期末真题重组练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册（含解析）

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期末真题重组练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 福建期末）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 滨湖区校级期末）已知事件A，B满足P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则（　　）
A．若B A，则P（AB）＝0.5
B．若A与B互斥，则P（A+B）＝0.7
C．若A与B相互独立，则
D．若P（B）+P（C）＝1，则C与B相互对立
3．（2024春 武威期末）复数的虚部为（　　）
A． B． C．1 D．2
4．（2023春 河北期末）元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024春 大通县期末）用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024春 丽江期末）在平行四边形ABCD中（1，0），（2，1），则（　　）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
7．（2024春 通州区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则A1C1与B1C所成角为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024春 海淀区校级期末）在△ABC中，若c＝4，b﹣a＝1，，则sinA为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 漳州期末）如图正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点，且∠PCQ＝45°，则（　　）
A．AP AQ＝2PB QD
B．PQ＜PB+QD
C．△APQ周长为定值
D．△APQ面积的最大值为
（多选）10．（2023春 福州期末）如图，平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成的直角梯形，AD＝1，，现将Rt△ACD沿斜边AC翻折成△ACD1（D1不在平面ABC内），若P为BC的中点，则在Rt△ACD翻折过程中，下列结论正确的是（　　）
A．AD1与BC可能垂直
B．三棱锥C﹣BD1E体积的最大值为
C．若A，C，E，D1都在同一球面上，则该球的表面积是2π
D．直线AD1与EP所成角的取值范围为
（多选）11．（2025春 海曙区校级期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方体的中心，M为DD1的中点，F为侧面正方形AA1D1D内一动点，且满足B1F∥平面BC1M，则（　　）
A．三棱锥D1﹣DCB的外接球表面积为12π
B．动点F的轨迹是一条线段
C．三棱锥F﹣BC1M的体积是随点F的运动而变化的
D．若过A，M，C1三点作正方体的截面Ω，Q为截面Ω上一点，则线段A1Q长度的取值范围为
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 静安区期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，并记录朝上的一面是正面还是反面，则恰好出现正面与反面朝上都是2次的概率是 　 　 ．
13．（2025春 宝山区期末）如图，以边长为1的正方形ABCD的各边为基准向外作正三角形，构成八边形AFBGCHDE．若点P、Q在八边形的内部（含边界），则的最小值为 　 　 ．
14．（2024秋 宝山区校级期末）如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长等于1，∠ABC＝120°，O和O1分别是上下底面对角线的交点，H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M在线段BD上移动，则三棱锥M﹣C1O1H的体积最小值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 锡林郭勒盟期末）已知向量，，
（Ⅰ）若，求实数x的值；
（Ⅱ）若，求向量与的夹角的余弦值．
16．（2023春 湘潭县期末）在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c．
（1）若，，，求△ABC的周长；
（2）若点D是BC边上一点，且CD＝2，BD＝1，b2+2c2＝9，求AD的长．
17．（2024秋 宁城县期末）某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组的样本频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；
（3）样本内语文分数在[130，140），[140，150]的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在[130，140）中的概率．
18．（2024春 东坡区期末）在①，②，③sin2A﹣cos2B+cos2C＝sinAsinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知_____．
（1）求角C；
（2）若c＝1，△ABC的面积，求△ABC的周长l的取值范围；
（3）若，，求tan∠ABD．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（2024春 达拉特旗校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB＝2AC＝4，AC⊥CB，点D，E分别为棱BC，A1C1的中点，点F是线段CE的中点．
（1）求证：AF⊥平面BCE；
（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值；
（3）求二面角F﹣AD﹣C的余弦值．
期末真题重组练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B C C C C B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC ACD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 福建期末）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
因为向量在向量上的投影向量是，
所以，
即，所以，
又因为，
所以与的夹角是．
故选：A．
2．（2025春 滨湖区校级期末）已知事件A，B满足P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则（　　）
A．若B A，则P（AB）＝0.5
B．若A与B互斥，则P（A+B）＝0.7
C．若A与B相互独立，则
D．若P（B）+P（C）＝1，则C与B相互对立
【解答】解：已知事件A，B满足P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，
选项A：若B A，则P（AB）＝P（B）＝0.2，
选项B：若A与B互斥，则P（A+B）＝0.7＝P（A）+P（B）．故选项B正确．
选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立，，故选项C错误．
选项D：若P（B）+P（C）＝1，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，故D错误．
故选：B．
3．（2024春 武威期末）复数的虚部为（　　）
A． B． C．1 D．2
【解答】解：，
则复数的虚部为．
故选：B．
4．（2023春 河北期末）元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：依题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和，
正六棱台的两个底面积分别为，，
所以花灯的体积．
故选：C．
5．（2024春 大通县期末）用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有{234，243，324，342，423，432}，共6种，
其中偶数有{234，324，342，432}，共4种，
所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为．
故选：C．
6．（2024春 丽江期末）在平行四边形ABCD中（1，0），（2，1），则（　　）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【解答】解：因为四边形ABCD为平行四边形，
所以，
所以．
故选：C．
7．（2024春 通州区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则A1C1与B1C所成角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接DA1，DC1，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
A1B1∥CD且A1B1＝CD，
即四边形A1B1CD是平行四边形，
所以DA1∥B1C，
所以∠DA1C1即为A1C1与B1C所成角．
又△DA1C1是等边三角形，
即∠DA1C1＝60°，
所以A1C1与B1C所成的角为．
故选：C．
8．（2024春 海淀区校级期末）在△ABC中，若c＝4，b﹣a＝1，，则sinA为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2abcosC，
所以42＝a2+（a+1）2﹣2a （a+1） （），整理得a2+a﹣6＝0，
解得a＝2或a＝﹣3，
由，知sinC，
由正弦定理知，，
所以，
所以sinA．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 漳州期末）如图正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点，且∠PCQ＝45°，则（　　）
A．AP AQ＝2PB QD
B．PQ＜PB+QD
C．△APQ周长为定值
D．△APQ面积的最大值为
【解答】解：在正方形ABCD中，延长AD到E，使DE＝BP，连接CE，
由S△APQ+2（S△PBC+S△QDC）＝1，得，
于是（1﹣PB）（1﹣QD）+2PB+2QD＝2，整理得PB+QD+PB QD＝1，
2PB QD＝1﹣PB﹣QD+PB QD＝（1﹣PB）（1﹣QD）＝AP AQ，所以A正确；
由正方形的性质可得Rt△CDE≌Rt△CBP，
∠ECD＝∠PCB，CE＝CP，由∠PCQ＝45°，
得∠ECQ＝∠ECD+∠DCQ＝∠BCP+∠DCQ＝45°＝∠PCQ，
于是△ECQ≌△PCQ，PQ＝QE＝PB+QD，所以B错误；
△APQ周长为AP+AQ+PQ＝1﹣PB+1﹣QD+PQ＝2，所以C正确；
由C选项分析，2＝AP+AQ2
＝（2），
即AP AQ≤（）2＝6﹣4，
当且仅当AP＝AQ时取等号，，所以D错误．
故选：AC．
（多选）10．（2023春 福州期末）如图，平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成的直角梯形，AD＝1，，现将Rt△ACD沿斜边AC翻折成△ACD1（D1不在平面ABC内），若P为BC的中点，则在Rt△ACD翻折过程中，下列结论正确的是（　　）
A．AD1与BC可能垂直
B．三棱锥C﹣BD1E体积的最大值为
C．若A，C，E，D1都在同一球面上，则该球的表面积是2π
D．直线AD1与EP所成角的取值范围为
【解答】解：对于A，由AD⊥CD，则AD1⊥CD1，当AD1⊥D1B时，且D1B＜AB，
此时满足AD1⊥平面BCD1，因此AD1⊥BC，选项A正确；
对于B，取AC的中点O，连接OE，OD1，
则，且OD1⊥AC，
因为，
当平面ACD1⊥平面ABC时，三棱锥C﹣BD1E体积的最大值，
在Rt△BCE中，∠CBE，CE＝1，则，
此时，
所以三棱锥C﹣BD1E体积的最大值为，选项B错误；
对于C，因为，
所以A，C，E，D1都在同一球面上，且球的半径为，
所以该球的表面积是，选项C正确；
对于D，作AM∥EP，因为P为BC的中点，所以EP＝1，
因为，所以，
所以∠BAM＝∠ABC＝30°，所以∠MAC＝15°，
AD1可以看成以AC为轴线，且母线和底面所成角是45°的圆锥的母线，
所以AC与AD1夹角为45°，AC与AM夹角为15°，又D1不在平面ABC内，
且60°＝45°+15°，30°＝45°﹣15°，
所以AD1与DM所成角的取值范围是，所以选项D正确，
故选：ACD．
（多选）11．（2025春 海曙区校级期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方体的中心，M为DD1的中点，F为侧面正方形AA1D1D内一动点，且满足B1F∥平面BC1M，则（　　）
A．三棱锥D1﹣DCB的外接球表面积为12π
B．动点F的轨迹是一条线段
C．三棱锥F﹣BC1M的体积是随点F的运动而变化的
D．若过A，M，C1三点作正方体的截面Ω，Q为截面Ω上一点，则线段A1Q长度的取值范围为
【解答】解：对于A，因为三棱锥D1﹣DCB的外接球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球是同一个球，
因为正方体的外接球直径是正方体的体对角线，
设外接球半径为R，则2R＝2，即R，
所以三棱锥D1﹣DCB的外接球表面积为4πR2＝4π×3＝12π，故A正确；
对于B，如图，分别取AA1，A1D1的中点H，G连接B1G，GH，HB1，AD1，
因为B1H∥C1M，B1H 平面BGH，C1M 平面BGH，
所以C1M∥平面BGH，
因为GH∥BC1，GH 平面BGH，BC1 平面BGH，
所以BC1∥平面BGH，
C1M 平面BC1M，BC1 平面BC1M，BC1∩C1M＝C1，
所以平面B1GH∥平面BC1M，
而B1F∥平面BC1M，所以B1F 平面B1GH，所以点F轨迹为线段GH，故B正确；
由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为GH∥平面BC1M，则点F到平面BC1M的距离为定值，
又△BC1M的面积为定值，从而可得三棱锥F﹣BC1M的体积是定值，故C不正确；
如图，设截面Ω与平面BAA1B1交于AN，N在BB1上，
因为截面Ω∩平面DAA1D1＝AM，平面DAA1D1∥平面CBB1C1，
所以AM∥NC1，同理可证AN∥MC1，所以截面AMC1N为平行四边形，所以点N为BB1中点，
在四棱锥A1﹣AMC1N中，侧棱A1C1最长，且A1C1，设四棱锥A1﹣AMC1N的高为h，
因为AM＝MC1，所以四边形AMC1N为菱形，
所以△AMC1的边AC1上的高为面对角线的一半，即为，又AC1，
则，，
所以，解得，
综上，可知线段A1Q长度的取值范围为，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 静安区期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，并记录朝上的一面是正面还是反面，则恰好出现正面与反面朝上都是2次的概率是 　　 ．
【解答】解：根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，设正面向上的次数为X，则X＝0、1、2、3、4，
易得X～B（4，），
若恰好出现正面与反面朝上都是2次，即X＝2，则其概率P（X＝2）（）2（1）2．
故答案为：．
13．（2025春 宝山区期末）如图，以边长为1的正方形ABCD的各边为基准向外作正三角形，构成八边形AFBGCHDE．若点P、Q在八边形的内部（含边界），则的最小值为 　　 ．
【解答】解：由题意知， 的最小值为
||||cos∠FAH
＝1cos135°
（）
．
故答案为：．
14．（2024秋 宝山区校级期末）如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长等于1，∠ABC＝120°，O和O1分别是上下底面对角线的交点，H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M在线段BD上移动，则三棱锥M﹣C1O1H的体积最小值为 　　 ．
【解答】解：因为直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC＝120°，边长为1，
所以O1C1⊥平面BB1D1D，且，，
C1到平面BB1D1D的距离为，
因为OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，
所以当△O1MH的面积取得最小值时，三棱锥C1﹣O1MH的体积有最小值．
将平面BB1D1D单独画图可得，
当M点到O1H的距离最小时，△O1MH的面积有最小值．
过点B作BF∥O1H，可得直线BF上方的点到O1H的距离比直线BF上的点到O1H的距离小，
而线段BD上除B点外的所有点都在直线BF下方，到O1H的距离比B点到O1H的距离大，
即当M点在B点时，△O1MH的面积取得最小值，且三棱锥C1﹣O1MH的体积有最小值．
连接O1B，则，
所以B1到O1B的距离，
因为OH＝3HB1，
所以H到直线O1B的距离为，
所以，
所以．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2024春 锡林郭勒盟期末）已知向量，，
（Ⅰ）若，求实数x的值；
（Ⅱ）若，求向量与的夹角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）已知向量，，
则，
又，
则（﹣4）×4＝8（x﹣4），
即x＝2；
（Ⅱ）由题意可得，
又，
则（﹣4）×（﹣2﹣x）+8×8＝0，
即x＝﹣18，
则，
则，
则向量与的夹角的余弦值为．
16．（2023春 湘潭县期末）在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c．
（1）若，，，求△ABC的周长；
（2）若点D是BC边上一点，且CD＝2，BD＝1，b2+2c2＝9，求AD的长．
【解答】解：（1）因为，，
所以．
由正弦定理，得，
所以．
（2）
设AD＝x，在三角形ABD与三角形ACD中，由余弦定理得：
AB2＝BD2+x2﹣2BD x cos∠ADB，AC2＝CD2+x2﹣2CD x cos∠ADC，
所以12+x2﹣2x cos∠ADB＝c2①，22+x2+4x cos∠ADB＝b2②，
①×2+②得6+3x2＝b2+2c2，
因为b2+2c2＝9，所以6+3x2＝9，解得x＝1，
即AD的长为1．
17．（2024秋 宁城县期末）某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组的样本频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；
（3）样本内语文分数在[130，140），[140，150]的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在[130，140）中的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.012+0.022+0.028+0.018+x+0.008+0.002）×10＝1，
解得：x＝0.01．
（2）由频率分布直方图知，分数在区间[80，100）、[80，110）的频率分别为0.34，0.62，因此，该校语文成绩的中位数m在[100，110）之间，
则（m﹣100）×0.028＝0.16，
解得：m，
语文成绩的平均数为85×0.12+95×0.22+105×0.28+115×0.18+125×0.1+135×0.08+145×0.02＝107.4，
所以该校语文成绩的中位数是，语文成绩的平均数是107.4．
（3）由频率分布直方图知，分数在[130，140），[140，150]内分别有8人和2人，
因此抽取的5人中，分数在[130，140）内有4人，在[140，150]内有1人，
记[130，140）内的4人为
a
，
b
，
c
，
d
，在[140，150]内的1人为
F
，
从5人中任取2人的结果有：ab，ac，ad，aF，bc，bd，bF，cd，cF，dF，共10个不同结果，它们等可能，
选出的2人中恰有一人成绩在[130，140）中的结果是：aF，bF，cF，dF，
所以选出的两名学生中恰有一人成绩在[130，140）中的概率是P．
18．（2024春 东坡区期末）在①，②，③sin2A﹣cos2B+cos2C＝sinAsinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知_____．
（1）求角C；
（2）若c＝1，△ABC的面积，求△ABC的周长l的取值范围；
（3）若，，求tan∠ABD．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解答】解：（1）若选①：，
由正弦定理得，又sin（B+C）＝sinA，
所以，又sinB＞0，所以，即，
又0＜C＜π，所以；
若选②：因为，所以，
所以，所以，所以a2+b2﹣c2＝ab，
所以，又0＜C＜π，所以；
若选③：因为sin2A﹣cos2B+cos2C＝sin2A﹣（1﹣sin2B）+（1﹣sin2C）＝sinAsinB，
即sin2A+sin2B﹣sin2C＝sinAsinB，所以由正弦定理得a2+b2﹣c2＝ab，
所以，又0＜C＜π，所以；
（2）因为△ABC的面积，所以，
由余弦定理得，即1＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，
所以，因为，所以，又c＝1，
所以△ABC的周长l的取值范围为；
（3）因为，所以，所以，
又b＜c，所以，，
，
又，所以，
记∠ABD＝θ，在△BCD中，由正弦定理得：，
所以，
在△ABD中，由正弦定理得：，所以，
所以，所以，整理化简得，
所以，即tan∠ABD．
19．（2024春 达拉特旗校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB＝2AC＝4，AC⊥CB，点D，E分别为棱BC，A1C1的中点，点F是线段CE的中点．
（1）求证：AF⊥平面BCE；
（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值；
（3）求二面角F﹣AD﹣C的余弦值．
【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又BC 平面ABC，所以AA1⊥BC，
又AC⊥CB，AC∩AA1＝A，AC，AA1 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又AF 平面ACC1A1，
所以BC⊥AF，
在矩形ACC1A1中，，AC＝2，点E是棱A1C1的中点，
所以AE＝EC＝2，所以△AEC是等边三角形，
又点F是线段CE的中点，所以AF⊥EC，
又CE∩BC＝C，CE，BC 平面BCE，
所以AF⊥平面BCE．
（2）在平面BCE内，过点D作BF的垂线，垂足为H，
由（1）知AF⊥平面BCE，又DH 平面BCE，
所以AF⊥DH，
又BF⊥DH，BF∩AF＝F，BF，AF 平面ABF，
所以DH⊥平面ABF，
所以∠DFB是直线DF与平面ABF所成角，
在△ABC中，AB＝2AC＝4，AC⊥CB，
所以，
又点D为棱BC的中点，所以，
因为BC⊥平面ACC1A1，又CE 平面ACC1A1，
所以BC⊥CE，
所以，，
在△BDF中，由余弦定理得，
所以，
即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为．
（3）在平面ACC1A1内，过点F作AC的垂线，垂足为O，在平面ABC内，过O作AD的垂线，垂足为G，连接FG，
因为BC⊥平面ACC1A1，又FO 平面ACC1A1，所以BC⊥FO，
又AC⊥FO，AC∩BC＝C，AC，BC 平面ABC，
所以FO⊥平面ABC，
又GO，AD 平面ABC，所以FO⊥GO，FO⊥AD，
又GO⊥AD，GO∩OF＝O，GO，OF 平面GOF，
所以AD⊥平面GOF，
又GF 平面GOF，所以AD⊥GF，又GO⊥AD，
所以∠FGO为二面角F﹣AD﹣C的平面角，
在△FOC中，，
因为AF⊥平面BCE，DF 平面BCE，所以AF⊥FD，
又易得，FD＝2，
所以，
由等面积法可知，
在△GFO中，FO⊥GO，，，
所以，
所以，
即二面角F﹣AD﹣C的余弦值为．
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