期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 359.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-20 14:50:10 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 金昌校级模拟）函数f（x）＝exlnx在x＝1处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．e D．e+1
2．（2024秋 师宗县校级期末）已知{an}是等差数列，a7+a13＝20，则a9+a10+a11＝（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
3．（2024秋 广东校级期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1＝﹣2，Sm＝0，Sm+1＝3，则m等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（2024春 杭州期末）在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg/ml，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：lg2≈0.3010）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2024春 普陀区校级期末）已知函数，过点（a，b）作曲线f（x）的切线，下列说法正确的是（ ）
A．当0＜a＜2时，可作两条切线，则b的值为
B．当a＝2，b＞0时，可作两条切线
C．当a＝0，时，有且仅有一条切线
D．当a＝0时，可作三条切线，则
6．（2023秋 新邵县期末）设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，如[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3，令{x}＝x﹣[x]，则{}，[]，，三个数构成的数列（ ）
A．是等比数列但不是等差数列
B．是等差数列但不是等比数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
7．（2024春 阜阳期末）已知函数，当x≥1时，f（x）≥0，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．[1，+∞） D．（﹣∞，1]
8．（2024春 长宁区校级期末）设无穷项等差数列{an}的公差为d（d≠0），前n项和为Sn，则下列四个说法中正确的个数是（ ）
①若d＜0，则数列{Sn}有最大项；
②若数列{Sn}有最大项，则d＜0；
③若数列{Sn}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有Sn＞0；
④若对任意的n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 濮阳期末）下列求导运算正确的是（ ）
A．（cos2）′＝﹣sin2
B．
C．
D．
（多选）10．（2023春 丰城市校级期末）已知首项为﹣1的等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且S7＞S8，S8＜S9，则（ ）
A． B．S10＞S5
C．（Sn）min＝S8 D．S15＞0
（多选）11．（2021秋 湖南期末）已知数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an＝（23﹣3n） 2n﹣23，令bn，Sn是数列{bn}的前n项积，Tn＝a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2，则（ ）
A．a5﹣a3＝﹣6
B．{bn}为单调递增的等比数列
C．当n＝6时，Sn取得最大值
D．当n＝6时，Tn取得最大值
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 海淀区校级期末）设{an}是等差数列，且a1＝1，an+1＝an+2，则数列{an}的前10项和S10＝ ．
13．（2024春 海淀区校级期末）函数，其中a＞0且a≠1，若函数是单调函数，则a的一个取值为 ，若函数存在极值，则a的取值范围为 ．
14．（2024春 普陀区校级期末）已知函数y＝f（x），其导函数f′（x）的图象如图所示，则下列命题中正确的有 ．
①f（x）有2个极值点
②f（x）在x＝1处取得极小值
③f（x）有极大值，没有极小值
④f（x）在（﹣∞，3）上单调递增
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 福建期末）已知函数．
（1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的零点个数；
（3）证明：f（x）≥3lnx．
16．（2025春 宝山区期末）已知数列{an}中，a1＝1，an＝2an﹣1+1（n≥2），数列{bn}为等差数列，且满足：b1＝1，b5+2＝a5．
（1）求证：数列{an+1}为等比数列，并写出数列{an}的通项公式；
（2）令cn＝λlog2（an+1）﹣nbn，若数列{cn}为严格增数列，求实数λ的取值范围．
17．（2025春 叶县校级期末）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）当a＝1时，求f（x）的极值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
18．（2024春 浑南区校级期末）已知等比数列{an}的公比q＞0，且a3+a1a5＝6，a6＝16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝λ 3n﹣an，且{bn}是严格增数列，求实数λ的取值范围．
19．（2024秋 河东区期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D D D A D C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC AC AC
一．选择题（共8小题）
1．（2025 金昌校级模拟）函数f（x）＝exlnx在x＝1处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．e D．e+1
【解答】解：由f（x）＝exlnx，
可得，
故f′（1）＝e．
故选：C．
2．（2024秋 师宗县校级期末）已知{an}是等差数列，a7+a13＝20，则a9+a10+a11＝（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
【解答】解：由条件利用等差数列的性质可得 a7+a13＝20＝2a10，∴a10＝10，
∴a9+a10+a11＝3a10＝30，
故选：B．
3．（2024秋 广东校级期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1＝﹣2，Sm＝0，Sm+1＝3，则m等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【解答】解：法一：am＝Sm﹣Sm﹣1＝2，am+1＝Sm+1﹣Sm＝3，
所以公差d＝am+1﹣am＝1，
Sm0，
m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，
得a1＝﹣2，
所以am＝﹣2+（m﹣1） 1＝2，解得m＝5，
法二：等差数列{an}的前n项和为Sn，即有数列{}成等差数列，
则，，成等差数列，
可得2 ，
即有0，
解得m＝5．
法三：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+am﹣1）＝﹣2，
m（a1+am）＝0，（m+1）（a1+am+1）＝3，
可得a1＝﹣am，﹣2am+am+1+am+10，
解得m＝5．
故选：D．
4．（2024春 杭州期末）在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg/ml，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：lg2≈0.3010）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：设经过t小时药物失效”，
由0.8（1﹣20%）t＜0.2，即，两边取对数可得，
6.206，
故至少经过7个小时才能驾驶．
故选：D．
5．（2024春 普陀区校级期末）已知函数，过点（a，b）作曲线f（x）的切线，下列说法正确的是（ ）
A．当0＜a＜2时，可作两条切线，则b的值为
B．当a＝2，b＞0时，可作两条切线
C．当a＝0，时，有且仅有一条切线
D．当a＝0时，可作三条切线，则
【解答】解：设过点（a，b）的切线与曲线的切点为，
又f′（x），故过点（a，b）的切线方程为：，
则，整理得：；
令，则h′（x），且当x→+∞时，h（x）→0，当x→﹣∞时，h（x）→+∞；
对A：当0＜a＜2时，显然h（x）在（﹣∞，a）单调递减，在（a，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减，
又，若过点（a，b）可作两条切线，则或，故A错误；
对B：当a＝2，h′（x）≤0恒成立且不恒为零，故h（x）在R上单调递减，
则当b＞0时，有且仅有一条切线，故错误；
对C：a＝0时，h（a）＝0，h（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减，且，
故当时，b＝h（x）有两个根，可做两条切线，故C错误；
对D：当a＝0时，由C可知，若要做三条切线，则b＝h（x）有三个根，则h（0）＜b＜h（2），
即，故D正确．
故选：D．
6．（2023秋 新邵县期末）设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，如[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3，令{x}＝x﹣[x]，则{}，[]，，三个数构成的数列（ ）
A．是等比数列但不是等差数列
B．是等差数列但不是等比数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
【解答】解：由题意得[]＝1，{}[]1，
∵12，
∴，1，成等比数列，不成等差数列，
故选：A．
7．（2024春 阜阳期末）已知函数，当x≥1时，f（x）≥0，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．[1，+∞） D．（﹣∞，1]
【解答】解：函数在[1，+∞）上都是增函数，
因此函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，，
则ea+a≤e+1，令函数g（x）＝ex+x，显然函数g（x）是增函数，
不等式ea+a≤e+1 g（a）≤g（1），解得a≤1，
所以a的取值范围是（﹣∞，1]．
故选：D．
8．（2024春 长宁区校级期末）设无穷项等差数列{an}的公差为d（d≠0），前n项和为Sn，则下列四个说法中正确的个数是（ ）
①若d＜0，则数列{Sn}有最大项；
②若数列{Sn}有最大项，则d＜0；
③若数列{Sn}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有Sn＞0；
④若对任意的n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①若d＜0，则数列{Sn}有最大项，正确；
②若数列{Sn}有最大项，则d＜0，正确；
③若数列{Sn}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有Sn＞0，不正确，例如a1＝﹣2，d＝2；
④若对任意的n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列，正确．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 濮阳期末）下列求导运算正确的是（ ）
A．（cos2）′＝﹣sin2
B．
C．
D．
【解答】解：（cos2）'＝0，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（2023春 丰城市校级期末）已知首项为﹣1的等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且S7＞S8，S8＜S9，则（ ）
A． B．S10＞S5
C．（Sn）min＝S8 D．S15＞0
【解答】解：S7＞S8，S8＜S9，
则a8＝S8﹣S7＜0，a9＝S9﹣S8＞0，即，解得，故A正确；
S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10＝5a8＜0，即S10＜S5，故B错误；
a8＜0，a9＞0，（Sn）min＝S8，故C正确；
∵a8＜0，
∴，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（2021秋 湖南期末）已知数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an＝（23﹣3n） 2n﹣23，令bn，Sn是数列{bn}的前n项积，Tn＝a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2，则（ ）
A．a5﹣a3＝﹣6
B．{bn}为单调递增的等比数列
C．当n＝6时，Sn取得最大值
D．当n＝6时，Tn取得最大值
【解答】解：因为a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an＝（23﹣3n） 2n﹣23，①
所以a1+2a2+4a3+……+2n﹣2an﹣1＝（26﹣3n） 2n﹣1﹣23，（n≥2），②
①﹣②得，2n﹣1an＝（23﹣3n） 2n﹣（26﹣3n） 2n﹣1，
整理得an＝﹣3n+20，（n≥2）
又a1＝17，满足上式，
所以an＝﹣3n+20，n∈N*．
因为an+1﹣an＝﹣3，
所以数列{an}为等差数列，公差为﹣3，
所以a5﹣a3＝2d＝﹣6，故A正确；
bn2﹣3n+20，
因为，
故数列{bn}为等比数列，其中首项b1＝217，公比为的等比数列，
因为b1＞0，0＜q＜1，
所以数列{bn}为递减的等比数列，故B错误；
Sn＝b1b2b3……bn＝217 214 211……2﹣3n+20，
因为y＝2x为单调递增函数，
所以当最大时，Sn有最大值，
因为n∈N*，所以n＝6时，最大，
即n＝6时，Sn取得最大值，故C正确；
设cn＝anan+1an+2＝（20﹣3n）（17﹣3n）（14﹣3n），
由cn≥0可得，（20﹣3n）（17﹣3n）（14﹣3n）≥0，解得1≤n≤4或n＝6，
又因为c5＝﹣10，
所以n＝4时，Tn取得最大值，故D错误；
故选：AC．
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 海淀区校级期末）设{an}是等差数列，且a1＝1，an+1＝an+2，则数列{an}的前10项和S10＝ 100 ．
【解答】解：设{an}是等差数列，an+1＝an+2，则公差d＝2，
又a1＝1，则数列{an}的前10项和S10100．
故答案为：100．
13．（2024春 海淀区校级期末）函数，其中a＞0且a≠1，若函数是单调函数，则a的一个取值为 2（a＞1即可） ，若函数存在极值，则a的取值范围为 （0，1） ．
【解答】解：因为a＞0且a≠1，若函数是单调函数，结合二次函数可知：f（x）在R上单调递增，
则，解得a＞1，例如a＝2；
可知f（x）为连续不断函数，若函数存在极值，则f（x）在R上不单调，
所以a的取值范围为（0，1）．
故答案为：2（满足a＞1均可）；（0，1）．
14．（2024春 普陀区校级期末）已知函数y＝f（x），其导函数f′（x）的图象如图所示，则下列命题中正确的有 ③④ ．
①f（x）有2个极值点
②f（x）在x＝1处取得极小值
③f（x）有极大值，没有极小值
④f（x）在（﹣∞，3）上单调递增
【解答】解：由函数f′（x）的图象可得，当x＜3时，f'（x）≥0，当x＞3时，f'（x）＜0，
所以f（x）在（﹣∞，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
则f（x）在x＝3处取得极大值，没有极小值，故①②错误，③④正确．
故答案为：③④．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 福建期末）已知函数．
（1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的零点个数；
（3）证明：f（x）≥3lnx．
【解答】解：（1）由，得，
则f（1）＝0，f′（1）＝3，
故f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝3x﹣3．
（2）由f（x）＝0，得，
令，
则，
令h（x）＝x4+2x3+x﹣1，x＞0，显然h（x）在（0，+∞）上单调递增，
且，h（1）＝3＞0，故，h（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，则g′（x）＜0，即g（x）在（0，x0）上单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，则g′（x）＞0，即g（x）在（x0，+∞）上单调递增．
因为，g（x0）＜g（1）＝0，
所以，g（x1）＝0，从而g（x）的零点个数为2，即f（x）的零点个数为2．
（3）证明：要证f（x）≥3lnx，需证，
令，x＞0，则，
令，
则H′（x）＝2x+20，
则H（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为H（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，H（x）＜0，则φ′（x）＜0，即φ（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，+∞）时，H（x）＞0，则φ′（x）＞0，即φ（x）在（1，+∞）上单调递增，
从而φ（x）≥φ（1）＝2，证毕．
16．（2025春 宝山区期末）已知数列{an}中，a1＝1，an＝2an﹣1+1（n≥2），数列{bn}为等差数列，且满足：b1＝1，b5+2＝a5．
（1）求证：数列{an+1}为等比数列，并写出数列{an}的通项公式；
（2）令cn＝λlog2（an+1）﹣nbn，若数列{cn}为严格增数列，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）证明：因为an＝2an﹣1+1（n≥2），所以an+1＝2（an﹣1+1），
因为a1＝1，所以a1+1＝2，
所以数列{an+1}为等比数列，且首项、公比都为2，
所以，所以；
（2）设等差数列{bn}的公差为d，因为b1＝1，b5+2＝a5，
所以1+4d+2＝25﹣1，解得d＝7，
所以bn＝1+7（n﹣1）＝7n﹣6，
所以cn＝λlog2（an+1）﹣nbn＝λn﹣n（7n﹣6）＝﹣7n2+（λ+6）n，
因为数列{cn}为严格增数列，所以cn+1＞cn对 n∈N*恒成立，
则由﹣7（n+1）2+（λ+6）（n+1）＞﹣7n2+（λ+6）n，得﹣14n+λ﹣1＞0，
所以λ＞14n+1对 n∈N*恒成立，所以λ＞15，
所以实数λ的取值范围为（15，+∞）．
17．（2025春 叶县校级期末）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）当a＝1时，求f（x）的极值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝e2x﹣ex﹣x．
所以f′（x）＝2e2x﹣ex﹣1＝（ex﹣1）（2ex+1）．
令f′（x）＝0，即x＝0．
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
所以f（x）在x＝0处取得极小值为f（0）＝0，无极大值．
（2）f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1＝（aex﹣1）（2ex+1），
①当a≤0时，f′（x）＜0，所以f（x）在R上单调递减；
②当a＞0时，令f′（x）＝0，，
当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．
综上，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；
当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．
（3）由（1）知，当a≤0时，f（x）在R上递减；所以f（x）至多有1个零点，不合题意．
当a＞0时，因为f（x）有两个零点，则，即，
令，因为g（a）单调递增，g（1）＝0，
所以0＜a＜1，
因为，，
由零点存在定理知，f（x）在存在一个零点．
又，
，由零点存在定理知，f（x）在存在一个零点．
综上：若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（0，1）．
18．（2024春 浑南区校级期末）已知等比数列{an}的公比q＞0，且a3+a1a5＝6，a6＝16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝λ 3n﹣an，且{bn}是严格增数列，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）等比数列{an}的公比q＞0，且a3+a1a5＝6，a6＝16．
a3+a1a56＝0，解得a3＝﹣3或a3＝2，
若a3＝﹣3，a6＝16，则与q＞0矛盾，舍去，
若a3＝2，a6＝16，则q3＝8，q＝2，满足题意，
∴．
（2），{bn}是严格增数列，
∴bn+1﹣bn＞0对于任意正整数n都成立，
，
即对于任意正整数n都成立在R上严格减，
∴的最大值是，
∴λ的取值范围是．
19．（2024秋 河东区期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由an+1＝2Sn+2，可得an＝2Sn﹣1+2（n≥2），两式相减可得an+1＝3an（n≥2），
由于{an}为等比数列，可得a2＝3a1＝2S1+2＝2a1+2，解得a1＝2，
所以an＝2×3n﹣1；
（2）由（1）可知an＝2×3n﹣1，an+1＝2×3n．
因为an+1＝an+（n+2﹣1）dn，所以dn，
假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，
则（dk）2＝dmdp，
即（）2 ，
化简得（*）
因为m，k，p成等差数列，所以m+p＝2k，从而（*）可以化简为k2＝mp．
联立，可得k＝m＝p，这与题设矛盾．
所以数列{dn}中不存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 金昌校级模拟）函数f（x）＝exlnx在x＝1处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．e D．e+1
2．（2024秋 师宗县校级期末）已知{an}是等差数列，a7+a13＝20，则a9+a10+a11＝（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
3．（2024秋 广东校级期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1＝﹣2，Sm＝0，Sm+1＝3，则m等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（2024春 杭州期末）在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg/ml，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：lg2≈0.3010）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2024春 普陀区校级期末）已知函数，过点（a，b）作曲线f（x）的切线，下列说法正确的是（ ）
A．当0＜a＜2时，可作两条切线，则b的值为
B．当a＝2，b＞0时，可作两条切线
C．当a＝0，时，有且仅有一条切线
D．当a＝0时，可作三条切线，则
6．（2023秋 新邵县期末）设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，如[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3，令{x}＝x﹣[x]，则{}，[]，，三个数构成的数列（ ）
A．是等比数列但不是等差数列
B．是等差数列但不是等比数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
7．（2024春 阜阳期末）已知函数，当x≥1时，f（x）≥0，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．[1，+∞） D．（﹣∞，1]
8．（2024春 长宁区校级期末）设无穷项等差数列{an}的公差为d（d≠0），前n项和为Sn，则下列四个说法中正确的个数是（ ）
①若d＜0，则数列{Sn}有最大项；
②若数列{Sn}有最大项，则d＜0；
③若数列{Sn}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有Sn＞0；
④若对任意的n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 濮阳期末）下列求导运算正确的是（ ）
A．（cos2）′＝﹣sin2
B．
C．
D．
（多选）10．（2023春 丰城市校级期末）已知首项为﹣1的等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且S7＞S8，S8＜S9，则（ ）
A． B．S10＞S5
C．（Sn）min＝S8 D．S15＞0
（多选）11．（2021秋 湖南期末）已知数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an＝（23﹣3n） 2n﹣23，令bn，Sn是数列{bn}的前n项积，Tn＝a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2，则（ ）
A．a5﹣a3＝﹣6
B．{bn}为单调递增的等比数列
C．当n＝6时，Sn取得最大值
D．当n＝6时，Tn取得最大值
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 海淀区校级期末）设{an}是等差数列，且a1＝1，an+1＝an+2，则数列{an}的前10项和S10＝ ．
13．（2024春 海淀区校级期末）函数，其中a＞0且a≠1，若函数是单调函数，则a的一个取值为 ，若函数存在极值，则a的取值范围为 ．
14．（2024春 普陀区校级期末）已知函数y＝f（x），其导函数f′（x）的图象如图所示，则下列命题中正确的有 ．
①f（x）有2个极值点
②f（x）在x＝1处取得极小值
③f（x）有极大值，没有极小值
④f（x）在（﹣∞，3）上单调递增
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 福建期末）已知函数．
（1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的零点个数；
（3）证明：f（x）≥3lnx．
16．（2025春 宝山区期末）已知数列{an}中，a1＝1，an＝2an﹣1+1（n≥2），数列{bn}为等差数列，且满足：b1＝1，b5+2＝a5．
（1）求证：数列{an+1}为等比数列，并写出数列{an}的通项公式；
（2）令cn＝λlog2（an+1）﹣nbn，若数列{cn}为严格增数列，求实数λ的取值范围．
17．（2025春 叶县校级期末）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）当a＝1时，求f（x）的极值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
18．（2024春 浑南区校级期末）已知等比数列{an}的公比q＞0，且a3+a1a5＝6，a6＝16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝λ 3n﹣an，且{bn}是严格增数列，求实数λ的取值范围．
19．（2024秋 河东区期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D D D A D C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC AC AC
一．选择题（共8小题）
1．（2025 金昌校级模拟）函数f（x）＝exlnx在x＝1处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．e D．e+1
【解答】解：由f（x）＝exlnx，
可得，
故f′（1）＝e．
故选：C．
2．（2024秋 师宗县校级期末）已知{an}是等差数列，a7+a13＝20，则a9+a10+a11＝（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
【解答】解：由条件利用等差数列的性质可得 a7+a13＝20＝2a10，∴a10＝10，
∴a9+a10+a11＝3a10＝30，
故选：B．
3．（2024秋 广东校级期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1＝﹣2，Sm＝0，Sm+1＝3，则m等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【解答】解：法一：am＝Sm﹣Sm﹣1＝2，am+1＝Sm+1﹣Sm＝3，
所以公差d＝am+1﹣am＝1，
Sm0，
m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，
得a1＝﹣2，
所以am＝﹣2+（m﹣1） 1＝2，解得m＝5，
法二：等差数列{an}的前n项和为Sn，即有数列{}成等差数列，
则，，成等差数列，
可得2 ，
即有0，
解得m＝5．
法三：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+am﹣1）＝﹣2，
m（a1+am）＝0，（m+1）（a1+am+1）＝3，
可得a1＝﹣am，﹣2am+am+1+am+10，
解得m＝5．
故选：D．
4．（2024春 杭州期末）在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg/ml，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：lg2≈0.3010）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：设经过t小时药物失效”，
由0.8（1﹣20%）t＜0.2，即，两边取对数可得，
6.206，
故至少经过7个小时才能驾驶．
故选：D．
5．（2024春 普陀区校级期末）已知函数，过点（a，b）作曲线f（x）的切线，下列说法正确的是（ ）
A．当0＜a＜2时，可作两条切线，则b的值为
B．当a＝2，b＞0时，可作两条切线
C．当a＝0，时，有且仅有一条切线
D．当a＝0时，可作三条切线，则
【解答】解：设过点（a，b）的切线与曲线的切点为，
又f′（x），故过点（a，b）的切线方程为：，
则，整理得：；
令，则h′（x），且当x→+∞时，h（x）→0，当x→﹣∞时，h（x）→+∞；
对A：当0＜a＜2时，显然h（x）在（﹣∞，a）单调递减，在（a，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减，
又，若过点（a，b）可作两条切线，则或，故A错误；
对B：当a＝2，h′（x）≤0恒成立且不恒为零，故h（x）在R上单调递减，
则当b＞0时，有且仅有一条切线，故错误；
对C：a＝0时，h（a）＝0，h（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减，且，
故当时，b＝h（x）有两个根，可做两条切线，故C错误；
对D：当a＝0时，由C可知，若要做三条切线，则b＝h（x）有三个根，则h（0）＜b＜h（2），
即，故D正确．
故选：D．
6．（2023秋 新邵县期末）设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，如[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3，令{x}＝x﹣[x]，则{}，[]，，三个数构成的数列（ ）
A．是等比数列但不是等差数列
B．是等差数列但不是等比数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
【解答】解：由题意得[]＝1，{}[]1，
∵12，
∴，1，成等比数列，不成等差数列，
故选：A．
7．（2024春 阜阳期末）已知函数，当x≥1时，f（x）≥0，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．[1，+∞） D．（﹣∞，1]
【解答】解：函数在[1，+∞）上都是增函数，
因此函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，，
则ea+a≤e+1，令函数g（x）＝ex+x，显然函数g（x）是增函数，
不等式ea+a≤e+1 g（a）≤g（1），解得a≤1，
所以a的取值范围是（﹣∞，1]．
故选：D．
8．（2024春 长宁区校级期末）设无穷项等差数列{an}的公差为d（d≠0），前n项和为Sn，则下列四个说法中正确的个数是（ ）
①若d＜0，则数列{Sn}有最大项；
②若数列{Sn}有最大项，则d＜0；
③若数列{Sn}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有Sn＞0；
④若对任意的n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①若d＜0，则数列{Sn}有最大项，正确；
②若数列{Sn}有最大项，则d＜0，正确；
③若数列{Sn}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有Sn＞0，不正确，例如a1＝﹣2，d＝2；
④若对任意的n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列，正确．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 濮阳期末）下列求导运算正确的是（ ）
A．（cos2）′＝﹣sin2
B．
C．
D．
【解答】解：（cos2）'＝0，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（2023春 丰城市校级期末）已知首项为﹣1的等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且S7＞S8，S8＜S9，则（ ）
A． B．S10＞S5
C．（Sn）min＝S8 D．S15＞0
【解答】解：S7＞S8，S8＜S9，
则a8＝S8﹣S7＜0，a9＝S9﹣S8＞0，即，解得，故A正确；
S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10＝5a8＜0，即S10＜S5，故B错误；
a8＜0，a9＞0，（Sn）min＝S8，故C正确；
∵a8＜0，
∴，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（2021秋 湖南期末）已知数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an＝（23﹣3n） 2n﹣23，令bn，Sn是数列{bn}的前n项积，Tn＝a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2，则（ ）
A．a5﹣a3＝﹣6
B．{bn}为单调递增的等比数列
C．当n＝6时，Sn取得最大值
D．当n＝6时，Tn取得最大值
【解答】解：因为a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an＝（23﹣3n） 2n﹣23，①
所以a1+2a2+4a3+……+2n﹣2an﹣1＝（26﹣3n） 2n﹣1﹣23，（n≥2），②
①﹣②得，2n﹣1an＝（23﹣3n） 2n﹣（26﹣3n） 2n﹣1，
整理得an＝﹣3n+20，（n≥2）
又a1＝17，满足上式，
所以an＝﹣3n+20，n∈N*．
因为an+1﹣an＝﹣3，
所以数列{an}为等差数列，公差为﹣3，
所以a5﹣a3＝2d＝﹣6，故A正确；
bn2﹣3n+20，
因为，
故数列{bn}为等比数列，其中首项b1＝217，公比为的等比数列，
因为b1＞0，0＜q＜1，
所以数列{bn}为递减的等比数列，故B错误；
Sn＝b1b2b3……bn＝217 214 211……2﹣3n+20，
因为y＝2x为单调递增函数，
所以当最大时，Sn有最大值，
因为n∈N*，所以n＝6时，最大，
即n＝6时，Sn取得最大值，故C正确；
设cn＝anan+1an+2＝（20﹣3n）（17﹣3n）（14﹣3n），
由cn≥0可得，（20﹣3n）（17﹣3n）（14﹣3n）≥0，解得1≤n≤4或n＝6，
又因为c5＝﹣10，
所以n＝4时，Tn取得最大值，故D错误；
故选：AC．
三．填空题（共3小题）
12．（2024春 海淀区校级期末）设{an}是等差数列，且a1＝1，an+1＝an+2，则数列{an}的前10项和S10＝ 100 ．
【解答】解：设{an}是等差数列，an+1＝an+2，则公差d＝2，
又a1＝1，则数列{an}的前10项和S10100．
故答案为：100．
13．（2024春 海淀区校级期末）函数，其中a＞0且a≠1，若函数是单调函数，则a的一个取值为 2（a＞1即可） ，若函数存在极值，则a的取值范围为 （0，1） ．
【解答】解：因为a＞0且a≠1，若函数是单调函数，结合二次函数可知：f（x）在R上单调递增，
则，解得a＞1，例如a＝2；
可知f（x）为连续不断函数，若函数存在极值，则f（x）在R上不单调，
所以a的取值范围为（0，1）．
故答案为：2（满足a＞1均可）；（0，1）．
14．（2024春 普陀区校级期末）已知函数y＝f（x），其导函数f′（x）的图象如图所示，则下列命题中正确的有 ③④ ．
①f（x）有2个极值点
②f（x）在x＝1处取得极小值
③f（x）有极大值，没有极小值
④f（x）在（﹣∞，3）上单调递增
【解答】解：由函数f′（x）的图象可得，当x＜3时，f'（x）≥0，当x＞3时，f'（x）＜0，
所以f（x）在（﹣∞，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
则f（x）在x＝3处取得极大值，没有极小值，故①②错误，③④正确．
故答案为：③④．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 福建期末）已知函数．
（1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的零点个数；
（3）证明：f（x）≥3lnx．
【解答】解：（1）由，得，
则f（1）＝0，f′（1）＝3，
故f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝3x﹣3．
（2）由f（x）＝0，得，
令，
则，
令h（x）＝x4+2x3+x﹣1，x＞0，显然h（x）在（0，+∞）上单调递增，
且，h（1）＝3＞0，故，h（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，则g′（x）＜0，即g（x）在（0，x0）上单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，则g′（x）＞0，即g（x）在（x0，+∞）上单调递增．
因为，g（x0）＜g（1）＝0，
所以，g（x1）＝0，从而g（x）的零点个数为2，即f（x）的零点个数为2．
（3）证明：要证f（x）≥3lnx，需证，
令，x＞0，则，
令，
则H′（x）＝2x+20，
则H（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为H（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，H（x）＜0，则φ′（x）＜0，即φ（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，+∞）时，H（x）＞0，则φ′（x）＞0，即φ（x）在（1，+∞）上单调递增，
从而φ（x）≥φ（1）＝2，证毕．
16．（2025春 宝山区期末）已知数列{an}中，a1＝1，an＝2an﹣1+1（n≥2），数列{bn}为等差数列，且满足：b1＝1，b5+2＝a5．
（1）求证：数列{an+1}为等比数列，并写出数列{an}的通项公式；
（2）令cn＝λlog2（an+1）﹣nbn，若数列{cn}为严格增数列，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）证明：因为an＝2an﹣1+1（n≥2），所以an+1＝2（an﹣1+1），
因为a1＝1，所以a1+1＝2，
所以数列{an+1}为等比数列，且首项、公比都为2，
所以，所以；
（2）设等差数列{bn}的公差为d，因为b1＝1，b5+2＝a5，
所以1+4d+2＝25﹣1，解得d＝7，
所以bn＝1+7（n﹣1）＝7n﹣6，
所以cn＝λlog2（an+1）﹣nbn＝λn﹣n（7n﹣6）＝﹣7n2+（λ+6）n，
因为数列{cn}为严格增数列，所以cn+1＞cn对 n∈N*恒成立，
则由﹣7（n+1）2+（λ+6）（n+1）＞﹣7n2+（λ+6）n，得﹣14n+λ﹣1＞0，
所以λ＞14n+1对 n∈N*恒成立，所以λ＞15，
所以实数λ的取值范围为（15，+∞）．
17．（2025春 叶县校级期末）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）当a＝1时，求f（x）的极值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝e2x﹣ex﹣x．
所以f′（x）＝2e2x﹣ex﹣1＝（ex﹣1）（2ex+1）．
令f′（x）＝0，即x＝0．
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
所以f（x）在x＝0处取得极小值为f（0）＝0，无极大值．
（2）f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1＝（aex﹣1）（2ex+1），
①当a≤0时，f′（x）＜0，所以f（x）在R上单调递减；
②当a＞0时，令f′（x）＝0，，
当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．
综上，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；
当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．
（3）由（1）知，当a≤0时，f（x）在R上递减；所以f（x）至多有1个零点，不合题意．
当a＞0时，因为f（x）有两个零点，则，即，
令，因为g（a）单调递增，g（1）＝0，
所以0＜a＜1，
因为，，
由零点存在定理知，f（x）在存在一个零点．
又，
，由零点存在定理知，f（x）在存在一个零点．
综上：若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（0，1）．
18．（2024春 浑南区校级期末）已知等比数列{an}的公比q＞0，且a3+a1a5＝6，a6＝16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝λ 3n﹣an，且{bn}是严格增数列，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）等比数列{an}的公比q＞0，且a3+a1a5＝6，a6＝16．
a3+a1a56＝0，解得a3＝﹣3或a3＝2，
若a3＝﹣3，a6＝16，则与q＞0矛盾，舍去，
若a3＝2，a6＝16，则q3＝8，q＝2，满足题意，
∴．
（2），{bn}是严格增数列，
∴bn+1﹣bn＞0对于任意正整数n都成立，
，
即对于任意正整数n都成立在R上严格减，
∴的最大值是，
∴λ的取值范围是．
19．（2024秋 河东区期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由an+1＝2Sn+2，可得an＝2Sn﹣1+2（n≥2），两式相减可得an+1＝3an（n≥2），
由于{an}为等比数列，可得a2＝3a1＝2S1+2＝2a1+2，解得a1＝2，
所以an＝2×3n﹣1；
（2）由（1）可知an＝2×3n﹣1，an+1＝2×3n．
因为an+1＝an+（n+2﹣1）dn，所以dn，
假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，
则（dk）2＝dmdp，
即（）2 ，
化简得（*）
因为m，k，p成等差数列，所以m+p＝2k，从而（*）可以化简为k2＝mp．
联立，可得k＝m＝p，这与题设矛盾．
所以数列{dn}中不存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)