2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末高频考点优选题汇编复习
填空题典型必刷练40题（培优题）
（解析版）
同学你好，该份练习结合课本内容同步选题制作，贴合书本内容。题目精选近两年江苏省各市近两年常考易错真题，典型常规题等重点题目！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合成绩拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
1．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长 ．
【答案】
【思路引导】设交于点，连接，，根据折叠的性质得到垂直平分，可证，推出，从而得到四边形是菱形，设，则，再利用勾股定理求出，，最后利用即可求得．
【完整解答】解：如图，设交于点，连接，，
由折叠可知，垂直平分，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
，
，，，
设，则，
在中，，
在中，，即，
解得：，
，
，
，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的面积公式的运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，于点E， ，M为的中点，N为线段上的点，且，连接，若四边形为平行四边形，则的长为 ．
【答案】
【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质求出、，根据“直角三角形的两锐角互余”求出，结合等腰直角三角形的性质、三角形外角性质求出，设,根据平行四边形的性质求出,利用证明，根据全等三角形的性质得出,根据勾股定理求出，然后求得的长即可．
【完整解答】解：∵，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，M是的中点，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，或 (舍去），
∴．
故答案为：2
3．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是，且，则点的坐标是 ．
【答案】
【思路引导】本题主要考查了菱形的性质（对角线互相垂直且平分）以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形性质，利用勾股定理计算线段长度是解题的关键．利用菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，得，， ．已知点坐标和的长度，在中，用勾股定理求出的长度，进而确定点坐标．
【完整解答】解：∵四边形是菱形，
∴，（ ）．
在中，，，根据勾股定理 ．
又∵点在轴负半轴上，
∴点坐标为 ，
故答案为：．
4．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）已知x，y为实数，且，则 .
【答案】或
【思路引导】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案．
【完整解答】解：∵．
∴，
∴，，
∴，
当时，；
当时，；
∴或．
5．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，点E以每秒2个单位长度的速度从点D出发向点C运动（不与点C重合），连接，以为边向右侧作正方形，连接．若t秒后的面积恰好为，则t的值为 ．
【答案】
【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，过点C作于M，延长交于N，可证明四边形是矩形，则，则可证明，即；由矩形的性质得到，，则，，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案．
【完整解答】解；如图所示，过点C作于M，延长交于N，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
故答案为：．
6．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）已知，则分式 ．
【答案】/
【思路引导】本题考查分式的化简求值，运用设k法是解题的关键．设，则，再代入化简求值即可．
【完整解答】解：设，则，
∴．
故答案为：．
7．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为 ．
【答案】
【思路引导】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．
延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【完整解答】解：如图，延长交轴于点，
轴，
，
轴，
点在函数的图象上，
，
轴于点，
四边形是矩形，
点在函数的图象上，
，
，
故答案为：．
8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，则的长为 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及勾股定理逆定理，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质及勾股定理求线段长度的计算是解题关键．根据旋转的性质得到，，，得出，利用勾股定理逆定理得出，即可得出是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【完整解答】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
9．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，，点P是边上一动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为 ．
【答案】1
【思路引导】本题考查三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，旋转的性质．正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．在上截取，连接，过点D作于点E，证明，得出，结合垂线段最短可知当点P与点E重合时，最短，即最小，且为的长．最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【完整解答】解：在上截取，连接，过点D作于点E，如图，
∵，，
∴，，
在中，由勾股定理得,
∴；
由旋转可知，，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∴当最短时，最小．
∵垂线段最短，
∴当点P与点E重合时，有最小值，即此时有最小值，即为的长．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴线段的最小值为1．
故答案为：1．
10．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，平行四边形的对角线，交于点，且，平分，交边于点，连接．若，则为 ．
【答案】
【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中线的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质可得，，则，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则可推出，则可推出，再根据列式求解即可．
【完整解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（24-25八年级下·上海·阶段练习）在梯形中，，，，，过点作交边于点，过点作交边于点，交射线于点．连接，当时，求边的长为 ．
【答案】或
【思路引导】本题属于四边形综合题，含30度的直角三角形的相关计算，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．分两种情形：当点P在梯形内部时，当点P在梯形外部时，分别画出图形，构建方程求解即可．
【完整解答】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，当点P在梯形内部时，设．
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，负值舍去，
∴，，
∵，即，
∴，
解得：；
当点P在梯形外部时，设．
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，负值舍去，
∴，，
∵，即，
∴
解得：；
综上所述，满足条件的长为或．
故答案为：或．
12．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在x轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】/
【思路引导】本题考查坐标与图形的性质、菱形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由点的坐标可求出的长，根据菱形的性质得，，即可求出点的坐标．
【完整解答】解：点的坐标为，
，
四边形是菱形，
，，
点的坐标为，
故答案为：．
13．（24-25八年级下·天津和平·期中）如图，已知菱形的边长为2，，为的中点，为的中点，与相交于点，则的长等于 ．
【答案】/
【思路引导】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定是解题的关键；
连接，如图，可得是等边三角形，即可求出，取的中点H，连接，利用三角形的中位线定理可证明，进而可得，进一步计算即可．
【完整解答】解：连接，如图，
∵菱形的边长为2，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
取的中点H，连接，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
14．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，平分交于点，点，分别是、的中点，若，，则 ．
【答案】2
【思路引导】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等角对等边，根据平行线的性质，结合角平分线推出，三角形的中位线定理，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【完整解答】解：∵，
∴，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别是、的中点，
∴，
∴；
故答案为：2．
15．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点是对角线上的一个动点，连结，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是 ．
【答案】2
【思路引导】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，，继而得到，连接，证明，得，得到点在射线上，当时，有最小值，最小值为，即可得到答案．
【完整解答】解：菱形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
绕点按逆时针方向旋转，得到，
，，
，
，
如图，连接，
，
，
点在射线上，
∴当时，有最小值，最小值为，
的最小值是，
故答案为：．
16．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【思路引导】本题主要考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质、垂线段最短的性质，判断出时，线段的值最小，是解题的关键．
利用勾股定理得出，由矩形的判定可得四边形是矩形，从而得到，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后根据，进行计算即可得到答案．
【完整解答】解：如图，连接，
矩形，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
，
，
，
．
17．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、.给出以下结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，．上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【思路引导】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明边形是矩形，可判断②结论；连接交于点，若，则是等边三角形，，可判断③结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断④结论；同④理可证，四边形、是正方形，可判断⑤结论．
【完整解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
又，
，①结论正确；
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，②结论正确；
如图，连接交于点，
四边形是矩形，
，
若，则，
是等边三角形，
，
，
是边上一动点（不与、重合），
不确定，③结论错误；
如图，过点作交于点，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
由①可知，，
，
，
垂直平分，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
四边形是正方形，
，
，④结论正确；
设正方形的边长为，则，
是的中点，
，
同④理可证，四边形、是正方形，
，
，
，，
，⑤结论错误，
故答案为：①②④．
【考点评析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．
18．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，的长为 ．
【答案】
【思路引导】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判断和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定定理；连接，延长交于，首先利用旋转的性质证明为等边三角形，然后利用等边三角形的性质求出，接着利用已知条件求出，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【完整解答】解：如图，连接，延长交于，
∵把绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴为的中垂线，
∴，
在中， ，
∵，
∴，
在中，，
故答案为：．
19．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，P为边长为2的正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接．当点P运动到中点时，长度为 ．
【答案】
【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，连接，由正方形的性质得到，，则；证明四边形是矩形，得到，当点P运动到中点时，此时，则．
【完整解答】解；如图所示，连接，
∵四边形是正方形，且边长为2，
∴，，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
当点P运动到中点时，此时，
∴，
故答案为：．
20．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ．
．
【答案】
【思路引导】本题考查坐标与图形变化-旋转，正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键，延长交x轴于点M，由题意得，，结合旋转的性质可得，可得四边形为正方形，则，可得，进而可得答案．
【完整解答】解：如图，延长交x轴于点M，
∵点A的坐标为，
∴．
∵绕点A逆时针旋转得到，，
∴．
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴点O的对应点的坐标为．
故答案为：．
21．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】24
【思路引导】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，只要证明，可得，则可推出，由勾股定理求出的长，再根据平行四边形面积计算公式求解即可．
【完整解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
22．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）边长为2的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了折叠性质、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键；
根据翻折的性质及正方形的性质可证明，得，分别表示出，，，利用勾股定理即可得出结论．
【完整解答】解：如图所示，连接，
四边形是边长为2的正方形，
，，
以为折痕将翻折得，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
M是的中点，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
，
故答案为：．
23．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，正方形的边长为8，点M在上且是上的一动点，则周长的最小值是 ．
【答案】12
【思路引导】本题考查了轴对称的应用，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出图形得到的最小值即为线段的长．连接，根据轴对称的性质，得到的最小值即的最小值，即为线段的长，再根据勾股定理，即可求得的长，即得答案．
【完整解答】解：连接，
∵正方形是轴对称图形，点与点是以直线为对称轴的对称点，
∴直线即为的垂直平分线，
∴，
∴，
当点在与的交点处，取得最小值，最小值为的长，
∵正方形的边长为 8 ，且，
∴，
∴，
∴的最小值为10 ．
则周长的最小值，
故答案为：12．
24．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）将一副三角板在平行四边形中按如图所示位置摆放，如果，那么的度数是
【答案】75度/
【思路引导】本题考查平行四边形性质与平行线性质的综合运用，解题关键是作辅助线构造平行关系，利用平行线性质和三角板角度计算角度．
过点作，利用平行线的性质，结合三角板已知角度，逐步推导求出答案．
【完整解答】解析：如图，过点作，
，
由题意得∶，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
25．（2025·陕西榆林·三模）如图，四边形是菱形，，，，分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【思路引导】如图,连接,过点作,使得,连接.证明,推出,推出,求出即可解决问题．
【完整解答】解：如图,连接,过点作,使得,连接.
∵四边形是菱形,
∴, ，
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
，
，
∴的最小值为．
故答案为：.
【考点评析】本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.
26．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图，在正方形中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边上移动，连接和交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若，则线段的最小值是 ．
【答案】/
【思路引导】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质．先证，推出，取中点O，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可得，根据两点之间线段最短，得C、P、O三点共线时线段的值最小．
【完整解答】解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边上移动，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
取中点O，连接，如图，
∵，
∴，
根据两点之间线段最短，得C、P、O三点共线时线段的值最小，
在中，，，
根据勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
27．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，将一张菱形纸片沿所在的直线翻折，使点落在点处，联结交边于点．如果为中点，那么折痕与边的夹角的度数是 ．
【答案】/75度
【思路引导】本题考查了菱形的性质，折叠性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的性质证明为等边三角形，因为为中点，则，根据翻折，得，最后由三角形内角和性质列式计算，即可作答．
【完整解答】解：如图所示：连接
是菱形，
∴，
∵，
为等边三角形，
，
为中点，
，
翻折，
，
，
故答案为：．
28．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ．
【答案】
【思路引导】连接，过点D作于G，可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，即当E与G重合时，此时最小，即最小，最小值为，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【完整解答】解：如图，连接．过点D作于G，
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴当E与G重合时，此时最小，即最小，最小值为，
∵，
∴，
∴
∴的最小值为，
故答案为：．
【考点评析】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，理解，且当时，最小，即最小是解题关键．
29．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形中，点在边上，点F在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则的长为 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
根据矩形的性质，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，由勾股定理得到，由，即可求解．
【完整解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点是线段的中点，
如图所示，连接，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，即，
解得，，
∴，则，
∵，
∴是等腰三角形，，
在中，，
∴，
故答案为： ．
30．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 ．
【答案】
【思路引导】如图，过A作于Q，，证明，而，可得，即，再利用勾股定理可得答案．
【完整解答】解：如图，过A作于Q，，
∴，
∴，
由旋转可得：，则，
∵，M为的中点，
∴，
∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点评析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
31．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接EF，给出四种情况：
①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；
③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．正确的有 ．
【答案】①②③④
【思路引导】此题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，则 ，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小，利用求得，即得线段的最小值为，即可判定正确；熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
【完整解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵于点，于点，
∴，
∴四边形是矩形，，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴ 四边形是正方形，故正确；
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
即的值为定值，故正确；
∵，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，故正确；
∴正确的有，共个，
故答案为：①②③④．
32．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、．
（1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是 ；
（2）当点E、F在、边上运动时，则的最小值为 ．
【答案】 7
【思路引导】（1）分别过点G作于M，于H，根据矩形的性质及全等三角形的判定得出，，确定四边形是正方形，再由等腰三角形的判定和性质得出，设，则，结合图形即可求解；
（2）过点作，，可证得，进而证得点在的角平分线上，当时，最小，此时为等腰直角三角形，再进一步求解即可．
【完整解答】解：（1）分别过点G作于M，于H，如图，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∵E，F分别是边上的中点，
∴，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点G到的距离为，
故答案为：
（2）∵四边形是矩形，，，
∴，，
过点作，，则四边形是矩形，
∴，，
∵，，则，
∴，
∴，
∴，
∴点在的角平分线上，
∴，
∴当时，最小，此时为等腰直角三角形，
∴，
解得：，
∴的最小值为．
故答案为：
【考点评析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．
33．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质，先作辅助线，延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，根据勾股定理和平行四边形的性质得到线段的长度，证明出四边形为平行四边形，再根据三角形全等得到对应边相等，再根据垂线段最短得到最小值，即可求解．
【完整解答】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示：
，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，最小，此时，
∴最小值为，
故答案为： ．
34．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，是线段绕点逆时针旋转．得到线段连接，则线段的最小值为 ．
【答案】/
【思路引导】本题考查了直角三角形的性质；一次函数点的特征，将及分别代入得，，由已知可得，，推出是等腰直角三角形，得出，，在上取点，使，又根据P是线段上的动点，将线段绕点B逆时针旋转，推出，，因为，则，从而得出，所以，则，即，所以点在与x轴平行的直线上运动，当线段与垂直时，线段的值最小，在中，因为，求出，则可求，所以，则．
【完整解答】解：当时，则，
当时，则，解得，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴C是的中点，是的平分线，
∴，，
如图，在上取点，使，连接
又∵P是线段上的动点，将线段绕点B逆时针旋转，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴点在与x轴平行的直线上运动，
∴当线段与垂直时，线段的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
35．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，过点A作，使，连接，，，则的长为 ．
【答案】
【思路引导】如图，过点作，交于，交延长线于，连接，取中点，连接，根据等腰三角形的性质及平行线的性质得出，利用可证明，得出，即可证明四边形是平行四边形，可得，，根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据等腰三角形的性质，结合可得，即可得出，设，在和中，利用勾股定理列方程，求出的值即可得答案．
【完整解答】解：如图，过点作，交于，交延长线于，连接，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵为中点，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
解得：，即．
故答案为：
【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
36．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，，E是边的中点，P是折线上任意一点．将矩形沿直线向上折叠，使点B落在点F处．若点F在边上，则的长为 ．
【答案】16或4/4或16
【思路引导】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键．
过点E作于点H，结合矩形性质可得四边形是矩形，四边形是矩形，得，根据中点性质得,得，由折叠知，由勾股定理得，得当点P在上时，；当点P在上时，．
【完整解答】解：过点E作于点H，
则，
∵矩形中，，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，
∵，E是边的中点，
∴，
∴，
由折叠知，，
∵点B落在点F处．点F在边上，
∴，
∵点P是折线上任意一点，
∴当点P在上时，
；
当点P在上时，
设点A落在点G处，
．
故答案为 ：16或4．
37．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交，于点，．已知，，则的长为 ．
【答案】
【思路引导】过E作于M，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，，，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到
【完整解答】解：过E作于M，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
在与中，
，
，
，，
在与中，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
38．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，，，，点是边上任意一点（点不与点、点重合），将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点．连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，则线段的长为 ．
【答案】2或
【思路引导】本题考查了翻折的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意分和两种情况讨论，①若，由翻折的性质得，进而推出是等腰直角三角形，，利用线段的和差求出线段的长；②若，作于点，利用平行四边形和翻折的性质推出、是等腰直角三角形，得到，，设，表示出，在中利用勾股定理列出方程，求出的值得出线段的长，即可得出答案．
【完整解答】解：①若，如图，
则，
由翻折的性质得，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
；
②若，作于点，如图，
，
，，，，
，
由翻折的性质得，，，，，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
；
综上所述，线段的长为2或．
故答案为：2或．
39．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图像恰好过的中点，点C的坐标为 ．
【答案】
【思路引导】连接，交于点Q，先证明，从而得到Q是的中点，根据反比例性质得，由已知条件可证得，，结合，可得，然后解方程得．通过和的面积关系得到，设，根据勾股定理求出，再利用，从而求出，据此可得答案．
【完整解答】解：如图，连接，交于点Q，
∵矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为，
∴，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴，即点Q是的中点，
∴点Q是反比例函数上的点，
过点Q作于点H， 则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵点M是反比例函数上的点，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴
故答案为：．
【考点评析】本题考查了反比例图像与性质、与矩形相关的对折、三角形全等的判断与性质、相似三角形的判断与性质、中位线、勾股定理、等面积法求线段的长等知识，关键在于适当添加辅助线和采用数形结合列方程，并能灵活运用相关知识解题．
40．（2025·广东·二模）小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握用轴对称的性质解决线段最短问题，作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，由轴对称性质可得，由平移的性质可得，当三点共线时，的值最小，此时，的值最小，再据此求解即可．
【完整解答】解：作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，
由轴对称性质可得，由平移的性质可得，
当三点共线时，的值最小，
此时，的值最小，
矩形中，，洞口M 位于的中点处，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末高频考点优选题汇编复习
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1．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长 ．
2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，于点E， ，M为的中点，N为线段上的点，且，连接，若四边形为平行四边形，则的长为 ．
3．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是，且，则点的坐标是 ．
4．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）已知x，y为实数，且，则 .
5．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，点E以每秒2个单位长度的速度从点D出发向点C运动（不与点C重合），连接，以为边向右侧作正方形，连接．若t秒后的面积恰好为，则t的值为 ．
6．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）已知，则分式 ．
7．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为 ．
8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，则的长为 ．
9．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，，点P是边上一动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为 ．
10．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，平行四边形的对角线，交于点，且，平分，交边于点，连接．若，则为 ．
11．（24-25八年级下·上海·阶段练习）在梯形中，，，，，过点作交边于点，过点作交边于点，交射线于点．连接，当时，求边的长为 ．
12．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在x轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为 ．
13．（24-25八年级下·天津和平·期中）如图，已知菱形的边长为2，，为的中点，为的中点，与相交于点，则的长等于 ．
14．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，平分交于点，点，分别是、的中点，若，，则 ．
15．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点是对角线上的一个动点，连结，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是 ．
16．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为 ．
17．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、.给出以下结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，．上述结论中，正确结论的序号有 ．
18．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，的长为 ．
19．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，P为边长为2的正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接．当点P运动到中点时，长度为 ．
20．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ．
．
21．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是 ．
22．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）边长为2的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是 ．
23．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，正方形的边长为8，点M在上且是上的一动点，则周长的最小值是 ．
24．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）将一副三角板在平行四边形中按如图所示位置摆放，如果，那么的度数是
25．（2025·陕西榆林·三模）如图，四边形是菱形，，，，分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为 ．
26．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图，在正方形中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边上移动，连接和交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若，则线段的最小值是 ．
27．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，将一张菱形纸片沿所在的直线翻折，使点落在点处，联结交边于点．如果为中点，那么折痕与边的夹角的度数是 ．
28．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ．
29．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形中，点在边上，点F在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则的长为 ．
30．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 ．
31．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接EF，给出四种情况：
①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；
③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．正确的有 ．
32．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、．
（1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是 ；
（2）当点E、F在、边上运动时，则的最小值为 ．
33．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ．
34．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，是线段绕点逆时针旋转．得到线段连接，则线段的最小值为 ．
35．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，过点A作，使，连接，，，则的长为 ．
36．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，，E是边的中点，P是折线上任意一点．将矩形沿直线向上折叠，使点B落在点F处．若点F在边上，则的长为 ．
37．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交，于点，．已知，，则的长为 ．
38．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，，，，点是边上任意一点（点不与点、点重合），将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点．连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，则线段的长为 ．
39．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图像恰好过的中点，点C的坐标为 ．
40．（2025·广东·二模）小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为 ．
