北师大版数学八年级数学下册《第六章平行四边形》单元测试
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024春 金东区期末）学习了特殊平行四边形之后，小颖同学用如图所示的方式表示了特殊四边形的关系，则图中的“M”表示（ ）
A．四边形 B．平行四边形
C．正方形 D．以上都不正确
【解答】解：M表示既是矩形又是菱形，从而是正方形，
故选：C．
2．（3分）（2025春 花都区期中）如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在A，B的同侧取一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则A，B之间的距离为（ ）
A．100m B．90m C．80m D．70m
【解答】解：∵D、E分别是AC和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×50＝100（m）．
故选：A．
3．（3分）（2024春 邹城市期末）已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（ ）
A．3cm B．7cm
C．3cm或7cm D．以上都不对
【解答】解：如图①，直线c在直线a，b外时，
∵a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，
∴a与c之间的距离为5+2＝7（cm）；
如图②，直线c在直线a，b之间时，
∵a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，
∴a与c之间的距离为5﹣2＝3（cm）．
综上所述，a与c之间的距离为3cm或7cm．
故选：C．
4．（3分）（2022春 邓州市期末）如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
【解答】解：设这个多边形边数为x，内角和为180°（x﹣2），
∵多边形外角和为360°，
∴180°（x﹣2）＝2×360°
解得：x＝6，
故选：A．
5．（3分）（2023春 江岸区期中）如图所示，在四边形ABCD中，AC＝DB，且AC⊥BD，点E、F分别为边AD、BC中点，连接EF．若EF＝4，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．16 C．32 D．
【解答】解：作AB的中点G，连接EG，FG，
∵点E、F分别为边AD、BC中点，
∴，，
∵AC＝DB，且AC⊥BD，
∴EG＝FG，∠EGF＝90°，
∴△EGF是等腰直角三角形，
∵EF＝4，
∴EG2+FG2＝EF2，
解得：，
∴，
∵四边形ABCD的面积：．
故选：B．
6．（3分）（2024 织金县一模）为美化环境，毕节市政府计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D，E．测得DE＝26m，则A，B两处的距离为（ ）
A．26m B．36m C．48m D．52m
【解答】解：∵D，E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEAB，
∵DE＝26m，
∴AB＝52m．
故选：D．
7．（3分）（2023春 绥棱县校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若AB＝12，AC＝14，BC＝10，则DE的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，，
∵BC＝10，
∴DE＝5，
故选：D．
8．（3分）（2024春 同安区校级期末）平面内自上而下有三条直线a，b，c，且a∥b∥c，若a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（ ）
A．3cm B．7cm C．2cm D．5cm
【解答】解：∵在平面内自上而下有三条直线a，b，c，且a∥b∥c，
又∵a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，
∵a与c之间的距离为：5cm+2cm＝7cm．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）（2023秋 丰满区校级期末）如图，正五边形ABCDE与正方形AFGH有公共的顶点A，DE与HG相交于点M，∠BAH＝40°，则∠EMH＝ 94° ．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形ABCDE的内角，
∵∠BAH＝40°，
∴∠HAE＝∠BAE﹣∠BAH＝108°﹣40°＝68°，
∵四边形AFGH是正方形，
∴∠H＝90°，
∵四边形MHAE内角和为360°，
∴∠EMH＝360°﹣∠H﹣∠HAE﹣∠E＝94°．
故答案为：94°．
10．（3分）四边形ABCD是平行四边形，已知其周长等于48．
（1）如果一边长6，那么其余各边的长分别是 18，6，18 ；
（2）如果AB＝2BC，那么各边的长分别是 8，16，8，16 ；
（3）如果一组邻边长相差2，那么各边的长分别是 11，13，11，13 ．
【解答】解：
如图，∵ ABCD的周长等于48，
∴AB+BC＝24，AB＝CD，AD＝BC，
（1）∵AD＝6，
∴AB＝CD＝18，AD＝BC＝6，
∴其余各边的长分别是18，6，18，
故答案为：18，6，18；
（2）∵AB＝2BC，
∴BC＝8，AB＝16，
∴各边的长分别为：8，16，8，16，
故答案为：8，16，8，16；
（3）∵AB﹣BC＝2，
∴AB＝BC+2，
∴BC＝11，AB＝13，
∴各边的长分别为：11，13，11，13，
故答案为：11，13，11，13．
11．（3分）如图，在 ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有 9 个平行四边形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AB，GH∥AD，
∴AB∥CD∥EF，AD∥BC∥GH，
∴四边形ABFE、四边形EFCD、四边形AGHD、四边形GBCH、四边形AGPE、四边形GBFP、四边形EPHD、四边形PFCH是平行四边形，
即图中共有9个平行四边形，
故答案为：9．
12．（3分）（2024春 蒸湘区期末）下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ③ （填序号）．
①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD．
【解答】解：①∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
②∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
④∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：③．
13．（3分）（2019秋 满洲里市期末）一个多边形的内角和比四边形内角和多900°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个外角的度数是 40° ．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则有（n﹣2） 180°＝360°+900°，
解得n＝9，
∵这个多边形的每个内角都相等，
∴它每个外角的度数为360°÷9＝40°．
故答案为：40°．
14．（3分）（2024春 宁津县期末）如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝40cm，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度为 80 cm．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥MN于点D，则AD∥OC．
∵O是AB的中点，
∴OC是△ABD的中位线，
∴AD＝2OC＝2×40＝80（cm）．
故答案为：80．
15．（3分）（2024春 民勤县期末）在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为 3或9． ．
【解答】解：∵直线a∥b∥c，
∴有两种情况：
①当直线c和直线a都在直线b同侧时，如图1所示：
∵直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，
∴直线a和c的距离为：6﹣3＝3；
②当直线c和直线a在直线b的两侧时，如图2所示：
∵直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，
∴直线a和c的距离为：6+3＝9，
综上所述：直线a和c的距离为3或9．
故答案为：3或9．
16．（3分）（2025春 灵宝市期中）如图，在 ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与 ABCD的一边垂直时，DM的长为 2或6 ．
【解答】解：如图1，当BF⊥AD时，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴BF⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB，
∴∠A＝∠F＝45°，
∴∠ABM＝45°，
∵AB＝4，
∴AM＝BM＝44，
∵BC＝AD＝10，
∴DM＝AD﹣AM＝10﹣4＝6；
如图2，当BF⊥AB时，
∵平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴BF⊥DC，
∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB，
∴∠A＝∠EFB＝45°，
∴∠ABF＝90°，
此时F与点M重合，
∵AB＝BF＝4，
∴AF＝48，
∴DM＝10﹣8＝2．
综合以上可得DM的长为2或6．
故答案为：2或6．
17．（3分）（2023秋 大悟县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝6．正确的是 ①②③④ （填序号）．
【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，
故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，
故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴，
∴，
故④正确；
∴正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
18．（3分）（2023春 宁安市期末）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动不发生变化的是 ①③④ ．
【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MNAB，
即线段MN的长度不变，故①正确；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②错误；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故③正确；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④正确；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤错误．
综上所述，会随点P的移动而变化的是①③④．
故答案为：①③④．
三．解答题（共7小题）
19．在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：AB＝3AK．
【解答】证明：作DE∥CK，交AB于点E，
∵AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴BD＝CD，
∵DE∥CK，AM＝DM，
∴AK＝EK，
∵DE∥CK，BD＝CD，
∴BE＝EK，
∴AK＝EK＝BE，
∴AB＝3AK．
20．（2022秋 桓台县期末）如图，在 ABCD中，点G，H是直线BD上的两点，且DG＝BH，连接AG，AH，CG，CH．求证：四边形AHCG是平行四边形．
【解答】证明：连接AC，交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵DG＝BH，
∴DG+DO＝BH+DO，
即OG＝OB，
又因为OA＝OC，
∴四边形AHCG是平行四边形．
21．（2023秋 宝山区校级期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D，AB＝CD，且点E、F分别是线段AD、BC的中点．求证：EF⊥BC．
【解答】证明：∵点E是AD的中点，
∴EA＝ED，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB＝EC，
∵点F是BC的中点．
∴BF＝FC，
∴EF⊥BC．
22．如图，已知 ABCD的周长是30cm，AB：CB＝3：2，求AD和CD的长．
【解答】解：设AB＝3x cm，则BC＝2x cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3x cm，AD＝BC＝2x cm，
∵ ABCD的周长是30cm，
∴2x+2x+3x+3x＝30，
解得：x＝3，
∴3x＝9，2x＝6，
∴AD＝6cm，CD＝9cm．
23．（2023春 六合区校级月考）如图，在 ABCD中，将对角线BD分别向两个方向延长至点E、F，且BE＝DF，连接AF、CF、CE、AE．求证：四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴BE+BD＝DF+BD，
∴DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
24．（2024 柯桥区模拟）问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，若BC＝6，则MN的长为 3 ．
问题探究：
（2）如图②，在正方形ABCD中，AD＝6，点E为AD上的靠近点A的三等分点，点F为AB上的动点，将△AEF折叠，点A的对应点G，求CG的最小值．
问题解决：
（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心ABCDE，已知∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，AB＝AE＝20m，BC＝CD＝40m，点C处为参观入口，DE的中点P处规划为“优秀”作品展台，求点C与点P之间的最小距离．
【解答】解：（1）∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MNBC，
∵BC＝6，
∴MN＝3，
故答案为：3；
（2）∵在正方形ABCD中，AD＝6，点E为AD上的靠近点A的三等分点，
∴AE＝2，DE＝4，CD＝AD＝6，∠D＝90°．
由折叠得：AE＝EG，
∴点G在以点E为圆心，AE长为半径的⊙E上运动，
作⊙E，连接CE交⊙E于点H，如图②，
∴CG≥CE﹣EG，
∴当点C，E，G三点共线，即点G和点H重合时，CG取得最小值，最小值为CH的长．
∵在Rt△CDE中，CE，
∴CG的最小值为；
（3）如图③，延长DC至点F，使CF＝CD，连接EF，
∵点P为DE的中点，点C为DF的中点，
∴PC为△DEF的中位线，
∴PC，
∴当EF最小时，PC最小，
由AB＝AE，可看作点E在以点A为圆心，AB长为半径的圆上，连接AF，
设AF与⊙A的交点为点E'；则EF的最小值为E'F的长．过点F作FG∥BC交AB的延长线于点G，
∴∠ABC＝∠FGB＝120°，
∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴CF∥BG，
∴四边形BCFG为平行四边形，
∴CF＝BG＝40m，BC＝FG＝40m，
∴AG＝AB+BG＝20+40＝60（m）．
过点F作FH⊥AG交AG延长线于点H，
∴∠FGH＝60°，
在Rt△FHG中，FHFG＝20m，HGFG＝20m，
∴AH＝AG+HG＝80m，
∴AF20（m），
∴E'F＝AF﹣AE'＝2020（m），
∴CP的最小值E'F（2020）＝1010（m），
∴点C与点P之间的最小距离为 （1010）m．
25．（2023春 富锦市校级期中）在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB＝BD．△ABC≌△CEA，△ABD≌△DFA．如图②．请完成下列问题：
（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）如图③，连接EF，CD．求证：四边形CDFE是平行四边形．
【解答】（1）解：四边形ABDF是菱形．理由如下：
∵△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，
∴AB＝DF，BD＝FA，
∵AB＝BD，
∴AB＝BD＝DF＝FA，
∴四边形ABDF是菱形；
（2）证明：∵四边形ABDF是菱形，
∴AB∥DF，且AB＝DF，
∵△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，
∴AB＝CE，BC＝EA，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴AB∥CE，且AB＝CE，
∴CE∥FD，CE＝FD，
∴四边形CDEF是平行四边形．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/18 8:30:09；用户：白智琳；邮箱：15529206098；学号：30745913北师大版数学八年级数学下册《第六章平行四边形》单元测试
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024春 金东区期末）学习了特殊平行四边形之后，小颖同学用如图所示的方式表示了特殊四边形的关系，则图中的“M”表示（ ）
A．四边形 B．平行四边形
C．正方形 D．以上都不正确
2．（3分）（2025春 花都区期中）如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在A，B的同侧取一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则A，B之间的距离为（ ）
A．100m B．90m C．80m D．70m
3．（3分）（2024春 邹城市期末）已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（ ）
A．3cm B．7cm
C．3cm或7cm D．以上都不对
4．（3分）（2022春 邓州市期末）如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
5．（3分）（2023春 江岸区期中）如图所示，在四边形ABCD中，AC＝DB，且AC⊥BD，点E、F分别为边AD、BC中点，连接EF．若EF＝4，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．16 C．32 D．
6．（3分）（2024 织金县一模）为美化环境，毕节市政府计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D，E．测得DE＝26m，则A，B两处的距离为（ ）
A．26m B．36m C．48m D．52m
7．（3分）（2023春 绥棱县校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若AB＝12，AC＝14，BC＝10，则DE的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．（3分）（2024春 同安区校级期末）平面内自上而下有三条直线a，b，c，且a∥b∥c，若a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（ ）
A．3cm B．7cm C．2cm D．5cm
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）（2023秋 丰满区校级期末）如图，正五边形ABCDE与正方形AFGH有公共的顶点A，DE与HG相交于点M，∠BAH＝40°，则∠EMH＝ ．
10．（3分）四边形ABCD是平行四边形，已知其周长等于48．
（1）如果一边长6，那么其余各边的长分别是 ；
（2）如果AB＝2BC，那么各边的长分别是 ；
（3）如果一组邻边长相差2，那么各边的长分别是 ．
11．（3分）如图，在 ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有 个平行四边形．
12．（3分）（2024春 蒸湘区期末）下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 （填序号）．
①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD．
13．（3分）（2019秋 满洲里市期末）一个多边形的内角和比四边形内角和多900°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个外角的度数是 ．
14．（3分）（2024春 宁津县期末）如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝40cm，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度为 cm．
15．（3分）（2024春 民勤县期末）在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为 ．
16．（3分）（2025春 灵宝市期中）如图，在 ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与 ABCD的一边垂直时，DM的长为 ．
17．（3分）（2023秋 大悟县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝6．正确的是 （填序号）．
18．（3分）（2023春 宁安市期末）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动不发生变化的是 ．
三．解答题（共7小题）
19．在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：AB＝3AK．
20．（2022秋 桓台县期末）如图，在 ABCD中，点G，H是直线BD上的两点，且DG＝BH，连接AG，AH，CG，CH．求证：四边形AHCG是平行四边形．
21．（2023秋 宝山区校级期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D，AB＝CD，且点E、F分别是线段AD、BC的中点．求证：EF⊥BC．
22．如图，已知 ABCD的周长是30cm，AB：CB＝3：2，求AD和CD的长．
23．（2023春 六合区校级月考）如图，在 ABCD中，将对角线BD分别向两个方向延长至点E、F，且BE＝DF，连接AF、CF、CE、AE．求证：四边形AECF是平行四边形．
24．（2024 柯桥区模拟）问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，若BC＝6，则MN的长为 ．
问题探究：
（2）如图②，在正方形ABCD中，AD＝6，点E为AD上的靠近点A的三等分点，点F为AB上的动点，将△AEF折叠，点A的对应点G，求CG的最小值．
问题解决：
（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心ABCDE，已知∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，AB＝AE＝20m，BC＝CD＝40m，点C处为参观入口，DE的中点P处规划为“优秀”作品展台，求点C与点P之间的最小距离．
25．（2023春 富锦市校级期中）在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB＝BD．△ABC≌△CEA，△ABD≌△DFA．如图②．请完成下列问题：
（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）如图③，连接EF，CD．求证：四边形CDFE是平行四边形．
