【期末必考专题】特殊的平行四边形-2024-2025学年数学八年级下册人教版（含解析）

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【期末必考专题】特殊的平行四边形-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．判定矩形为正方形，可添加的条件是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角相等 D．对角线相等
2．下列说法错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．四个角都相等的四边形是正方形
3．在四边形中，点分别是边的中点，下列条件一定能使四边形是菱形的是（ ）
A．四边形是平行四边形 B．
C．四边形是菱形 D．
4．三个正方形如图所示放置，已知两边的两个正方形的面积为2和3，则中间的一个大正方形的面积为（ ）
A．13 B．10 C．6 D．5
5．如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线BD上的点处．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，为边上一动点于，于，为中点，当点从点运动到点，点运动的路径长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
8．如图①，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图②，按照图②所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图③所示的正八边形，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形，放在正八边形内部，与重合，L为的中点，连接．将正方形绕点A顺时针旋转与重合，此时的长为（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题
9．矩形中，，对角线，交于点，点是边的三等分点，连接，点是的中点，连接，，则的值为 ．
10．如图，在正方形中，P，Q分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为 ．
11．如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ．
12．如图，在矩形纸片中，点是边的中点，沿直线折叠，点落在矩形内部的点处，连接并延长交于点．已知，，则的长为 ．
13．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁在纸片表面从点处到达点处需要走的最短路程是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ．
15．如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若．则 ．
16．如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交，于点，．已知，，则的长为 ．
三、解答题
17．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数．
18．如图，的对角线相交于点O，过点D作且，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：四边形为菱形；
(3)在（2）的条件下，若，求的长．
19．如图，在矩形中，将沿对角线折叠，使得点C落在点E处，与交于点F，过点D作交于点G，连接交于点O．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
20．如图，四边形是平行四边形，分别以点A、B为圆心，的长为半径画弧，交于点F和点E，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求四边形的面积．
21．如图1，矩形中，，动点E，F分别在边上，连结，以为边向上作，连结，
(1)如图2，点F与D重合时，
①求的面积．
②当最短时，求的长．
(2)如图3，当时，连结，若，求的长．
22．已知，在中，中，，，点为直线上一动点（点不与点，重合）．以为边作正方形，连接．
(1)如图1，当点在线段上时．求证：；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出，，三条线段之间的关系；
(3)如图3，当点在线段的反向延长线上时，且点，分别在直线的两侧，其他条件不变；
①请写出，，三条线段之间的关系，并说明理由；
②若正方形的边长为4，对角线，相交于点，连接．求出的长度．
《【期末必考专题】特殊的平行四边形-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B D C C D B
1．B
【分析】本题考查了正方形的判定，矩形加判定菱形的条件可判定正方形，菱形加判定矩形的条件可判定正方形，据此即可求解；掌握正方形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：对角线互相垂直的矩形是正方形；
故选：B．
2．D
【点睛】本题考查四边形中平行四边形和特殊的平行四边形的判定和性质，正确的理解和仔细区分是解题的关键．
利用平行四边形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质逐个选项排查即可．
【详解】解：选项A中，矩形的对角线相等，故说法正确，不符合题意；
选项B中，菱形的对角线互相垂直平分，故说法正确，不符合题意；
选项C中，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故说法正确，不符合题意；
选项D中，四个角都相等的四边形是矩形但不一定是正方形，故说法错误，符合题意；
故选D．
3．B
【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，中位线定理，先由中位线定理证明四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定方法逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵点分别是边的中点，
∴在与中，，，且，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
、若四边形是平行四边形，不能说明四边形为菱形；
、∵，
∴，
∴四边形为菱形，原选项符合题意；
、∵四边形是菱形，
∴，
∴四边形为矩形，
、若不能不能说明四边形为菱形；
故选：．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质、熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．先由证得，推出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，
由正方形的性质得：，
，
，
在和中，
，
，
∴
∵两边的两个正方形的面积为2和3，
∴
在中，由勾股定理得：，
即中间的一个大正方形的面积为，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，以及直角三角形的性质，根据题意可得，利用勾股定理求出的长度．再根据直角三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：在菱形中，点是与的交点，，，
，，
，点为的中点，
，
，
是直角三角形，
，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质和折叠的性质．
由矩形的性质得，由折叠的性质得，，根据平行线的性质求得，再求出，即可求得．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形的中位线定理，取的中点，取的中点，连接，可推出四边形是矩形，得到M为的中点；进而可得当点P从点B运动到点C，点M从点运动到点，据此即可求解．
【详解】解：取的中点，取的中点，连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵M为的中点，
∴M为的中点，
∴当点P从点B运动到点C，点M从点运动到点，
∵的中点为，的中点为，
∴是的中位线，
∴，
即：点M运动的路径长为5，
故选：D
8．B
【分析】本题考查了正方形，正多边形的性质，勾股定理的运用，理解题意，掌握正多边形的性质，数形结合分析是关键．可证明四边形是菱形，可求出正方形的边长为，由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：根据题意，，，
如图所示，连接，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，
设正方形对角的交点为，则，
∴正方形的边长为，
∴，
∵，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
故选：B ．
9．或
【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，勾股定理，分和两种情况，结合三角形的中位线定理，斜边上的中线，勾股定理，进行求解即可．
【详解】解：当时，如图：
∵矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，，
∴；
当时，则：；
同理：，，
∴；
故答案为：或
10．3
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，
设正方形的边长为a，可得根据勾股定理得，延长至E，使得，连接，再说明，可得，当点Q在上时，取最小值，的最小值为，即，最后根据勾股定理求出答案．
【详解】解：如图所示，
设正方形的边长为a，在正方形中，，
则．
延长至E，使得，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点Q在上时，取最小值．
∵的最小值为，即，
在中，，
即，
解得（负值舍去）．
故答案为：3．
11．
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
菱形的周长为16，
，
，，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．
连接，证出，得到的长，再利用勾股定理运算求解即可．
【详解】解：连接如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，，
∵为中点，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．26
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片．
本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求．
【详解】解：如图，展开矩形，则，
∵矩形，
∴，，
∴，
故答案为：26 ．
14．
【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．设正方形的边长为，与轴相交于，则四边形 矩形，推出， ，．由折叠的性质，得，．根据点的坐标为 ，点的坐标为，得出， ，所以．在 中，，解得 ，则，．在中，，解得，所以，即可得出点的坐标．
【详解】解：如图，设正方形的边长为，与轴相交于，
则四边形是矩形，
， ，．
由折叠的性质，得，．
点的坐标为，点的坐标为，
， ，
．
在中，，
，
解得，
，．
在中，，
，
解得，
，
点的坐标为 ．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
先根据矩形对角线的性质得到，再对运用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】过E作于M，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，，，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到
【详解】解：过E作于M，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
在与中，
，
，
，，
在与中，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，等角对等边等知识．
（1）利用证明，即可得；
（2）根据等边三角形的性质和正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，同理可得的度数，再根据周角的定义可得答案．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，能够综合应用上述知识是解题的关键．
（1）由平行四边形对角线互相平分，可得，结合，，可得且，即可证明四边形是平行四边形；
（2）先证四边形是矩形，推出，即可证明四边形为菱形；
（3）先证是等边三角形，再用勾股定理解求出，由四边形是矩形可得，再用勾股定理解即可．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，，
且，
四边形是平行四边形；
（2）证明：由（1）知四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
平行四边形为菱形；
（3）解：菱形中，
，，
是等边三角形，
，
，
菱形中，
，
由（2）知四边形是矩形，
，，
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的判定以矩形的折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
（1）根据矩形的性质求出，结合，即可判定四边形是平行四边形，根据平行线的性质及折叠特性、等腰三角形的判定得到，即可得出结论；
（2）设，则．在中，运用勾股定理列方程求解，即可得出的长，再根据菱形的面积即可得到的长．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
根据折叠可得，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴5，
设，则．
在中，，
即，
解得，
∴，
又∵，
∴．
20．(1)四边形是平行四边形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
（1）由作图得，由平行四边形的性质得，则，且，所以四边形是平行四边形；
（2）连接交于点L，可证明四边形是菱形，则，因为，所以是等边三角形，则，求得，则，则，所以．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由作图方法可得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形 ；
（2）解：连接交于点L，
∵，且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积是．
21．(1)①15；②
(2)
【分析】（1）①根据平行四边形的面积即可解决问题；
②当时，最小，即为最小，此时四边形为矩形，进而可以解决问题；
（2）连结交于点O，连结，记与交于点H，证明是等边三角形，根据勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：①∵，
∴矩形面积15，
∵，
∴；
②记与交点为O，
∵，
∴，
当时，最小，即为最小，
此时四边形为矩形，
∴；
（2）解：连结交于点O，连结，记与交于点H，
∵，
∴，
∴为矩形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的面积，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
22．(1)见解析；
(2)；
(3)①，见解析；②．
【分析】（1）三角形是等腰直角三角形，利用 即可证明，从而证得，据此即可证得．
（2）同（1）相同，利用即可证得，从而证得，即可得到．
（3）①同（1）相同，利用即可证得，从而证得，即可得到．
②证明是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得的长，则即可求得．
【详解】（1）证明：，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：
理由：∵，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
∵在和中，
，
，
，
，
．
（3）解：①
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
；
②由（1）可知，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
又为的中线，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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