解答题典型必刷练30题（压轴题）（原卷版+解析版）-2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末高频考点优选题汇编复习

2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末高频考点优选题汇编复习
解答题典型必刷练30题（压轴题）
（原卷版）
同学你好，该份练习结合课本内容同步选题制作，贴合书本内容。题目精选近两年江苏省各市近两年常考易错真题，典型常规题等重点题目！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合成绩拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
1．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】：
（1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ______；
【深入探究】：
（2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ；
②在①的条件下，在双曲线上，求的值．
【拓展延伸】：
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①直接写出y关于x的函数表达式及自变量的取值范围
②对于图象上任意一点，求代数式的值，（直接写出结果）．
【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①或（）；②
【思路引导】（1）过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，得到，于是矩形的周长为，面积为，不相等，判断即可；根据点是第一象限内的一个“美好点”，得到，解答即可．
（2）①根据点是“美好点”（），得到，确定m的值，继而得到点，把确定的坐标代入解析式确定k值即可；
②把代入双曲线中，得到，得到，过点F作轴于点H，交的延长线于点G，设，直线的解析式为，确定直线的解析式，点G的坐标，根据解答即可．
（3）①根据定义，得，整理表示y即可．
②根据，变形得即，变形解答即可．
【完整解答】（1）解：如图，过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，根据题意，得，
∴矩形的周长为，面积为，不相等，
∴点不是“美好点”；
∵点是第一象限内的一个“美好点”，
∴，
解得．
（2）①∵点是“美好点”（），
∴，
解得，
∴点，
把代入解析式中，得，
解得；
②∵，
∴双曲线的解析式为，
∵点在上，
解得，
故点，
过点F作轴于点H，交的延长线于点G，
设，直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵在直线上，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
（3）①∵点是第一象限内的“美好点”．
∴，
∴，
∵点是第一象限内的“美好点”，
∴，
∴，
∴，
∴或．
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值是．
【考点评析】本题考查了矩形的周长和面积，点的坐标特点，待定系数法求反比例函数，正比例函数的解析式，分割法求图形的面积，正确理解新定义，熟练掌握待定系数法，分割法求图形的面积是解题的关键．
2．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图，在矩形中，是边上一点，连接，过点作交于点，连接．
(1)若，求证：．
(2)若恰好是边的中点，试探究的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，当时，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)等腰三角形，理由见解析
(3)
【思路引导】（1）证明．即可得到结论；
（2）延长、交于点，可证，利用全等结论可得为斜边上的中线，即可得出结论；
（3）连接，当时，，又，则为的中垂线，故．设，则，．在△中，由勾股定理可得，故．
【完整解答】（1）证明：，
．
四边形为矩形，
，
，
，，
．
在和中，
，
．
．
（2）证明：为等腰三角形，理由如下：
如图1所示，延长、交于点，
在和中，
，
．
，
又，
．
又，
则为斜边上的中线，
故有，
故为等腰三角形．
（3）解：如图所示，连接，
当时，，
又，
则为的垂直平分线，
故．
设，则，
又是边的中点，
．
在中，由勾股定理可得，
故．
【考点评析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，作出恰当的辅助线是解题关键．
3．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（为常数）的“友谊点”为．
(1)已知点，则点的“友谊直线”的解析式为______________；直线的“友谊点”的坐标为_________________；
(2)两点关于轴对称，且点的“友谊直线”经过点和点，求该直线的解析式；
(3)直线不经过第二象限，为直线的“友谊点”．
①若为整数，求点的坐标；
②直线与轴，轴分别相交于两点，，为平面内一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)①点的坐标为；点的坐标为或或
【思路引导】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据定义可得点的“友谊直线”的解析式为，再根据A、B坐标可得直线的解析式为，则直线的“友谊点”的坐标为．
（2）利用待定系数法得到直线解析式为，则的坐标为，点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可；
（3）①根据直线不经过第二象限，得到，则的值为2，由定义可得的坐标为，则点的坐标为．
②求出点的坐标为，点的坐标为，根据，得到，则，再分当为对角线时，，当为对角线时，当为对角线时， 三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同讨论求解即可．
【完整解答】（1）解：由题意得，点的“友谊直线”的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的“友谊点”的坐标为．
（2）解：将代入，得，解得，
∴直线解析式为，
根据定义，的“友谊点”的坐标为，
∵两点关于轴对称，
∴点的坐标为，
将代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：①∵直线不经过第二象限，
∴，
解得，
又∵为整数，
∴的值为2，
根据题意，直线的“友谊点”的坐标为，
∴点的坐标为．
②当时，，
∴点的坐标为，
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∵直线不经过第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
4．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，已知四边形为正方形，点为对角线上的点，连接，过点作，交边于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)求证：；
(3)当五边形为轴对称图形时，若，直接写出的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【思路引导】（1）过点作，，如图所示，由正方形的判定与性质得到相关角度与线段关系，再由两个三角形全等的判定得到，则，再由正方形的判定即可得证；
（2）由正方形性质得到相关角度与线段关系，再由两个三角形全等的判定即可得证；
（3）由五边形为轴对称图形，正方形的边，得到，，在中，由勾股定理求得，数形结合表示出，代值求解即可得到答案．
【完整解答】（1）证明：过点作，，如图所示：
四边形是矩形，
是正方形的对角线，
是的角平分线，
，
四边形是正方形，
为矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
为矩形，
矩形是正方形；
（2）证明：由（1）知矩形是正方形，
，，
四边形为正方形，
，，
，
，
在和中，
；
（3）解：五边形为轴对称图形，正方形的边，
，，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
由（2）知，
，
．
【考点评析】本题考查特殊平行四边形综合，涉及矩形的性质、正方形的判定与性质、角平分线判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称图形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，点是边的中点，点是正方形内的一个动点，连结，，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，．
(1)按照题意补全图形．
(2)求证：．
(3)连结，若，求线段的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)线段的最小值为
【思路引导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由题意画出图形即可；
（2）证明，得出；
（3）连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，．证明，得出．得出，即可求解．
【完整解答】（1）解：如图即为所求图形．
（2）证明：四边形是正方形，
，．
又，
．
，
．
．
（3）连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，，．
，
．
又，，
．
．
点是边的中点，
，．
在中，，
．
即线段的最小值为．
6．（24-25八年级下·山东济南·期中）已知是等边三角形．
(1)将绕点A逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点O．
①如图a，当时，与是否全等？_____（填“是”或“否”），_____度；
②当旋转到如图b所在位置时，求的度数；
(2)如图，在和上分别截取点和，使，，连接，将绕点逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点，请利用图探索的度数，说明理由．
【答案】(1)①是，；②
(2)当时，，当时，点，点，点共线．当时，．
【思路引导】本题考查了旋转变换的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转变换的性质找出证明全等三角形的条件是解题的关键．
（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得，，然后利用“边角边”证明与全等；根据三角形的内角和等于求出与的度数，再根据旋转角为求出的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可；
②先利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用四边形的内角和等于推出，再根据等边三角形的每一个角都是得到，从而得解；
（2）先求出，证明是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用三角形的内角和定理求出的度数，然后分与两种情况求解．
【完整解答】（1）解：①是由绕点旋转得到，是等边三角形，
，，
在与中，
，
；
，
，
又，
在四边形中，；
②由已知得：和是全等的等边三角形，
，
是由绕点旋转得到的，
，
同理可得，，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）如图，，，
，
，
是等边三角形，
是等边三角形，
根据旋转变换的性质可得，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
当时，点，点，点共线．
当时，．
7．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在四边形中，点、分别在边、上．连接、．
(1)如图1，四边形为正方形时，连结，且，
①已知，，求的长；
②已知，求的值；
(2)如图2，四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长．
【答案】(1)①10；②4
(2)
【思路引导】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及勾股定理，根据全等三角形对应边之间的关系，设未知数利用勾股定理列方程为解题关键．
（1）①利用勾股定理可直接得出结论；
②延长至点，使，连接，可证明，所以，；进而可得，所以；设，，则，，．所以，在中，利用股定理可得关于和的等式，解之即可得出结论；
（2）如图，延长、交于点．可证，所以，由，可得，所以，设，则，即，解之即可得出结论．
【完整解答】（1）解：（1）①在正方中，，
在中，，，，
，
即的长为10．
②如图，延长至点，使，连接，
在正方形中，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
设，，则，，．
，
在中，，
，
，
，
，即，
的值为4．
（2）解：如图，延长、交于点．
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
设，则，
即，
解得：，
．
8．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，证明：；
(3)如图3，在(2)的条件下，将沿折叠，当为某个数值时，点落在点的位置，若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
（1）可证得，，从而，进而证得，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）可证得，从而，进而证得，从而得出，根据等腰三角形的定义即可得到结论；
（3）由折叠得，，可证得，，从而，从而得出，进而得出，设，，从而，根据折叠的性质可得，从而得出，从而，在中，根据勾股定理得出，，从而得出，由得，根据三角形的面积公式进一步得出结果．
【完整解答】（1）证明：，
，
，
，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
；
（2）证明：是的平分线，
，
由知，，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：沿折叠，点落在点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
点是的中点；
设，，
，
，
折叠的性质可得，
，
，
，，，，
，
化简得，，
或，
，
舍去，
，
，
，
，
的面积是．
9．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
(1)在图1中先画出一个以为边的正方形，再画出一个以为边的菱形（菱形不是正方形），并直接写出__________．
(2)如图2，点M在格点上，先过点A作交于点G，再在上画点H，使．
【答案】(1)画图见解析；
(2)画图见解析
【思路引导】（1）由勾股定理可得，若连接，则由勾股定理逆定理可证明，则正方形即为所求；可得，故菱形即为所求；
（2）取格点，连接并延长交即为点，可得，则，可得，再根据全等三角形对应角相等以及互余关系可证明；
取格点，连接并延长与交点即为点，可得平行四边形，则，得到，由为中点得到，而，则，故是的垂直平分线，则．
【完整解答】（1）解：如图，正方形，菱形即为所求；
∵，
，
．
（2）解：如图，点，即为所求：
【考点评析】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及正方形和菱形的判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形斜边中线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在于找准格点．
10．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明）
（2）利用上述结论解决以下问题：
【问题1】
在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：．
【问题2：延伸】
①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ．
②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值．
【答案】（1），；（2）问题1：见解析；问题2：①；②
【思路引导】（1）根据正方形的性质证明即可得到答案；
（2）问题1：如图，过作，与交于点，由正方形的性质结合已知条件证明，是等腰直角三角形，从而可得结论；
问题2：①连接，由（1）可知，，延长至，使得，连接，则垂直平分，得，则，当在上时取等号，再根据勾股定理即可求解；
②设，则，，最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，距离之和最小，进而求得．
【完整解答】解：（1）在正方形中，，，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，则，
∴，
故答案为：，；
（2）问题1：如图，过作，与交于点，
四边形是正方形，则
，
由（1）得：，
，
，
，则是的垂直平分线，
，则，
平分
，
，
，
，则，
，
；
问题2：①在正方形中，，
连接，由（1）可知，，
延长至，使得，连接，则垂直平分，
∴，

则，当在上时取等号，
∵，则，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：；
②如图，

作于，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∴
，
最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，的距离之和最小，
如图，

作J的对称点，连接，
则与x轴的交点是H点，此时最小，
作轴于T，
．
【考点评析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质等知识，正确作图和掌握相关图形的判定与性质是解题的关键．
11．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图：在平面直角坐标系中， ，，，将绕点B顺时针旋转得．
(1)求直线解析式．
(2)点P是第一象限直线上一点，当时，求点P的坐标．
(3)在（2）的前提下，点N是直线上的点，点M是x轴上的点，当点B、P、M、N四点构成平行四边形时，请求出点M的横坐标．
【答案】(1)直线解析式为
(2)
(3)的横坐标为
【思路引导】此题考查了一次函数的图象和性质、平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是关键．
（1）求出，，利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）连接，设，根据和，，列方程解方程即可得到答案；
（3）设，，当，为对角线，当，为对角线，当，为对角线，分以上三种情况进行解答即可．
【完整解答】（1）解：过E作轴于K，如图：
∵ ，，，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，把，代入，
得：，
解得，
∴直线解析式为；
（2）连接，如图：
设，
，
，
，
，
解得，
；
（3）设，，
由，，
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
，此时，重合，不符合题意，舍去；
当，为对角线，同理可得，
解得，
，此时的横坐标为；
当，为对角线，同理可得，
解得，
，此时，重合，不符合题意，舍去；
综上所述，的横坐标为．
12．（24-25八年级下·四川成都·期中）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．
(1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号）
(2)①：如图1，在菱形中，于点E，点F是菱形边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形为“等距四边形”，求线段EF的长；
②：将①中条件改为，其余条件不变，请画出图形，并求出以为边的正方形面积．
(3)如图2，在平行四边形中，，点P是内任意一点，在上是否分别存在点，使得这些点与点P的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，求这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)②；
(2)①或8；②图见解析，以为边的正方形面积为或；
(3)存在，这三个“等距四边形”的周长和为．
【思路引导】本题考查了矩形、菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据“等距四边形”的定义逐一判断即可．
（2）①分两种情况：当点F在上且BF⊥AD时，当点在上且时，分别求解即可；
②分两种情况：当点在上且时， 当点在上且时，四边形是等距四边形，分别求解即可；
（3）过点分别作于，于，于，先证明四边形是菱形，再得到是等边三角形，根据勾股定理得到，根据三角形面积公式即可求解．
【完整解答】（1）解：①平行四边形对角线互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线长的一半，不符合题意；
②矩形的对角线相等且互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线的一半，符合题意；
③菱形的对角线互相平分，对角线不一定相等，因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线的一半，不符合题意；
故答案为：②；
（2）解：①根据等距四边形的定义，当点F在上且BF⊥AD时，四边形是等距四边形，如图1，取的中点O，连接，
∵，
，
，
四边形是等距边形，
在菱形中，，，，
，
，
，
，
根据菱形的对称性得，，
是等边三角形，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
，
当点在上且时，四边形是等距四边形，如图，
连接，，交于点，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，在菱形中，，，
，
；
②根据等距四边形的定义，当点在上且时，四边形是等距四边形，如图，取的中点，连接，，，
，，
，
，
四边形是等距边形，
在菱形中，，，，
，
，
，
，
根据菱形的对称性得，，
是等腰三角形，
在中，，
，
过作于，
，
，
，
∴以为边的正方形面积为；
当点在上且时，四边形是等距四边形，如图，
连接，，交于点，
∵，，
，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，在菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴以为边的正方形面积为；
（3）解：过点分别作于，于，于，如图2，
同（2）的方法得，四边形，四边形，四边形是等距四边形，过点作于，
∵在平行四边形中，，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
在中，，，
∵，
∴，
根据勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形，四边形，四边形的周长的和为．
13．（24-25八年级下·广东珠海·期末）已知：在正方形中，为上一点，过作于，延长至点，连接．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，延长、交于点，连接、，若为中点，，求正方形的周长．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、四点公圆等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）由正方形的性质可得，再根据同角的余角相等可得，然后再根据三角形内角和定理以及等量代换即可解答；
（2）如图：过作于I，连接、，则；根据正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质可得以及四点共圆，进而得到，再证明；再证明可得，即；然后证明，、，即；最后运用勾股定理以及正方形的性质即可解答．
【完整解答】（1）解： ∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴．
（2）解：如图：过作于I，连接、，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，即，
∵，
∴，
∴正方形的周长为．
14．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，在正方形中，，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，直线与交于O，与交于H，，；
①求证：四边形是正方形；
②在线段旋转的过程中，请直接写出四边形面积的最小值________．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②20
【思路引导】（1）根据证明三角形全等即可；
（2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
过点D作于点Q，证明，得出，根据勾股定理得出，根据，得出最大时，最小，根据，得出，即可得出答案．
【完整解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
根据旋转可知：，，
∴，
，
在和中，
；
（2）证明：根据解析（1）可知：，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形；
过点D作于点Q，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，，
最大时，最小，
∵，
，
∵四边形为正方形，
∴正方形面积的最小值为．
【考点评析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
15．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）在矩形中，，点在线段上运动，作关于直线的对称（点的对称点分别为）
(1)如图1，当点在的延长线上时，求的长．
(2)如图2，当点与点重合时，连结，交分别于点、，求证：．
(3)当直线经过点时，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【思路引导】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由勾股定理求出，由轴对称的性质得到，则，据此利用勾股定理求解即可；
（2）连结交于点，可证明为的中位线，得到，由，即可证明．
（3）连接，导角证明，当直线经过点时，，则，由勾股定理可得解方程即可得到答案．
【完整解答】（1）解：∵在矩形中，，
∴，
∵、关于直线对称，
∴，
∴
在中，；
∴的长为；
（2）证明：连结交于点，
∵四边形为矩形，
∴，
∵关于对称，
∴垂直平分，
∴为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴．
（3）解：连接，
∵、关于直线对称，
∴，
∵，
∴，即，
当直线经过点时，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴
∴，
∴．
16．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有，，，、、．
(1)求C点坐标；
(2)将沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点、正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，直线交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【思路引导】（1）过点C作轴于点N，证明得到，，即可求解；
（2）根据平移的性质，用待定系数法求出反比例函数和直线的解析式；
（3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，取的中点Q，过点Q作直线与x轴交于点，与的图象交于点，求出的点M和P的坐标即可．
【完整解答】（1）解：过点C作轴于点N．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
（2）解：设反比例函数解析式为，沿x轴的正方向平移a个单位长度，
∴，，
∵点、正好落在反比例函数图象上，
∴，，
∴，解得，
∴，即反比例函数解析式为．
∵，
∴，，
设直线的函数解析式为，
∴，解得
∴直线的解析式为．
（3）解：对于直线，当时，，
∴，
设是的中点，
∵，，
∴，
过点作直线与轴交于点，与的图象交于点，
若四边形是平行四边形，
则有，
易知点的横坐标大于，点的横坐标小于，
作轴于点，轴于点，与交于点，作轴于点，
则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∴点的横坐标，点的纵坐标，点的坐标是，
∵在反比例函数的图像上，即，
解得，
∴，．
【考点评析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、求反比函数解析、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用、平行四边形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键．
17．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图1，以为边构造平行四边形、，，，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时，动点从点出发向点运动，速度为，设与的交点为．
(1)当运动时间________，是等腰三角形；
(2)当_________，四边形是平行四边形；
(3)当_________时，点在的角平分线上；
(4)如图，若将平行四边形绕点逆时针旋转之后得到平行四边形，再将它沿方向平移得到平行四边形，当点落在上时，则线段________．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【思路引导】（）由平行四边形性质可得，，当是等腰三角形时，则有是等边三角形，所以，从而求解；
（）延长交于点，由四边形是平行四边形，得，故，由，则，可得，当四边形是平行四边形时，，故有，然后解出的值即可；
（）由在的角平分线上，则，由（）得，，证明四边形是平行四边形，根据性质可得，故有，然后解出的值即可；
（）由题意可得，则，所以三点共线，过作交延长线于点，过作交延长线于点，则，所以四边形是矩形，则，，根据平行四边形性质得，，，所以，得到，由勾股定理得：，同理得：，最后用线段和差即可求解．
【完整解答】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
当是等腰三角形时，则有是等边三角形，
∴，
∴运动时间，
故答案为：；
（2）解：延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，解得：；
故答案为：；
（3）解：如图，
∵在的角平分线上，
∴，
由（）得，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，解得：，
故答案为：；
（4）解：如图，由题意可得，
∴，
∴三点共线，
过作交延长线于点，过作交延长线于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
同理得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，旋转和平移的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
18．（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)结合图象直接写出不等式的解集：
(3)求的面积；
(4)点在轴上，坐标平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)：或或或．
【思路引导】（1）把点代入可得，再代入可得答案；
（2）结合函数图象可得答案；
（3）先求解，可得，再利用三角形的面积公式计算即可；
（4）由以点，，，为顶点的四边形是菱形，如图，当为对角线时，记交点为，如图，当为对角线时，记交点为，如图，当为对角线时，再进一步求解即可．
【完整解答】（1）解：∵直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，
∴，
解得：，
∴，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为：；
（2）解：由图象可得：不等式的解集为：；
（3）解：∵直线分别与轴、轴相交于点、点，
∴当时，，当时，，
解得：，
∴，；
∵直线与轴相交于点，与轴相交于点，
∴当时，，
当，解得：，
∴，，
∴，
∴．
（4）解：∵以点，，，为顶点的四边形是菱形，
如图，当为对角线时，记交点为，
∴，，，
∵，
∴，
如图，当为对角线时，记交点为，
设，则，
∴，
解得：或，
∴或，
结合平移可得：
或；
如图，当为对角线时，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
结合平移可得：，
综上：或或或．
【考点评析】本题考查的是一次函数的几何应用，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练的画出图形，利用数形结合的方法解题是关键．
19．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．
(1)求证：；
(2)如图2，将沿轴正方向平移得到，当直线经过点时，
①点的坐标为______；
②求出平移的距离；
(3)若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
(3)存在，点的坐标为或
【思路引导】（1）根据证明；
（2）①设，由（1）知得，，表示，由点在直线上，求出，再根据、坐标求出直线的解析式，由平移知可设直线的解析式，再求出的坐标；②代入的坐标求出，计算出坐标即可求出的长度；
（3）分为平行四边形的边和对角线分别考虑，当为边时，根据平移可知的横坐标，代入直线的解析式，求出的坐标，从而得到的坐标，当为对角线同理解决．
【完整解答】（1）证明：线段绕着点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
（2）解：①与轴、轴相交于、两点，
，，
设，
由（1）知，
，，
，
点在直线上，
，
解得，
，，
故答案为：；
②设直线的解析式为，
则，
，
直线得到解析式为，
设的解析式为，
点在直线上，
，
，
直线的解析式为，
，
，
，
平移的距离为．
（3）解：，，
当为平行四边形的一边时，如图，
可看成平移得到，
横坐标为6，
当时，，
，
，
由对称性可知，
当为平行四边形的对角线时，如图，
，
与重合．
综上点的坐标为或，
【考点评析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质等知识，根据平移的特征表示出点的横坐标是解题的关键．
20．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B的坐标分别为，，点D为对角线中点，点E在x轴上运动，连接，把沿翻折，点O的对应点为点F，连接．
(1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：．
(2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长．
(3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)6或7.5
(3)点或或或
【思路引导】（1）根据折叠的性质及等边对等角，得到，利用平行线的判定即可得证；
（2）分情况讨论，当时，，此时点与点重合；当点与点重合时，利用勾股定理即可解答；
（3）分情况讨论，当四边形为平行四边形时，，且；当四边形为平行四边形时，；当四边形为平行四边形时，，利用勾股定理即可解答．
【完整解答】（1）证明：由折叠可知，，
点为中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：当时，，此时点与点重合，
，
，四边形是矩形，
，
；
如图①，当点与点重合时，，，
在中，，
即，
解得，
；
综上，的长为6或；
（3）解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
如图②，当四边形为平行四边形时，，且，
，，
，
是的中点，，
，
，
或；
如图③，当四边形为平行四边形时，，
，
，
，
在中，，
；
如图④，当四边形为平行四边形时，，
，
，，
在中，，
．
综上，点坐标为点或或或．
【考点评析】本题考查四边形的综合应用，主要考查矩形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
21．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．
【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【尝试应用】如图3，已知为的一条中线，，求的长．
【拓展提升】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为 ．
【答案】探究发现：依然成立，见解析；尝试应用：；拓展提升：200
【思路引导】此题考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键．
探究发现：作于点E，作交的延长线于点F，则，证明，，利用勾股定理进行计算即可得到答案；
尝试应用：延长到点C，使，证明四边形是平行四边形，由【探究发现】可知，，则，代入数据计算即可得到结果；
拓展提升：由四边形是矩形，，得到，，设，，由勾股定理得到，根据非负数的性质即可得到答案．
【完整解答】解：探究发现：结论依然成立，理由如下：
作于点E，作交的延长线于点F，则，
∵四边形为平行四边形，若，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
；
尝试应用：延长到点C，使，
∵为的一条中线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵．
∴由探究发现可知，，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
拓展提升：∵四边形是矩形，，
∴，，
设，则，
∴
，
∵，
∴当时，的最小值是．
22．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O，过O作，交边于点E．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，过E作于F，若，，求的值；
(3)过A作于G，交边于点H．
①如图3，当点H在点E左侧时，猜想与的数量关系，并证明；
②如图4，当点H在点E右侧时，直接写出，，之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①，证明见解析；②
【思路引导】（1）利用矩形性质，得，结合，证是垂直平分线，推出，，进而．再由矩形对角线相等且互相平分，得，推出．通过角的等量代换，证得．
（2）先根据矩形性质及勾股定理求出对角线长度，进而得的值．利用矩形面积公式求出面积，再由是中点，得面积，根据面积等于与面积和，结合，列出关于的等式，求解得出其值．
(3)①取中点或利用构造中位线，结合平行关系证明平行四边形，通过边的等量代换得出．构造全等三角形，证明与其他三角形全等，再结合中位线或其他线段关系，得到与的数量关系．通过中位线得到线段平行，利用角的等量关系证明全等或相似，进而推出．②取中点，连接、，类比第一小问思路，得到、．由，将代入；再根据，把与的关系代入等式，经过等式变形和化简，最终得出．
【完整解答】（1）证明：四边形是矩形，
．
又，
是线段的垂直平分线，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
；
（2）四边形是矩形，
，
，，
在中，
根据勾股定理，得
，
，
，
，
为中点，
．
，
，
，
；
（3）①猜想：．
证明：方法一：如图1，取中点，连接，，
为中点，为中点，
为的中位线，
．
，
，
．
于，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
又，
四边形是平行四边形，
，
，
；
方法二：如图2，延长交于，延长，交于点．
四边形是矩形，
，．
．
又，
，
，
．
，
，
，
于，
，
，
，
，
，
，
．
，
，，
，
，
，即，
；
方法三：如图3，取的中点，连接．
四边形是矩形，
，
为中点，
是的中位线，
，
．
四边形是矩形，
，，，
，
，
．
，于，
．
，，，
，
，
．
又，
．
，
，
；
方法四：如图4，延长交于点，过作于，
四边形是矩形，
，．
，
又，
，即．
于，
，
又四边形是矩形，
，
四边形为矩形，
．
四边形为矩形，
，，，
，
，
于，
，
，
，
，，
，
，
，
；
方法五：如图5，在上取点，使，连接，
四边形是矩形．
，
又，
是中位线．
，．
，
四边形是矩形，
，，，
，
．
，
，
于，
，
，
，
．
四边形是矩形，
，．
，
，；
方法六：如图6，延长至，使，连接，
四边形是矩形，
，，
是的中位线，
，．
四边形是矩形，
，，，
，
．
于，，
．
，，
．
，
，
，
，
．
方法七：如图7，连接并延长至点，使，过作于．
四边形是矩形，
，
是的中位线，
，．
四边形是矩形，
，
，
，
．
又，
，
．
四边形是矩形．
，，，
，
，
于，
，
，
，
，
，
，
，
．
又，
，
，
；
②．
解析：如图8，取中点，连接，，
同理可得，．
，
，
，
，
，
．
【考点评析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理、平行四边形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．（2025·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系xOy中，将任意两点与之间的“直距”定义为：．例如：点，点，则．
(1)已知两点，则______；
(2)已知点M在反比例函数第一象限的图像上，若线段，求；
(3)已知两点，如果直线AB上存在点C，使得，请直接写出点C的坐标．
【答案】(1)5
(2)
(3)点C的坐标为或
【思路引导】本题考查了新定义下的两点之间的“直距”定义，考查了绝对值的几何意义，解不等式，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“直距”的定义即可得出答案；
（2）设点M的坐标为，且，根据“直距”的定义可得，化简，即可求解；
（3）设直线的解析式为，可求出直线的解析式为，设点C的坐标为，根据“直距”的定义列出等式，再分类讨论，即可解答．
【完整解答】（1）解：，
故答案为5．
（2）∵点M在反比例函数第一象限的图像上，
∴设点M的坐标为，且．
∵，
∴，
即，
即，
∴．
（3）设直线的解析式为，
将分别代入，得
，解得，
∴直线的解析式为．
设点C的坐标为，
∴，
①当时，，
∴，
解得，不合题意，舍去．
②当时，，
∴，
解得，
∴C；
③当时，，
∴，
解得，
∴C；
综上所述，点C的坐标为或．
24．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，．
(1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式；
(2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【思路引导】（1）由题意易得，，求出直线的解析式，把的坐标代入求出的值，从而求得反比例函数的解析式；
（2）当点在下面时，延长至，使，连接，过点作直线 交直线于，则，求出直线的解析式，进而得出直线的解析式，从而求出点的坐标；当点在上面时，在上取点，使，连接，则，，过点作直线 交直线的延长线于，则，求出直线的解析式，从而求出点的坐标．
【完整解答】（1）解：∵矩形的边在轴上，点的坐标分别为，，
∴，，，
∴，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点直线上，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：情况一：延长至，使，连接，则，
在 中，当 时，，
，
∴，
过点作直线 交直线于，则，
设直线的解析式为，
则，得 ，
，
设直线的解析式为，代入 解得：，
，
当时，
点；
情况二：在上取点，使，连接，则，，
过点作直线 交直线的延长线于，则，
设直线的解析式为，代入 解得：，
，
当时，
点；
综上所述，点坐标为或．
【考点评析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，数形结合是解题的关键．
25．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）【问题背景】（材料原题）已知：如图①，在菱形中，，点、分别在边、上．
【问题探究】（1）①，②，从上面两个条件中选择一个说明是等边三角形；
【问题拓展】（2）如图②，在（1）的条件下，与交于点，若，求的长；
【问题延伸】（3）如图③，在（1）的条件下，点在延长线上，若，取的中点，连接，求的最小值．
【答案】（1）选①，说明见解析；选②，说明见解析；（2）；（3）最小值为
【思路引导】（1）①，根据菱形的性质，等边三角形的判定解答即可．
②，根据菱形的性质，等边三角形的判定解答即可．
（2）作垂直于延长线，垂足为，作，垂足分别为，；
（3）取中点中点，作，交于点，连接，，取中点，根据垂线段最短解答即可．
【完整解答】（1）选①证明：菱形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
选②证明：
菱形，
，
，
，
又，
，
，
，
是等边三角形．
（2）解：作垂直于延长线，垂足为，作，垂足分别为，
由题得，
，
，
平分，
，
，
．
（3）解：取中点中点，作，交于点，连接，，取中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
为中点，
又为中点，
与重合，
共线，
点在线段上运动，
当时，值最小，
，
，
，
，
，
，
最小值．
【考点评析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键．
26．（24-25八年级下·天津和平·期中）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．
(1)如图①，点在边上，（点不与、重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限，设，则的大小为___________，并用含有字母的式子表示点的坐标为___________；
(2)如图②，若在边上一点，沿翻折得到新，且交边于点，若面积为．
①求长；
②求点坐标；
(3)如图③，点是的中点，点在边上，且．若为轴上的动点，为轴上的动点，则四边形的周长最小值为___________（直接写出结果）．
【答案】(1)；
(2)①；②P点坐标为
(3)
【思路引导】（1）由翻折可得，如图①，过点作于点E，利用含度角的直角三角形即可求出点O′的坐标；
（2）①根据三角形的面积可得的长，利用等腰三角形的判定得即可；
②根据勾股定理求出的长，然后可得，再根据翻折的性质可得，进而可得P点坐标；
（3）先判断出点M，N是直线和x，y轴的交点，再利用两点间的距离公式即可得出结论．
【完整解答】（1）解：∵在矩形中，，，
∴，
由翻折可知：，
∴，
如图①，过点作于点E，
由翻折可知：,
∴,
∴,
∴,
∴点的坐标为，
故答案为：；；
（2）①∵点，点，
∴，，
∵，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由翻折可知：，
∴，
∴，
∴P点坐标为；
（3）∵点E是的中点，，，，
∴，，
∴，，
∴，
如图，作点E关于x轴的对称点为，点F关于y轴的对称点为，
连接和x轴交于M，和y轴交于N，此时四边形的周长最小，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形的周长的最小值
．
故答案为：．
【考点评析】本题考查了四边形综合问题，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，三角形面积，最短路径问题，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）矩形是最基本的几何图形之一，其性质为构建几何知识体系提供支撑，通过研究矩形，同学们能理解角、边、对角线的关系，掌握几何图形的研究方法，培养空间观念和几何逻辑推理能力．
【知识感知】善于动脑的小红发现，如果在矩形所在平面内任意取一点，连结，，，，必然会有，请在图1和图2中任意选择一个证明．
【性质应用】如图3，在矩形中，为对角线交点，已知，，且，求的长度；
【拓展延伸】如图4，在中，，，是外一点，且，，求的取值范围．
【答案】[知识感知]见详解 [性质应用] [拓展延伸]
【思路引导】[知识感知]如图1，当点P在矩形内部时，过P作于G，交于N，四边形、四边形是矩形，得，再由勾股定理即可得出结论；如图2，当点P在矩形外部时，同理可得出结论；
[性质应用]运用矩形的性质以及勾股定理得，结合点在矩形内，则，因为，代入数值得，解得，（舍去），即可作答．
[拓展延伸]充分理解题意，过点A作，过点B作，与交于点E，连接，证明四边形为矩形，结合在矩形所在平面内任意取一点，连结，，，，必然会有，同理得，代入数值解得，在中，由三角形的三边关系可得：，当C、D、E三点共线时，，或，则的取值范围为，即可作答．
【完整解答】解：[知识感知]
如图1，当点P在矩形内部时，过P作于G，交于H，
∴
∴四边形是矩形
同理得四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得：，，
∴，，
∴；
如图2，当点P在矩形外部时，过P作于G，交于H，
同理证明四边形、四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得：，，
∴，，
∴；
[性质应用]
在矩形中，为对角线交点，已知，，
∴，，
∴设则，
∵点在矩形内，
∴，
连接
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得，（舍去），
∴；
[拓展延伸]
过点A作，过点B作，与交于点E，连接，如图，
∵，，
∴
∴四边形为矩形，
∴，
∵在矩形所在平面内任意取一点，连结，，，，必然会有
∴同理得，
∵，，
即，
解得：（负值已舍去），
在中，由三角形的三边关系可得：，
∴
∴当C、D、E三点共线时，，此时取最小值为，
即的最小值为．
∴当C、D、E三点共线时，，此时取最大值为，
即的最大值为．
∴的取值范围为．
【考点评析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，运用平方根解方程，熟练运用数形结合以及分类讨论思想是解题的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
28．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）是等腰直角三角形，，在外有一点D，连接、．
(1)如图1，与相交于点P， ，，，求的长度．
(2)如图2，将线段绕点A逆时针旋转得线段，且点E恰好在的延长线上，过点A作交于点F、交于点G，连接，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，，，点H是直线上的一动点，连接．将绕点G顺时针旋转到，连接．点N是内部的一动点，请直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【思路引导】(1)可得是等腰直角三角形，从而得出和的长，进而在直角三角形中求得，进一步得出结果；
(2)可证得，从而，可证得是的中位线，从而，进一步得出结论；
(3)以为边，在上方作等边三角形，作平分，并延长至，使，连接，，作于，连接，可证得，从而．从而得出点在与成的直线上运动，可证得点、、共线，求得，解三角形，求得的值，进一步得出结果.
【完整解答】（1）解：是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
在中， ，，
，
；
（2）证明：∵线段绕点A逆时针旋转得线段，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，，
，
，
∴，
；
（3）解：如图，
以为边，在上方作等边三角形，作平分，并延长至W，使，连接，，作于T，连接，
，，
，
绕点G顺时针旋转到，
，，
，
，
，
，
，
∴点M在与成的直线上运动，
由（2）知，
是的中位线，
，
，
，
，
，
∴点W、M、E共线，
是的垂直平分线，
，
，
，
设，则，，
，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
（舍去），
，
∴当M在T处时，最小．
【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
29．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）德强学校初三学年数学兴趣小组开展综合实践活动，赵老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．智慧小组发现，特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题．例如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形．他们通过探究，提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，由此抽象出下列几何图形，并设置相关问题，请你帮助解答下面问题：
【初步感知】如图1，在等腰三角形ABC中，，过点B作，F为BC延长线上一点，连接FE并延长与CA的延长线相交于点G，．求证：四边形ABEG为平行四边形；
【观察发现】如图2，在（1）的条件下，D为AB上一点，连接GD，通过观察、猜想并填空，当时，请直接写出直线DG与BC的位置关系为：______；
【图形综合应用】如图3，在（2）的条件下，，连接BG与AE相交于点O，连接CD，当射线CD恰好经过点O时，取BC中点，连接ON，，求线段ON的长度．
【答案】【初步感知】见解析
【观察发现】
【图形综合应用】
【思路引导】（1）利用等腰三角形性质和可知，平行线性质可知，两组对边平行的四边形是平行四边形．
（2）根据等腰三角形性质，再利用等腰三角形三线合一可知证．
（3）根据等腰直角三角形性质可证 是矩形，然后证，接着说明是线段的垂直平分线，最后根据中位线可证．
【完整解答】【初步感知详解】证明：∵在等腰中，
∴ ，
∵
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形
【观察发现详解】
证明：由（1）得
∵
∴
∴
∵
∴
∴，平分
由（1）知，
∴
∴
【图形综合应用详解】由（1）（2）可知，，
∴，
∴都是等腰直角三角形
∴ 是矩形，
连接BG与AE相交于点O，点是， 的中点，
∵ ，， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴是线段的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∵是中点，是中点，
∴在中， ，
【考点评析】本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，全等三角形判定，中位线的性质，垂直平分线的证明，是一道综合题型，解题关键是要熟练掌握相关知识点的综合运用．
30．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，已知平行四边形中，C是的中点，连接，．
(1)求证∶；
(2)如图2，点H在上，，连接，过点H作 交延长线于点 F，交 于点 G，求证∶；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作交延长线于点K，连接并延长交于点 P， 过点 P作 于点 M，若 ，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【思路引导】（1）根据平行四边形性质得，结合，得；（2）过H点作，交于点J，则，可得四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，结合，得，，根据，得，可得，即得；
（3）过H点作，交于点J，过点C作,交于点Q，作于点N，则 ，
由第(2)小题得四边形是菱形，，根据，得，得，，证明，得，证明，可得，得，，得，得．，得,得，得,证明，得．
【完整解答】（1）证明：∵在中，，
且，
∴；
（2）证明：过H点作，交于点J，
∵中，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：同（2）过H点作，交于点J，再过点C作,交于点Q，作于点N，
则，
由第（2）小题知，四边形是菱形，，
∴，
∵ ，
∴，
∵ C是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【考点评析】本题考查了平行四边形的应用．熟练掌握平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定及应用，勾股定理，是解题的关键．2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末高频考点优选题汇编复习
解答题典型必刷练30题（压轴题）
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1．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】：
（1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ______；
【深入探究】：
（2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ；
②在①的条件下，在双曲线上，求的值．
【拓展延伸】：
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①直接写出y关于x的函数表达式及自变量的取值范围
②对于图象上任意一点，求代数式的值，（直接写出结果）．
2．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图，在矩形中，是边上一点，连接，过点作交于点，连接．
(1)若，求证：．
(2)若恰好是边的中点，试探究的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，当时，直接写出的值．
3．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（为常数）的“友谊点”为．
(1)已知点，则点的“友谊直线”的解析式为______________；直线的“友谊点”的坐标为_________________；
(2)两点关于轴对称，且点的“友谊直线”经过点和点，求该直线的解析式；
(3)直线不经过第二象限，为直线的“友谊点”．
①若为整数，求点的坐标；
②直线与轴，轴分别相交于两点，，为平面内一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
4．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，已知四边形为正方形，点为对角线上的点，连接，过点作，交边于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)求证：；
(3)当五边形为轴对称图形时，若，直接写出的长．
5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，点是边的中点，点是正方形内的一个动点，连结，，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，．
(1)按照题意补全图形．
(2)求证：．
(3)连结，若，求线段的最小值．
6．（24-25八年级下·山东济南·期中）已知是等边三角形．
(1)将绕点A逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点O．
①如图a，当时，与是否全等？_____（填“是”或“否”），_____度；
②当旋转到如图b所在位置时，求的度数；
如图，在和上分别截取点和，使，，连接，将绕点逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点，请利用图探索的度数，说明理由．
7．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在四边形中，点、分别在边、上．连接、．
(1)如图1，四边形为正方形时，连结，且，
①已知，，求的长；
②已知，求的值；
如图2，四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长．
8．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，证明：；
(3)如图3，在(2)的条件下，将沿折叠，当为某个数值时，点落在点的位置，若，，求的面积．
9．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
(1)在图1中先画出一个以为边的正方形，再画出一个以为边的菱形（菱形不是正方形），并直接写出__________．
(2)如图2，点M在格点上，先过点A作交于点G，再在上画点H，使．
10．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明）
（2）利用上述结论解决以下问题：
【问题1】
在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：．
【问题2：延伸】
①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ．
②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值．
11．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图：在平面直角坐标系中， ，，，将绕点B顺时针旋转得．
(1)求直线解析式．
(2)点P是第一象限直线上一点，当时，求点P的坐标．
(3)在（2）的前提下，点N是直线上的点，点M是x轴上的点，当点B、P、M、N四点构成平行四边形时，请求出点M的横坐标．
12．（24-25八年级下·四川成都·期中）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．
(1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号）
(2)①：如图1，在菱形中，于点E，点F是菱形边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形为“等距四边形”，求线段EF的长；
②：将①中条件改为，其余条件不变，请画出图形，并求出以为边的正方形面积．
如图2，在平行四边形中，，点P是内任意一点，在上是否分别存在点，使得这些点与点P的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，求这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由．
13．（24-25八年级下·广东珠海·期末）已知：在正方形中，为上一点，过作于，延长至点，连接．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，延长、交于点，连接、，若为中点，，求正方形的周长．
14．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，在正方形中，，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，直线与交于O，与交于H，，；
①求证：四边形是正方形；
②在线段旋转的过程中，请直接写出四边形面积的最小值________．
15．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）在矩形中，，点在线段上运动，作关于直线的对称（点的对称点分别为）
(1)如图1，当点在的延长线上时，求的长．
(2)如图2，当点与点重合时，连结，交分别于点、，求证：．
(3)当直线经过点时，求的长．
16．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有，，，、、．
(1)求C点坐标；
(2)将沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点、正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，直线交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
17．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图1，以为边构造平行四边形、，，，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时，动点从点出发向点运动，速度为，设与的交点为．
(1)当运动时间________，是等腰三角形；
(2)当_________，四边形是平行四边形；
(3)当_________时，点在的角平分线上；
(4)如图，若将平行四边形绕点逆时针旋转之后得到平行四边形，再将它沿方向平移得到平行四边形，当点落在上时，则线段________．
18．（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)结合图象直接写出不等式的解集：
(3)求的面积；
(4)点在轴上，坐标平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．
(1)求证：；
(2)如图2，将沿轴正方向平移得到，当直线经过点时，
①点的坐标为______；
②求出平移的距离；
若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B的坐标分别为，，点D为对角线中点，点E在x轴上运动，连接，把沿翻折，点O的对应点为点F，连接．
(1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：．
(2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长．
(3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．
【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【尝试应用】如图3，已知为的一条中线，，求的长．
【拓展提升】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为 ．
22．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O，过O作，交边于点E．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，过E作于F，若，，求的值；
(3)过A作于G，交边于点H．
①如图3，当点H在点E左侧时，猜想与的数量关系，并证明；
②如图4，当点H在点E右侧时，直接写出，，之间的数量关系．
23．（2025·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系xOy中，将任意两点与之间的“直距”定义为：．例如：点，点，则．
(1)已知两点，则______；
(2)已知点M在反比例函数第一象限的图像上，若线段，求；
(3)已知两点，如果直线AB上存在点C，使得，请直接写出点C的坐标．
24．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，．
(1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式；
(2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标．
25．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）【问题背景】（材料原题）已知：如图①，在菱形中，，点、分别在边、上．
【问题探究】（1）①，②，从上面两个条件中选择一个说明是等边三角形；
【问题拓展】（2）如图②，在（1）的条件下，与交于点，若，求的长；
【问题延伸】（3）如图③，在（1）的条件下，点在延长线上，若，取的中点，连接，求的最小值．
26．（24-25八年级下·天津和平·期中）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．
(1)如图①，点在边上，（点不与、重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限，设，则的大小为___________，并用含有字母的式子表示点的坐标为___________；
(2)如图②，若在边上一点，沿翻折得到新，且交边于点，若面积为．
①求长；
②求点坐标；
如图③，点是的中点，点在边上，且．若为轴上的动点，为轴上的动点，则四边形的周长最小值为___________（直接写出结果）．
27．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）矩形是最基本的几何图形之一，其性质为构建几何知识体系提供支撑，通过研究矩形，同学们能理解角、边、对角线的关系，掌握几何图形的研究方法，培养空间观念和几何逻辑推理能力．
【知识感知】善于动脑的小红发现，如果在矩形所在平面内任意取一点，连结，，，，必然会有，请在图1和图2中任意选择一个证明．
【性质应用】如图3，在矩形中，为对角线交点，已知，，且，求的长度；
【拓展延伸】如图4，在中，，，是外一点，且，，求的取值范围．
28．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）是等腰直角三角形，，在外有一点D，连接、．
(1)如图1，与相交于点P， ，，，求的长度．
(2)如图2，将线段绕点A逆时针旋转得线段，且点E恰好在的延长线上，过点A作交于点F、交于点G，连接，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，，，点H是直线上的一动点，连接．将绕点G顺时针旋转到，连接．点N是内部的一动点，请直接写出的最小值．
29．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）德强学校初三学年数学兴趣小组开展综合实践活动，赵老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．智慧小组发现，特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题．例如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形．他们通过探究，提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，由此抽象出下列几何图形，并设置相关问题，请你帮助解答下面问题：
【初步感知】如图1，在等腰三角形ABC中，，过点B作，F为BC延长线上一点，连接FE并延长与CA的延长线相交于点G，．求证：四边形ABEG为平行四边形；
【观察发现】如图2，在（1）的条件下，D为AB上一点，连接GD，通过观察、猜想并填空，当时，请直接写出直线DG与BC的位置关系为：______；
【图形综合应用】如图3，在（2）的条件下，，连接BG与AE相交于点O，连接CD，当射线CD恰好经过点O时，取BC中点，连接ON，，求线段ON的长度．
30．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，已知平行四边形中，C是的中点，连接，．
(1)求证∶；
(2)如图2，点H在上，，连接，过点H作 交延长线于点 F，交 于点 G，求证∶；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作交延长线于点K，连接并延长交于点 P， 过点 P作 于点 M，若 ，求线段的长．