【期末必考专题】勾股定理-2024-2025学年数学八年级下册人教版（含解析）

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【期末必考专题】勾股定理-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．5，12，13
C．5，6，10 D．12，13，14
2．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（a为勾，b为股，c为弦）．若“勾”为3，“股”为4，则“弦”为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
3．定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在中，，则中边的“中偏度值”为( )
A．2 B．3 C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，C为轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，则点C的坐标为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
5．如图，在中，，垂直平分，连接．已知，，则的长为（ ）
A． B．19 C．20 D．
6．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2026 B．2025 C． D．
7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度为（　　）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
8．如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
二、填空题
9．如图，一个正三角形路标的边长为个单位，则这个路标的面积是 平方单位．
10．如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是 ．
11．如图，中，，，，则 ．
12．如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动 秒时，三角形是直角三角形．
13．如图，分别以直角三角形的三边为边作正方形，其中两个正方形的面积分别是9和49，则字母M所代表的正方形的面积是 ．
14．如图，中，，，，点D在边上，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的长为 ．
15．如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．
（1）斜边上的高为 ；
（2）当是等腰三角形时，的值为 ．
16．如图所示的是某办公桌摆件的示意图，四边形是长方形，若直线，垂足为，，，，则的长为 ．
三、解答题
17．如下图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，，求四边形的面积．（单位：米）
18．如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．
(1)在图1中，画一个直角三角形，使每条边长都是整数．
(2)在图2中，画出一个面积为5，各边长都是无理数的直角三角形．
19．如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，．
(1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离；
(2)若，求工厂C到B市的距离．
20．如图，在三角形中，，点在上，，点分别在直角边上，连接且．求证：．
21．吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域．
(1)求的度数．
(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？
22．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长；
【深入探究】
（2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）；
【拓展延伸】
（3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）．
《【期末必考专题】勾股定理-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C D A A C B
1．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条边的长能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
【详解】解：A、，故不可以构成直角三角形，不符合题意；
B、，故可以构成直角三角形，符合题意；
C、，故不可以构成直角三角形，不符合题意；
D、，故不可以构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得，即可求解；掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：
；
故选：A．
3．C
【分析】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离．根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可．
【详解】解：作于点，为的中线，
在中，，，，
在中，
为斜边上的中线，，
中边的“中偏度值”为：
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理、等腰三角形的定义、三线合一，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意，分和两种情况讨论，利用勾股定理和等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：若，
点A的坐标为，点B的坐标为，
，
，
点C的坐标为；
若，如图，
点A的坐标为，
，
，，
，
点C的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据勾股定理分别求得和即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
在中，，，，
∴，
在中，，
∴，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查勾股定理的应用，由题意知：竹子折断前直立于地面，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
依题意，得：，
解得：，
∴折断处离地面的高度为尺．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，算术平方根的含义，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为；结合题意可得，，结合完全平方公式即可求出小正方形的边长．
【详解】解：由题意，中间小正方形的边长为，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
9．
【分析】过点作于点，根据正三角形性质得，进而得，然后再根据三角形的面积公式求出的面积即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵是正三角形，且边长为，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴（平方单位），
即这个路标的面积是平方单位．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，掌握等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
10．
【分析】本题考查了实数与数轴以及勾股定理，熟练掌握上述基本知识是关键；
先利用勾股定理求出，进而可得答案．
【详解】解：因为点A表示的数是，点C表示的数是1，
所以,
因为且，
所以，
因为以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，
所以，
所以点D表示的数是；
故答案为：．
11．
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，先根据含30度角的直角三角形的性质得到，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．或4
【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法．
先利用等腰三角形“三线合一”求出、以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间．
【详解】解：如图，作，
∵，
∴，
当点P运动到与点D重合，即为直角时，是直角三角形，
此时，
∴运动时间为(秒)；
当时，设
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
所以运动时间为(秒)；
综上可得：当P运动4秒或秒时，是直角三角形；
故答案为：或4．
13．40
【分析】根据勾股定理，正方形的面积解答即可．
本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，且，
故，
故答案为：40
．
14．1.5
【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的不变性是解题的关键．
先由勾股定理求出，由折叠得到，，然后设，在中，由勾股定理建立方程求解．
【详解】解：中，，，，
∴，
由翻折变换的性质可知，，
∴，，
设，则有，
∴，
∴．
故答案为：1.5．
15． / 或或
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
（1）过点C作于点D，利用面积法求解即可；
（2）是以为一腰的等腰三角形时，分和两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可，是以为底的等腰三角形时，易证点P为的中点，即可得出结果．
【详解】解：（1）在中，由勾股定理得：，
过点C作于点D，
∵，
∴，
∴斜边上的高线长为；
故答案为：；
（2）是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：
当时，
则，
∴；
当时，
过点C作于点D，
由（2）知：，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
是以为底的等腰三角形时，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，是等腰三角形时t的值为或或，
故答案为：或或．
16．
【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出，进而即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】先根据勾股定理算出的长，进而可以得到的各边长，再根据勾股定理的逆定理得到此三角形是直角三角形，进而得到所求面积为的面积减去的面积，即可得到答案；
【详解】解：∵， ，
，
，
是直角三角形，且
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解决此题的关键是合理的利用勾股定理逆定理．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查的是利用勾股定理画对应要求的直角三角形和正方形，灵活运用勾股定理成为解题的关键．
（1）找出常用的勾股数作图即可；
（2）结合无理数的定义，勾股定理以及勾股定理的逆定理按要求画图即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求，
．
∵ ，
∴是直角三角形；
（2）解：如图，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）设，则，利用勾股定理，建立等式解方程即可．
【详解】（1）解：∵，，．
且，
∴，
∴，
根据垂线段最短，
∴长是工厂C到公路的最短距离．
（2）解：设，则，
根据勾股定理，得，
解得，
答：工厂C到B市的距离为．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
20．证明见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长至点使，连接、，可得垂直平分，即得，由得，，进而由得，即得，再根据勾股定理即可求证，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】证明：如图，延长至点，使，连接、，
,
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵在中，，
∴，
，
∴，
即，
是以、为直角边的直角三角形，
∴在中，，
∵，，
．
21．(1)
(2)学校C会受噪声影响，见解析
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键：
（1）利用勾股定理逆定理进行求解即可；
（2）过点C作于D，等积法求出的长，进行判断即可。
【详解】（1）解：，
，
是直角三角形，且；
（2）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作于D，则：
，
，
∵吊车周围以内为受噪声影响区域，，
∴学校C会受噪声影响．
22．（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20
【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定
（1）由折叠得到，然后对运用勾股定理即可求解；
（2）先证明，设，则，在中，由勾股定理建立方程，即可求解；
（3）设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得，此时，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为20．
【详解】解：（1），
，
由折叠的性质得：，
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
即的长为24；
（2）四边形是长方形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即的长为6；
（3）四边形是长方形，
，
设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：
①如图，当点在长方形内部时，
点在线段的垂直平分线上，
，
由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得：，
，设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即的长为5；
②如图，当点在长方形外部时，
由折叠的性质得：，同①得：，
，设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，即的长为20；
综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20．
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