(共53张PPT)
章末素养培优
● 学科素养提升 ●
素养培优1 简谐运动的两种模型
例1 图甲中的装置水平放置，将小球从平衡位置O拉到A后释放，小球在O点附近来回振动；图乙中被细绳拴着的小球由静止释放后可绕固定点来回摆动．若将上述装置安装在太空中的我国空间站内进行同样操作，下列说法正确的是( )
A．图甲中的小球将保持静止
B．图甲中的小球仍将来回振动
C．图乙中的小球仍将来回摆动
D．图乙中的小球将做匀速圆周运动
答案：B
解析：空间站中的物体处于完全失重状态，图甲中的小球所受的弹力不受失重的影响，则小球仍将在弹力的作用下来回振动，A错误，B正确；图乙中的小球在地面上由静止释放时，所受的回复力是重力的分量，而在空间站中处于完全失重时，回复力为零，则小球由静止释放时，小球仍静止不动，不会来回摆动，也不会做匀速圆周运动，C、D错误．
素养培优2 简谐运动的周期性和对称性
1．简谐运动具有周期性：做简谐运动的质点每经过一个周期，它的位移、速度、加速度等物理量都恢复原值，其运动周期T的大小由振动系统本身的性质决定．
2．简谐运动的对称性：指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度等均是大小相等的(位移、回复力、加速度的方向相反，速度的方向可能相同也可能相反)．
例2 弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相等，且从a点运动到b点最短历时为0.2 s，从b点再到b点最短历时0.2 s，则这个弹簧振子的振动周期和频率分别为( )
A．0.4 s，2.5 Hz B．0.8 s，2.5 Hz
C．0.4 s，1.25 Hz D．0.8 s，1.25 Hz
答案：D
素养培优3 简谐运动的图像
1．判定振动的振幅A和周期T(如图所示)．
2．判定振动物体在某一时刻的位移．
3．判定某时刻质点的振动方向：
(1)下一时刻位移如果增加，质点的振动方向是远离平衡位置；
(2)下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置．
4．判定某时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向．
5．比较不同时刻质点的势能和动能的大小．质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小．
例3 如图所示为甲、乙弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是( )
A．两弹簧振子的初相位不同
B．甲系统的机械能比乙系统的大
C．甲、乙两个弹簧振子在前2 s内加速度方向相反
D．t＝2 s时，甲具有负方向最大速度，乙具有正方向最大位移
答案：D
解析：由图可知两弹簧振子的周期不相等，初相位相同，A错误；甲的振幅大，由于甲、乙两弹簧振子的质量、两个弹簧劲度系数未知，无法判断甲、乙两系统的机械能大小，B错误；甲、乙两个弹簧振子在前2 s内加速度方向相同，沿x轴负方向，C错误；x-t图像斜率的绝对值表示速度大小，t＝2 s时，甲图像斜率的绝对值最大，且斜率为负，甲具有负方向最大速度，由x-t图可知此时乙具有正方向最大位移，D正确．
素养培优4 等效单摆
简谐运动的周期公式主要是单摆的应用，我们生活中很多运动不是单摆，但是和单摆的运动规律相同，形式和单摆有所差异，因此我们往往通过等效的形式找到等效单摆的摆长，或者找到等效的重力加速度．
(1)等效摆长l′：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离．如图甲所示的双线摆的摆长l′＝r＋L cos α.图乙中小球(可看作质点)在半径为R的光滑圆槽中A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R.
答案：B
1．很多高层建筑都会安装减震阻尼器，当大楼摆动时，悬挂在大楼上方的阻尼器跟随摆动来消减强风或地震导致的振动，阻尼器振动时会减小大楼振动的( )
A．固有频率 B．固有周期
C．振动周期 D．振动幅度
答案：D
解析：大楼振动的固有频率与固有周期只由大楼本身决定，与振动源无关，A、B错误；大楼振动的周期等于振源的振动周期，与阻尼器无关，C错误；大楼上方的阻尼器跟随摆动来消减强风或地震导致的振动幅度，D正确．
2．关于机械振动，下列说法正确的是( )
A．往复运动就是机械振动
B．机械振动是靠惯性运动的，不需要有力的作用
C．机械振动是受回复力作用
D．回复力是物体所受的合力
答案：C
解析：机械振动是指物体或质点在其平衡位置附近做有规律的往复的运动，不是所有的往复运动都是机械振动，A错误；机械振动是需要力来维持的，B错误，C正确；回复力不一定是合力，也可能是合力的一部分，D错误．
3．用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是( )
A．不变 B．变大
C．先变大后变小再回到原值 D．先变小后变大再回到原值
答案：C
解析：单摆的周期与摆球的质量无关，但当水从球中向外流出时，等效摆长是先变长后变短再恢复原值，因而周期先变大后变小再回到原值，C正确．
4．共振碎石化是修补混凝土路面的一种技术手段，用来破碎的机器产生振动，破除旧的混凝土的同时要保护旧路面的地基，为实现这样的目的，破碎机器的振动应该( )
A．与要破碎的混凝土的振幅相同
B．与旧路面地基的振幅相同
C．与要破碎的混凝土的振动频率相同
D．与旧路面地基的频率相同
答案：C
解析：根据共振现象，当驱动力的频率等于物体的固有频率时物体的振幅达到最大值，所以应使破碎机器的振动与要破碎的混凝土的振动频率相同，从而损坏混凝土，而与地基频率相差较大，可以不损坏路面的地基，C正确．
5．如图所示，竖直面内的光滑圆弧槽上，两个小球甲、乙(均视为质点)同时由静止释放，其中小球甲的初位置离圆弧槽最低点O较远些，小球甲、乙运动的弧长远小于圆弧槽的半径．关于小球甲、乙相遇时的情景，下列说法正确的是( )
A．小球甲、乙的速度相同，相遇在O点左方
B．小球乙的速度更小，相遇点在O点
C．小球甲的速度更大，相遇点在O点右方
D．无法确定小球甲、乙的速度大小关系，因为两小球的质量关系未知
答案：B
答案：D
7．一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s，质点通过B点后，再经过1 s，第二次通过B点，在这2 s内，质点的总路程是12 cm，则质点振动的周期和振幅分别为( )
A．2 s，6 cm B．4 s，6 cm
C．4 s，9 cm D．2 s，8 cm
答案：B
8．图a、b分别是甲、乙两个单摆在同一位置做简谐运动的图像，
则下列说法正确的是( )
A．甲、乙两单摆的振幅之比为2∶1
B．t＝2 s时，甲单摆的重力势能最大，乙单摆的动能最小
C．甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1
D．甲、乙两单摆的摆球在最低点时，向心加速度大小一定不相等
答案：AD
9．一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，
下列说法正确的是( )
A．OB＝5cm
B．第0.2 s末质点的速度方向是A→O
C．第0.4 s末质点的加速度方向是A→O
D．第0.7 s末质点的位置在O点与A点之间
答案：AC
解析：OB的间距离等于振幅，由图知OB＝5 cm，A正确；位移图像切线的斜率等于速度，根据数学知识可知，第0.2 s末质点的速度方向沿负方向，即O→A，B错误；第0.4 s末质点的位移为负，方向是O→A，加速度方向是A→O，C正确；第0.7 s末质点的位置在O点与B点之间，D错误.
答案：AD
11．(8分)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动．振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示．则t＝0.8 s时，振子的速度沿________(选填“＋x”或“－x”)方向，振子做简谐运动的位移的表达式为________________________．
－x
x＝12sin (1.25πt) cm
12．(12分)某同学利用如图甲所示的单摆装置测量当地的重力加速度．
(1)测量中，该同学用游标卡尺测量摆球的直径如图乙所示，其读数为________ cm.
(2)若在实验过程中，该同学误将摆球60次全振动的时间记为59次，则重力加速度的测量值会________．(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
1.35
偏小
解析：游标卡尺读数为13 mm＋5×0.1 mm＝13.5 mm＝1.35 cm.
(3)改变摆长，测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2-L的关系图像如图丙所示，则当地的重力加速度g＝________(用图丙中的字母a、b及π表示)．
13．(10分)某物理兴趣小组探究简谐运动的规律．现有下端缠有铁丝的粗细均匀的较长木棒漂浮在水中，水面足够大．把木棒向下缓慢按压一小段距离后释放，木棒在竖直方向上振动，某时刻开始计时，木棒上A点的振动图像如图所示，设竖直向上为正方向．则求：
(1)A点的振动方程；
答案：y＝0.05 sin (πt) m
(2)A点在第20 s时的位移和前20 s内的路程．
答案：y＝0，s＝2 m
答案：4.9 s
答案：3.5 s
15．(12分)如图所示，一轻质弹簧的上端固定在倾角为30°的光滑斜面顶部，下端拴接小物块A，A通过一段细线与小物块B相连，系统静止时B恰位于斜面的中点．将细线烧断，发现当B运动到斜面底端时，A刚好第三次到达最高点．已知B的质量m＝2 kg，弹簧的劲度系数k＝100 N/m，斜面长为L＝5 m，且始终保持静止状态，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)试证明小物块A做简谐运动．
答案：烧断细线后A向上运动，受力平衡时，设弹簧的伸长量为x0，则kx0－mAg sin 30°＝0 ①，
选A的平衡位置处为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示A离开平衡位置的位移．当A运动到平衡位置下方x位置时，物块A受到的合力为F0＝mAg sin 30°－k(x－x0) ②
联立①②得F0＝－kx，可知A受到的合外力总是与物块的位移成反比，A做简谐运动．
(2)求小物块A振动的振幅和周期．
答案：0.1 m 0.4 s单元素养评价卷(二)
(满分：100分)
一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分)
1．很多高层建筑都会安装减震阻尼器，当大楼摆动时，悬挂在大楼上方的阻尼器跟随摆动来消减强风或地震导致的振动，阻尼器振动时会减小大楼振动的( )
A．固有频率 B．固有周期
C．振动周期 D．振动幅度
解析：大楼振动的固有频率与固有周期只由大楼本身决定，与振动源无关，A、B错误；大楼振动的周期等于振源的振动周期，与阻尼器无关，C错误；大楼上方的阻尼器跟随摆动来消减强风或地震导致的振动幅度，D正确．
答案：D
2．关于机械振动，下列说法正确的是( )
A．往复运动就是机械振动
B．机械振动是靠惯性运动的，不需要有力的作用
C．机械振动是受回复力作用
D．回复力是物体所受的合力
解析：机械振动是指物体或质点在其平衡位置附近做有规律的往复的运动，不是所有的往复运动都是机械振动，A错误；机械振动是需要力来维持的，B错误，C正确；回复力不一定是合力，也可能是合力的一部分，D错误．
答案：C
3．用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是( )
A．不变
B．变大
C．先变大后变小再回到原值
D．先变小后变大再回到原值
解析：单摆的周期与摆球的质量无关，但当水从球中向外流出时，等效摆长是先变长后变短再恢复原值，因而周期先变大后变小再回到原值，C正确．
答案：C
4．共振碎石化是修补混凝土路面的一种技术手段，用来破碎的机器产生振动，破除旧的混凝土的同时要保护旧路面的地基，为实现这样的目的，破碎机器的振动应该( )
A．与要破碎的混凝土的振幅相同
B．与旧路面地基的振幅相同
C．与要破碎的混凝土的振动频率相同
D．与旧路面地基的频率相同
解析：根据共振现象，当驱动力的频率等于物体的固有频率时物体的振幅达到最大值，所以应使破碎机器的振动与要破碎的混凝土的振动频率相同，从而损坏混凝土，而与地基频率相差较大，可以不损坏路面的地基，C正确．
答案：C
5．如图所示，竖直面内的光滑圆弧槽上，两个小球甲、乙(均视为质点)同时由静止释放，其中小球甲的初位置离圆弧槽最低点O较远些，小球甲、乙运动的弧长远小于圆弧槽的半径．关于小球甲、乙相遇时的情景，下列说法正确的是( )
A．小球甲、乙的速度相同，相遇在O点左方
B．小球乙的速度更小，相遇点在O点
C．小球甲的速度更大，相遇点在O点右方
D．无法确定小球甲、乙的速度大小关系，因为两小球的质量关系未知
解析：小球甲、乙运动的弧长远小于圆弧槽的半径，可知它们的运动可看成是简谐运动，根据周期公式T＝2π可知，小球甲、乙从释放至运动到O点所用的时间均为T，则小球甲、乙在O点相遇，A、C错误；根据机械能守恒定律可得mgh＝，解得v＝，由于小球甲的初始位置更高，所以相遇时小球甲的速度更大，B正确，D错误．
答案：B
6．一个弹簧振子在水平方向上做简谐运动，周期为T，则下列说法正确的是( )
A．若Δt时间内振子的位移大小等于一个振幅，则Δt一定等于的整数倍
B．若t时刻和t＋Δt时刻振子的速度相同，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝，则在t时刻和t＋Δt时刻弹簧的长度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和t＋Δt时刻振子的速度大小一定相等
解析：如图所示若Δt时间内振子由a运动到d，位移大小等于一个振幅，但Δt小于，A错误；若t时刻和t＋Δt时刻振子速度相同，由图可知，振子在a、d两点速度相同，但时间间隔不等于的整数倍，B错误；若Δt＝，则振子刚好到达相对平衡位置的对称点，此时相对于平衡位置的位移大小相等，方向相反，则在t时刻和t＋Δt时刻弹簧的长度不相等，C错误；若Δt＝，则振子刚好到达相对平衡位置的对称点，则在t时刻和t＋Δt时刻振子的速度大小一定相等，D正确．
答案：D
7．一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s，质点通过B点后，再经过1 s，第二次通过B点，在这2 s内，质点的总路程是12 cm，则质点振动的周期和振幅分别为( )
A．2 s，6 cm B．4 s，6 cm
C．4 s，9 cm D．2 s，8 cm
解析：简谐运动的质点先后以相同的速度通过A、B两点，则可判定这两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A点到O点的时间与由O点到B点的时间相等，那么从平衡位置O到B点的时间t1＝ s．通过B点后再经过1 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则从B点到最大位移处的时间t2＝ s．因此，质点振动的周期是T＝4(t1＋t2)＝4 s．这2 s内质点总路程的一半，即为振幅，所以振幅A＝ cm＝6 cm，B正确．
答案：B
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
8．图a、b分别是甲、乙两个单摆在同一位置做简谐运动的图像，则下列说法正确的是( )
A．甲、乙两单摆的振幅之比为2∶1
B．t＝2 s时，甲单摆的重力势能最大，乙单摆的动能最小
C．甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1
D．甲、乙两单摆的摆球在最低点时，向心加速度大小一定不相等
解析：甲、乙两单摆的振幅分别为4 cm和2 cm，则振幅之比为2∶1，A正确；t＝2 s时，甲单摆在最低点，则重力势能最小，乙单摆在最高点，则动能最小，B错误；甲、乙两单摆的周期之比为1∶2，根据T＝2π可知，摆长之比为1∶4，C错误；设摆球摆动的最大偏角为θ，由mgl(1－cos θ)＝，及ma＝m，可得摆球在最低点时向心加速度a＝2g(1－cos θ)＝4g sin2，因两摆球的最大偏角θ满足sin＝＝，a＝4g sin2＝所以a甲>a乙，D正确．
答案：AD
9．一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是( )
A．OB＝5cm
B．第0.2 s末质点的速度方向是A→O
C．第0.4 s末质点的加速度方向是A→O
D．第0.7 s末质点的位置在O点与A点之间
解析：OB的间距离等于振幅，由图知OB＝5 cm，A正确；位移图像切线的斜率等于速度，根据数学知识可知，第0.2 s末质点的速度方向沿负方向，即O→A，B错误；第0.4 s末质点的位移为负，方向是O→A，加速度方向是A→O，C正确；第0.7 s末质点的位置在O点与B点之间，D错误.
答案：AC
10．如图所示，光滑圆弧槽半径为R(未知)，A为最低点，C到A的距离远远小于R，小球B位于A点的正上方，且到A点的距离为H.若同时释放小球B、C，则要使两小球B和C在A点相遇(小球B和C可视为质点)，R的可能值为( )
A． B．
C． D．
解析：小球C做简谐运动，根据题意得H＝，t＝(＋n)×2π(n＝0，1，2…)或t＝(＋n)×2π(n＝0，1，2…)，解得R＝(n＝0，1，2…)或R＝(n＝0，1，2…)．当n＝0时，则有R＝或R＝，A、D正确．
答案：AD
三、非选择题(本题共5题，共54分)
11．(8分)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动．振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示．则t＝0.8 s时，振子的速度沿________(选填“＋x”或“－x”)方向，振子做简谐运动的位移的表达式为________________________．
解析：由图乙可知，t＝0.8 s时振子处于平衡位置，速度最大，下一个时刻位移为负，则速度方向为负方向，即振子的速度为－x方向；由图乙可知振子的周期为1.6 s，振幅为12 cm，则振子做简谐运动的位移的表达式为x＝A sin (·t)＝12sin (1.25πt) cm.
答案：－x x＝12sin (1.25πt) cm
12．(12分)某同学利用如图甲所示的单摆装置测量当地的重力加速度．
(1)测量中，该同学用游标卡尺测量摆球的直径如图乙所示，其读数为________ cm.
(2)若在实验过程中，该同学误将摆球60次全振动的时间记为59次，则重力加速度的测量值会________．(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
(3)改变摆长，测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2-L的关系图像如图丙所示，则当地的重力加速度g＝________(用图丙中的字母a、b及π表示)．
解析：(1)游标卡尺读数为13 mm＋5×0.1 mm＝13.5 mm＝1.35 cm.
(2)由单摆公式T＝2π 得g＝，
同学误将摆球60次全振动记为59次时，测量周期偏大，重力加速度偏小．
(3)由单摆公式T＝2π 得
T2＝L.
结合图像得＝，
解得g＝.
答案：(1)1.35 (2)偏小 (3)
13．(10分)某物理兴趣小组探究简谐运动的规律．现有下端缠有铁丝的粗细均匀的较长木棒漂浮在水中，水面足够大．把木棒向下缓慢按压一小段距离后释放，木棒在竖直方向上振动，某时刻开始计时，木棒上A点的振动图像如图所示，设竖直向上为正方向．则求：
(1)A点的振动方程；
(2)A点在第20 s时的位移和前20 s内的路程．
解析：(1)由图可知，振幅A＝0.05 m，周期T＝2 s，角频率ω＝＝π rad/s，初相位φ0＝0.所以振动方程为
y＝A sin (ωt＋φ0)＝0.05 sin (πt) m.
(2)前20 s内振动的周期数为n＝＝10，
第20 s时的位移y＝0，
前20 s内的路程s＝n×4A＝2 m.
答案：(1)y＝0.05 sin (πt) m (2)y＝0，s＝2 m
14．(12分)有一单摆，在地球表面为秒摆(周期为2 s)，已知月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的.
(1)将该单摆置于月球表面，其周期为多大？
(2)若将摆长缩短为原来的，在月球表面时此摆的周期为多大？
解析：(1)由单摆周期公式可知T月＝2π ①
T地＝2π ②
因为秒摆的周期为2 s，则①式除以②式得，
T月＝T地≈4.9 s.
(2)摆长变为时，该单摆在地球表面周期
T′地＝T地＝ s，
则月球表面周期T′月＝T′地 ＝ s≈3.5 s.
答案：(1)4.9 s (2)3.5 s
15．(12分)如图所示，一轻质弹簧的上端固定在倾角为30°的光滑斜面顶部，下端拴接小物块A，A通过一段细线与小物块B相连，系统静止时B恰位于斜面的中点．将细线烧断，发现当B运动到斜面底端时，A刚好第三次到达最高点．已知B的质量m＝2 kg，弹簧的劲度系数k＝100 N/m，斜面长为L＝5 m，且始终保持静止状态，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)试证明小物块A做简谐运动．
(2)求小物块A振动的振幅和周期．
解析：(1)烧断细线后A向上运动，受力平衡时，设弹簧的伸长量为x0，则kx0－mAg sin 30°＝0 ①，
选A的平衡位置处为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示A离开平衡位置的位移．当A运动到平衡位置下方x位置时，物块A受到的合力为F0＝mAg sin 30°－k(x－x0) ②
联立①②得F0＝－kx，可知A受到的合外力总是与物块的位移成反比，A做简谐运动．
(2)开始时AB组成的系统静止时，设弹簧的伸长量为x1，根据胡克定律有kx1－(mA＋m)g sin 30°＝0 ③，
解得x1＝，
烧断细线后A从此位置开始向上运动，到达平衡位置运动的距离为物块A的振幅，则
A＝x1－x0＝，
代入数据得A＝0.1 m，
烧断细线后B向下做匀加速直线运动，
则mg sin 30°＝ma，
设B到达斜面底端的时间为t，则＝at2，
A向上运动经过个周期第一次到达最高点，则第三次到达最高点的时间t＝2.5 T，
代入数据联立得T＝0.4 s.
答案：(1)证明见解析 (2)0.1 m 0.4 s
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