【期末必考专题】一次函数与实际问题-2024-2025学年数学八年级下册人教版（含解析）

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【期末必考专题】一次函数与实际问题-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．为了保护学生视力，课桌高度与凳子高度按照的关系配套设计，那么高的凳子应配课桌的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．周末，小辰从家出发，步行前往距家的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小辰从超市出来后的速度变为原来的倍，到达集合地，小辰与家的距离与所用时间的关系如图，那么小辰在超市购物用了（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形的边，分别在轴，轴上，点的坐标是，点，分别为，的中点，点为上一动点，当最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟，他离家的路程（千米）与所经过的时间（分）关系如图．有下列结论：
①学校到书店速度为0.15千米／分钟；②的值为15；
③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米．
其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量与出水时间之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下表，则与之间的函数关系式为（ ）
出水时间（min） … 5 10 15 20 …
剩余水量 … 120 90 60 30 …
A． B．
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，与正比例函数的图象交于点A．若动点M在射线上运动，当的面积是的面积的时，此时点M的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．如图，已知直线与y轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．某品牌鞋子的长度与鞋子的码数(码)之间满足一次函数关系．如果码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，那么长度为的鞋子码数是 码．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ．
11．一辆轿车从地驶向地，设出发后，这辆轿车离地路程为，已知与之间的函数表达式为，则轿车从地到达地所用时间是 ．
12．一辆快车和一辆慢车将一批物质从甲地运往乙地， 其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间 t（单位： h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是 h．
13．电子体重秤原理是利用力传感器，在置物平台上放上重物后使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），如图所示，当可变电阻为90欧时，对应测重人的质量为 千克．
14．如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机，如图2，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中，线段与相交于点P，轴于点B，点A的横坐标为25，则所在直线解析式为 ，在第 秒时，1号和2号无人机飞行高度差为20米．
15．如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是 ．
16．“大明湖畔的夏雨荷”，是给不少人留下了深刻印象的影视形象．2024年12月，济南市大明湖畔迎来了一个高达12米的“夏雨荷”造型花灯，很多游客纷纷前来打卡拍照，与夏雨荷花灯类似的两款簪花发卡尤其受到拍照游客喜爱，很多游客纷纷购买佩戴后与夏雨荷花灯合影留念．已知购买1个款簪花发卡的售价50元，1个款簪花发卡的售价40元．某旅行团计划购买这两种簪花发卡共100个，要求款簪花发卡的数量不少于款簪花发卡数量的3倍．则该旅行团最低消费金额为 元．
三、解答题
17．电热水袋将电能转化为热能，使袋内液体迅速升温．小明在加热某种电热水袋时，电热水袋温度与加热时间x（分钟）之间的关系如图所示．
(1)加热之前，电热水袋的温度为______℃；
(2)求电热水袋温度与加热时间x（分钟）之间的函数表达式；
(3)已知电热水袋充电加热温度一旦超过，系统就会立刻启动断电保护机制，则从开始加热到启动断电保护机制，电热水袋一共加热了多少分钟？
18． 在直角坐标平面系中（如图），点在轴上，一次函数的图象经过点，与轴和轴分别相交于点．
(1)求线段的长；
(2)求点到直线的距离：
(3)如果点在轴上，且使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
19．甲、乙两人分别从，两地同时出发骑车匀速相向而行．图中，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑行时间之间的函数关系．
(1)，两地相距_____，甲骑行的速度是_____，乙骑行的速度是_______；
(2)出发后，何时甲离地的距离大于乙离地的距离？
20．定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（为常数）的“友谊点”为．
(1)已知点，则点的“友谊直线”的解析式为______________；直线的“友谊点”的坐标为_________________；
(2)两点关于轴对称，且点的“友谊直线”经过点和点，求该直线的解析式；
(3)直线不经过第二象限，为直线的“友谊点”．
①若为整数，求点的坐标；
②直线与轴，轴分别相交于两点，，为平面内一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
21．近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个．
(1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元
(2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1760元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大 最大利润是多少元
22．小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．
【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表：
碗的个数（个） 1 2 3 4 5
这擦碗的总高度（厘米） 7 10
【建立模型】
（1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点；
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由；
【结论应用】应用上述发现的规律计算：
（3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度．
（4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？
《【期末必考专题】一次函数与实际问题-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A C B C A D
1．A
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，把代入，求出结果即可．
【详解】解：把代入得：
，
即高的凳子应配课桌的高度为，
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查一次函数的应用，正确从函数图象获取信息是解题的关键．
先根据图象计算出小辰去超市前的速度，再计算出小辰出超市后到社区所用的时间，最后根据总共用时25分钟，可以计算出小辰在超市购物用的时间即可．
【详解】解：小辰从家出发，到达集合地，则总用时，
由图象可知，小辰去超市前的速度为，
小辰出超市后到社区所用的时间为，
∴小海在超市购物用的时间为．
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，轴对称最短路径问题，坐标与图形，求一次函数与坐标轴的交点坐标，取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点，则最小值为，此时点P位于处，利用矩形的性质得到，则，再求出直线的解析式为，即可求出点的坐标．
【详解】解：取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点，
∴，
∵，
∴最小值为，此时点P位于处，
∵四边形是矩形，点A的坐标是，
∴，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴，
即当最小时，点P的坐标为，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查一次函数的应用．①根据速度=路程÷时间计算即可；②根据题意计算即可；③根据速度=路程÷时间求出从书店到家的速度，从而计算从书店到家的速度是学校到书店速度的倍数即可；④根据题意列关于t的方程并求解即可．
【详解】解：学校到书店速度为（千米/分钟），
∴①正确，符合题意；
，
∴②正确，符合题意；
从书店到家的速度为（千米/分钟），
，
∴从书店到家的速度是学校到书店速度的倍，
∴③不正确，不符合题意；
当小明离家的路程为0.8千米时，得，
解得，
∴经18分钟后小明离家的路程为0.8千米，
∴④正确，符合题意．
综上，正确的有3个，分别是①②④．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法，由饮水机水箱内的剩余水量是每分钟减少得与满足一次函数关系式，由待定系数法即可求解；能判断出与满足一次函数关系式是解题的关键．
【详解】解：由表格得
饮水机水箱内的剩余水量是每分钟减少，
与满足一次函数关系式，
设，则有
，
解得：，
与之间的函数关系式为；
故选：B．
6．C
【分析】此题考查了直线与坐标轴的交点，直线与坐标轴围成的三角形的面积等知识，熟练掌握直线与坐标轴围成的三角形的面积是是解题的关键．首先联立求出，然后求出，，利用的面积是的面积的求出或，然后分别求解即可．
【详解】由得，
．
对于，令，解得，令，解得，
，．
，
．
由题意，得，即，
，
或．
当时，在中令，得，
，
当时，在中令，得，
，
综上所述，M的坐标为：或．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标的特征．
设直线：与x轴交于点B，过点B作，交于F，过F作轴于H，则是等腰直角三角形，进一步证得，从而求得，利用待定系数法即可求得函数解析式．
【详解】解：如图，设直线：与x轴交于点B，过点B作，交于F，过F作轴于H，
则是等腰直角三角形，
∴，
∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设的函数解析式为，
将点A，F的坐标代入得，，
∴直线l2的函数解析式为，
故选：A．
8．D
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；求出，，，得到，得到为直角三角形；求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为．
【详解】解：①∵直线：与直线：都经过，
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把，代入直线：，可得，
解得，
∴直线：，
把代入直线：，可得，
中，令，则，
∴，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，，
故②正确，符合题意；
③在直线：中，令，则，
∴，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
④点A关于y轴对称的点为，
由点C、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，
∴当的值最小时，点P的坐标为，
故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②③④，一共4个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，解答本题的关键要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．38
【分析】本题主要考查一次函数关系；设，代入得出，再把代入计算即可．
【详解】解：设，
代入得：
，
解得：，
所以
∴当时，，
解得：，
故答案为：38．
10．
【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算，掌握交点的计算是关键．
根据题意得到点到点之间的整点有，结合题意得到点的横坐标的范围为，分别代入计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，顶点，且轴，
∴，
∴点到点之间的整点有，
∵线段上有3个整点（包含线段端点）时，即点的横坐标的范围为，
当，即点在直线上时，，
解得，，
当点，即点在直线上时，，
解得，，
∴的取值范围为，
故答案为： ．
11．/
【分析】本题主要考查一次函数的应用．理解题意，根据题意直接求解即可．
【详解】解：根据题意得：当时，
解得：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一次函数的实际应用；
由函数图象可知：慢车的速度为，快车的速度为，然后分别求出慢车对应的函数解析式及快车往返时对应的函数解析，分别联立函数解析式，求出两次相遇的时间，进而可得答案．
【详解】解：由函数图象可知：慢车的速度为，快车的速度为，
∴慢车对应的函数解析式为，
设快车从甲地去往乙地时对应的函数解析式为，
∵快车从甲地去往乙地时对应的函数图象经过点，
∴，
∴，
∴快车从甲地去往乙地时对应的函数解析式为，
同理可得：快车从乙地返回甲地时对应的函数解析式为，
联立，解得：，
联立，解得：，
∴两车先后两次相遇的间隔时间是，
故答案为：．
13．75
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
先由待定系数法求出函数解析式，再把为90欧代入解析式即可求解．
【详解】解：把和代入得：
，解得，
∴，
当为90欧时，，
解得：，
故答案为：75．
14． 或
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式．
当 时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，然后根据题意的高度差列方程求出时间值即可．
【详解】当时，，
∴点的坐标为，
由题意知点的坐标为，
设
将代入，得，
，
，
∴线段对应的函数表达式为：，
当号和号无人机飞行高度差为米时，得：，
解得：或，
∴在第或秒时，号和号无人机飞行高度差为米.
故答案为： ；或．
15．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识．首先建立平面直角坐标系，根据是的平分线，可知点的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标是，因为点是的中点，所以点的坐标可以表示为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可知，根据的取值范围可知当时，的长度最大，最大长度是．
【详解】解：如下图所示，以点为原点，所在直线为轴 ，建立平面直角坐标系，
，，
点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，
是的平分线，
，
，
点的坐标是，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标是，
点是的中点，
点的坐标是，
，
，
当时，最大，
最大值．
故答案为：
16．4750
【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设购买款簪花发卡个，则款簪花发卡，根据题意得到不等式，求出的取值范围，再设旅行团消费金额为元，根据题意得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
【详解】解：设购买款簪花发卡个，则款簪花发卡，
由题意得：，
解得：，
设旅行团消费金额为元，
则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，最小，为，
故答案为：4750．
17．(1)
(2)
(3)电热水袋一共加热了9分钟．
【分析】本题考查了函数图象，求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察图象信息，进行作答即可；
（2）先设解析式为，再把分别代入，解得，即可作答．
（3）依题意，把代入，解得的值，即可作答．
【详解】（1）解：观察图象，加热之前，即时，，
即加热之前，电热水袋的温度为，
故答案为：；
（2）解：依题意，设电热水袋温度与加热时间x（分钟）之间的函数表达式为，
把分别代入，
得，
解得，
∴，
（3）解：依题意，把代入，
得，
∴，
即电热水袋一共加热了9分钟．
18．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】(1)根据先确定一次函数的解析式，再确定函数与坐标轴的交点坐标，利用两点间距离公式解答即可．
(2) 设点C到的距离为h，得，根据解答即可．
(3)利用等腰三角形的定义，分类计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，与轴和轴分别相交于点．
∴，
解得，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：设点C到的距离为h，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）理由如下：
∵，，，
∴，
以C为圆心，以为半径画弧，交x轴于点，
则；
作点C关于y轴的对称点，也是符合题意的，此时；
作垂直平分线，交x轴于点，也是符合题意的，
设，
则，
解得，
此时；
综上所述，存在点Q，且分别为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法，等腰三角形的分类计算，勾股定理，线段垂直平分线的性质，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法，分类计算是解题的关键．
19．(1)，，；
(2)出发后，时间超过甲离地的距离大于乙离地的距离．
【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据函数图象即可求解；
（）分别求出甲离地的距离解析式为，乙离地的距离解析式为，然后根据题意得出，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，两地相距，甲骑行的速度是，乙骑行的速度是；
故答案为：，，；
（2）解：设解析式为，
把代入解析式得：，解得：，
∴甲离地的距离解析式为，
设解析式为，把，代入解析式得：
，解得：，
∴乙离地的距离解析式为，
∴，
解得，
答：出发后，时间超过min甲离地的距离大于乙离地的距离．
20．(1)；
(2)
(3)①点的坐标为；点的坐标为或或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据定义可得点的“友谊直线”的解析式为，再根据A、B坐标可得直线的解析式为，则直线的“友谊点”的坐标为．
（2）利用待定系数法得到直线解析式为，则的坐标为，点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可；
（3）①根据直线不经过第二象限，得到，则的值为2，由定义可得的坐标为，则点的坐标为．
②求出点的坐标为，点的坐标为，根据，得到，则，再分当为对角线时，，当为对角线时，当为对角线时， 三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，点的“友谊直线”的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的“友谊点”的坐标为．
（2）解：将代入，得，解得，
∴直线解析式为，
根据定义，的“友谊点”的坐标为，
∵两点关于轴对称，
∴点的坐标为，
将代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：①∵直线不经过第二象限，
∴，
解得，
又∵为整数，
∴的值为2，
根据题意，直线的“友谊点”的坐标为，
∴点的坐标为．
②当时，，
∴点的坐标为，
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∵直线不经过第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
21．(1)每个种娃娃的进价是10元，每个种娃娃的进价是8元
(2)购进80个种娃娃，120个种娃娃，最大总利润为120
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
（1）设每个A种娃娃的进价是x元，则每个B种娃娃的进价是元，根据购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即每个A种娃娃的进价），再将其代入中，即可求出每个B种娃娃的进价；
（2）设该商家购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，利用进货总价=进货单价×购进数量，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设这200个娃娃全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每个A种娃娃的销售利润×购进数量+每个B种娃娃的销售利润×购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价是元，每个种娃娃的进价是元，根据题意得：
，
解得：．
答：每个种娃娃的进价是10元，每个种娃娃的进价是8元；
（2）解：设购进个种娃娃，则购进个种娃娃，根据题意得：
，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为，此时（个）．
22．（1）见解析；（2）它们在同一条直线上；；（3）22厘米；（4）一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，画一次函数图象，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）根据表格中数据描点即可；
（2）用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）把代入函数解析式，求出y的值即可；
（4）把代入函数解析式，求出x的值，得出答案即可．
【详解】解：（1）描点如图所示：
（2）这些点在一条直线上．
设与之间的函数关系式为．
将点、代入，得：
，
解得：，
与之间的函数关系式为．
（3）把代入得：，
当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米．
（4）把代入得：，
解得：，
∴一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里．
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