河北省衡水市2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（含详解）

河北省衡水市2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为（ ）
A．20 B．35 C．50 D．60
3．一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（ ）
A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9
4．若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5．在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．240 B．480 C．420 D．360
8．将数列和中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列（若有相同元素，按重复方式计入排列），则数列的前50项和为（ ）
A．2160 B．2240 C．2236 D．2490
二、多选题
9．若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则（ ）
A． B．
C．X的数学期望 D．X的方差
10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则是等差数列
B．若为等差数列，则成等差数列
C．若为等比数列，则“，”是“”的充分不必要条件
D．若是公比为的等比数列，则
11．已知函数，则（ ）
A．当时，函数的减区间为
B．当时，函数的图象是中心对称图形
C．若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为
D．若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为
三、填空题
12．的展开式中的系数是 .（用数字作答）
13．某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ．
14．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲、乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法种数为 .
四、解答题
15．已知展开式中前三项系数成等差数列.
(1)求n的值；
(2)判断展开式中是否存在含的项.若有，则求出含的项；若没有，请说明理由.
16．已知函数的图象经过点．
(1)求曲线在点A处的切线方程；
(2)求曲线经过坐标原点的切线方程．
17．某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为．
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望．
18．已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)记，记数列的前n项和为．
①求；
②若存在，使得，求的取值范围．
19．设函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围；
(3)当时，若，证明：．
河北省衡水市2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A B B D C ACD ACD
题号 11
答案 AB
1．C
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：C
2．D
【详解】根据分步乘法原理由题可得不同的选派方法数为(种).
故选：D.
3．B
【详解】.
故选：B.
4．A
【详解】
根据题意可得，
所以.
故选：A.
5．B
【详解】设等比数列的公比为，则，
因为，，成等差数列，所以，
又，所以，
所以，故，
故选：B．
6．B
【详解】由，有，
故选：B
7．D
【详解】先不考虑至少要用四种颜色，完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂区域CADEB，
C区域有5种颜色可选，A区域有4种颜色可选，D区域有3种颜色可选；
若E区域与D区域颜色相同，E区域有1种颜色可选，则B区域有3种颜色可选；
若E区域与D区域颜色不同，E区域有2种颜色可选，则B区域有2种颜色可选；
再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种；
如果只使用三种颜色涂色（小于三种无法涂色），则A，B同色且D,E同色，共有种涂色方法；
所以满足题意的不同的涂色方法有种.
故选：D.
8．C
【详解】由题知：中第50个数为，第41个数为，
因为，，
则数列的前50项和中含中元素46个，含中元素4个，
所以.
故选：C
9．ACD
【详解】由题意知从袋子中有放回地随机取球5次，每次取到白球的概率为，
取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分，
则记5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数，
知，故A正确；
，故B错误；
X的数学期望，故C正确﹔
X的方差，故D正确.
故选：ACD．
10．ACD
【详解】对于A，若为等差数列，设公差为，
则，
所以，
所以，
所以为等差数列，故A正确；
对于B，若成等差数列，则成立，
所以，即，
所以，而不恒成立，故B错误；
对于C，为等比数列，若“，”则“”，所以充分性成立；
当等比数列的公比为1，若成立，不一定成立，
例如，但，所以必要性不成立，
所以“，”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，若为等比数列，公比为，
当时，则前项和为，
所以，
当时，，所以，
综上：，故D正确.
故选：ACD
11．AB
【详解】由，
对于A选项，当时，，可得函数的减区间为，增区间为，故A选项正确；
对于B选项，当时，，
又由，
可得函数的图象关于点对称，是中心对称图形，故B选项正确；
对于C选项，由A选项可知，当时，是函数的极小值点；
当时，令，可得或，
若是函数的极大值点，必有，可得，故C选项错误；
对于D选项，设切点为（其中），
由切线过原点，有，整理为，
令，有，
可得函数的减区间为，增区间为，
又由时，；时，；及，
可知当时，关于m的方程有且仅有3个根，
可得过原点可作三条直线与曲线相切，故D选项错误，
故选：AB．
12．5
【详解】的展开式的通项为.
从中选择1，则需求的展开式中含的项，
由可得，，此时有；
从中选择，则需求的展开式中含的项，
由可得，，此时有.
所以，的展开式中含的项为.
故答案为：5.
13．/0.6875
【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，
则，，，
，
由全概率公式可得
.
故答案为：.
14．260
【详解】先将丙安排在一所学校，有种分法；
若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法，
剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为校），
分别对应有1（3人均在校）、（2人在校，另1人随便排）、
（1人在校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校），
共种排法；
若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法，
若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法；
若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1，2、3组，
分别有、、种排法，故共有：
种排法.
故答案为：260
15．(1)8
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）展开式的通项公式为，
由题意可得，前三项项系数：1，，成等差数列，
即，解得；
（2）由（1）可得，
令，解得，
因为，所以不存在含的项.
16．(1)；
(2)和．
【详解】（1）依题意可得，则，
∴，
∵，
∴，
∴曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）设过原点的切线方程为，则切点为，
则消去k，整理得，
解得或，有或．
故所求方程为和．
17．(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是，
整理得到，解得．
若2个全是大集团，共有种情况；
若2个全是小集团，共有种情况；
故全为小集团的概率为．
（2）由题意知，随机变量的可能取值为，
计算，，，
，；
故的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为．
18．(1)证明见解析，；
(2)①；②.
【详解】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，整理得，于是，
而，即，则，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，；
（2）①由（1）知，，，
.
②由①知，，，
，
而数列单调递增，则，
因此，由存在，使得，得，
所以的取值范围是.
19．(1)极小值为，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，求导得，
令，解得，
当时，，当时，，
所以时，取得极小值，
极小值为，无极大值；
（2）由，可得，
令，则，
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，所以，所以，
当时，所以，
函数在单调递增，则，
所以不等式恒成立，
当时，
，
所以函数在单调递增，，
所以不等式恒成立，
当时，令，，
令，，
存在，使得，在，，则在上单调递减，，
，，则在上单调递减，，
即在，，则在上单调递减，
又，故不等式不恒成立，
综上所述：的取值范围为；
（3）因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
要证，即证，
只需证明，即证，
令，则需证，
令，
求导，
因为，所以，所以，
所以函数在上单调递增，
所以，所以，
所以，所以成立.