第四节 动量守恒定律的应用
学 习 目 标 思 维 导 图
1.应用动量守恒的条件判断系统动量是否守恒． 2.能用动量守恒定律解释和分析生活中的一些相互作用现象． 3.知道什么是反冲运动，了解反冲在实际生产生活中的应用．
第1课时 动量守恒定律和反冲问题
知识点一 动量守恒定律的应用
【情境导学】
冰壶运动是在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，为冬奥会比赛项目．掷壶队员将冰壶以一定的速度掷出，运动一段距离后与正前方的另一冰壶相撞．冰面的摩擦力很小，可以忽略不计．
(1)运动员掷出冰壶过程中，掷壶队员与冰壶组成的系统的动量守恒吗？
(2)两冰壶碰撞过程中，两个冰壶组成的系统动量守恒吗？
【知识梳理】
1．冰壶运动、火箭升空、台球之间的碰撞等，都适合用________守恒定律分析．
2．篮球运动员腾空投掷篮球时，在篮球脱手瞬间，篮球与人组成的系统在________方向上动量守恒．
状元随笔 投掷篮球时，篮球与人组成的系统水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒．
【重难突破】
1．运用动量守恒定律的几点注意
(1)动量是矢量，解题时需规定正方向
作用前后物体的运动方向都在同一直线上才能根据动量守恒定律列出方程，且各物体动量有统一的正方向，凡是方向与选取的正方向相同的动量为正，相反的为负．
(2)同时性
动量具有瞬时性，动量守恒是指系统任一瞬时的动量恒定，列方程时，等号左侧是作用前瞬间几个物体的动量的矢量和，等号右侧是作用后瞬间几个物体的动量的矢量和，不同时刻动量不能相加．
(3)相对性
由于动量大小与参考系的选取有关，因此应用动量守恒定律时，应注意各个物体的速度必须是相对同一参考系的速度，一般以地面为参考系．
(4)普适性
动量守恒定律不仅适用于两个物体所组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统．
2．应用动量守恒定律的解题步骤
例1 如图所示，将两根完全相同的磁铁(磁性极强)分别固定在质量相等的小车上，水平面光滑．开始时甲车速度大小为3 m/s，乙车速度大小为2 m/s，两车速度方向相反并在同一条直线上．
(1)当乙车的速度为零时，甲车的速度是多少？方向如何？
(2)由于磁铁磁性极强，故两车不会相碰，则两车距离最短时乙车速度为多少？方向如何？
【变式训练1】 如图，甲、乙两人手拉手在光滑水平冰面上一起向右运动，速度大小为10 m/s.现在甲向右推乙，两人分开后，乙速度变为20 m/s，已知甲、乙质量分别为50 kg、70 kg，不考虑冰面阻力，求
(1)两人分开后，甲的速度大小和方向？
(2)甲推乙的过程中，乙对甲的冲量大小和方向？
知识点二 反冲问题
【情境导学】
在生活中常见到这样的情形：吹饱的气球松手后向后喷出气体，同时向前飞去；乌贼向后喷出水后，它的身体却能向前运动．结合这些事例，体会反冲运动的概念，并思考以下问题．
(1)反冲运动的物体受力有什么特点？
(2)反冲运动过程中系统的动量、机械能有什么变化？
【知识梳理】
1．如果一个静止的物体在内力的作用下分裂成两个部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反的方向运动，这种现象叫作________．
2．通常情况下，反冲运动中物体之间相互作用力很大，且作用时间极短，一般都满足内力远________外力，外力可以忽略不计，所以反冲运动可用动量守恒定律来处理．
3．火箭的发射过程也是一个________运动．
4．火箭发射时的质量与火箭除燃料外的箭体质量之比叫作火箭的________．
【重难突破】
1．反冲运动的三个特点
(1)物体的不同部分在内力作用下向相反方向运动．
(2)反冲运动中，相互作用的内力一般情况下远大于外力，所以可以用动量守恒定律来处理．
(3)反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总动能增加．
2．讨论反冲运动应注意的三个问题
(1)速度的方向
对于原来静止的整体，抛出部分与剩余部分的运动方向必然相反．在列动量守恒方程时，可任意规定某一部分的运动方向为正方向，则另一部分运动方向应为负方向．
(2)相对速度问题
在反冲运动中，有时遇到的速度是两物体的相对速度．此类问题中应先将相对速度转换成对地的速度后，再应用动量守恒定律列方程．
(3)变质量问题
如在火箭的运动过程中，随着燃料的消耗，火箭本身的质量不断减小，此时必须取火箭本身和在相互作用的短时间内喷出的所有气体为研究对象，取相互作用的这个过程为研究过程进行研究．
例2 反冲小车静止放在水平光滑玻璃上，点燃酒精，水蒸气将橡皮塞水平喷出，小车沿相反方向运动．如果小车运动前的总质量M＝3 kg，橡皮塞喷出时获得的水平速度v＝2.9 m/s，水平喷出的橡皮塞的质量m＝0.1 kg.
(1)求小车的反冲速度．
(2)若橡皮塞喷出时速度大小不变，方向与水平方向成60°角，小车的反冲速度又如何(小车一直在水平方向上运动)
【变式训练2】 一火箭喷气发动机每次喷出m＝200 g的气体，气体离开发动机喷出时的速度v＝1 000 m/s.设火箭质量M＝300 kg，发动机每秒钟喷气20次．
(1)当第三次喷出气体后，火箭的速度多大？
(2)运动第1 s末，火箭的速度多大？
随堂自主检测
1．下列不属于反冲运动的是( )
A．喷气式飞机的运动
B．物体做自由落体的运动
C．火箭的运动
D．发射炮弹后，炮筒后退
2．如图所示，一质量为M的沙车，在光滑的水平面上做匀速直线运动，速度为v0，质量为m的铁球以速度v竖直向下落入沙车中，稳定后，沙车的速度( )
A． B．
C．v0 D．
3．如图所示，装有炮弹的火炮总质量为m1，炮弹的质量为m2，炮弹射出炮口时对地的速率为v0，若炮管与水平地面间的夹角为θ，则火炮后退的速度大小为(设水平面光滑)( )
A．v0 B．
C． D．
4．将质量为1.00 kg的模型火箭点火升空，50 g燃烧的燃气以大小为600 m/s的速度从火箭喷口在很短时间内喷出．在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为(喷出过程中重力和空气阻力可忽略)( )
A．30 kg·m/s B．5.7×102 kg·m/s
C．6.0×102 kg·m/s D．6.3×102 kg·m/s
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第1课时 动量守恒定律和反冲问题
知识点一
情境导学
提示：(1)动量守恒． (2)动量守恒．
知识梳理
1．动量
2．水平
重难突破
[例1] 解析：(1)以两车及车上磁铁组成的系统为研究对象，取甲车原来行驶的速度方向为正方向，当乙车速度为零时，根据动量守恒定律有mv甲－mv乙＝mv甲′，解得v甲′＝1 m/s，方向水平向右．
(2)当两车的速度相同时，距离最短，设相同的速度为v，则有mv甲－mv乙＝2mv，解得v＝0.5 m/s，方向水平向右．
答案：(1)1 m/s 方向水平向右 (2)0.5 m/s 方向水平向右
【变式训练1】 解析：(1)甲、乙两人组成的系统动量守恒，取向右运动的方向为正方向，由动量守恒定律可得
(m甲＋m乙)v0＝m甲v1＋m乙v2，
v0＝10 m/s ，v2＝20 m/s，
代入数据解得
v1＝－4 m/s，
则两人分开后，甲的速度大小为4 m/s，方向向左．
(2)乙对甲的冲量大小为I，根据动量定理可得
I＝m甲v1－m甲v0＝－700 kg·m/s，
则乙对甲的冲量大小为700 kg·m/s，方向向左．
答案：(1)4 m/s，方向向左 (2)700 kg·m/s，方向向左
知识点二
情境导学
提示：(1)物体的不同部分受相反的作用力，在内力作用下向相反方向运动．
(2)反冲运动中，相互作用的内力一般情况下远大于外力，所以系统的动量守恒；反冲运动中，由于有其他形式的能转变为机械能，所以系统的机械能增加．
知识梳理
1．反冲
2．大于
3．反冲
4．质量比
重难突破
[例2] 解析：(1)小车和橡皮塞组成的系统所受外力为零，系统的动量守恒．以橡皮塞运动的方向为正方向．
根据动量守恒定律有mv＋(M－m)v′＝0，
解得v′＝－v＝－×2.9 m/s＝－0.1 m/s，负号表示小车运动的方向与橡皮塞运动的方向相反，反冲速度大小是0.1 m/s.
(2)小车和橡皮塞组成的系统在水平方向上动量守恒，以橡皮塞运动的水平分运动方向为正方向，有
mv cos 60°＋(M－m)v″＝0，
得v″＝－＝－ m/s＝－0.05 m/s，负号表示小车运动的方向与橡皮塞运动的水平分运动方向相反，反冲速度大小是0.05 m/s.
答案：(1)0.1 m/s，方向与橡皮塞运动的方向相反
(2)0.05 m/s，方向与橡皮塞运动的水平分运动方向相反
【变式训练2】 解析：(1)设喷出三次气体后火箭的速度为v3，
以火箭和喷出的三次气体为研究对象，以与气体速度相反的方向为正方向，据动量守恒定律得(M－3m)v3－3mv＝0，
v3＝≈2 m/s.
(2)发动机每秒钟喷气20次，以火箭和喷出的20次气体为研究对象，以与气体速度相反的方向为正方向，根据动量守恒定律得
(M－20m)v20－20mv＝0，
v20＝≈13.5 m/s.
答案：(1)2 m/s (2)13.5 m/s
随堂自主检测
1．解析：喷气式飞机是利用飞机与气体间的相互作用，而促进飞机前进的，故属于反冲运动，选项A不符合题意；当物体的初速度为零，并且只在重力作用下的运动即为自由落体运动，与反冲运动无关，选项B符合题意；火箭的运动是利用喷气的方式而获得动力，利用了反冲运动，选项C不符合题意；发射炮弹后，炮筒后退，属于反冲运动，选项D不符合题意．
答案：B
2．解析：沙车与铁球组成的系统水平方向动量守恒，选向右为正方向，则有Mv0＝(M＋m)v，解得v＝，故A正确，B、C、D错误．
答案：A
3．解析：火炮发射炮弹的过程中水平方向动量守恒，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律得m2v0cos θ－(m1－m2)v＝0，解得v＝，C正确．
答案：C
4．解析：设火箭的质量为m1，燃气的质量为m2.由题意知，燃气的动量p2＝m2v2＝50×10－3×600 kg·m/s＝30 kg·m/s.选向上为正方向，根据动量守恒定律可得0＝m1v1－m2v2，则火箭的动量大小为p1＝m1v1＝m2v2＝30 kg·m/s，A正确，B、C、D错误．
答案：A
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动量守恒定律和反冲问题
【情境导学】
冰壶运动是在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，为冬奥会比赛项目．掷壶队员将冰壶以一定的速度掷出，运动一段距离后与正前方的另一冰壶相撞．冰面的摩擦力很小，可以忽略不计．
(1)运动员掷出冰壶过程中，掷壶队员与冰壶组成的系统的动量守恒吗？
(2)两冰壶碰撞过程中，两个冰壶组成的系统动量守恒吗？
提示：(1)动量守恒． (2)动量守恒．
【知识梳理】
1．冰壶运动、火箭升空、台球之间的碰撞等，都适合用________守恒定律分析．
2．篮球运动员腾空投掷篮球时，在篮球脱手瞬间，篮球与人组成的系统在________方向上动量守恒．
状元随笔 投掷篮球时，篮球与人组成的系统水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒．
动量
水平
【重难突破】
1．运用动量守恒定律的几点注意
(1)动量是矢量，解题时需规定正方向
作用前后物体的运动方向都在同一直线上才能根据动量守恒定律列出方程，且各物体动量有统一的正方向，凡是方向与选取的正方向相同的动量为正，相反的为负．
(2)同时性
动量具有瞬时性，动量守恒是指系统任一瞬时的动量恒定，列方程时，等号左侧是作用前瞬间几个物体的动量的矢量和，等号右侧是作用后瞬间几个物体的动量的矢量和，不同时刻动量不能相加．
(3)相对性
由于动量大小与参考系的选取有关，因此应用动量守恒定律时，应注意各个物体的速度必须是相对同一参考系的速度，一般以地面为参考系．
(4)普适性
动量守恒定律不仅适用于两个物体所组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统．
2．应用动量守恒定律的解题步骤
例1 如图所示，将两根完全相同的磁铁(磁性极强)分别固定在质量相等的小车上，水平面光滑．开始时甲车速度大小为3 m/s，乙车速度大小为2 m/s，两车速度方向相反并在同一条直线上．
(1)当乙车的速度为零时，甲车的速度是多少？方向如何？
答案：1 m/s 方向水平向右
解析：以两车及车上磁铁组成的系统为研究对象，取甲车原来行驶的速度方向为正方向，当乙车速度为零时，根据动量守恒定律有mv甲－mv乙＝mv甲′，解得v甲′＝1 m/s，方向水平向右．
(2)由于磁铁磁性极强，故两车不会相碰，则两车距离最短时乙车速度为多少？方向如何？
答案：0.5 m/s 方向水平向右
解析：当两车的速度相同时，距离最短，设相同的速度为v，则有mv甲－mv乙＝2mv，解得v＝0.5 m/s，方向水平向右．
【变式训练1】 如图，甲、乙两人手拉手在光滑水平冰面上一起向右运动，速度大小为10 m/s.现在甲向右推乙，两人分开后，乙速度变为20 m/s，已知甲、乙质量分别为50 kg、70 kg，不考虑冰面阻力，求
(1)两人分开后，甲的速度大小和方向？
(2)甲推乙的过程中，乙对甲的冲量大小和方向？
答案：(1)4 m/s，方向向左 (2)700 kg·m/s，方向向左
解析：(1)甲、乙两人组成的系统动量守恒，取向右运动的方向为正方向，由动量守恒定律可得
(m甲＋m乙)v0＝m甲v1＋m乙v2，
v0＝10 m/s ，v2＝20 m/s，
代入数据解得v1＝－4 m/s，
则两人分开后，甲的速度大小为4 m/s，方向向左．
(2)乙对甲的冲量大小为I，根据动量定理可得
I＝m甲v1－m甲v0＝－700 kg·m/s，
则乙对甲的冲量大小为700 kg·m/s，方向向左．
【情境导学】
在生活中常见到这样的情形：吹饱的气球松手后向后喷出气体，同时向前飞去；乌贼向后喷出水后，它的身体却能向前运动．结合这些事例，体会反冲运动的概念，并思考以下问题．
(1)反冲运动的物体受力有什么特点？
(2)反冲运动过程中系统的动量、机械能有什么变化？
提示：(1)物体的不同部分受相反的作用力，在内力作用下向相反方向运动．
(2)反冲运动中，相互作用的内力一般情况下远大于外力，所以系统的动量守恒；反冲运动中，由于有其他形式的能转变为机械能，所以系统的机械能增加．
【知识梳理】
1．如果一个静止的物体在内力的作用下分裂成两个部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反的方向运动，这种现象叫作________．
2．通常情况下，反冲运动中物体之间相互作用力很大，且作用时间极短，一般都满足内力远________外力，外力可以忽略不计，所以反冲运动可用动量守恒定律来处理．
反冲
大于
3．火箭的发射过程也是一个________运动．
4．火箭发射时的质量与火箭除燃料外的箭体质量之比叫作火箭的________．
反冲
质量比
【重难突破】
1．反冲运动的三个特点
(1)物体的不同部分在内力作用下向相反方向运动．
(2)反冲运动中，相互作用的内力一般情况下远大于外力，所以可以用动量守恒定律来处理．
(3)反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总动能增加．
2．讨论反冲运动应注意的三个问题
(1)速度的方向
对于原来静止的整体，抛出部分与剩余部分的运动方向必然相反．在列动量守恒方程时，可任意规定某一部分的运动方向为正方向，则另一部分运动方向应为负方向．
(2)相对速度问题
在反冲运动中，有时遇到的速度是两物体的相对速度．此类问题中应先将相对速度转换成对地的速度后，再应用动量守恒定律列方程．
(3)变质量问题
如在火箭的运动过程中，随着燃料的消耗，火箭本身的质量不断减小，此时必须取火箭本身和在相互作用的短时间内喷出的所有气体为研究对象，取相互作用的这个过程为研究过程进行研究．
例2 反冲小车静止放在水平光滑玻璃上，点燃酒精，水蒸气将橡皮塞水平喷出，小车沿相反方向运动．如果小车运动前的总质量M＝3 kg，橡皮塞喷出时获得的水平速度v＝2.9 m/s，水平喷出的橡皮塞的质量m＝0.1 kg.
(1)求小车的反冲速度．
答案：0.1 m/s，方向与橡皮塞运动的方向相反
(2)若橡皮塞喷出时速度大小不变，方向与水平方向成60°角，小车的反冲速度又如何(小车一直在水平方向上运动)
答案：0.05 m/s，方向与橡皮塞运动的水平分运动方向相反
【变式训练2】 一火箭喷气发动机每次喷出m＝200 g的气体，气体离开发动机喷出时的速度v＝1 000 m/s.设火箭质量M＝300 kg，发动机每秒钟喷气20次．
(1)当第三次喷出气体后，火箭的速度多大？
(2)运动第1 s末，火箭的速度多大？
答案：(1)2 m/s (2)13.5 m/s
1．下列不属于反冲运动的是( )
A．喷气式飞机的运动
B．物体做自由落体的运动
C．火箭的运动
D．发射炮弹后，炮筒后退
答案：B
解析：喷气式飞机是利用飞机与气体间的相互作用，而促进飞机前进的，故属于反冲运动，选项A不符合题意；当物体的初速度为零，并且只在重力作用下的运动即为自由落体运动，与反冲运动无关，选项B符合题意；火箭的运动是利用喷气的方式而获得动力，利用了反冲运动，选项C不符合题意；发射炮弹后，炮筒后退，属于反冲运动，选项D不符合题意．
答案：A
答案：C
4．将质量为1.00 kg的模型火箭点火升空，50 g燃烧的燃气以大小为600 m/s的速度从火箭喷口在很短时间内喷出．在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为(喷出过程中重力和空气阻力可忽略)( )
A．30 kg·m/s B．5.7×102 kg·m/s
C．6.0×102 kg·m/s D．6.3×102 kg·m/s
答案：A
解析：设火箭的质量为m1，燃气的质量为m2.由题意知，燃气的动量p2＝m2v2＝50×10－3×600 kg·m/s＝30 kg·m/s.选向上为正方向，根据动量守恒定律可得0＝m1v1－m2v2，则火箭的动量大小为p1＝m1v1＝m2v2＝30 kg·m/s，A正确，B、C、D错误．
1．(多选)下列图片所描述的事例或应用中，利用了反冲原理的是( )
答案：ABC
解析：喷灌装置的自动旋转是利用水流喷出时的反冲作用而运动的，故利用了反冲原理，A正确；章鱼在水中前行和转向利用了喷出的水的反冲作用，B正确；气球带动的小车是利用喷出的气体的反冲作用运动的，C正确；码头边轮胎的保护作用是延长碰撞的作用时间，从而减小作用力，不是利用反冲原理，D错误．
2．假定冰面是光滑的，某人站在冰冻河面的中央，他想到达岸边，则可行的办法是( )
A．步行 B．挥动双臂
C．在冰面上滚动 D．脱去外衣抛向岸的反方向
答案：D
解析：由于冰面光滑，无法行走或滚动，由动量守恒定律可知，挥动双臂，人只能在原位置来回晃动，只有抛出物体获得反冲速度才能到达岸边，D正确．
3．2024年11月25日7时39分，长征二号丙运载火箭从酒泉卫星发射中心成功发射，并顺利进入预定轨道．关于火箭、反冲现象，下列说法正确的是( )
A．火箭点火后离开地面向上运动，是地面对火箭的反作用力作用的结果
B．火箭开始工作后做加速运动的原因是燃料燃烧推动空气，空气反作用力推动火箭
C．为了减少反冲的影响，用枪射击时要用肩部抵住枪身
D．火箭、汽车、喷气式飞机、直升机的运动都属于反冲运动
答案：C
解析：火箭点火，加速上升离开地面过程中，并不是地面对其的反作用，而是喷出的气体对其的作用力使其加速上升，A错误；火箭开始工作后做加速运动的原因是燃料燃烧产生气体，喷出的气体的反作用力推动火箭，B错误；用枪射击时要用肩部抵住枪身可以防止枪身快速后退而造成伤害，是为了减少反冲的影响，C正确；火箭、喷气式飞机利用了气体的反冲作用而获得动力，属于反冲运动，汽车的运动是利用地面的作用力而获得动力，直升飞机的运动是利用空气的反作用力的原理制成的，不属于反冲运动，D错误．
答案：D
答案：B
答案：B
7.如图所示，质量为0.5 kg的小球在距离车底面高20 m处以15 m/s的初速度向左平抛，落在以7.5 m/s速度沿光滑水平面向右匀速行驶的敞篷小车中，车底涂有一层油泥，车与油泥的总质量为4 kg，g取10 m/s2，则当小球与小车相对静止时，小车的速度是( )
A．5 m/s B．4 m/s
C．8.5 m/s D．9.5 m/s
答案：A
解析：小球和车作用过程中，水平方向动量守恒，则有－mv0＋Mv1＝(M＋m)v′，解得v′＝5 m/s，A正确．
8.乌贼在水中运动方式是十分奇特的，它不用鳍也不用手足，而是靠自身的漏斗喷射海水推动身体运动，在无脊椎动物中游泳最快，速度可达15 m/s.逃命时更可以达到40 m/s，被称为“水中火箭”．如图所示，一只悬浮在水中的乌贼，当外套膜吸满水后，它的总质量为4 kg，遇到危险时，通过短漏斗状的体管在极短时间内将水向后高速喷出，从而迅速逃窜，喷射出的水的质量为0.8 kg，则喷射出水的速度为( )
A．200 m/s B．160 m/s
C．75 m/s D．60 m/s
答案：B
答案：D
10.(多选)如图所示，水平地面上紧挨着的两个滑块A、B之间有少量炸药(质量不计)，爆炸后A、B沿水平地面向左、右滑行的最大距离分别为1 m、4 m．已知滑块A的质量为mA＝4 kg，A、B与水平地面间的摩擦因数均为μ＝0.2，重力加速度g＝10 m/s2，炸药爆炸释放的化学能全部转化为滑块A、B的动能．下列说法正确的是( )
A．滑块B的质量为2 kg
B．滑块B的质量为1 kg
C．炸药爆炸释放的化学能为16 J
D．炸药爆炸释放的化学能为24 J
答案：AD
11．(多选)如图所示，一小车停在光滑水平面上，车上一人持枪向车的竖直挡板连续平射，所有子弹全部嵌在挡板内没有穿出，当射击持续了一会儿后停止，则小车( )
A．速度为零
B．将向射击方向作匀速运动
C．将向射击相反方向作匀速运动
D．小车最终停止在初位置的左侧
答案：AD
解析：整个系统水平方向上不受外力，动量守恒，由于初动量为零，因此当子弹向右飞行时，车一定向左运动，当子弹射入挡板瞬间，车速度减为零，因此停止射击时，车速度为零，则小车最终停止在初位置的左侧，A、D正确．
12．(16分)在水平铁轨上放置一门质量为M的炮车(不含炮弹)，发射的炮弹质量为m，设铁轨和炮车间摩擦不计，则：
(1)水平发射炮弹时，炮弹速度为v0，炮车的反冲速度为多大？
(2)炮身与水平方向成θ角，炮弹速度大小为v0，炮车的反冲速度是多大？
(3)炮身与水平方向成θ角，炮弹射出炮口时，相对于炮口速度为v0，炮车的反冲速度为多大？
