江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（含解析）

江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中学情调研检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，那么（ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
2．已知向量，且，则x的值为（ ）
A．0 B． C． D．
3．已知事件，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．某射手射击所得环数的分布列如下表：
7 8 9 10
0.1 0.3
已知的数学期望，则的值为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.3
5．为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，盐城某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共4个题目，三位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．设，展开式中二项式系数的最大值为x，展开式中二项式系数的最大值为y，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点．则（ ）
A． B．2 C． D．
8．二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ）
A．1910 B．1990 C．12252 D．12523
二、多选题
9．若随机变量下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．与共面
B．与夹角为
C．平面与平面夹角的正弦值为
D．若正方体棱长为2，则点到直线的距离
11．甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是， ，那么两人都解错的概率是 .
13．展开式中的系数为 .
14．某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示）
（1）有 种不同的安排方法；
（2）由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有 种不同的安排方法．
四、解答题
15．已知二项式(N*)展开式中，前三项的二项式系数和是，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）展开式中的常数项．
16．2025年3月12日是我国第47个植树节，为建设美丽新盐城，盐城市伍佑中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种
(2)全体站成一排，男生彼此不相邻的站法有多少种
(3)甲、乙两人至少间隔2人的站法有多少种
17．甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差．
18．如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点.
(1)求平面与平面夹角的余弦值.
(2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．已知函数，其中，．
(1)若n＝8，，求的最大值；
(2)若，求；（用n表示）
(3)若，求证：．
江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中学情调研检测数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A C C D D D AB ACD
题号 11
答案 ABD
1．C
【详解】因为，
所以，
则.
故选：C.
2．D
【详解】根据可得存在实数满足，即，
即可得，解得.
故选：D
3．A
【详解】由题可知，，
故选：A．
4．C
【详解】由表格可知，,解得.
故选：C
5．C
【详解】记甲、乙、丙三位同学选到互不相同题目的事件记为，
则，
故选：C.
6．D
【详解】由题意可得或，
故，解得，
故选：D
7．D
【详解】如下图所示：

根据题意可知令，且，；
可得
；
所以
.
故选：D
8．D
【详解】根据题意得 ，因为在中恰好有2个0的有=28种可能，即所有符合条件的二进制数 的个数为28．
所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为
故选：D．
9．AB
【详解】对于A，若随机变量，，则，故A正确；
对于B，期望，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：AB
10．ACD
【详解】选项A，因为，所以与，共面，即选项A正确；
选项B，连接，
因为，所以或其补角即为与的夹角，
因为，所以△是等边三角形，所以，
所以与夹角为，即选项B错误；
选项C，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则,,，，
所以,1,，,2,，
设平面的法向量为,,，则，
取，则，，所以,1,，
易知平面的一个法向量为,0,，
设平面与平面夹角为，
则,，
所以，即选项C正确；
选项D，由对称性知，，
由勾股定理知，，
设到直线的距离为，
因为，
所以，解得，
所以到直线的距离为，即选项D正确．
故选：ACD．
11．ABD
【详解】因为，，，故A正确；
若发生，则乙箱中有4个红球和3个黑球，所以，
若发生，则乙箱中有3个红球，1个白球和3个黑球，所以，故B正确；
若发生，则乙箱中有3个红球和4个黑球，所以，故C错误；
所以
，故D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】由题意知，甲、乙解对题的概率分别是和 ，且甲、乙两人相互独立，
所以两人都解错的概率为.
故答案为：.
13．
【详解】得项类型一：从6个因式中选择1个提供，5个提供2，
此时的系数为；
类型二：从6个因式中选择2个提供，4个提供2，
此时的系数为；
合并同类项，含的项为.
故答案为：.
14． 540 100
【详解】（1）6位同学分为3组可以分三类.
第一类：1人，1人，4人分组，有种；
第二类：1人，2人，3人分组，有种；
第三类：2人，2人，2人分组，有种.
根据分类加法计数原理，共种.
再将3组按照全排列的方式分到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.
根据分步乘法计数原理，共种.
（2）由题意可知，还有乙与4位同学，其中乙不去涟水战役烈士纪念馆.
按照去涟水战役烈士纪念馆的人数可以分为3类.
第一类：恰有1人去涟水战役烈士纪念馆.
第一步，除去乙同学外的4人选取1人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的4位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第一类共种.
第二类：恰有2人去涟水战役烈士纪念馆.
第一步，除去乙同学外的4人选取2人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的3位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第二类共种.
第三类：恰有3人去涟水战役烈士纪念馆.
第一步，除去乙同学外的4人选取3人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的2位同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第三类共种.
根据分类加法计数原理，共种.
故答案为：540；100.
15．（Ⅰ）10 （Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）前三项二项式系数分别为,由题意根据组合数的运算可求得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知,根据二项式的展开式,令的系数为0可求得的值,从而可求得其常数项．
试题解析：解析：（Ⅰ）
（舍去）．
（Ⅱ） 展开式的第项是，
，
故展开式中的常数项是．
16．(1)2880
(2)1440
(3)2400
【详解】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可全排种，
故共有种；
（2）先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法；
（3）共七人排队，甲、乙两人中间有2个人的排法有种，
甲、乙两人中间有3个人的排法有种，
甲、乙两人中间有4个人的排法有种，
甲、乙两人中间有5个人的排法有种，
则共有种排法.
17．(1)答案见解析
(2)甲的得分的均值与方差分别为
【详解】（1）一轮比赛中，甲得分的可能取值为，
，
则的概率分布列为：
（2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为，
，
，
，
，
所以甲的得分的均值为，
甲的得分的方差为，
甲的得分的均值与方差分别为.
18．(1)；
(2)存在满足题意的点，且或．
【详解】（1）中，，即，所以，，
分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，即，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，即，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（2）假设存在满足题意的点，且，即，
，
设与平面所成角为，
则，
解得或，
所以存在满足题意的点，且或．
19．(1)1792
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1），
，
不妨设中，则
，
中的最大值为；
（2）若，，两边求导得，
令得，.
（3）若，，
，
因为，
所以
．