【期末必考专题】平行四边形的性质与判定-2024-2025学年数学八年级下册人教版（含解析）

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【期末必考专题】平行四边形的性质与判定-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知的对角线和相交于点O．若，，则的长可能是（ ）
A．2 B．8 C．10 D．14
3．如图，在中，，相交于点，，．过点作交于点，记长为，长为．当，的值发生变化时，代数式的值是(　　)
A．12 B．10 C．6 D．5
4．如图，在中，、分别是、边的中点，、两点在对角线上，且，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．与互相平分 D．
5．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，已知，，，是中位线，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．四边形是平行四边形，的平分线交边于点，的平分线交边于点，，则平行四边形的边与之比为 ．
10．如图，在中，垂直平分于点，，，则的对角线的长为 ．
11．如图，中，，点，分别在，边上，且，，分别连接，，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为 ．
12．如图，将沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为 ．
13．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长为 ．
14．如图，在中，，，是的中位线，的平分线交于点，则线段的长为 ．
15．如图，在四边形中，于点E， ，M为的中点，N为线段上的点，且，连接，若四边形为平行四边形，则的长为 ．
16．如图，在中，对角线相交于O，于点O，交于点E，若的周长为，则平行四边形的周长是 ．
三、解答题
17．如图，在四边形中，对角线，交于点O．已知，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求的长．
18．如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连结.
(1)求证：.
(2)若，求的长.
19．如图，在中，E，F是直线上的两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，且，求的长．
20．如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点B匀速运动，同时点N从点A出发以的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接．设运动时间为．
(1)________，________；（用含t的代数式表示）
(2)当运动时间t为多少时，四边形是平行四边形，并说明理由．
21．如图，中，对角线、交于点，是边边上的中点，若，，求的周长．
22．（1）如图1，四边形是平行四边形，、是对角线的三等分点：求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，四边形中，、是对角线的三等分点，延长、，分别与、交于、，若、分别是、的中点．求证：四边形是平行四边形．
23．（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度．
《【期末必考专题】平行四边形的性质与判定-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D A A D B B
1．B
【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握：平行四边形的对边互相平行且相等，对角相等，对角线互相平分．据此依次对各选项进行分析即可作出判断．
【详解】解：A．当四边形是平行四边形时，不能得出，故此选项不符合题意；
B．∵四边形是平行四边形，对角线，交于点，
∴，故此选项符合题意；
C．当四边形是平行四边形时，不能得出，故此选项不符合题意；
D．当四边形是平行四边形时，不能得出，故此选选项不符合题意．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，构成三角形的条件；由平行四边形的性质得，，由构成三角形的条件得，即可求解；掌握平行四边形的性质，构成三角形的条件是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解．
【详解】解：如图，作交的延长线于，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，，
∴，
∴，
∴当，的值发生变化时，代数式的值是，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质．连接交于，证明进而证明四边形是平行四边形，即可判断C选项，根据全等三角形的性质即判断B，D选项，即可求解．
【详解】解：连接交于点，
在平行四边形中
∴，，
∴，
、分别是、边的中点，
，
又，
，
∴，
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴，
又∵
∴
∴与互相平分，故C正确
∵
，，，故B、D正确，
没有条件证明，故A不正确，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．
由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∵将沿折叠至处，
，
，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：平行四边形，
，，
，
，即，
，
．
故选：D．
7．B
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半得到的长，再根据三角形中位线等于第三边长的一半可得答案．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∵是中位线，
∴，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得：，，推出，由角平分线的定义可得，得到，推出，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分交边于点，
，
，
，
，
故选：B．
9．或
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，由平行四边形的性质结合角平分线的定义可得，由等角对等边得出，同理可得，结合题意计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴；
如图：
，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴；
综上所述，平行四边形的边与之比为或，
故答案为：或．
10．
【分析】如图所示，连接，过点作延长线于点，，，，，在中，由此勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理的运用，掌握菱形的性质是关键．
11．
【分析】本题考查三角形中位线，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线的性质，勾股定理的应用，根据题意取的中点，连接，，根据三角形的中位线的性质，可得，，，，根据勾股定理，则，求出，即可．
【详解】解：取的中点，连接，，
∵中，，
∴，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．/110度
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出是解题的关键．先根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，根据折叠得出，根据三角形内角和得出的度数即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
，
根据折叠可知，，
∴，
，
∴，
故答案为：．
13．3
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
∵点分别是线段的中点，
∴，
故答案为：3．
14．
【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，等腰在三角形的判定．根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，计算即可．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质求出、，根据“直角三角形的两锐角互余”求出，结合等腰直角三角形的性质、三角形外角性质求出，设,根据平行四边形的性质求出,利用证明，根据全等三角形的性质得出,根据勾股定理求出，然后求得的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，M是的中点，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，或 (舍去），
∴．
故答案为：2
16．
【分析】本题考查平行四边形的性质，中垂线的判定和性质，根据平行四边形的性质，得到，根据于点O，得到垂直平分，进而得到，得到的周长，进而求出平行四边形的周长即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵于点O，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长为，
∴平行四边形的周长；
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据平行四边形的性质结合勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等.
（1）由平行四边形对边平行且相等可得且，进而可证明，可得；
（2）由 可得，，设，则，由勾股定理解求出，再用勾股定理解即可.
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得 ，
∴，，
设，则，
∴ ，
在中，由勾股定理，得 ，
即，
解得 ，
∴，
∴.
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到．
（1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
，．
．
．
在和中，
，
．
，．
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
，
连接交于，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
的长为．
20．(1)，
(2)15秒
【分析】（1）根据题意，，，解答即可．
（2）根据动点M的速度为，动点N的速度为，设运动时间为，根据平行四边形的判定解答即可．
本题考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，，
故答案为：，．
（2）解：∵，，，
∴，
∵动点M的速度为，动点N的速度为，
设运动时间为，
∴，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴时，四边形是平行四边形，
∴，
解得．
故运动时，四边形是平行四边形．
21．28
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题的关键．
先根据平行四边形的性质，得到点是的中点，从而得出是的中位线，然后根据中位线性质求得，然后由平行四边形周长公式计算即可求解．
【详解】解：，
，即点是的中点，
是边边上的中点，
是的中位线，
，
的周长．
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）连接交于点O，由平行四边形的性质得，，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）连接交于点O，连接，，先证明是的中位线，得，同理，再证明四边形是平行四边形，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【详解】证明：（1）如图1，连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵G、H是对角线的三等分点，
∴，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形；
（2）如图2，连接交于点O，连接，，
∵G、H是对角线的三等分点，
∴，
∵E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键．
（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
（2）延长到点，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论；
（3）延长到点，使，连接，由（2）知，，，则取最小值时，最小，故时，最小，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）证明：是的中线，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：延长到点，使，连接，如图2，
，是的中线，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：延长到点，使，连接，如图3，
由（2）知，，，
则取最小值时，最小，故时，最小，
是的中线，
，
，
在中，
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