+6＜x+b的解集是 x＞3 ．
【解答】解：由函数图象知，当x＞3时，kx+6＜x+b，
即不等式kx+6＜x+b的解集为x＞3．
故答案为：x＞3．
13．（3分）（2025春 淮安区校级期中）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F是BC和DO的中点，若AC＝6，BD＝10，CD＝5，则tan∠OFE的值为 ．
【解答】解：设EF与OC交于点H，过点D作DP⊥OC于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝6，BD＝10，CD＝5，
∴AB＝CD＝5，OA＝OCAC＝3，BO＝DOBD＝5，
∴AB＝BO＝DO＝CD＝5，
∴∠BAO＝∠BOA，
∵DP⊥OC，
∴OP＝PCOC，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OEBC，OE∥AB，
∴∠EOH＝∠BAO，
∴∠EOH＝∠BOA，
又∵∠BOA＝∠FOH，
∴∠EOH＝∠FOH，
∵点F是DO的中点，
∴OFDO，
∴OE＝OF，
在△OEH和△OFH中，
，
∴△OEH≌△OFH（SAS），
∴∠OHE＝∠OHF，
∵∠OHE+∠OHF＝180°，
∴∠OHE＝∠OHF＝90°，
∴EF⊥OC，
∵DP⊥OC，
∴EF∥DP，
∴∠OFE＝∠ODP，
在Rt△ODP中，由勾股定理得：DP，
∴tan∠ODP．
∴tan∠OFE＝tan∠ODP．
故答案为：．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）（2023春 房山区期中）本学期学习了一元一次不等式的解法，下面是小明同学的解题过程：
解不等式． 解：去分母，得2（x﹣2）﹣4≤5x+1， 去括号，得2x﹣4﹣4≤5x+1， 移项，得2x﹣5x≤1+4+4， 合并同类项，得﹣3x≤9， 系数化为1，得x≤﹣3．
上述小明同学的解题过程是否正确？如果不正确，请写出正确的解题过程．
【解答】解：不正确．
2（x﹣2）﹣4≤5x+l，
2x﹣4﹣4≤5x+1，
2x﹣5x≤1+4+4，
﹣3x≤9，
x≥﹣3．
15．（5分）（2023秋 江油市校级月考）解分式方程：．
【解答】解：，
方程可化为，
方程两边同乘3（x﹣1），得3x﹣3（x﹣1）＝2x，
解得x＝1.5，
检验：当x＝1.5时，3（x﹣1）≠0，
所以分式方程的解为x＝1.5．
16．（5分）（2021秋 微山县校级月考）因式分解：
①8a3﹣2a；
②x2（a﹣1）+4（1﹣a）．
【解答】解：①8a3﹣2a
＝2a（4a2﹣1）
＝2a（2a+1）（2a﹣1）；
②x2（a﹣1）+4（1﹣a）
＝x2（a﹣1）﹣4（a﹣1）
＝（a﹣1）（x2﹣4）
＝（a﹣1）（x+2）（x﹣2）．
17．（5分）（2021秋 武义县校级月考）在4×4的正方形网格的格点（格点即小正方形的顶点）上找一点C，作出符合相应条件的△ABC．（画出一个满足条件的即可）
【解答】解：图形如图所示：
18．（5分）（2023秋 鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过直角顶点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．当直线l绕点C转动时，若AD＝a，BE＝b，试画出示意的图形并用含a、b的代数式直接表示出DE的长度．
【解答】解：①当D在△ABC外，E在△ABC内时，如图：
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE，
∵BE⊥l，
∴∠CBE＝90°﹣∠BCE，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵AD⊥l，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
在△ACD和△CEB中，
，
∴△ACD≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DE＝CD﹣CE，
∴DE＝BE﹣AD，
∵AD＝a，BE＝b，
∴DE＝b﹣a；
②当D，E都在△ABC外时，如图：
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE，
∵BE⊥l，
∴∠CBE＝90°﹣∠BCE，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵AD⊥l，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
在△ACD和△CEB中，
，
∴△ACD≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DE＝CD+CE，
∴DE＝BE+AD，
∵AD＝a，BE＝b，
∴DE＝b+a；
③当D在△ABC内，E在△ABC外时，如图：
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE，
∵BE⊥l，
∴∠CBE＝90°﹣∠BCE，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵AD⊥l，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
在△ACD和△CEB中，
，
∴△ACD≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DE＝CE﹣CD，
∴DE＝AD﹣BE，
∵AD＝a，BE＝b，
∴DE＝a﹣b；
综上所述，DE的长度为b﹣a或b+a或a﹣b．
19．（5分）（2022春 临渭区期末）解不等式组并把解集表示在数轴上：．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤8.2，
解不等式②得：x＞4，
∴原不等式组的解集：4＜x≤8.2，
该不等式组的解集在数轴表示如图所示：
20．（5分）（2024春 普宁市期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，﹣2），B（﹣2，﹣2），C（﹣1，0）．
（1）将△ABC向右平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C旋转180°，画出旋转后的△A2B2C．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C即为所求．
21．（6分）（2022秋 长丰县校级期末）化简：（x﹣1），再从1，0，﹣1，﹣2中选一个喜欢的数求值．
【解答】解：原式（）
，
由题意得：x≠0，x+1≠0，x+2≠0，
∴x≠0，x≠﹣1，x≠﹣2，
当x＝1时，原式．
22．（7分）（2024春 历下区期末）如图，点O为 ABCD的对角线AC，BD的交点，经过点O的直线分别与BA的延长线和DC的延长线交于点E，F．求证：BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB∥CD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF．
23．（7分）用平方差公式进行计算：
（1）103×97；
（2）118×122．
【解答】解：103×97
＝（100+3）×（100﹣3）
＝1002﹣32
＝10000﹣9
＝9991；
（2）118×122
＝（120﹣2）×（120+2）
＝1202﹣22
＝14400﹣4
＝14396．
24．（8分）（2024春 青岛期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，过BC的垂直平分线上一点D作DH⊥AB于H，DF⊥CA延长线于F，且DF＝DH，连接BD．
（1）求证：AF＝AH；
（2）AD的长为 ．
【解答】（1）证明：∵DH⊥AB，DF⊥CA，
∴∠DHA＝∠DFA＝90°，
∵AD＝AD，DF＝DH，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴AF＝AH；
（2）解：∵DF⊥CA，DE垂直平分BC，
∴∠DFA＝∠DEC＝∠DEB＝90°，BE＝CE，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴CE＝DF＝DH，DE＝CF，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC4，
∴BE＝CEBC＝2，
∴DH＝DF＝CE＝2，
由（1）可知，AF＝AH，
设AF＝AH＝x，则DE＝CF＝AC+AF＝3+x，BH＝AB﹣AH＝5﹣x，
在Rt△BDE和Rt△BDH中，由勾股定理得：BE2+DE2＝BD2，DH2+BH2＝BD2，
∴BE2+DE2＝DH2+BH2，
即22+（3+x）2＝22+（5﹣x）2，
解得：x＝1，
∴AF＝1，
∴AD，
故答案为：．
25．（8分）（2022秋 九龙坡区期末）回家过年，一家团聚，是我们每个中国人的信仰．在这春节来临之际，置办年货当然也是每个家庭必需要做的事情．某商家看准商机，购进A，B两种春节大礼包进行销售，已知一个B礼包比A礼包的进价多30元，其中购买A礼包花费4000元，购买B礼包花费3200元，且购买A礼包的数量是购买B礼包数量的2倍．
（1）求一个A礼包的进价是多少元；
（2）商家第一次购进的礼包很快售完，决定再次购进同种类型的A，B两种礼包共80个，但A礼包的进价比第一次购买时提高了16%，而B礼包的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次两种礼包的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个B礼包？
【解答】解：（1）设一个A礼包的进价为x元，则一个B礼包的进价（x+30）元，
由题意得：2，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
则x+30＝80，
答：一个A礼包的进价为50元，一个B礼包的进价为80元；
（2）设此次可购买m个B礼包，则可购买（80﹣m）个A礼包，
由题意得：50×（1+16%）（80﹣m）+80×0.9m≤4800，
解得：m≤11，
∵m是整数，
∴m的最大值为11，
答：此次最多可购买11个B礼包．
26．（10分）（2024春 海州区校级期中）如图，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE＝DF，连结AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连结AC，若AC平分∠EAF，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，AF＝CE，
∴∠FAC＝∠ACE，
∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC＝∠ACE，
∴AE＝CE＝AF，
设AF＝AE＝EC＝x，则BE＝16﹣x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
即122+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝12.5，
∴AF＝12.5．
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一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 武汉期末）若分式有意义时，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x＞1
2．（3分）（2022秋 襄汾县月考）下列各剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022秋 青羊区校级期末）若m＞n，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．3m＜4n B．3+m＞3+n C．3﹣m＞3﹣n D．
4．（3分）分解因式：9x2﹣12x+4的结果是（ ）
A．（3x+4）2 B．（3x﹣2）2 C．（2x+3）2 D．（3x﹣6）2
5．（3分）（2023春 宜春期中）如图，通过平移图可以得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022秋 曲沃县期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝36°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AC的平行线，交AB于点E．则图中的等腰三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．（3分）（2024 巴中）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为x km/h，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2023秋 赵县校级月考）如图，在 ABCD中，E为CD的中点，连接AE交BD于点F，射线CF与射线BA交于点G．结论Ⅰ：AF＝2EF；结论Ⅱ：S△ABF＝S△BCF．对上面两个结论，下列说法正确的是（ ）
A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误
B．结论Ⅱ正确，结论Ⅰ错误
C．两个结论都正确
D．两个结论都错误
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2024春 七星关区校级期末）关于x的分式方程无解，则m＝ ．
10．（3分）（2023 伊通县三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB'C'（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接CC'．若∠CC'B'＝20°，则∠B的大小是 ．
11．（3分）（2025 长沙模拟）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ．
12．（3分）（2024 滕州市校级一模）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6 交于点P（3，5），则关于x的不等式kx+6＜x+b的解集是 ．
13．（3分）（2025春 淮安区校级期中）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F是BC和DO的中点，若AC＝6，BD＝10，CD＝5，则tan∠OFE的值为 ．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）（2023春 房山区期中）本学期学习了一元一次不等式的解法，下面是小明同学的解题过程：
解不等式． 解：去分母，得2（x﹣2）﹣4≤5x+1， 去括号，得2x﹣4﹣4≤5x+1， 移项，得2x﹣5x≤1+4+4， 合并同类项，得﹣3x≤9， 系数化为1，得x≤﹣3．
上述小明同学的解题过程是否正确？如果不正确，请写出正确的解题过程．
15．（5分）（2023秋 江油市校级月考）解分式方程：．
16．（5分）（2021秋 微山县校级月考）因式分解：
①8a3﹣2a；
②x2（a﹣1）+4（1﹣a）．
17．（5分）（2021秋 武义县校级月考）在4×4的正方形网格的格点（格点即小正方形的顶点）上找一点C，作出符合相应条件的△ABC．（画出一个满足条件的即可）
18．（5分）（2023秋 鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过直角顶点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．当直线l绕点C转动时，若AD＝a，BE＝b，试画出示意的图形并用含a、b的代数式直接表示出DE的长度．
19．（5分）（2022春 临渭区期末）解不等式组并把解集表示在数轴上：．
20．（5分）（2024春 普宁市期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，﹣2），B（﹣2，﹣2），C（﹣1，0）．
（1）将△ABC向右平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C旋转180°，画出旋转后的△A2B2C．
21．（6分）（2022秋 长丰县校级期末）化简：（x﹣1），再从1，0，﹣1，﹣2中选一个喜欢的数求值．
22．（7分）（2024春 历下区期末）如图，点O为 ABCD的对角线AC，BD的交点，经过点O的直线分别与BA的延长线和DC的延长线交于点E，F．求证：BE＝DF．
23．（7分）用平方差公式进行计算：
（1）103×97；
（2）118×122．
24．（8分）（2024春 青岛期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，过BC的垂直平分线上一点D作DH⊥AB于H，DF⊥CA延长线于F，且DF＝DH，连接BD．
（1）求证：AF＝AH；
（2）AD的长为 ．
25．（8分）（2022秋 九龙坡区期末）回家过年，一家团聚，是我们每个中国人的信仰．在这春节来临之际，置办年货当然也是每个家庭必需要做的事情．某商家看准商机，购进A，B两种春节大礼包进行销售，已知一个B礼包比A礼包的进价多30元，其中购买A礼包花费4000元，购买B礼包花费3200元，且购买A礼包的数量是购买B礼包数量的2倍．
（1）求一个A礼包的进价是多少元；
（2）商家第一次购进的礼包很快售完，决定再次购进同种类型的A，B两种礼包共80个，但A礼包的进价比第一次购买时提高了16%，而B礼包的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次两种礼包的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个B礼包？
26．（10分）（2024春 海州区校级期中）如图，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE＝DF，连结AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连结AC，若AC平分∠EAF，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，求AF的长．
