2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末高频考点优选题汇编复习
填空题典型必刷练30题（压轴题）
（解析版）
同学你好，该份练习结合课本内容同步选题制作，贴合书本内容。题目精选近两年江苏省各市近两年常考易错真题，典型常规题等重点题目！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合成绩拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
1．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图，正方形的边长为，是边上一点，且，交延长线于点，平分交于点，连接．
（1）的长为 ；
（2）的长为 ．
【答案】
【思路引导】（1）四边形是正方形，则有，，然后证明，再根据全等三角形的性质即可求解；
（2）取的中点，连接，证明是的中位线，再由中位线定理可得，最后由勾股定理即可求解．
【完整解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图，取的中点，连接，
由（1）得，
∴，
∵平分，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
2．（2025八年级下·内蒙古·专题练习）如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点，连结、，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数共有 个
【答案】4
【思路引导】如图延长交的延长线于，取的中点连接．想办法证明，，四边形是菱形即可解决问题；
【完整解答】
如图，延长 交的延长线于点，取的中点，连接．
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴故①正确；
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．故②正确．
∵，
∵
∴ ，
∵，
∴，
，故③正确；
∵
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：4．
【考点评析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形判定和性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质，是一道四边形综合题型，解题关键是熟练掌握四边形和三角形相关知识点．
3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，交于点，，，，，则的长为 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，解题的关键在于正确添加辅助线．
过点A作，过点B作，连接，过点E作，交的延长线于点G，可得四边形是平行四边形，那么，可证明是等边三角形，则，而是等腰直角三角形，由勾股定理求解，最后由勾股定理得到，即可求解．
【完整解答】如图，过点A作，过点B作，连接，过点E作，交的延长线于点G，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∴
∴
∴，
故答案为：．
4．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）正方形 中，以为边向外作，，连接，过C作于点E，若，则 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键．过A作交的延长线于点H；首先证明，则；再证明，则有，，则得；由勾股定理得，，可求得，再由勾股定理即可求得的长．
【完整解答】解：如图，过A作交的延长线于点H，则；
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
在和中，
，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
在与中，
，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴在中，
由勾股定理得，
即，
∴；
在中，由勾股定理得：，
上两式相加解得：，
即；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）某版本教材提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图所示，，古人把正方形沿，两线段剪成四块四边形①、②、③、④，使得，之后再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切、拼接，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组，经过分析初步得出了下面一些结论：
①．；②．若测得，，设，，则；③．．④．N，O，J，P分别为正方形四边的中点．
上面结论正确的是 ．
【答案】①②④
【思路引导】连接，根据勾股定理，正方形的判定和性质，方程组的应用，判定解答即可．
本题考查勾股定理，正方形的判定和性质，二元一次方程组的实际应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
【完整解答】解：连接，
∵正方形，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∵对角线交于点I，
∴，
故①正确；
根据题意，得，
解得，
故②正确；
根据题意，得，
∴N，O，J，P分别为正方形四边的中点．
故④正确；
∵不一定是，
故不一定成立．
故③错误；
故答案为：①②④．
6．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，在正方形中，点是对角线交点，过点作射线分别交于点，且，交于点．有下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是 ．
【答案】①②③
【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
利用正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逐项进行判断即可．
【完整解答】解：①四边形为正方形，
，
又∵，
，
，
即，
∴，
该选项正确，符合题意；
②由①得，
∵四边形为正方形，
∴，
即，
该选项正确，符合题意；
③由①得，
∴四边形的面积为的面积，
∵四边形为正方形，
∴的面积为正方形的，
即四边形的面积为正方形面积的，
该选项正确，符合题意；
④如图，过点作，分别交于点，
由四边形为正方形和得，
假设，，
则，
∴，
，
∴，该选项错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
7．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，已知，点C，D在线段上，且．P是线段上的动点，分别以，为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G，则的最小值是 ．
【答案】
【思路引导】分别延长、交于点，易证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹为的中位线．作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则四边形是矩形，此时的值最小，最小值为线段的长．
【完整解答】解：如图，分别延长、交于点，过点作于点．
∵，
∴，
∵，
，
四边形为平行四边形，
与互相平分．
∵为的中点，
也正好为中点，
即在的运动过程中，始终为的中点，
的运行轨迹为的中位线．
作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则四边形是矩形，此时的值最小，最小值为线段的长．
∵是等边三角形，，，
，
，
∵，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
【考点评析】本题考查了等边三角形性质，矩形的性质与判定，中位线的性质，平行四边形的性质，以及动点问题，轴对称最短路径问题，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用轴对称解决问题．
8．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，动点，分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．由勾股定理可求的长，由可证，可得，由，根据直角三角形直角边小于斜边（可取等）即可求解．
【完整解答】解：连接，交于，
四边形是矩形，
，，
，，
，
动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动，
，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，
故答案为：．
9．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，，点是中点，点在边上，以为对角线作菱形，使，连接，当与的一条边平行时，菱形的边长为 ．
【答案】或
【思路引导】根据直角三角形的性质可得出，，，根据菱形的性质得出，，分为与的边平行和与的边平行，两种情况进行分析，结合平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【完整解答】解：∵在中，，，
∴，
又∵，点是中点，
∴，，
在以为对角线的菱形中，，，
即，，，
∴，，
当与的边平行时，如图：
∵，，
∵，
在中，，
∴，
故，
在中，，
∴，
∴当与的边平行时，菱形的边长为；
当与的边平行时，如图：
∵，，
∵，
在中，，
∴，
又∵，
即，
∴，
故，
在中，，
∴，
∴当与的边平行时，菱形的边长为；
当与的边平行时，此时点不在边上，故该情况不存在；
综上，当与的一条边平行时，菱形的边长为或．
故答案为：或．
【考点评析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握菱形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
10．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知四边形为正方形，边长为2，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．当点从点运动到点时，求的最小值为 ．
【答案】
【思路引导】过点作于点，作于点，利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，则矩形为正方形，那么，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即取得最小值，由勾股定理求出，再由斜边上中线性质可求长．
【完整解答】解：如图，过点作于点，作于点，
四边形为正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，，
，
，
矩形为正方形，
∴，
四边形为正方形，，
，
∴，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即取得最小值，
∵，
∴此时点为中点，
∵，
∴最小值为，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
11．（24-25八年级下·天津·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1） ；
（2）在图中画出平行四边形，为格点；在边上画一点，使得；找到格点，画出直线，使得平分平行四边形的面积． （不必说明理由，不写画法）
【答案】 见解析
【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理及平行四边形的性质是解题的关键．
（）利用勾股定理即可求解；
（）取格点，使，即可画出平行四边形；取格点，连接，与相交于点，利用勾股定理可得，，由勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即有；取的中点，由平行四边形的性质可知，点为平行四边形的中心，故直线平分平行四边形的面积．
【完整解答】解：（1）由勾股定理可得，，
故答案为：；
（2）解：如图，四边形、点、直线即为所求．
12．（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向B运动，两点同时出发，当点Q运动到点B时，点P也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当 时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．
【答案】或4或2或3
【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质，利用分类讨论的思想求解是解本题的关键．
如图，由题意可得：，，则，，再分六种情况讨论①当时， ②当，③当时，解得：，④当时，⑤当时，⑥当时，再逐一检验即可．
【完整解答】解：由题意可得：，，
∵，，
∴，，
当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得；
当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得：；
当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得：；
当四边形是平行四边形时，则，
∴时，
解得，不合题意，舍去；
当四边形是平行四边形时，则，
∴时，
解得：；
当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得：，
综上所述．当t的值为或4或2或3时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．
故答案为：或4或2或3．
13．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在矩形中，，点，是上的点，连接，点是上的一点，连接，且，将矩形按图所示分成块，将其无缝隙拼成图2所示的，则 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
过作于点，则，由四边形是矩形，则，如图，由题意得，，，根据外角性质可得出，则，通过勾股定理得出，又所对直角边是斜边的一半得，通过勾股定理得，最后用面积公式即可求解．
【完整解答】解：如图，过作于点，则，
∵四边形是矩形，
∴，，
如图，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形面积为，
∴，
故答案为：．
14．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，正方形的边长为6，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【思路引导】延长至，使，连接，，，过点O作于点H，证明，得出，证明垂直平分，得出，证明，根据当、E、G三点共线时，最小，即最小，根据勾股定理求出最小值即可．
【完整解答】解：延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∵O为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当、E、G三点共线时，最小，即最小，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为．
故答案为：．
【考点评析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
15．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③垂直平分；④，其中正确的结论有 (填正确的序号)．
【答案】①③④
【思路引导】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，垂直平分线的判定，勾股定理的应用，解题的关键是恰当的证明角相等及构造勾股定理．
【完整解答】解：在正方形中
，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故①正确
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又
∴，
∴
∴垂直平分．
故③正确．
由不垂直，可判断出，
故②错误．
∵
∴
设正方形的边长为，则
，
∴，
在中，
即
∴
∴（不合题意，舍去）
解得
即，
故④正确．
故答案为：①③④
16．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点分别落在边、上的点处，分别交于点．若，，则的长为 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，等面积法等知识，根据折叠可得出，，，根据平行线的性质，角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，根据等面积法可得出，过作于M，过F作于N，连接，根据等面积法可得出，解得可得出，然后代入数值求出，最后在，根据勾股定理求解即可．
【完整解答】解∶∵折叠，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过作于M，过F作于N，连接
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，平分，，G是的中点，连接，则 ．
【答案】2
【思路引导】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由平行四边形的性质得出，，，延长、交于点T，过点F作，则，再得出点H为斜边的中点，再根据直角三角形的性质得出，再利用平行四边形的判定和性质求解即可．
【完整解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴，
延长、交于点T，过点F作，如下图：
则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴点H为斜边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
故答案为：2．
18．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是 ．
【答案】
【思路引导】先证明，得到，再利用直角三角形性质，线段最短原理，勾股定理解答即可．
【完整解答】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
延长到点，使得，
，
，
，
连接，
，
当，，三点共线时，取得最小值，
，，
，，
，
，
，
故的最小值是，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段最短原理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
19．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：
①；
②；
③垂直平分；
④．
其中正确的结论有 （填正确的序号）．
【答案】①③④
【思路引导】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，垂直平分线的判定，勾股定理的应用，解题的关键是恰当的证明角相等及构造勾股定理．
【完整解答】解：在正方形中
，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故①正确
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分．
∴，
故③正确．
由不垂直，可判断出，
故②错误．
设正方形的边长为，则
，
∴，
在中，
即
∴
∴（不合题意，舍去）
解得
即，
故④正确．
故答案为：①③④
20．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在菱形中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，是延长线上一点，且，连接，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为 ．
【答案】/
【思路引导】连接，在上取一点N，使，连接，根据菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据勾股定理以及直角三角形的性质可得，进而得到，最后将代入计算即可.
【完整解答】解：如图：连接，在上取一点N，使，连接，
∵菱形，
∴
由题意可知：均为直角三角形，
在和，
，
∴，
∴，
∵菱形，，，
∴是线段的垂直平分线，
∴点在直线上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
过A作于J，
∵，
∴，，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：.
故答案为：.
【考点评析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质等知识点，灵活运用全等三角形成为解题的关键.
21．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，E为中点，P为边上一动点（含端点），F为中点，则的周长最小值为 ．
【答案】4
【思路引导】根据三角形的中位线的性质得到，推导出，当的周长最小时，的周长最小；即的值最小时，的周长最小；如图，作A关于的对称点，连接交于P，于是得到结论．
【完整解答】解：∵E为中点，F为中点，
∴，
∴
，
当的周长最小时，的周长最小，即的值最小时，的周长最小；
如图，作A关于的对称点，连接交于P，连接，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：4．
【考点评析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，三角形中位线定理，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形中，，，是的中点，过点作，垂足为，将沿点到点的方向平移，得到，设点、分别是、的中点，当点与点重合时，四边形的面积为 ．
【答案】
【思路引导】如图，连接交于,首先证明四边形是平行四边形，再证明，求出即可解决问题.
【完整解答】解：如图，连接交于，
由题意
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形， ，
是等边三角形，
，
，，
∴，
∴，，
∵P是的中点，
∴，
，
，
平行四边形的面积 ，
故答案为：．
【考点评析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.
23．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，，，过点A作，点E为直线上一动点，作点A关于直线的对称点，当点落在的垂直平分线上时，的长为 ．
【答案】或1
【思路引导】先求出，，，再分两种情况：①当点在射线时，过点作于点，过点作于点，连接，求出，设，则，利用勾股定理求解即可得；②当点在射线时，过点作于点，连接，证出点在的垂直平分线上，再证出，根据全等三角形的性质即可得．
【完整解答】解：∵在中，，，，
∴，
设的垂直平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，即．
①如图，当点在射线时，
过点作于点，过点作于点，连接，
∴四边形是正方形，四边形是矩形，
∴，
由轴对称的性质得：，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴；
②如图，当点在射线时，
过点作于点，连接，
∴四边形是正方形，
∴，
由轴对称的性质得：，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
在和中，
，
∴，
∴；
综上，的长为或1，
故答案为：或1．
【考点评析】本题考查了勾股定理、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、二次根式的应用等知识，正确分两种情况讨论是解题关键．
24．（24-25八年级下·天津南开·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形为等边三角形，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段的长为 ．
（2）若线段、上分别存在点D、E，且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使得为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 见解析
【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识．
（1）利用勾股定理计算即可；
（2）作射线，交过点A的格线交于H，作射线；连接，，交于点O，作射线，交于W；作射线，交射线于点Q．
【完整解答】解：（1）由勾股定理得，；
故答案为：；
（2）如图，
与过点B的格线的交点记作G，的中点记作F，
①作射线，交过点A的格线交于H，作射线，
②连接，，交于点O，作射线，交于W，
③作射线，交射线于点Q，
则点Q就是求作的点，
故答案为：作射线，交过点A的格线交于H，作射线；连接，，交于点O，作射线，交于W；作射线，交射线于点Q．
25．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接则的周长最小值是 ．
【答案】18
【思路引导】本题考查了矩形的性质、勾股定理和轴对称的性质，解题关键是恰当作辅助线，得出三角形周长最小值，利用勾股定理求值；
将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N，证，确定点G在过点H且垂直的直线上运动，作点C关于直线的对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长，求出值即可
【完整解答】解：如图，将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N，
∵，
∴，
∵将线绕点E逆时针旋转得到线段，
∴，
∵将绕点E逆时针旋转得到，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点G在过点H且垂直的直线上运动，
，作点C关于直线的对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为13，
∵，
∴的周长最小值是，
故答案为：18．
26．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，已知F、E分别是边长2为的正方形的边的动点，且，与交于点G，连接、，则下列结论：①，②的最小值为，③若点E，F分别为、边上的中点，则，④若点E，F分别为、边上的中点．其中正确结论的有 ．
【答案】①②③④
【思路引导】证明，可得，，进一步可得①符合题意；如图，取的中点，连接，，求解，结合，当三点共线时，最小，进一步可得②符合题意；如图，点E，F分别为、边上的中点，过作交于，交于，证明四边形为矩形，进一步利用勾股定理计算可得③④符合题意．
【完整解答】解：∵正方形的边长为，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，故①符合题意；
如图，取的中点，连接，，
∴，
∴，
∵，
当三点共线时，最小，
∴的最小值为，故②符合题意；
如图，点E，F分别为、边上的中点，
∴，
过作交于，交于，
则四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，故③符合题意，
∵，，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，故④符合题意；
故答案为：①②③④
【考点评析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
27．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法：（1）当时，；（2）当点落在上时，．四边形是菱形；（3）在点运动的过程中，线段的最小值为2；（4）连接，则四边形的面积始终等于．其中正确的序号有 ．
【答案】（1）（2）（4）
【思路引导】（1）画出图形，求出，根据等角对等边即可判断其正确；
（2）画出图形，证明出是等边三角形，从而得到，根据四条边相等的四边形是菱形即可判断其正确；
（3）画出反例的图形，即可判断其错误；
（4）画出图形，连接交于点，根据，即可判断其正确．
【完整解答】解：（1）如图所示，当时，
，
，
将沿翻折得，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
故（1）正确；
（2）如图所示，当落在上时，点和重合，
四边形是平行四边形，
，
，
将沿翻折得，
，，，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
故（2）正确；
（3）如图所示，
当点靠近点时，在四边形外部，此时，
，
故（3）错误；
（4）如图所示，连接交于点，
将沿翻折得，
垂直平分，
，
故（4）正确．
综上，正确的有（1）（2）（4），
故答案为：（1）（2）（4）．
【考点评析】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键．
28．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，P为正方形内一点，分别过P作两条直线，交，于E，F，交，于G，H．若，，且四边形的面积为9，则正方形的面积为 ．（若和为锐角）
【答案】
【思路引导】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形判定和性质．解题关键是构造，得出．
过点F作，垂足为，延长交于，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，构造三角形全等，可得，再由四边形的面积为9，求出，进而理由勾股定理解三角形可求，，进而由双勾股列方程组求出即可解答，
【完整解答】解：过点F作，垂足为，延长交于，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∴，，
∵在正方形中，，，
∴四边形、四边形是矩形，
∴
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴，
在中，，
∵在中，，
设，，
∵在中，，在中，，
∴，由得：，
∴，，
∵，
∴正方形的面积为．
故答案为：．
29．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在矩形中，，点在折线上运动；点关于的对称点为，连接，在点从点运动到点的过程中，的最小值为 ．
【答案】
【思路引导】如图1和2，作点关于的对称点，连接，，先根据轴对称的性质可得，将求的最小值转化为求点到折线的最短距离，从而可得在图2中，当时，点到的距离最短，再设交于点，交于点，利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，最后利用的面积求解即可得．
【完整解答】解：如图1和2，作点关于的对称点，连接，，
由轴对称的性质得：，
∴求的最小值可转化为求点到折线的最短距离，
如图1，当点在上运动时，点到的最短距离为的长，
如图2，当点在上运动时，则时，点到的距离最短，
∵如图2，在中，，
∴当点在折线上运动时，点到折线的最短距离为图2中的长，
在图2中，设交于点，交于点，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
由轴对称的性质得：，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、垂线段最短等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
30．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为 ．
【答案】2或3或5
【思路引导】求出，，设交于点G，连接．分三种情况，当经过的中点D时，．由旋转性质得到，，得到，得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到是等边三角形，得到，即得；当经过的中点E时，，求出，得到，得到，根据，求得，即得；当经过的中点F时， ，可得．
【完整解答】∵在中，，
∴，
∴，
的垂直平分线经过一边中点，可分为以下三种情况：
经过的中点D；经过的中点E；经过的中点F．
设交于点G，连接，
则．
当经过的中点D时，如图：
，
由旋转知，，
∴，
∴，
连接,
∵垂直平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
当经过的中点E时，如图：
，
∵垂直，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当经过的中点F时，如图：
，
∵
∴，
∴．
综上：的长为：2或5或3．
故答案为：2或3或5．
【考点评析】此题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质，含直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，分类讨论，是解题的关键．2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末高频考点优选题汇编复习
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1．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图，正方形的边长为，是边上一点，且，交延长线于点，平分交于点，连接．
（1）的长为 ；
（2）的长为 ．
2．（2025八年级下·内蒙古·专题练习）如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点，连结、，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数共有 个
3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，交于点，，，，，则的长为 ．
4．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）正方形 中，以为边向外作，，连接，过C作于点E，若，则 ．
5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）某版本教材提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图所示，，古人把正方形沿，两线段剪成四块四边形①、②、③、④，使得，之后再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切、拼接，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组，经过分析初步得出了下面一些结论：
①．；②．若测得，，设，，则；③．．④．N，O，J，P分别为正方形四边的中点．
上面结论正确的是 ．
6．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，在正方形中，点是对角线交点，过点作射线分别交于点，且，交于点．有下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是 ．
7．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，已知，点C，D在线段上，且．P是线段上的动点，分别以，为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G，则的最小值是 ．
8．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，动点，分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 ．
9．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，，点是中点，点在边上，以为对角线作菱形，使，连接，当与的一条边平行时，菱形的边长为 ．
10．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知四边形为正方形，边长为2，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．当点从点运动到点时，求的最小值为 ．
11．（24-25八年级下·天津·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1） ；
（2）在图中画出平行四边形，为格点；在边上画一点，使得；找到格点，画出直线，使得平分平行四边形的面积． （不必说明理由，不写画法）
12．（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向B运动，两点同时出发，当点Q运动到点B时，点P也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当 时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．
13．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在矩形中，，点，是上的点，连接，点是上的一点，连接，且，将矩形按图所示分成块，将其无缝隙拼成图2所示的，则 ．
14．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，正方形的边长为6，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ．
15．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③垂直平分；④，其中正确的结论有 (填正确的序号)．
16．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点分别落在边、上的点处，分别交于点．若，，则的长为 ．
17．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，平分，，G是的中点，连接，则 ．
18．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是 ．
19．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：
①；
②；
③垂直平分；
④．
其中正确的结论有 （填正确的序号）．
20．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在菱形中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，是延长线上一点，且，连接，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为 ．
21．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，E为中点，P为边上一动点（含端点），F为中点，则的周长最小值为 ．
22．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形中，，，是的中点，过点作，垂足为，将沿点到点的方向平移，得到，设点、分别是、的中点，当点与点重合时，四边形的面积为 ．
23．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，，，过点A作，点E为直线上一动点，作点A关于直线的对称点，当点落在的垂直平分线上时，的长为 ．
24．（24-25八年级下·天津南开·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形为等边三角形，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段的长为 ．
（2）若线段、上分别存在点D、E，且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使得为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
25．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接则的周长最小值是 ．
26．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，已知F、E分别是边长2为的正方形的边的动点，且，与交于点G，连接、，则下列结论：①，②的最小值为，③若点E，F分别为、边上的中点，则，④若点E，F分别为、边上的中点．其中正确结论的有 ．
27．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法：（1）当时，；（2）当点落在上时，．四边形是菱形；（3）在点运动的过程中，线段的最小值为2；（4）连接，则四边形的面积始终等于．其中正确的序号有 ．
28．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，P为正方形内一点，分别过P作两条直线，交，于E，F，交，于G，H．若，，且四边形的面积为9，则正方形的面积为 ．（若和为锐角）
29．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在矩形中，，点在折线上运动；点关于的对称点为，连接，在点从点运动到点的过程中，的最小值为 ．
30．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为 ．
