(共19张PPT)
精于研究，重在提高
21.1.一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
人教版（2012） 九年级 上册
学习目标
1.能够准确理解一元二次方程的概念，
2.熟练掌握一元二次方程的一般形式，正确识别其中的二次项、一次项、常数项以及二次项系数和一次项系数；
3.学会根据实际问题建立一元二次方程的数学模型，培养分析问题、解决问题的能力。
学习重难点
重点：一元二次方程的概念及其一般形式；根据实际问题建立一元二次方程的数学模型。
难点：从实际问题中抽象出一元二次方程的数学模型；正确识别一元二次方程中各项的系数。
旧知回顾
知识回顾、强化应用
1.什么是一元一次方程？
2.下列是一元一次方程的是（ ）
A.2x-y=3 B.3X+1 C.0.5x-2=0 D.2x+1>0
3.若x=2是方程ax-6=10的解，则a=
新课导入
1.学校要建一个面积为 150 平方米的长方形自行车棚，若车棚的长比宽多 5 米，求车棚的长和宽各是多少？
2.一个数比另一个数大 3，且这两个数的乘积为 28，求这两个数。
思考：思考
探究新知
1.一元二次方程的概念
问题1.请同学们列出上面情景中的方程。
问题2.观察它们有什么共同的特征？
x2 + 5x - 150 = 0
x2 + 3x - 28 = 0
① 都是整式方程；② 都只含有一个未知数；③ 未知数的最高次数是2
归纳总结
一元一次方程的定义：
只含未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
知识应用
1.下列式子是一元二次方程的是（ ）
A.2x-y=0 B.x+3<2 C.x2-2x=4 D.3+2=5
情景导入、探究新知
2.一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0（a≠0），其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项
阅读课本，指出一元二次方程的一般形式是什么？二次项系数是什么？常数项是什么？一次项系数是什么？
情景导入、探究新知
追问：
二次项系数为什么不等于0？
将情境中的式子化为一般形式，并指出二次项系数，一次项系数和常数项
即学即用
新课讲授
例题精讲：
例题1.
例题2.若关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠﹣1 B．m＝﹣1 C．m≥﹣1 D．m≠0
下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．xy﹣x＝1
C．3x-2=0 D．2x2＝4
课堂练习
1.判断下列方程是否为一元二次方程：
(1)x2 + 2x - 3； (2)x2 = 5；
(3)(x - 2)(x + 1) = x2 - 5；(4)3x2 - 2y = 0
2.把下列一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)2x2 = 1 - 3x；(2)(x - 1)(x + 2) = 7；
(3)x(x - 2) = 4x2 - 3x
课堂练习
3.根据实际问题列出一元二次方程：
一个直角三角形的两条直角边的和为 14，面积为 24，求两条直角边的长
4.方程（m﹣1）x2+2x+3＝0是关于x的一元二次方程，
则（ ）
A．m≠一1 B．m≠1 C．m≠2 D．m≠3
课堂练习
5.若关于x的方程（k﹣2）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，则k的取值范围是（ ）
A．k≠0 B．k≠2
C．k＞2 D．k＞0
课堂练习
6.若一元二次方程3x﹣5＝2x2化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
7.方程x（x﹣5）＝4x﹣10化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A．x2﹣9x+10＝0 B．x2﹣x+10＝0
C．x2+9x﹣10＝0 D．x2﹣x﹣10＝0
课堂练习
8.已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
9.若m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根，则m2+2m的值是（ ）
A．2024 B．﹣2025 C．2025 D．4050
课堂练习
10.关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．﹣2 C．2 D．1
11.若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
归纳总结：
请学生回顾本节课所学内容，回答什么是一元二次方程？它的一般形式是什么？
1.只含未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
归纳总结：
2.一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0（a≠0），其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项
作业布置
练习1，2
谢
谢(共18张PPT)
精于研究，重在提高
21.2.1 配方法
第二十一章 一元二次方程
人教版（2012） 九年级 上册
学习目标
1.学生能够透彻理解配方法的原理，
2.熟练掌握运用配方法解一元二次方程的具体步骤；
3.准确识别在配方过程中各项的变化，能将一般形式的一元二次方程转化为完全平方式进行求解。
学习重难点
重点：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤；理解配方的关键在于在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方式
难点：理解配方法的原理；针对不同形式的一元二次方程，灵活运用配方法进行正确配方和求解，尤其是当二次项系数不为 1 时的处理方法。
旧知回顾
知识回顾、强化应用
1.下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x3﹣2x2﹣3＝0 B．2-3y=4
C．x2+x﹣2＝0 D．xy+1＝0
2.若方程（a+3）x2﹣x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A．a＝﹣3 B．a≠3 C．a≠﹣3 D．a≥﹣3
旧知回顾
知识回顾、强化应用
3.将一元二次方程x2﹣2x＝6化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，2，6 B．1，﹣2，6 C．1，﹣2，﹣6 D．1，2，﹣6
旧知回顾
知识回顾、强化应用
4.把一元二次方程x（2x﹣1）＝4x化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ）
A．1，4，1 B．2，﹣5，0 C．3，4，0 D．﹣2，﹣5，1
旧知回顾
知识回顾、强化应用
5.若关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣mx+m2﹣4＝0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．2或0
新课导入
1.配方法原理探究
思考2.请同学们将方程x2+6x + 4 = 0配成完全平方的形式，试一试
思考1.完全平方公式的表达式是什么？
探究新知
2.配方法步骤归纳
请同学们小组讨论归纳出用配方法解一元二次方程的步骤
（1）移项
（2）二次项系数化为1
（3）配方：在方程两边都加上一次项系数一半的平方
（4）变形：将方程左边写成完全平方式，右边计算出结果
（5）求解：用直接开平方法解方程
新课讲授
例题精讲：
例题1.用配方法解方程：
（1）x2 -4x + 3 = 0 （2） X2+8x - 9 = 0
课堂练习
1.用配方法解一元二次方程x2+2x﹣24＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，下列变形正确的是（ ）
A．（x+2）2＝25 B．（x+1）2＝25 C．（x﹣2）2＝12 D．（x﹣1）2＝12
课堂练习
2.将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后．结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣6）2＝5 C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝4
课堂练习
3.用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，则配方正确的是（ ）
A．（x+3）2＝16 B．（x﹣3）2＝16
C．（x﹣3）2＝2 D．（x+3）2＝9
课堂练习
4.用配方法解方程：x2﹣8x+12＝0．
5.用配方法解一元二次方程方程：﹣3x2+4x+1＝0．
课堂练习
6.解方程：
（1）x2+2x+1＝4； （2）3x2﹣6x+1＝0．
归纳总结：
1.请学生回顾本节课所学内容，说一说配方法解一元二次方程的原理和步骤。
作业布置
必做题：课本习题 第 1、2 题。
选做题：用配方法解方程ax2+bx + c = 0（ ），推导一元二次方程的求根公式，为下节课的学习做准备。
谢
谢(共19张PPT)
精于研究，重在提高
21.2.3 因式分解法
第二十一章 一元二次方程
人教版（2012） 九年级 上册
学习目标
1.掌握用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程的方法。
2.学会根据方程的具体特征，灵活选择恰当的方程解法，深切体会解决问题方法的多样性。
学习重难点
重点：教会学生熟练运用因式分解法解一元二次方程。
难点：深入理解并正确应用因式分解法解一元二次方程，尤其是在面对复杂方程时能准确进行因式分解
旧知回顾
知识回顾、强化应用
1.回顾解一元二次方程的方法
提问学生：“解一元二次方程的方法有哪些？”
1.选择合适的方法解方程：
（1）x2+2x+1＝4；
（2）3x2﹣6x+1＝0．
旧知回顾
知识回顾、强化应用
2.用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，下列配方法正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x+2）2＝2
3.若一元二次方程x2﹣ax﹣2a＝0的两根之和为4a﹣3，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
新课导入
思考1.什么叫因式分解？
思考2.分解因式的方法有那些？
提取公因式法：am + bm + cm = m(a + b + c)。
公式法：（1）a2-b2=(a+b)(a-b)
(2)
（3）十字相乘法
探究新知
思考1.下面的方程如何使解答简单呢？x2+25x = 0
思考2.如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为？
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？
探究新知
1.你能想出解此方程的简捷方法吗？
10x - 4.9x2=0
2.配方法和公式法解方程10x - 4.9x2=0
3.尝试找出其简洁解法吗？
探究新知
10x - 4.9x2=0
解：因式分解得x(10 - 4.9x)=0
所以x = 0或10 - 4.9x = 0
解得x1=0，x2=
探究新知
问题：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的？
用因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零
问题2.什么样的方程适合用因式分解法？
新课讲授
归纳总结
分解因式法解一元二次方程的步骤
1.将方程右边化为等于0的形式
2.将方程左边因式分解为ab=0（a、b为两个一次因式）
3.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根
新课讲授
例题精讲：
例 1解下列方程：x(x - 2)+x - 2 = 0；
因式分解法简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
新课讲授
选择解一元二次方程的技巧
1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程。
2.因式分解法适用于能化为两个因式之积等于0的形式的方程。
3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程。
课堂练习
1.解下列方程：
(1)x2+x = 0 (2)x2-2x = 0
(3)x2-2x + 1 = 0 (4)4x2-121 = 0
(5)6x2-x - 2 = 0
课堂练习
2．一元二次方程x（x﹣5）＝5﹣x的根是（ ）
A．x1＝x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝0，x2＝5
3.关于x的一元二次方程（2x﹣1）（x+m）＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．5
课堂练习
4.若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20＝0的根，则△ABC的周长是（ ）
A．9 B．10
C．9或10 D．7或10
课堂练习
5.若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A． B．8 C． D．10
6.三角形的两边长为4和7，第三边的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则这个三角形的周长为
课堂练习
7.解方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0；
（2）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0．
谢
谢
