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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第二章：一元二次方程
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
①；②；③；④.
A．①③④ B．①④ C．①③ D．③④
解：①是一元二次方程；
②，含有两个未知数，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程；
③是一元二次方程；
④是一元二次方程；
∴①③④是一元二次方程，
故选A．
2．（3分）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．﹣3，﹣5 B．3，﹣5 C．3，5 D．﹣3，5
解：化为一元二次方程的一般形式，
一次项系数、常数项分别是 ，．故选：A．
3．（3分）如果是关于的一元二次方程的根，则的值为（ ）
A．4 B．1 C． D．
解：是一元二次方程的一个根，
，解得：，故选：D．
4．（3分）如图是某公司去年8~12月份生产成本统计图，设9~11月每个月生产成本的下降率都为，根据图中信息，得到所满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
解：设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：，
故选：C．
5．（3分）某班级前年“五一”将勤工俭学挣得的班费中2000元按一年定期存入银行，去年“五一”到期后取出1000元捐给“希望工程”，将剩下的1000元与利息继续按一年定期存入该银行（年利率不变），今年“五一”全部捐给了母校，且今年“五一”到期后取得本息和1107.45元．若该银行一年定期存款的年利率是x（本金×利率×期数＝利息，本息和＝本金+利息），则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：根据题意得[2000（1+x）-1000]（1+x）=1107.45，
即．
故选D．
6．（3分）已知是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．2
解：把x＝代入方程x2﹣2x+c＝0，得
（）2﹣2×+c＝0，
所以c＝6﹣3＝3．
故选：B．
7．（3分）为改善城市容貌，绿化环境，某市计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）
A． B． C． D．
解：设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去），
故选：B．
8．（3分）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
解：依题意得：
时，则，
方程有实根，
时，，
解得．
综上所述： ．
故选：B．
9．（3分）方程的两根为，则=（ ）
A．-18 B．18 C．9 D．0
解:由题意可知：x1＋x2＝ 9，x1x2＝9，
∴原式＝ 9+9＝0，
故选：D．
10．（3分）如图，点，分别在，轴的正半轴上，始终保持，以为边向右上方作正方形，，交于点，连接．①直线的函数表达式为，②的取值范围是；③若点的坐标为时，则；④连接，则的最大值为；⑤四边形面积的最大值为18．上述结论正确的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解：如图，过P作轴于M，轴于N，则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵在正方形中中，，交于点，，
∴，，
∴,
∴，
∴，
由题意，点P在第一象限，
设，则，
设直线的函数表达式为，
将代入，得，则，
∴直线的函数表达式为，故①正确；
取的中点，连接、，则，
∵，
∴，
∵，当且仅当O、Q、P共线时取等号，
即，故②错误；
∵四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵B点的坐标为，
∴，则，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴，故③正确；
∵，，，
∴，
∵，当O、Q、D共线时取等号，
∴的最大值为，故④正确；
∵，
∴，
∴四边形面积等于正方形的面积，
∵，，
∴，即的最大值为，
∴正方形的最大面积为，
即四边形面积的最大值为18，故⑤正确，
综上，正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
二、填空题（每小题3分 共15分）
11．（3分）一元二次方程的一般形式是 ．
解：∵一元二次方程可化为，
∴化为一元二次方程的一般形式为．
故答案为：
12．（3分）已知，且，则 ．
解
(7x 5y)(x y)=0，
7x 5y=0，x y=0，
∵xy≠0，
当时，
当x=y时,
故答案为或1.
13．（3分）若，是方程的两根，则的值为 ．
解：∵，是方程的两根，
∴，
∴
，
故答案为：．
14．（3分）若（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2= ．
解：（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣8=0，
（a2+b2﹣4）（a2+b2+2）=0，
所以a2+b2﹣4=0，
所以a2+b2=4．
15．（3分）设，是方程的两个实数根，则的值是 ．
解∵一元二次方程的两个根分别为，，
∴，，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共55分）
16．（6分）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？
解：设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为元时，公司每天可获利元．
17．（7分）（1）计算：；
（2）解方程：．
解：（1）原式
；
（2），
，
或，
所以，．
18．（8分）解方程：
(1)x2-7x-1=0
(2)（2x-1）2=（3-x）2
解（1）x2-7x-1=0
，
（2）（2x-1）2=（3-x）2
即
19．（8分）已知关于的一元二次方程．
若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
若方程的一个根为，求出的值及方程的另一个根．
解根据题意得，
解得；
把代入方程得，
解得或，
当时，方程变形为，
解得，即方程的另一个根为；
当时，方程变形为，
解得，，即方程的另一个根为．
20．（8分）已知α，β是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若，试求的值．
解（1）一元二次方程的两个不相等的实数根
即
解得：；
（2）∵α，β是关于x的一元二次方程两根，
，，
即
解得
故的值为．
21．（9分）已知关于x的方程．
(1)若此方程有两个不相等的实数根，求a的范围；
(2)在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．
（1）解：∵关于x的方程，有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴最小整数解，
∴，
解得：，．
22．（9分）如图，计划利用长为a米的篱笆，再借助外墙围成一个矩形栅栏，设矩形的边长为x米，面积为y平方米.
(1)若，墙长为米，求出y与x之间的关系，并指出x的取值范围；
(2)在（1）的条件下，矩形的面积能达到平方米吗？说明理由；
(3)当x与a满足什么关系时，栅栏围出的面积最大？最大值是多少？
（1）解：由题意可得，
，且，
∴；
（2）解：假设矩形的面积能达到平方米，则有，
，解得：（符合题意），
∴假设成立，当时，矩形的面积能达到平方米；
（3）解：由（1）得，
，
∵，
∴当时，y最大，；
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第二章：一元二次方程
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
①；②；③；④.
A．①③④ B．①④ C．①③ D．③④
2．（3分）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．﹣3，﹣5 B．3，﹣5 C．3，5 D．﹣3，5
3．（3分）如果是关于的一元二次方程的根，则的值为（ ）
A．4 B．1 C． D．
4．（3分）如图是某公司去年8~12月份生产成本统计图，设9~11月每个月生产成本的下降率都为，根据图中信息，得到所满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）某班级前年“五一”将勤工俭学挣得的班费中2000元按一年定期存入银行，去年“五一”到期后取出1000元捐给“希望工程”，将剩下的1000元与利息继续按一年定期存入该银行（年利率不变），今年“五一”全部捐给了母校，且今年“五一”到期后取得本息和1107.45元．若该银行一年定期存款的年利率是x（本金×利率×期数＝利息，本息和＝本金+利息），则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）已知是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．2
7．（3分）为改善城市容貌，绿化环境，某市计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
9．（3分）方程的两根为，则=（ ）
A．-18 B．18 C．9 D．0
10．（3分）如图，点，分别在，轴的正半轴上，始终保持，以为边向右上方作正方形，，交于点，连接．①直线的函数表达式为，②的取值范围是；③若点的坐标为时，则；④连接，则的最大值为；⑤四边形面积的最大值为18．上述结论正确的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分 共15分）
11．（3分）一元二次方程的一般形式是 ．
12．（3分）已知，且，则 ．
13．（3分）若，是方程的两根，则的值为 ．
14．（3分）若（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2= ．
15．（3分）设，是方程的两个实数根，则的值是 ．
三、解答题（共55分）
16．（6分）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？
17．（7分）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（8分）解方程：
(1)x2-7x-1=0
(2)（2x-1）2=（3-x）2
19．（8分）已知关于的一元二次方程．
若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
若方程的一个根为，求出的值及方程的另一个根．
20．（8分）已知α，β是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若，试求的值．
21．（9分）已知关于x的方程．
(1)若此方程有两个不相等的实数根，求a的范围；
(2)在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．
22．（9分）如图，计划利用长为a米的篱笆，再借助外墙围成一个矩形栅栏，设矩形的边长为x米，面积为y平方米.
(1)若，墙长为米，求出y与x之间的关系，并指出x的取值范围；
(2)在（1）的条件下，矩形的面积能达到平方米吗？说明理由；
(3)当x与a满足什么关系时，栅栏围出的面积最大？最大值是多少？
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