湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
1．（2024高二下·张家界期末）样本数据的中位数是（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
2．（2024高二下·张家界期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·张家界期末）已知圆柱的轴截面为正方形，表面积为，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·张家界期末）已知函数，则“在上单调递增”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·张家界期末）在中，，为线段的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·张家界期末）已知在中，，，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·张家界期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·张家界期末）若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·张家界期末）已知复数满足，则（ ）
A．
B．
C．在复平面内对应的点位于第四象限
D．是纯虚数
10．（2024高二下·张家界期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值与最小值之差为1
B．在区间上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．若将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则是偶函数
11．（2024高二下·张家界期末）已知三棱柱的底面是正三角形，是棱的中点，，，，是棱上的动点，，是棱上的动点，且，则（ ）
A．平面
B．
C．该三棱柱的外接球的体积为
D．三棱锥的体积恒为
12．（2024高二下·张家界期末）已知非零向量，，若，则实数 .
13．（2024高二下·张家界期末）袋子中装有6个质地 大小均相同的球，其中有3个红球 2个绿球和1个蓝球，若从袋子中随机一次取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为 .
14．（2024高二下·张家界期末）记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 .
15．（2024高二下·张家界期末）甲 乙两名射击运动员进行射击比赛，每人要射击十次，他们前九次射击击中的环数如下表所示：
甲击中的环数
乙击中的环数
（1）求甲前九次射击击中的环数的平均数和方差；
（2）用甲 乙前九次射击击中环数的频率分布估计各自第十次射击击中环数的概率分布，且甲 乙每次射击相互独立，求甲 乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率.
16．（2024高二下·张家界期末）已知数列是递增数列，其前项和满足.
（1）证明：是等差数列；
（2）记，数列的前项和为，求.
17．（2024高二下·张家界期末）如图，在三棱锥中，和均为等腰直角三角形，为棱的中点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．
18．（2024高二下·张家界期末）已知椭圆的离心率为，左 右顶点分别为，，且过点.
（1）求的方程；
（2）若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和.
（i）若（为坐标原点），判断直线和的位置关系；
（ii）证明：直线经过轴上的定点.
19．（2024高二下·张家界期末）已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若的极大值为，求的取值范围；
（3）若，证明：当时，.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：将从小到大排列为：，
则这9个数的中位数为5.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和中位数的定义，从而得出样本数据的中位数.
2．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由不等式，
得，解得，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和对数型函数的单调性，从而得出集合A，再结合并集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】A
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由已知条件，可设圆柱底面半径为，
由圆柱的轴截面为正方形，可知圆柱的高，
所以圆柱的表面积，
所以，
则圆柱的体积为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和圆柱的表面积公式，从而得出圆柱底面的半径长，再结合圆柱的体积公式，从而得出圆柱的体积.
4．【答案】B
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：“在上单调递增”当且仅当，
则当且仅当，
所以“在上单调递增”的充要条件是.
故答案为：B.
【分析】由题意结合分段函数的单调性，从而列出关于的不等式组，进而解不等式组得出实数a的取值范围，再利用充要条件判断方法，从而找出正确的选项.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，
则，
又因为为线段的中点，
所以，
所以，
则，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据向量的线性运算和向量共线定理，从而可得的值，进而可得的值.
6．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由的面积为，
则，
又因为，且，
所以，，
由余弦定理可得，
则.
故答案为：D.
【分析】根据三角形面积公式和同角三角函数基本关系式以及三角形中角B的取值范围，从而可得角的三角函数值，再利用余弦定理得出AC的长.
7．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，
又因为，且，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
8．【答案】C
【知识点】五点法画三角函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：如图所示，画出在和的图象，
因为函数与的图象有且仅有4个交点，
则将的第4个，第5个与x轴交点向处移动即可，
则满足，
解得．
故答案为：C．
【分析】先画出两个函数的图象，再找出有4，5个交点临界状态的解，从而得出实数的取值范围.
9．【答案】B,C,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：由，得，
设，则，
所以，
所以，解得，
则，故A错误；
因为，故B正确；
又因为复数在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，故C正确；
因为为纯虚数，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念可得复数，再根据复数求模公式、复数的几何意义和纯虚数的定义，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】A,D
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为
，
则函数，，之差为，故A正确；
因为，
则区间上有增有减，故B错误；
将代入解析式得，，
则不是对称中心，故C错误；
将的图象向左平移个单位长度得到.
则，
则是偶函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】将函数通过恒等变换化为，再根据正弦型函数的最值求解方法，单调性判断方法，对称中心的求法，则可判断选项A、选项B和选项C；再运用正弦型函数的图象变换结合偶函数定义，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，
由三棱柱的底面是正三角形，，且是棱的中点，
则，
因为，，
，，
又因为，且，平面，
平面，故A正确；
因为平面，
所以，
由正三角形可知，，，平面，
则平面，
又因为平面，
所以，故B正确；
所以该三棱柱为正三棱柱，
则其外接球球心为中点，
又因为，则，，
所以，
则该三棱柱的外接球体积为，故C错误；
又因为正三棱柱可知平面，
则平面，
所以到平面的距离且，
所以三棱锥体积，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由勾股定理可证该三棱柱为正三棱柱，则判断出选项A；根据勾股定理判断出选项B；根据三棱柱外接球的定义可得外接球半径与体积，则判断出选项C；根据锥体的体积公式可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
则，
又因为，
所以，
又因为，
则，所以.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列出方程，从而解方程得出x的值.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设3个红球分别为：，2个绿球分别为：，一个蓝球为：，
则从袋子中随机一次取出2个球，样本空间为：
，
共15个基本事件；
事件“取出的2个球颜色不同”包含的基本事件有：
，共11个基本事件，
则所求概率为：.
故答案为：.
【分析】先根据题意写出基本事件，再结合古典概率公式得出取出的2个球颜色不同的概率.
14．【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：设t=min{y-x，z-y，1-z}，则t≤y-x，
所以2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，
三式累加可得：4t≤1+(y-2x) ≤1，所以t≤，
取
显然满足且，此时t=，
所以.
故答案为：.
【分析】假设最小值为t，从而得到2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，三式相加得出t≤，再判断得出t的最大值，从而得出的最大值.
15．【答案】（1）解：因为，
所以.
（2）解：由已知估计得甲第十次射击击中环数可能为，，，，
且概率分别为，，，；
乙第十次射击击中环数可能为，，，，且概率分别为，，，；
又因为甲前九次击中总环数为环，
乙前九次击中总环数为环，
所以，若甲 乙两人十次射击击中的环数之和相等，
则第十次射击甲击中的环数需比乙少环，
所以，概率.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和平均数公式、方差的公式，从而得出甲前九次射击击中的环数的平均数和方差.
（2）根据频率可分别估计甲、乙两人第十次击中环数，再根据独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出甲 乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率.
（1）由已知，
；
（2）由已知估计得甲第十次射击击中环数可能为，，，，且概率分别为，，，；
乙第十次射击击中环数可能为，，，，且概率分别为，，，；
又甲前九次击中总环数为环，乙前九次击中总环数为环，
所以若甲 乙两人十次射击击中的环数之和相等，
则第十次射击甲击中的环数需比乙少环，
概率.
16．【答案】（1）证明：当时，，解得，
当时，，
则，
则，
所以
又因为数列为递增数列，
所以，
故，
则，
所以，数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）解：由（1）得，
所以，
则
.
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据退一相减法结合等差数列定义，从而证出数列是等差数列.
（2）根据等差数列通项公式得出数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，再结合分组求和法得出数列的前项和.
（1）当时，，解得，
当时，，则，
即，即
又数列为递增数列，
所以，故，
即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
所以，
则
.
17．【答案】（1）证明：设，
因为和均为等腰直角三角形，且，
可得，
如图所示，取的中点，连接，
因为为的中点，
所以，且，
又因为，所以，
因为为等腰直角三角形，，
所以且，
所以是二面角的平面角，
因为，
所以，
所以，
所以平面平面.
（2）解：由（1）知两两垂直，
故以为原点，以所在的直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，所以，
由平面的一个法向量为，
可得，
设二面角的平面角的大小为，则，
所以，
则二面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）设，取的中点，先证出，再由得到是二面角的平面角，再结合证出平面平面.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而分别得出平面和平面的一个法向量和，再结合数量积求向量的夹角公式和同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的正弦值.
（1）证明：设，因为和均为等腰直角三角形，且，
可得，
如图所示，取的中点，连接，
因为为的中点，所以，且，
又因为，所以，
因为为等腰直角三角形，，所以且，
所以是二面角的平面角，
又由，所以，所以，
所以平面平面.
（2）解：由（1）知两两垂直，故以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量为，可得，
设二面角的平面角的大小为，即，
所以，即二面角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：由已知条件，设椭圆方程为，
因为椭圆离心率为，即，
所以椭圆方程为，
又因为椭圆过点，
所以，
则，，
所以椭圆方程为.
（2）（i）解：设，则，
因为，，
又因为，
所以，
则，
解得，
则，
所以，，
所以，
则直线和垂直.
（ii）证明：由椭圆的对称性可知当时，，不成立，
所以直线与轴不平行，
设，且，，
联立直线与椭圆，
得，
则，
则，，
因为，
所以，
则，
则，
化简可得，
则或，
当时，，
则，
又因为直线不过点，
所以，
所以，无解，
综上所述，，直线方程为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率可得，再代入点可得椭圆的标准方程.
（2）（i）设点，可得，则可得点d 坐标，从而确定的值，进而判断出直线和的位置关系.
（ii）设直线方程，再联立直线与椭圆方程，则结合韦达定理证出直线过定点.
（1）由已知设椭圆方程为，
又椭圆离心率为，即，
所以椭圆方程为，
又椭圆过点，
所以，则，，
所以椭圆方程为；
（2）（i）设，则，
又，，
因为，所以，
即，
解得，则，
即，，
所以，
即直线和垂直；
（ii）由椭圆的对称性可知当时，，不成立，
所以直线与轴不平行，设，且，，
联立直线与椭圆，
得，，
则，，
又，即，
即，
即，
化简可得，
则或，
又当时，，，
又因为直线不过点，所以，所以，无解，
综上所述，，直线方程为，
所以恒过轴上的定点.
19．【答案】（1）解：因为
当时，，
所以，曲线在点处的切线斜率为，
则切线方程是.
（2）解：若，
则对，有，
对，有，
则在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为，满足条件；
若，
则对，有，
对，有，
则在和上单调递增，
在上单调递减，
故的极大值为，满足条件；
若，则对，
有，
则在上单调递增，
故没有极大值，不满足条件；
若，则对，
有，
对，有，
则在和上单调递增，
在上单调递减，
故的极大值为，不满足条件，
综上所述，的取值范围是.
（3）证明：因为，，
所以存在正数使得，
则，
因为
所以，命题等价于证明，
又因为和始终不异号，
所以，
又因为，
则只需证明，
设，则
对，有；
对，有，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以
所以，，证毕.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（2）利用导数的正负分情况讨论函数单调性，则得出函数的极大值，再结合已知条件得出实数的取值范围.
（3）利用已知条件，将命题转化为证明，设，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而证出不等式当时，成立.
（1）我们有.
当时，.
所以曲线在点处的切线斜率为，从而切线方程是.
（2）若，则对有，对有.
从而在上递增，在上递减，故的极大值为，满足条件；
若，则对有，对有.
从而在和上递增，在上递减，故的极大值为，满足条件；
若，则对有，从而在上递增，故没有极大值，不满足条件；
若，则对有，对有.
从而在和上递增，在上递减，故的极大值为，不满足条件.
综上，的取值范围是.
（3）由于，，所以存在正数使得，从而.
我们有.
故命题等价于证明.
由于和始终不异号，故，而，故只需证明.
设，则.
而对有，对有.
故在上递减，在上递增.
所以.
这就得到了，证毕.
1 / 1湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
1．（2024高二下·张家界期末）样本数据的中位数是（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：将从小到大排列为：，
则这9个数的中位数为5.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和中位数的定义，从而得出样本数据的中位数.
2．（2024高二下·张家界期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由不等式，
得，解得，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和对数型函数的单调性，从而得出集合A，再结合并集的运算法则，从而得出集合.
3．（2024高二下·张家界期末）已知圆柱的轴截面为正方形，表面积为，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由已知条件，可设圆柱底面半径为，
由圆柱的轴截面为正方形，可知圆柱的高，
所以圆柱的表面积，
所以，
则圆柱的体积为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和圆柱的表面积公式，从而得出圆柱底面的半径长，再结合圆柱的体积公式，从而得出圆柱的体积.
4．（2024高二下·张家界期末）已知函数，则“在上单调递增”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：“在上单调递增”当且仅当，
则当且仅当，
所以“在上单调递增”的充要条件是.
故答案为：B.
【分析】由题意结合分段函数的单调性，从而列出关于的不等式组，进而解不等式组得出实数a的取值范围，再利用充要条件判断方法，从而找出正确的选项.
5．（2024高二下·张家界期末）在中，，为线段的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，
则，
又因为为线段的中点，
所以，
所以，
则，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据向量的线性运算和向量共线定理，从而可得的值，进而可得的值.
6．（2024高二下·张家界期末）已知在中，，，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由的面积为，
则，
又因为，且，
所以，，
由余弦定理可得，
则.
故答案为：D.
【分析】根据三角形面积公式和同角三角函数基本关系式以及三角形中角B的取值范围，从而可得角的三角函数值，再利用余弦定理得出AC的长.
7．（2024高二下·张家界期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，
又因为，且，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
8．（2024高二下·张家界期末）若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】五点法画三角函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：如图所示，画出在和的图象，
因为函数与的图象有且仅有4个交点，
则将的第4个，第5个与x轴交点向处移动即可，
则满足，
解得．
故答案为：C．
【分析】先画出两个函数的图象，再找出有4，5个交点临界状态的解，从而得出实数的取值范围.
9．（2024高二下·张家界期末）已知复数满足，则（ ）
A．
B．
C．在复平面内对应的点位于第四象限
D．是纯虚数
【答案】B,C,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：由，得，
设，则，
所以，
所以，解得，
则，故A错误；
因为，故B正确；
又因为复数在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，故C正确；
因为为纯虚数，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念可得复数，再根据复数求模公式、复数的几何意义和纯虚数的定义，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2024高二下·张家界期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值与最小值之差为1
B．在区间上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．若将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则是偶函数
【答案】A,D
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为
，
则函数，，之差为，故A正确；
因为，
则区间上有增有减，故B错误；
将代入解析式得，，
则不是对称中心，故C错误；
将的图象向左平移个单位长度得到.
则，
则是偶函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】将函数通过恒等变换化为，再根据正弦型函数的最值求解方法，单调性判断方法，对称中心的求法，则可判断选项A、选项B和选项C；再运用正弦型函数的图象变换结合偶函数定义，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
11．（2024高二下·张家界期末）已知三棱柱的底面是正三角形，是棱的中点，，，，是棱上的动点，，是棱上的动点，且，则（ ）
A．平面
B．
C．该三棱柱的外接球的体积为
D．三棱锥的体积恒为
【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，
由三棱柱的底面是正三角形，，且是棱的中点，
则，
因为，，
，，
又因为，且，平面，
平面，故A正确；
因为平面，
所以，
由正三角形可知，，，平面，
则平面，
又因为平面，
所以，故B正确；
所以该三棱柱为正三棱柱，
则其外接球球心为中点，
又因为，则，，
所以，
则该三棱柱的外接球体积为，故C错误；
又因为正三棱柱可知平面，
则平面，
所以到平面的距离且，
所以三棱锥体积，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由勾股定理可证该三棱柱为正三棱柱，则判断出选项A；根据勾股定理判断出选项B；根据三棱柱外接球的定义可得外接球半径与体积，则判断出选项C；根据锥体的体积公式可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高二下·张家界期末）已知非零向量，，若，则实数 .
【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
则，
又因为，
所以，
又因为，
则，所以.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列出方程，从而解方程得出x的值.
13．（2024高二下·张家界期末）袋子中装有6个质地 大小均相同的球，其中有3个红球 2个绿球和1个蓝球，若从袋子中随机一次取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设3个红球分别为：，2个绿球分别为：，一个蓝球为：，
则从袋子中随机一次取出2个球，样本空间为：
，
共15个基本事件；
事件“取出的2个球颜色不同”包含的基本事件有：
，共11个基本事件，
则所求概率为：.
故答案为：.
【分析】先根据题意写出基本事件，再结合古典概率公式得出取出的2个球颜色不同的概率.
14．（2024高二下·张家界期末）记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：设t=min{y-x，z-y，1-z}，则t≤y-x，
所以2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，
三式累加可得：4t≤1+(y-2x) ≤1，所以t≤，
取
显然满足且，此时t=，
所以.
故答案为：.
【分析】假设最小值为t，从而得到2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，三式相加得出t≤，再判断得出t的最大值，从而得出的最大值.
15．（2024高二下·张家界期末）甲 乙两名射击运动员进行射击比赛，每人要射击十次，他们前九次射击击中的环数如下表所示：
甲击中的环数
乙击中的环数
（1）求甲前九次射击击中的环数的平均数和方差；
（2）用甲 乙前九次射击击中环数的频率分布估计各自第十次射击击中环数的概率分布，且甲 乙每次射击相互独立，求甲 乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率.
【答案】（1）解：因为，
所以.
（2）解：由已知估计得甲第十次射击击中环数可能为，，，，
且概率分别为，，，；
乙第十次射击击中环数可能为，，，，且概率分别为，，，；
又因为甲前九次击中总环数为环，
乙前九次击中总环数为环，
所以，若甲 乙两人十次射击击中的环数之和相等，
则第十次射击甲击中的环数需比乙少环，
所以，概率.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和平均数公式、方差的公式，从而得出甲前九次射击击中的环数的平均数和方差.
（2）根据频率可分别估计甲、乙两人第十次击中环数，再根据独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出甲 乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率.
（1）由已知，
；
（2）由已知估计得甲第十次射击击中环数可能为，，，，且概率分别为，，，；
乙第十次射击击中环数可能为，，，，且概率分别为，，，；
又甲前九次击中总环数为环，乙前九次击中总环数为环，
所以若甲 乙两人十次射击击中的环数之和相等，
则第十次射击甲击中的环数需比乙少环，
概率.
16．（2024高二下·张家界期末）已知数列是递增数列，其前项和满足.
（1）证明：是等差数列；
（2）记，数列的前项和为，求.
【答案】（1）证明：当时，，解得，
当时，，
则，
则，
所以
又因为数列为递增数列，
所以，
故，
则，
所以，数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）解：由（1）得，
所以，
则
.
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据退一相减法结合等差数列定义，从而证出数列是等差数列.
（2）根据等差数列通项公式得出数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，再结合分组求和法得出数列的前项和.
（1）当时，，解得，
当时，，则，
即，即
又数列为递增数列，
所以，故，
即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
所以，
则
.
17．（2024高二下·张家界期末）如图，在三棱锥中，和均为等腰直角三角形，为棱的中点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：设，
因为和均为等腰直角三角形，且，
可得，
如图所示，取的中点，连接，
因为为的中点，
所以，且，
又因为，所以，
因为为等腰直角三角形，，
所以且，
所以是二面角的平面角，
因为，
所以，
所以，
所以平面平面.
（2）解：由（1）知两两垂直，
故以为原点，以所在的直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，所以，
由平面的一个法向量为，
可得，
设二面角的平面角的大小为，则，
所以，
则二面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）设，取的中点，先证出，再由得到是二面角的平面角，再结合证出平面平面.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而分别得出平面和平面的一个法向量和，再结合数量积求向量的夹角公式和同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的正弦值.
（1）证明：设，因为和均为等腰直角三角形，且，
可得，
如图所示，取的中点，连接，
因为为的中点，所以，且，
又因为，所以，
因为为等腰直角三角形，，所以且，
所以是二面角的平面角，
又由，所以，所以，
所以平面平面.
（2）解：由（1）知两两垂直，故以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量为，可得，
设二面角的平面角的大小为，即，
所以，即二面角的正弦值为.
18．（2024高二下·张家界期末）已知椭圆的离心率为，左 右顶点分别为，，且过点.
（1）求的方程；
（2）若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和.
（i）若（为坐标原点），判断直线和的位置关系；
（ii）证明：直线经过轴上的定点.
【答案】（1）解：由已知条件，设椭圆方程为，
因为椭圆离心率为，即，
所以椭圆方程为，
又因为椭圆过点，
所以，
则，，
所以椭圆方程为.
（2）（i）解：设，则，
因为，，
又因为，
所以，
则，
解得，
则，
所以，，
所以，
则直线和垂直.
（ii）证明：由椭圆的对称性可知当时，，不成立，
所以直线与轴不平行，
设，且，，
联立直线与椭圆，
得，
则，
则，，
因为，
所以，
则，
则，
化简可得，
则或，
当时，，
则，
又因为直线不过点，
所以，
所以，无解，
综上所述，，直线方程为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率可得，再代入点可得椭圆的标准方程.
（2）（i）设点，可得，则可得点d 坐标，从而确定的值，进而判断出直线和的位置关系.
（ii）设直线方程，再联立直线与椭圆方程，则结合韦达定理证出直线过定点.
（1）由已知设椭圆方程为，
又椭圆离心率为，即，
所以椭圆方程为，
又椭圆过点，
所以，则，，
所以椭圆方程为；
（2）（i）设，则，
又，，
因为，所以，
即，
解得，则，
即，，
所以，
即直线和垂直；
（ii）由椭圆的对称性可知当时，，不成立，
所以直线与轴不平行，设，且，，
联立直线与椭圆，
得，，
则，，
又，即，
即，
即，
化简可得，
则或，
又当时，，，
又因为直线不过点，所以，所以，无解，
综上所述，，直线方程为，
所以恒过轴上的定点.
19．（2024高二下·张家界期末）已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若的极大值为，求的取值范围；
（3）若，证明：当时，.
【答案】（1）解：因为
当时，，
所以，曲线在点处的切线斜率为，
则切线方程是.
（2）解：若，
则对，有，
对，有，
则在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为，满足条件；
若，
则对，有，
对，有，
则在和上单调递增，
在上单调递减，
故的极大值为，满足条件；
若，则对，
有，
则在上单调递增，
故没有极大值，不满足条件；
若，则对，
有，
对，有，
则在和上单调递增，
在上单调递减，
故的极大值为，不满足条件，
综上所述，的取值范围是.
（3）证明：因为，，
所以存在正数使得，
则，
因为
所以，命题等价于证明，
又因为和始终不异号，
所以，
又因为，
则只需证明，
设，则
对，有；
对，有，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以
所以，，证毕.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（2）利用导数的正负分情况讨论函数单调性，则得出函数的极大值，再结合已知条件得出实数的取值范围.
（3）利用已知条件，将命题转化为证明，设，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而证出不等式当时，成立.
（1）我们有.
当时，.
所以曲线在点处的切线斜率为，从而切线方程是.
（2）若，则对有，对有.
从而在上递增，在上递减，故的极大值为，满足条件；
若，则对有，对有.
从而在和上递增，在上递减，故的极大值为，满足条件；
若，则对有，从而在上递增，故没有极大值，不满足条件；
若，则对有，对有.
从而在和上递增，在上递减，故的极大值为，不满足条件.
综上，的取值范围是.
（3）由于，，所以存在正数使得，从而.
我们有.
故命题等价于证明.
由于和始终不异号，故，而，故只需证明.
设，则.
而对有，对有.
故在上递减，在上递增.
所以.
这就得到了，证毕.
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