专题一 数与式 中考一轮复习
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专题一 数与式
第1课时 实数
【知识要点】
1.实数的分类：
2.有理数：◆整数和分数统称为有理数。
3.无理数：◆常见的几种无理数：
①根号型：如等开方开不尽的数。
②三角函数型：如sin60°,cos45°等。
③圆周率π型:如2π，π-1等。
④构造型：如1.121121112…等无限不循环小数。
4.相反数、倒数和绝对值：
实数的相反数为________. 若，互为相反数，则= .
非零实数的倒数为______. 若，互为倒数，则= .
绝对值．
5.负指数幂、零指数幂：
6.对无理数的估算：
7.科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤＜10的数，n是整数.
8.近似数与有效数字：
◆有效数字：对于一个近似数，从它左边第一个非零数字起，到后面所有保留数字都是有效数字。
【易错知识辨析】
（1）近似数、有效数字 如0.030是2个有效数字（3,0）精确到千分位；3.14×105是3个有效数字；精确到千位.3.14万是3个有效数字（3,1,4）精确到百位．
（2）绝对值 的解为；而，但少部分同学写成 ．
（3）在已知中，以非负数a2、|a|、(a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题.
【典型例题】
▲1实数a在数轴上对应的点如图所示，则a、-a、1的大小关系正确的是
A．－a＜a＜1 B．a＜－a＜1
C．1＜－a＜a D．a＜1＜－a
▲2.在算式中的□所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小（ ）
A． B． C． D．
▲3.国家AAAA级旅游区东江湖的蓄水量为81．2亿立方米，81．2亿这个数用科学记数法表示为_____________立方米．
▲4.怀化市2008年的国民生产总值约为333．9亿元，预计2009年比上一年增长10%，表示2007年怀化市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字）_____________元．
▲5.下列各数与最接近的是（ ）
（A）2．5 （B）2．6 （C）2．7 （D）2．8
▲6.（2008永州）计算：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4
▲7.若，求．
第2课时 数的开方
【知识要点】
1.平方根、算术平方根和立方根：
◆正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根是它本身；负数没有平方根。
◆正数、0、负数都只有一个立方根，正数的立方根是正数；0的立方根是它本身；负数的立方根是负数。
◆（）， （）
◆ ，，
2.最简二次根式与同类二次根式：
二次根式化成 后，若被开方数 ，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：
（1）（）， （）
（2）
（3）=（≥0,≥0）；
（4）
5.二次根式的运算：
【典型例题】
1、如图，实数、在数轴上的位置，化简： .
2、计算
3、 若无理数a满足不等式，请写出两个符合条件的无理数__________ ___.
4、若，则xy的值为 ( )
A. B. C. D.
5、若=102，且=10.2，则x等于（ ）
A．1040.4 B、104.04 C．10.404 D、1.0404
6、有一个数值转换器如图 ，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）．
A．8 B． C． D．
7、已知
8、先将化简，然后自选一个合适的值代入求值。
9、已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则= .
10、若实数满足，则的值是_________.
第3课时 代数式与整式
【知识要点】
1.代数式的分类：
（1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.
(2) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 .
2.整式的运算：
⑴整式的加减：实质上就是合并同类项。. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的
也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是 ___
⑵整式的乘除：
①幂的运算法则：
； ；
； 。
②乘法公式：
平方差公式： ；
完全平方公式： ；
⑶ 整式的除法
⑴ 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把所得的商 ．
3. 因式分解：
⑴因式分解：实质上就是在给定的数域上，把一个多项式化为几个整式的积的形式。
⑵因式分解的基本方法：“一提二套”。首先考虑能否提取公因式：若能，则先提取公因式！其次考虑能否套用公式：
注意：
①因式分解必须分解到不能再分解为止！
②因式分解时必须注意“给定的数域”，即是在“什么范围内分解的”！
例1：在有理数范围内分解因式：
例2：在实数范围内分解因式：
【典型例题】
例1若且，，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
例2下列运算正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4
例3 先化简，再求值：
(1) x (x＋2)－(x＋1)(x－1)，其中x＝－；
(2)，其中．
（3）已知代数式的值为9，则的值为（ ）
例4 分解因式：
⑴__________________.
⑵3y2－27＝___________________.
⑶_________________.
⑷ ．
例5 已知，求代数式的值.
第4课时 分式及运算
【知识要点】
1.分式：
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有 ，那么代数式叫做分式。
2.分式的有意义、无意义和值为零：
（1）若分式有意义，则必须满足条件： ；
（2）若分式无意义，则必须满足条件： ；
（3）若分式值为零，则必须满足条件： 。
◆注意：（1）（2）两类问题，不能先对分式进行约分！
例如：1.若分式有意义，则x取值范围是 。
3.分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值 。
即：， （其中M是不等于0的整式）
4. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．
5．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.
6.分式的运算：
（1）加减运算：
① 同分母的分式相加减： .
② 异分母的分式相加减：
例如：计算：。
（2）乘除运算：
例如：计算：
（3）乘方运算
【典型例题】
1、若分式的值为0，则（ ）
A． B． C． D．
2、先化简，再求值：（－）÷，其中x＝1．
3、在下列三个不为零的式子
中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 .
4、已知 ，则 ＝ .
5、 如果，那么A=（ ）
A. B. C. D.
6、已知两个分式：A＝，B＝，其中≠±2．下面有三个结论：
①A＝B；②A、B互为倒数；③A、B互为相反数．
请问哪个正确 为什么
7、对于正数规定=
例如：= ; = .
请你计算：
+ + +…++ + +++…
+++= 。
第5课时 重点考题选编
1.计算：
⑴20080＋|-1|-cos30°＋ ()3；
⑵ .＋－2×．
2. 有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，…它的每一项可用式子 （是正整数）来表示．有规律排列的一列数：，…
（1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？
（2）它的第100个数是多少？
（3）2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？
3. 先化简，再求值：
⑴ ，其中，；
⑵ ，其中．
4．分解因式：
___________________; ____________________.
____________________; _______ ．
5、边长为的矩形，它的周长为14，面积为10，求的值．
6、 先化简，再求值：
(1)（－）÷，其中x＝1．
⑵，其中.
7.在数轴中画出
▲10.有一种“二十四点”的游戏，例如：对1，2，3，4，可作运算：（1＋2＋3）×4＝24．四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于24，
（1）_______________________，（2）_______________________，（3）___________________．
另有四个数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）_____________________ ，使其结果等于24．
0
1
a
取算术平方根
输出y
是有理数
是无理数
输入x
代数式
整式
分式
单项式
多项式
有理式
无理式
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专题一 数与式
第1课时 实数
【知识要点】
1.实数的分类：
2.有理数：◆整数和分数统称为有理数。
3.无理数：◆常见的几种无理数：
①根号型：如等开方开不尽的数。
②三角函数型：如sin60°,cos45°等。
③圆周率π型:如2π，π-1等。
④构造型：如1.121121112…等无限不循环小数。
4.相反数、倒数和绝对值：
实数的相反数为________. 若，互为相反数，则= .
非零实数的倒数为______. 若，互为倒数，则= .
绝对值．
5.负指数幂、零指数幂：
6.对无理数的估算：
7.科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤＜10的数，n是整数.
8.近似数与有效数字：
◆有效数字：对于一个近似数，从它左边第一个非零数字起，到后面所有保留数字都是有效数字。
【易错知识辨析】
（1）近似数、有效数字 如0.030是2个有效数字（3,0）精确到千分位；3.14×105是3个有效数字；精确到千位.3.14万是3个有效数字（3,1,4）精确到百位．
（2）绝对值 的解为；而，但少部分同学写成 ．
（3）在已知中，以非负数a2、|a|、(a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题.
【典型例题】
▲1实数a在数轴上对应的点如图所示，则a、-a、1的大小关系正确的是
A．－a＜a＜1 B．a＜－a＜1
C．1＜－a＜a D．a＜1＜－a
▲2.在算式中的□所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小（ ）
A． B． C． D．
▲3.国家AAAA级旅游区东江湖的蓄水量为81．2亿立方米，81．2亿这个数用科学记数法表示为_____________立方米．
▲4.怀化市2008年的国民生产总值约为333．9亿元，预计2009年比上一年增长10%，表示2007年怀化市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字）_____________元．
▲5.下列各数与最接近的是（ ）
（A）2．5 （B）2．6 （C）2．7 （D）2．8
▲6.（2008永州）计算：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4
▲7.若，求．
第2课时 数的开方
【知识要点】
1.平方根、算术平方根和立方根：
◆正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根是它本身；负数没有平方根。
◆正数、0、负数都只有一个立方根，正数的立方根是正数；0的立方根是它本身；负数的立方根是负数。
◆（）， （）
◆ ，，
2.最简二次根式与同类二次根式：
二次根式化成 后，若被开方数 ，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：
（1）（）， （）
（2）
（3）=（≥0,≥0）；
（4）
5.二次根式的运算：
【典型例题】
1、如图，实数、在数轴上的位置，化简： .
2、计算
3、 若无理数a满足不等式，请写出两个符合条件的无理数__________ ___.
4、若，则xy的值为 ( )
A. B. C. D.
5、若=102，且=10.2，则x等于（ ）
A．1040.4 B、104.04 C．10.404 D、1.0404
6、有一个数值转换器如图 ，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）．
A．8 B． C． D．
7、已知
8、先将化简，然后自选一个合适的值代入求值。
9、已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则= .
10、若实数满足，则的值是_________.
第3课时 代数式与整式
【知识要点】
1.代数式的分类：
（1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.
(2) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 .
2.整式的运算：
⑴整式的加减：实质上就是合并同类项。. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的
也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是 ___
⑵整式的乘除：
①幂的运算法则：
； ；
； 。
②乘法公式：
平方差公式： ；
完全平方公式： ；
⑶ 整式的除法
⑴ 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把所得的商 ．
3. 因式分解：
⑴因式分解：实质上就是在给定的数域上，把一个多项式化为几个整式的积的形式。
⑵因式分解的基本方法：“一提二套”。首先考虑能否提取公因式：若能，则先提取公因式！其次考虑能否套用公式：
注意：
①因式分解必须分解到不能再分解为止！
②因式分解时必须注意“给定的数域”，即是在“什么范围内分解的”！
例1：在有理数范围内分解因式：
例2：在实数范围内分解因式：
【典型例题】
例1若且，，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
例2下列运算正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4
例3 先化简，再求值：
(1) x (x＋2)－(x＋1)(x－1)，其中x＝－；
(2)，其中．
（3）已知代数式的值为9，则的值为（ ）
例4 分解因式：
⑴__________________.
⑵3y2－27＝___________________.
⑶_________________.
⑷ ．
例5 已知，求代数式的值.
第4课时 分式及运算
【知识要点】
1.分式：
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有 ，那么代数式叫做分式。
2.分式的有意义、无意义和值为零：
（1）若分式有意义，则必须满足条件： ；
（2）若分式无意义，则必须满足条件： ；
（3）若分式值为零，则必须满足条件： 。
◆注意：（1）（2）两类问题，不能先对分式进行约分！
例如：1.若分式有意义，则x取值范围是 。
3.分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值 。
即：， （其中M是不等于0的整式）
4. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．
5．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.
6.分式的运算：
（1）加减运算：
① 同分母的分式相加减： .
② 异分母的分式相加减：
例如：计算：。
（2）乘除运算：
例如：计算：
（3）乘方运算
【典型例题】
1、若分式的值为0，则（ ）
A． B． C． D．
2、先化简，再求值：（－）÷，其中x＝1．
3、在下列三个不为零的式子
中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 .
4、已知 ，则 ＝ .
5、 如果，那么A=（ ）
A. B. C. D.
6、已知两个分式：A＝，B＝，其中≠±2．下面有三个结论：
①A＝B；②A、B互为倒数；③A、B互为相反数．
请问哪个正确 为什么
7、对于正数规定=
例如：= ; = .
请你计算：
+ + +…++ + +++…
+++= 。
第5课时 重点考题选编
1.计算：
⑴20080＋|-1|-cos30°＋ ()3；
⑵ .＋－2×．
2. 有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，…它的每一项可用式子 （是正整数）来表示．有规律排列的一列数：，…
（1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？
（2）它的第100个数是多少？
（3）2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？
3. 先化简，再求值：
⑴ ，其中，；
⑵ ，其中．
4．分解因式：
___________________; ____________________.
____________________; _______ ．
5、边长为的矩形，它的周长为14，面积为10，求的值．
6、 先化简，再求值：
(1)（－）÷，其中x＝1．
⑵，其中.
7.在数轴中画出
▲10.有一种“二十四点”的游戏，例如：对1，2，3，4，可作运算：（1＋2＋3）×4＝24．四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于24，
（1）_______________________，（2）_______________________，（3）___________________．
另有四个数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）_____________________ ，使其结果等于24．
0
1
a
取算术平方根
输出y
是有理数
是无理数
输入x
代数式
整式
分式
单项式
多项式
有理式
无理式
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