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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第一章：特殊平行四边形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．（3分）下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．矩形的对角线相等
2．（3分）依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）
A．30° B．15° C．45° D．25°
4．（3分）如图，边长为2的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．+1 B．4－ C．8﹣4 D．﹣4+4
5．（3分）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G．若，，则AB的长为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（3分）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接、，则为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）两张全等的矩形（非正方形）纸片先后按如图①呈轴对称方式，按如图②呈中心对称方式放置在同一个正方形中，若知道图形①与图形④的面积差，则一定能求出（ ）
A．图形②与③的面积差 B．图形②与③的周长差
C．图形②与③的面积和 D．图形②与③的周长和
8．（3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
9．（3分）如图，在四边形中，，，，过点作，交于点．若，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（每小题3分 共15分）
11．（3分）如图，将长方形沿折叠，使点D落在边上的点F，若，则 °．
12．（3分）矩形的两条对角线，相交于点，已知，，则的周长是
13．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD=120°，AC=8cm，则菱形ABCD面积是 cm2．
15．（3分）如图，在菱形中， ， ，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是 ．
三、解答题（共55分）
16．（6分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由．
17．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．
18．（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O和原点重合，，，动点P从点O开始向点A运动，以CP为对称轴．把折叠，所得与矩形OABC重叠部分面积为y．
(1)当点恰好落在BC上时，求点P坐标；
(2)设，当时，求y关于t的函数关系式；
19．（8分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=60°，求∠E的度数．
20．（8分）在菱形中，，，连接交于点O，点E，F分别是的中点，连接．
(1)求线段的长；
(2)求证：四边形是平行四边形，并求四边形的面积．
21．（9分）在中，，.点D在的延长线上，，，连接，.，.
(1)求证：四边形是矩形；
(2)四边形能否为正方形？如能，请求出此时的值；如不能，也请说明理由.
22．（9分）如图所示是小华完成的尺规作图题，已知：矩形 ．
作法：①分别以点为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点；
②作直线 ；
③以点 为圆心，以 长为半径作弧，交直线 于点， 连接 ．
根据小华的尺规作图步骤，解决下列问题．
(1)填空： ．
(2)过点 作 ， 交直线于点．
①求证：四边形 是平行四边形；
②请直接写出平行四边形的面积和矩形 的面积的数量关系．
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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第一章：特殊平行四边形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．（3分）下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．矩形的对角线相等
解：A、平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项不符合题意；
B、平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意；
D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、由两个全等三角形组成的四边形，且根据勾股定理的逆定理可得有一个角是直角故可得四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意
C、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、不能证明是矩形，故该选项符合题意．故选：D．
3．（3分）如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）
A．30° B．15° C．45° D．25°
解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE=CD，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故选B．
4．（3分）如图，边长为2的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．+1 B．4－ C．8﹣4 D．﹣4+4
解：∵绕顶点A顺时针旋转45°，
∴∠D′CE=45°，
∴CD′=D′E，
∵ED′⊥AC，
∴∠CD′E=90°，
∵AC=，
∴CD′=，
∴正方形重叠部分的面积是×2×2-×（）（）=.
故选D.
5．（3分）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G．若，，则AB的长为（ ）
A．2 B． C． D．
解∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A= 90°，AE= 1，∠AFE= 30°
∴EF= 2，AF=，
∵正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，
EF= BF，
BF= 2，
∴AB= AF+ BF=2+，
故选：D．
6．（3分）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接、，则为（ ）
A． B． C． D．
解：是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，故选：D．
7．（3分）两张全等的矩形（非正方形）纸片先后按如图①呈轴对称方式，按如图②呈中心对称方式放置在同一个正方形中，若知道图形①与图形④的面积差，则一定能求出（ ）
A．图形②与③的面积差 B．图形②与③的周长差
C．图形②与③的面积和 D．图形②与③的周长和
解：设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a，
图形④的面积=（2x-a）（2y-a）=（4xy-2ax-2ay+a2），
图形①的面积=（x+y-a）（x+y-a）=（x2+y2+2xy+a2-2ax-2ay），
∴图形①与图形④的面积差=（x2+y2+2xy+a2-2ax-2ay）-（4xy-2ax-2ay+a2）=（x2+y2-2xy）=（x-y）2，
图形②的面积=（a-y）2=a2-2ay+y2，
图形③的面积=（a-x）2=a2-2ax+x2，
∴图形②与图形③的面积差=a2-2ay+y2-（a2-2ax+x2）=-2ay+y2+2ax-x2，
故A选项不符合题意；
图形②与图形③的面积和=a2-2ay+y2+（a2-2ax+x2）=2a2-2ay+y2-2ax+x2，
故C选项不符合题意；
图形②的周长=4（a-x），
图形③的周长=4（a-y），
∴图形②与图形③的周长和=4（a-x）+4（a-y）=8a-4y-4x，
故D选项不符合题意；
∴图形②与图形③的周长差=4（a-x）-4（a-y）=4（y-x），
又∵图形①与图形④的面积差=（x-y）2，为已知，即（x-y）为已知，
故B选项符合题意，
故选：B．
8．（3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，
∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH=AC，EF=BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
9．（3分）如图，在四边形中，，，，过点作，交于点．若，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
解：如图，作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴≌，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故选．
10．（3分）如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
解：正方形，
，，
等边，
，，
，
，
，
，故①正确；
，，
是等腰直角三角形，
，，
，故②正确；
连接交于点，则，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
正方形，
是等腰直角三角形，
，
，
，故③错误；
，
，故④正确；
，，
，故⑤正确；
其中正确的有①②④⑤，正确的个数为4．
故选：B．
二、填空题（每小题3分 共15分）
11．（3分）如图，将长方形沿折叠，使点D落在边上的点F，若，则 °．
解：由题意得：
∵
故答案为：70
12．（3分）矩形的两条对角线，相交于点，已知，，则的周长是
解：如图所示：矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，，，
，，
是等边三角形，
的周长是：15．
故答案为：15．
13．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．
解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∵∠AOB＝90°，AB＝2，
∴OE＝AE＝AB＝1，
∵BC＝1，四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，
∴DE＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OD＜OE＋DE，
∴当OD过点E时最大，最大值为＋1.
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD=120°，AC=8cm，则菱形ABCD面积是 cm2．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，OA=AC=4cm，OB=BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=8cm，
∴OB=（cm），
∴BD=2OB=8cm，
∴菱形ABCD的面积=AC BD=×8×8=32cm2．
15．（3分）如图，在菱形中， ， ，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是 ．
解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，
则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，则PE+PM=PE′+PM=E′M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，AC⊥BD，
∵AC=，BD=6，
∴AB==6，
由S菱形ABCD=AC BD=AB E′M得：
××6＝6E′M，
解得：E′M=，即PE+PM的最小值是.
故答案为：.
三、解答题（共55分）
16．（6分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由．
解：添加AB=BC，
∵四边形ABCD是对角线互相平分的四边形，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
17．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．
解：（1）△OEF是等腰三角形，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，∵点E，F分别是边AB，AD的中点，∴EO=AB，OF=AD，∴EO=FO，∴△OEF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=10，∴AO=5，∠AOB=90°，∴BO===12，∴BD=24，∵点E，F分别是边AB，AD的中点，∴EFBD，∴EF=12．
18．（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O和原点重合，，，动点P从点O开始向点A运动，以CP为对称轴．把折叠，所得与矩形OABC重叠部分面积为y．
(1)当点恰好落在BC上时，求点P坐标；
(2)设，当时，求y关于t的函数关系式；
（1）解：当点O′恰好落在BC上时，如图所示：
由折叠性质可知：∠COP=∠CO'P=90°，O'C=OC=2，
∴此时四边形OCO'P为正方形，
故OC=OP=2，
∴当点O′恰好落在BC上时，P坐标为（2，0）；
（2）解：当0＜t≤2时，如图所示：
OP=t，由折叠性质可知△COP≌△CO'P，
∴y=S△CO'P=S△COP=CO OP=×2×t=t，
当2＜t≤5时，如图所示：
由折叠性质可知：∠CPO=∠CPO'，PO=PO'=t，
∵CB∥OA，
∴∠DCP=CPO，
∴∠DCO=∠DPC，
∴DC=DP，
设CD=a，则DP=a，O'D=t-a，
在Rt△CO'D中，CO'2+O'D2=CD2，
∴22+（t-a）2=a2，
解得：a=，
∴y=S△CDP=CD CO′=，
综上所述：．
19．（8分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=60°，求∠E的度数．
解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=60°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=60°，即∠E=30°．
20．（8分）在菱形中，，，连接交于点O，点E，F分别是的中点，连接．
(1)求线段的长；
(2)求证：四边形是平行四边形，并求四边形的面积．
（1）解：根据菱形的性质，，
，，
是一个含有角的直角三角形，
，
∴，
∴，
E，F分别是AB，AD的中点，
是的中位线，
．
（2）解：由（1）知，是的中位线，
∴，
∵，
四边形EBOF是平行四边形，
如下图可知，是平行四边形EBOF的高，
是的中位线，
，
．
21．（9分）在中，，.点D在的延长线上，，，连接，.，.
(1)求证：四边形是矩形；
(2)四边形能否为正方形？如能，请求出此时的值；如不能，也请说明理由.
（1）证明：∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：四边形能为正方形，理由如下：
∵点D在的延长线上，
∴当时，四边形正方形，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：四边形是矩形，
∴矩形是正方形；
过点A作于点H，如图所示：
∴，
设，
在中，，
∴，则，
在中，由勾股定理得：，
∵当时，四边形正方形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
22．（9分）如图所示是小华完成的尺规作图题，已知：矩形 ．
作法：①分别以点为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点；
②作直线 ；
③以点 为圆心，以 长为半径作弧，交直线 于点， 连接 ．
根据小华的尺规作图步骤，解决下列问题．
(1)填空： ．
(2)过点 作 ， 交直线于点．
①求证：四边形 是平行四边形；
②请直接写出平行四边形的面积和矩形 的面积的数量关系．
（1）解：根据作图可得，是线段的垂直平分线，，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
①∵是的垂直平分线，
∴，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形；
②如图所示，设与交于点，
∴，
∴平行四边形的面积为，
矩形的面积为，
∴．
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