2025 年漳州市初中毕业班适应性练习（三）
数 学 试 题
（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
友情提示：请把所有答案填写(涂)到答题卡上!请不要错位、越界答题!!
注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题卡上，然后必须用黑．色．签．字．
笔．重描确认，否则无效。
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的。
1．下列各数中，为无理数的是
A．4 B． 4 C．|-4| D． 3 4
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
3．计算(2m2)3的结果为
A．8m6 B．6m6 C．8m5 D．6m5
4．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的俯
视图是
A． B．
C． D．
5．一组数据的方差可以用式子 s2 1 8 x1 3
2 x2 3
2 x 23 3 x
2
8 3 表示，则式
子中的数字 3所表示的意义是
A. 这组数据的个数 B. 这组数据的平均数
C. 这组数据的众数 D.这组数据的中位数
数学试卷 第 1页（共 6页）
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6．如图，物理课上测量铁块 A的体积实验，将铁块匀速向上提起，直至
完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度 h与铁块被
提起的时间 t之间函数关系的大致图象是
A． B． C． D．
7. 若 m是方程 x2
1
﹣3x+1 2＝0的一个实数根，则m 的值是
m2
A. 11 B. 9 C. 7 D. 5
8．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，∠ADC=115，
则∠BAC的度数是
A．25° B．30° C．35° D．40°
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．以点 B为圆心，任意长为半径作弧，交 AB
于点 F，交 BC于点 G，分别以点 F，G为圆心，大于 12 FG的长为半径作弧，两弧相
交于点 H，作射线 BH交 AC于点 D；分别以点 B，D为圆心，大于 12 BD的长为半径
作弧，两孤相交于 M，N两点，作直线 MN交 AB于点 E，连接 DE．根据以上作图步
骤，以下结论错误的是
A．∠AED=∠ABC B．BC=2ED
C．BC=AE D．当 AC=2时， AD 5 1
10 1．已知 (x1， y1)， (x2 ， y2 )， (x3， y3 )为双曲线 y 上的三个点，x
且 x1 x2 x3，则以下判断正确的是
A．若 x1x2 0，则 y1y3 0 B．若 x1x3 0，则 y1y2 0
C．若 x2x3 0，则 y1y3 0 D．若 x2x3 0，则 y1y3 0
二、填空题：本题共 6小题，每小题 4分，共 24分。
11 0+ 1．计算： （ ）-1= ．
3
12．为迎接党的二十大胜利召开，某校开展“学党史，悟初心”系列活动并
对学生参加各项活动人数进行调查，将数据绘制成如图统计图．若参
加“演讲”的人数为 60人，则参加“知识竞赛”的人数有 人．
数学试卷 第 2页（共 6页）
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13．如图，在菱形 ABCD中， AB 4， C 120 ， AE BC于点 E，对
角线 BD交 AE于点 F，则 AF的长为 ．
14．如图，将正五边形纸片 ABCDE折叠，使点 B与点 E重合，折痕为
AH，展开后，再将纸片折叠，使边 AB落在线段 AH上，点 B的对
应点为点 B′，折痕为 AF，则∠AFB′ 的度数为 ．
15．在平面直角坐标系中，已知点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线 y=ax2+bx+c(a
＞0)上，设 t= b2a ，若对于 0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有 y1＜y2，则 t
的取值范围是 ．
16．用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的菜园．
方案一：如图①，围成一个矩形菜园 ABCD，其中一边 AD是墙，
其余的三边 AB，BC， CD用篱笆，其中 AD AB；
方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径 EF是墙，其余用篱笆．
有下列结论：
① AB的长可以是13m；
② AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为160m2；
③矩形菜园 ABCD的面积的最大值为162m2；
④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分。
17. (8分)
2 x2 2x 1化简，再求值： 1 x 1 x2 x ，其中 x 3 1．
18. (8分)
如图，在 ABCD中，点 E，F在对角线 AC上，且∠ADF=∠CBE．求证：AE=CF．
19. (8分)
c c
已知 a＞b＞0，c＜0，求证： a b .
数学试卷 第 3页（共 6页）
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20.(8分)
如图，一颗树 PQ的底部可以到达，但顶部不能到达，某探究小组想利用标杆、皮
尺、平面镜等工具测量树 PQ的高度，测量及求解过程如下：
（1）若只能选择两种测量工具，则它们是 ；画出测量示意图；
（2）根据你测量所得的数据（用 a， b， c…表示）求树高 PQ.
21.(8分)
近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头
盔，已知购买甲种头盔 20只，乙种头盔 30只，共花费 2920元，甲种头盔的单价比乙 种
头盔的单价高 11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共 40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式
如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价 6元出售．若此次购买甲种头盔
的数量不低于乙种头盔数量的一半，则应如何购买，才能使总费用最小？是多少？
22.（10分）
鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班
发明，它看似简单，却凝聚着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙．某玩具公司开发了甲、
乙两款鲁班锁玩具，各生产了 100件样品，分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市
场调研分析，得到相关数据如下(单件成本利润率=利润÷成本×100%)：
甲款鲁班锁玩具 乙款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品 一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 10% 8% 4% 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3%
频数 10 60 30 频数 50 30 20
(1)从这 200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率；
(2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为 20 000元，且每件的投资成本相同，求投
资哪款鲁班锁玩具所获利润更大？
数学试卷 第 4页（共 6页）
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23.（10分）
如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2﹣3ax+2 的图象与 x 轴交于 A 和点
B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 AB＝5．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在 y 轴上是否存在点 P 使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点 P 的坐标，
若不存在，请说明理由．
24.（12分）
如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于 A，B 的两点，∠ABD = 2∠BAC，
连接 CD，过点 C作 CE⊥ DB的延长线于点 E，直径 AB与 CE的延长线相交于点 F．
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
(2)当 BD
18
， sin F
3
时，求 CD的长．
5 5
数学试卷 第 5页（共 6页）
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25.（14 分）综合与实践
活动 1 折叠矩形纸片作60 ，30 ，15 的角.
如果不借助量角器或三角尺，要作60 ，30 ，15 等大小的角，往往可以采用折叠
矩形纸片的方法，操作步骤如下：
（1）如图 1，把矩形纸片 ABCD对折，使 AD与 BC重合，折痕记为 EF ，把纸片展
平；
（2）再次折叠纸片，使点 A落在 EF上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM ；同时，
得到了线段 BN .
观察所得的 ABM ， MBN ， NBC，你发现这三个角之间有什么样的关系？证明
你的结论.
活动 2 将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究.
将正方形纸片 ABCD按照活动 1中的方式操作，并延长MN 交CD于点Q，连接 BQ．
（1）如图 2，当点 N在 EF上时，求 NBQ 的大小；
（2）如图 3，如果改变点M 在 AD上的位置（点M 不与点 A，D重合），求证：
NBQ CBQ．
活动 3 在活动 2的探究中，若正方形 ABCD的边长为 8，当 FQ 3时，求 AM 的长．
图 2 图 3
数学试卷 第 6页（共 6页）
{#{QQABIQIUogAAABBAAAgCEQEYCAGQkBGAAYoGBAAcoAIBCQFABAA=}#}2025 漳州市初中毕业班适应性练习（三）
数学参考答案及评分建议
一、选择题:本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
1. D 2.B 3.A 4.C 5.B
6.B 7.C 8.A 9.B 10.C
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
11. 4 12. 75 13. 4 3
3
14. 45° 15. t 1 16. ②③2
三、解答题:本题共 9 小题，共 86 分。
17. (8分)
2
解：原式= x 1 2 x 1 x 1 ……………………………………………………4分x x 1
x 1 x x 1 x 1 x 1 2 ………………………………………………………5分
xx 1， ……………………………………………………………6分
当 x 3 1时，
3 1 3 3∴原式 3 ．…………………………………………………8分3 1 1
18. (8分)
证明：∵四边形 ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．…………………………………………………2分
∴∠DAF=∠BCE．………………………………3分
∵∠ADF=∠CBE，
∴△ADF≌△CBE．………………………………5分
∴AF=CE．…………………………………………………………………7分
∴AE-EF=CF-EF，
即 AE=CF．…………………………………………………………………8分
19. (8分)
证明：∵a＞b＞0，………………………………………………………………1分
a
∴ ab＞
b
ab，………………………………………………………………3分
1
{#{QQABIQIUogAAABBAAAgCEQEYCAGQkBGAAYoGBAAcoAIBCQFABAA=}#}
1＞1∴ b a ． ………………………………………………………………5分
∵c＜0
c c c c
∴ b＜a ，即 a b．………………………………………………………8分
20. (8分)
解：方法 1：（1）使用标杆、皮尺，图 1是测量示意图. …………………4分
图 1 图 2
（2）由于树、标杆在阳光下的影子的前后端，即点 C，B，R，Q在同一条直线
上，
故观测者通过测量 RQ=a，CB=b和标杆 AB=c. ………………………………5分
∵AC∥PQ，∴∠ACB=∠PRQ．
∵∠ABC=∠PQR=90°，
∴△ABC∽△PQR，………………………………………………………………6分
∴ AB CB ，即 c bPQ RQ PQ a .…………………………………………………………7分
所以树高 PQ ac . ………………………………………………………………8分
b
方法 2：（1）使用皮尺、平面镜测量，图 2为测量示意图.…………………4分
（2）点 B，R，Q在同一条直线上，
观测者通过测量 RQ=a，RB=b和标杆 AB=c. …………………………………5分
∵∠ABR=∠PQR=90°，∠ARB=∠PRQ，
∴△ABR∽△PQR， ……………………………………………………………6分
∴ AB BR ，即 c bPQ RQ PQ a .………………………………………………………7分
所以树高 PQ ac . ………………………………………………………………8分
b
21. (8分)
解：(1)设购买乙种头盔的单价为 x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，
得20(x+11)+30x=2920 …………………………………………………2分
解得，x=54，…………………………………………………………3分
x+11=65， ………………………………………………………4分
2
{#{QQABIQIUogAAABBAAAgCEQEYCAGQkBGAAYoGBAAcoAIBCQFABAA=}#}
答：甲、乙两种头盔的单价各是 65元，54元．…………………5分
(2)设购 m只甲种头盔，设总费用为 w，
则 ，……………………………………………………6分
m 1 (40 m)
2
解得m 1313，…………………………………………………………7分
故最小整数解为 m=14，………………………………………………8分
w=0.8×65m+(54-6)(40-m)=4m+1920， ……………………………9分
∵4＞0，则 w随 m的增大而增大，
∴当 m=14时，w取最小值，最小值=4×14+1920=1976．
答：购 14只甲种头盔，总费用最小为 1976元． …………………10分
22. (10分)
解：(1)从这 200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为 10 50 3200 10．
……………………………………………………………………………………4分
(2)∵每件鲁班锁玩具的投资成本=20 000÷100＝200 (元)，………………5分
∴甲款鲁班锁玩具的利润=200×10%×10+200×8%×60+200×4%×30=1400 (元)，
……………………………………………………………………………………7分
乙款鲁班锁玩具的利润=200×7.5%×50+200×5.5%×30+200×3%×20=1200 (元)，
…………………………………………………………………………………9分
∵1400＞1200，
∴甲款鲁班锁玩具所获利润更大． ……………………………………10分
23. （10分）
解：(1) 因为二次函数 y＝ax2﹣3ax+2 的图象与 x 轴交于点 A 和点 B（点 A
在点 B 的左侧）， 设点 A，B 的横坐标分别为 x1，x2，x1＜x2，则 x1，x2，是
方程 ax2﹣3ax+2 =0的两个实根，所以 x1+x2=3， x1 x2 2a ，…………………2分
因为 AB x2 x1 5，所以（x2 x1）
2 25，即（x1+x
2
2） 4x1x2 25，………………3分
所以9 8 25，得 a 1 ，所以 y 1 x2 3 x 2 .………………………………5分
a 2 2 2
（2）如图，当点 P 在 y 轴负半轴上时，过点 P 作 PH⊥BC 交于点 H，
设 P（0，t），t <0，CH＝x，
3
{#{QQABIQIUogAAABBAAAgCEQEYCAGQkBGAAYoGBAAcoAIBCQFABAA=}#}
因为 C（0，2），B（4，0），所以 BC 2 5， BH 2 5 x
由∠OBP+∠OBC＝45°， 得∠CBP＝45°，
所以HP BH 2 5 x ,…………………………………………6分
在 Rt△CPH 中，sin∠PCH＝ HP 2 5 xCP t ，cos∠PCH＝
CH x ，2 CP 2 t
在 Rt△BOC 中，sin∠PCH= 4 = 2 5 ， cos∠PCH＝ 2 = 5 .
2 5 5 2 5 5
所以 2 5 xt =
2 5 ， x = 5t ，解得 x=
2 5 ， t= 4 .…………………………8分2 5 2 5 3 3
所以 P（0， 4）.……………………………………………………………………9分
3
又点 P（0， 4） 关于 x 轴的对称点（0，4）也满足∠OBP+∠OBC＝45°，
3 3
所以满足条件的 P 点坐标为（0， 4）或（0，4）.…………………………………10分
3 3
24. （12分）
解：(1)连接 OC，
∵∠3 = 2∠1，∠ABD = 2∠BAC，即 ∠4 = 2∠1，
∴∠4 =∠3，∴ OC//DB，…………………………………2 分
∵ CE⊥ DB，∴ OC⊥ CF，………………………………4 分
∵ OC 为半径，∴ CF 为 ⊙ O 的切线．…………………5 分
(2)连接 AD，
∵ AB 为 ⊙ O 的直径，∴∠ADB =∠DEF = 90°，………………………6 分
∴ CF//AD ，∴∠BAD =∠F，
∴ sin∠BAD = sinF = BD 3……………………………………………………7AB 分5
∴ AB 3BD 6，∴ OB = OC = 3，……………………………………………8 分
5
由 (1) 知 ∠OCF = 90°，∴ sinF = OC 3，∴OF = 5OF ，5
∴CF OF 2 OC 2 4 .….………………………………………………………9 分
∵ OC//DB，∴ CE OB ，即 CE 3，得CE 12 .………………………………10CF OF 分4 5 5
∴ EF 8
5
∵ BF = OF - OB = 2，∴ BE BF 2 EF 2 6……….………………………11 分
5
4
{#{QQABIQIUogAAABBAAAgCEQEYCAGQkBGAAYoGBAAcoAIBCQFABAA=}#}
∴ DE = BD + BE = 24，
5
∴CD CE 2 DE 2 12 5………….…………………………………………12 分
5
25. (14分)
解：活动 1
如图 1，∵四边形 ABCD是矩形，∴ ABC 90 ． ………………………1 分
由折叠的性质，得
AE 1 BE AB，AB BN， ABM MBN ， BEN 90 ．………………2 分
2
BE 1
在 Rt BEN中，∵ sin BNE ，
BN 2
∴ ENB 30 ，∴ EBN 60 ． ………………………3 分
∴ ABM ∠MBN 30 ,∠CBN 90 ∠EBN 30 ．
∴ ABM ∠MBN ∠CBN 30 . …………………………4 分
活动 2
（1）如图，由活动 1可知 CBN 30 ，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴ AB BC， A C 90 ，
由折叠可得： AB BN， A BNM 90 ，
∴ BN BC， BNQ C 90 ，
由于 BQ BQ，∴ Rt BCQ≌Rt BNQ，
∴ CBQ NBQ 15 .………………………………………………………7 分
（2）如图，∵四边形 ABCD是正方形，
∴ AB BC， A C 90 ，
由折叠可得： AB BN， A BNM 90 ，
∴ BN BC， BNQ C 90 ，
又∵ BQ BQ，
∴ Rt BCQ≌Rt BNQ，
∴ CBQ NBQ .………………………………………………………10 分
5
{#{QQABIQIUogAAABBAAAgCEQEYCAGQkBGAAYoGBAAcoAIBCQFABAA=}#}
活动 3
由折叠的性质可得DF CF 4， AM MN，
由 Rt BCQ≌Rt BNQ，得CQ NQ ，
①当点Q在线段CF上时，如图.
∵ FQ 3，∴ NQ CQ 1，DQ 7，………………………………………11分
由于MQ2 MD2 DQ2，
∴ (AM 1)2 (8 AM )2 72，
56
∴ AM .…………………………………………………………………12 分
9
②当点Q在线段DF上时，如图.
∵ FQ 3，
∴ NQ CQ 7，DQ 1，
∵MQ2 MD2 DQ2，
∴ (AM 7)2 (8 AM )2 1， ………………………………………………13 分
AM 8∴ .
15
综上所述， AM 56 8的长为 或 ．………………………………………………14分
9 15
6
{#{QQABIQIUogAAABBAAAgCEQEYCAGQkBGAAYoGBAAcoAIBCQFABAA=}#}
