（教研室的资料）湖南省岳阳市湘阴县2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
1．（2024高一下·湘阴期末）设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，则共轭复数为在复平面内对应的点为，位于第三象限．
故答案为：C．
【分析】求共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可.
2．（2024高一下·湘阴期末）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，可得，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用向量的数量积运算求解即可.
3．（2024高一下·湘阴期末）已知两条不同的直线m 和两个不同的平面，下列命题是真命题的为（ ）
A．若m，⊥m，则⊥α
B．若β，⊥，，则⊥m
C．若m，⊥，则m⊥
D．若m，，则m
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若m，⊥m，则或l与α相交但不垂直，故A为假命题；
B、若β，⊥，，则则，，故B为真命题；
C、若m，⊥，则m或m⊥或m与β相交但不垂直，或者m∥β，故C为假命题；
D、若m，，则m或m，故D为假命题.
故答案为：B.
【分析】根据空间里面线线、线面、面面的位置关系逐项判断即可.
4．（2024高一下·湘阴期末）下列统计量中可用于度量样本离散程度的有（ ）
A．的标准差 B．的中位数
C．的众数 D．的平均数
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对数值型数据集中趋势的描述，可以用平均数和中位数；
平均数 众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势；
对分类型数据集中趋势的描述，可以用众数；
方差 标准差和极差均是度量样本数据离散程度的数字特征.
故答案为：A.
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差和标准差的性质判断即可.
5．（2024高一下·湘阴期末）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695
1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知：0～5的整数恰出现3次的四位数有16组，则四天中恰有三天下雨的概率的估计值为.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用古典概型概率公式求解即可.
6．（2024高一下·湘阴期末）已知集合，，若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：集合，，
若， 则或，即或，
当时，集合；当时，.
故答案为：C.
【分析】利用集合包含关系求的值即可.
7．（2024高一下·湘阴期末）若非零向量与满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：表示与向量同向的单位向量，
因为，所以的角平分线与BC垂直，则，
又因为，所以，
又因为，所以，则是等边三角形.
故答案为：D.
【分析】由题意可得的角平分线与BC垂直，推出是等腰三角形，根据向量的数量积公式求角A，判断三角形的形状即可.
8．（2024高一下·湘阴期末）将函数图象上各点横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位得到曲线．若曲线的图象关于原点对称，则函数的一条对称轴可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：曲线：，
因为曲线的图象关于原点对称，所以，解得，
又因为，所以，则函数，
令，，解得，，
即函数的对称轴为，，当时，.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求得曲线的解析式，再根据奇偶性求出，最后根据余弦函数的性质计算即可.
9．（2024高一下·湘阴期末）已知是虚数单位，则下列说法正确的有（ ）.
A．
B．“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件
C．若复数，且，则
D．若复数满足，则复数的虚部为-2
【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；虚数单位i及其性质；复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、由，可得，故A正确；
B、复数为纯虚数，则即必要性成立；
当时，为实数，即充分性不成立，
则“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件，故B正确；
C、若复数，且， 则，解得，故C错误；
D、 设复数，则，
则，故，解得，
即，其虚部为-2，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据周期性得到即可判断A；举出反例得到充分性不成立，再根据纯虚数的定义得到必要性成立即可判断B；根据复数模长公式公式列出方程，求出即可判断C；设，化简后根据复数相等得到方程组，求出，即可判断D.
10．（2024高一下·湘阴期末）下列运算结果正确的是（ ）.
A．已知，若，则
B．已知点，则向量在方向上的投影数量为
C．已知向量，若，则
D．向量不共线，点在线段上，且，则
【答案】A,B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、，若，则，解得，故A正确；
B、由，可得，，
则，故B正确；
C、向量，则，，
若，则，解得，故C正确；
D、由，可得，
即，因为向量不共线，点在线段上，
所以，解得，则，
即点在线段靠近点的三等分点上，符合要求，故D正确.
故答案为：ABCD.
【分析】利用向量共线的坐标运算即可判断A；求向量、向量坐标形式后，借助投影向量定义计算即可判断B；利用向量线性运算与向量垂直性质计算即可判断C；利用向量线性运算与基本定理计算即可判断D.
11．（2024高一下·湘阴期末）已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，
则（ ）
A．任意，
B．存在，直线与直线相交
C．平面与底面交线长为定值
D．当时，三棱锥外接球表面积为
【答案】A,C
【知识点】棱柱的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；异面直线的判定
【解析】【解答】解：A、因为，，，，平面，
所以平面，又因为平面，所以，故A正确；
B、因为平面，平面，所以平面，则与异面，故B错误；
C、延长，交于点，连接交于，如图所示：
因为为中点，，所以，所以，
所以，
平面平面，平面与底面交线为，
其中为中点，则，故C正确；
D、，是直角三角形，外接圆是以为直径的圆，如图所示：
圆心设为，半径，
取中点，则平面，，则，解得，
，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】由题意可得平面，从而可得，即可判断A；根据异面直线的定义即可判断B；根据题意找出交线，求出交线长即可判断C；根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，求表面积即可判断D.
12．（2024高一下·湘阴期末）已知点，()，试求当点在第三象限时，的取值范围 ．
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：设点，
易知，
因为，则，
即，解得，
因为点在第三象限，所以，解得，则的取值范围为.
故答案为：.
【分析】设点，利用坐标运算用表示，结合点在第三象限可得的不等式组，解不等式组即可．
13．（2024高一下·湘阴期末）图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为 .
【答案】.
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上，
过点，分别作，的垂线，垂足分别为，如图（2）所示：
设球的半径为r，球的半径为，
由，，可得，，
则，即.
故答案为：.
【分析】利用球与球以及球与正方体间的关系，作出截面图将空间问题转化为平面问题求解即可.
14．（2024高一下·湘阴期末）某商场举行有奖促销活动，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖 一等奖 二等奖的事件分别为，则1张奖券的中奖概率为 .
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：记事件“张奖券中奖”，事件两两互斥，且，
，，，
则，
即1张奖券的中奖概率为.
故答案为：.
【分析】根据古典概型及互斥事件的概率公式计算即可.
15．（2024高一下·湘阴期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）求在R上的解析式；
（2）判断的单调性，并解不等式．
【答案】（1）解：当时，，则，
因为函数是奇函数，所以，所以，
又因为函数定义在上的奇函数，所以，
则；
（2）解：由（1）得函数，
当时，函数单调递增，
又因为函数是定义在R上的奇函数，所以在上是单调增函数，
不等式，转化为，
则，即，解得或，
即不等式的解集为或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意，根据奇函数的定义求解即可；
（2）先判断时，函数单调性，从而得到在上是单调性，结合奇函数性质即可将表达式等价转换，解一元二次不等式即可.
（1）设，则，当时，，
因为，所以，即，
又，所以，
所以；
（2）时，单调递增，
又因为函数是定义在R上的奇函数，
所以在上是单调增函数，
不等式可化为，
所以，即，解得或.
所以不等式的解集为或.
16．（2024高一下·湘阴期末）如图所示，平行四边形的边所在的直线与菱形所在的平面垂直，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，______，求二面角的余弦值，从①，②这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题.
【答案】证明：（1）因为，所以，即为等边三角形，
又因为，所以为中点，，所以，
又因为平面，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）选① 由（1）知平面，
因为，，，所以平面平面，所以平面，
因为平面，平面，所以，，
则即为二面角的平面角，
因为，，所以，所以，
则，即二面角的余弦值为；
选② 由（1）知平面，
因为，，，所以平面平面，所以平面，
因为平面，平面，所以，，
即即为二面角的平面角，
因为，，所以，所以，
则，即二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）由题意，利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）由题意，先推出即为二面角的平面角，据此求解即可.
17．（2024高一下·湘阴期末）在中，角的对边分别为，且
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：，
则，即，即，
因为，所以；
（2）解：若，，由正弦定理，可得，
因为，所以，则，
由余弦定理可得：，解得，
则.
【知识点】两角和与差的余弦公式；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用三角形内角和，结合两角和的余弦公式计算即可；
（2）利用正弦定理可得，再借助余弦定理可得，最后三角形面积公式代入计算即可.
（1）由，
得，
则，即，又，则；
（2）由正弦定理，有，所以，
由题知，则，故，
根据余弦定理，有，解得或（舍去），
.
18．（2024高一下·湘阴期末）某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在生产线上抽取了个零件并称出它们的重量（单位：克）．重量按照，，…，分组，得到频率分布直方图如图所示．
（1）估计该工厂生产的零件重量的平均数；（每组数据用该组的中点值作代表）
（2）估计该工厂生产的零件重量的分位数；
（3）按各组零件数量比例用分层随机抽样方法从样本里重量不低于克的零件中抽取个零件，再从这个零件中任取个，求这个零件的重量均在内的概率．
【答案】解：（1）由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得，解得，
则各个小组的频率分别为，，，，，
估计该工厂生产的零件重量的平均数约为；
（2）设分位数为，
因为前三组频率和为，前四组频率和为，所以，
所以，解得，故该工厂生产的零件重量的分位数为；
（3）由条件知：个零件中，重量在内的零件个数为，分别记为；重量在内的零件个数为，记为，
从中随机抽取个，样本空间为，则，
设“这个零件的重量均在内”为事件，
则，则，
故．
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各矩形面积和为，列式求得，再根据频率分布直方图估计平均数的方法直接求解即可；
（2）由频率可知分位数，由此构造方程求解即可；
（3）采用列举法可得样本空间，并确定符合题意的基本事件个数，由古典概型概率公式求解即可.
19．（2024高一下·湘阴期末）党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；
（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；
（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，
方案一：每满80元可立减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.
【答案】解：（1）由图可知，消费金额在“水果达人”的人数为：人，
消费金额在“水果达人”的人数为：人，
分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，这5人中消费金额不低于100元的人数为：人；
（2）由（1）得，
消费金额在的3个“水果达人”记为，，，
消费金额在的2个“水果达人”记为，，
所有基本事件有：，，，，，，，，，共种，2人中至少有1人购买金额不低于100元的有种，
则 2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率为；
（3）依题可知该游客要购买110元的水果，
若选择方案一，则需支付元，
若选择方案二，则需支付元，
所以应该选择方案二更优惠.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用分层抽样求解即可；
（2）由（1）可知抽取的5人中消费金额在的有3人，分别记为，，，消费金额在的有2人，记为，，即可列出所有的基本事件共有10种，其中满足条件的有7种，利用古典概型概率公式求解即可；
（3）由题意可得该游客要购买110元水果，分别计算两种方案所需支付金额即可.
1 / 1（教研室的资料）湖南省岳阳市湘阴县2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
1．（2024高一下·湘阴期末）设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·湘阴期末）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024高一下·湘阴期末）已知两条不同的直线m 和两个不同的平面，下列命题是真命题的为（ ）
A．若m，⊥m，则⊥α
B．若β，⊥，，则⊥m
C．若m，⊥，则m⊥
D．若m，，则m
4．（2024高一下·湘阴期末）下列统计量中可用于度量样本离散程度的有（ ）
A．的标准差 B．的中位数
C．的众数 D．的平均数
5．（2024高一下·湘阴期末）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695
1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·湘阴期末）已知集合，，若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或
7．（2024高一下·湘阴期末）若非零向量与满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
8．（2024高一下·湘阴期末）将函数图象上各点横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位得到曲线．若曲线的图象关于原点对称，则函数的一条对称轴可以为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·湘阴期末）已知是虚数单位，则下列说法正确的有（ ）.
A．
B．“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件
C．若复数，且，则
D．若复数满足，则复数的虚部为-2
10．（2024高一下·湘阴期末）下列运算结果正确的是（ ）.
A．已知，若，则
B．已知点，则向量在方向上的投影数量为
C．已知向量，若，则
D．向量不共线，点在线段上，且，则
11．（2024高一下·湘阴期末）已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，
则（ ）
A．任意，
B．存在，直线与直线相交
C．平面与底面交线长为定值
D．当时，三棱锥外接球表面积为
12．（2024高一下·湘阴期末）已知点，()，试求当点在第三象限时，的取值范围 ．
13．（2024高一下·湘阴期末）图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为 .
14．（2024高一下·湘阴期末）某商场举行有奖促销活动，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖 一等奖 二等奖的事件分别为，则1张奖券的中奖概率为 .
15．（2024高一下·湘阴期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）求在R上的解析式；
（2）判断的单调性，并解不等式．
16．（2024高一下·湘阴期末）如图所示，平行四边形的边所在的直线与菱形所在的平面垂直，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，______，求二面角的余弦值，从①，②这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题.
17．（2024高一下·湘阴期末）在中，角的对边分别为，且
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
18．（2024高一下·湘阴期末）某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在生产线上抽取了个零件并称出它们的重量（单位：克）．重量按照，，…，分组，得到频率分布直方图如图所示．
（1）估计该工厂生产的零件重量的平均数；（每组数据用该组的中点值作代表）
（2）估计该工厂生产的零件重量的分位数；
（3）按各组零件数量比例用分层随机抽样方法从样本里重量不低于克的零件中抽取个零件，再从这个零件中任取个，求这个零件的重量均在内的概率．
19．（2024高一下·湘阴期末）党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；
（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；
（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，
方案一：每满80元可立减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，则共轭复数为在复平面内对应的点为，位于第三象限．
故答案为：C．
【分析】求共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可.
2．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，可得，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用向量的数量积运算求解即可.
3．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若m，⊥m，则或l与α相交但不垂直，故A为假命题；
B、若β，⊥，，则则，，故B为真命题；
C、若m，⊥，则m或m⊥或m与β相交但不垂直，或者m∥β，故C为假命题；
D、若m，，则m或m，故D为假命题.
故答案为：B.
【分析】根据空间里面线线、线面、面面的位置关系逐项判断即可.
4．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对数值型数据集中趋势的描述，可以用平均数和中位数；
平均数 众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势；
对分类型数据集中趋势的描述，可以用众数；
方差 标准差和极差均是度量样本数据离散程度的数字特征.
故答案为：A.
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差和标准差的性质判断即可.
5．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知：0～5的整数恰出现3次的四位数有16组，则四天中恰有三天下雨的概率的估计值为.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用古典概型概率公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：集合，，
若， 则或，即或，
当时，集合；当时，.
故答案为：C.
【分析】利用集合包含关系求的值即可.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：表示与向量同向的单位向量，
因为，所以的角平分线与BC垂直，则，
又因为，所以，
又因为，所以，则是等边三角形.
故答案为：D.
【分析】由题意可得的角平分线与BC垂直，推出是等腰三角形，根据向量的数量积公式求角A，判断三角形的形状即可.
8．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：曲线：，
因为曲线的图象关于原点对称，所以，解得，
又因为，所以，则函数，
令，，解得，，
即函数的对称轴为，，当时，.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求得曲线的解析式，再根据奇偶性求出，最后根据余弦函数的性质计算即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；虚数单位i及其性质；复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、由，可得，故A正确；
B、复数为纯虚数，则即必要性成立；
当时，为实数，即充分性不成立，
则“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件，故B正确；
C、若复数，且， 则，解得，故C错误；
D、 设复数，则，
则，故，解得，
即，其虚部为-2，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据周期性得到即可判断A；举出反例得到充分性不成立，再根据纯虚数的定义得到必要性成立即可判断B；根据复数模长公式公式列出方程，求出即可判断C；设，化简后根据复数相等得到方程组，求出，即可判断D.
10．【答案】A,B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、，若，则，解得，故A正确；
B、由，可得，，
则，故B正确；
C、向量，则，，
若，则，解得，故C正确；
D、由，可得，
即，因为向量不共线，点在线段上，
所以，解得，则，
即点在线段靠近点的三等分点上，符合要求，故D正确.
故答案为：ABCD.
【分析】利用向量共线的坐标运算即可判断A；求向量、向量坐标形式后，借助投影向量定义计算即可判断B；利用向量线性运算与向量垂直性质计算即可判断C；利用向量线性运算与基本定理计算即可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】棱柱的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；异面直线的判定
【解析】【解答】解：A、因为，，，，平面，
所以平面，又因为平面，所以，故A正确；
B、因为平面，平面，所以平面，则与异面，故B错误；
C、延长，交于点，连接交于，如图所示：
因为为中点，，所以，所以，
所以，
平面平面，平面与底面交线为，
其中为中点，则，故C正确；
D、，是直角三角形，外接圆是以为直径的圆，如图所示：
圆心设为，半径，
取中点，则平面，，则，解得，
，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】由题意可得平面，从而可得，即可判断A；根据异面直线的定义即可判断B；根据题意找出交线，求出交线长即可判断C；根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，求表面积即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：设点，
易知，
因为，则，
即，解得，
因为点在第三象限，所以，解得，则的取值范围为.
故答案为：.
【分析】设点，利用坐标运算用表示，结合点在第三象限可得的不等式组，解不等式组即可．
13．【答案】.
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上，
过点，分别作，的垂线，垂足分别为，如图（2）所示：
设球的半径为r，球的半径为，
由，，可得，，
则，即.
故答案为：.
【分析】利用球与球以及球与正方体间的关系，作出截面图将空间问题转化为平面问题求解即可.
14．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：记事件“张奖券中奖”，事件两两互斥，且，
，，，
则，
即1张奖券的中奖概率为.
故答案为：.
【分析】根据古典概型及互斥事件的概率公式计算即可.
15．【答案】（1）解：当时，，则，
因为函数是奇函数，所以，所以，
又因为函数定义在上的奇函数，所以，
则；
（2）解：由（1）得函数，
当时，函数单调递增，
又因为函数是定义在R上的奇函数，所以在上是单调增函数，
不等式，转化为，
则，即，解得或，
即不等式的解集为或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意，根据奇函数的定义求解即可；
（2）先判断时，函数单调性，从而得到在上是单调性，结合奇函数性质即可将表达式等价转换，解一元二次不等式即可.
（1）设，则，当时，，
因为，所以，即，
又，所以，
所以；
（2）时，单调递增，
又因为函数是定义在R上的奇函数，
所以在上是单调增函数，
不等式可化为，
所以，即，解得或.
所以不等式的解集为或.
16．【答案】证明：（1）因为，所以，即为等边三角形，
又因为，所以为中点，，所以，
又因为平面，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）选① 由（1）知平面，
因为，，，所以平面平面，所以平面，
因为平面，平面，所以，，
则即为二面角的平面角，
因为，，所以，所以，
则，即二面角的余弦值为；
选② 由（1）知平面，
因为，，，所以平面平面，所以平面，
因为平面，平面，所以，，
即即为二面角的平面角，
因为，，所以，所以，
则，即二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）由题意，利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）由题意，先推出即为二面角的平面角，据此求解即可.
17．【答案】（1）解：，
则，即，即，
因为，所以；
（2）解：若，，由正弦定理，可得，
因为，所以，则，
由余弦定理可得：，解得，
则.
【知识点】两角和与差的余弦公式；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用三角形内角和，结合两角和的余弦公式计算即可；
（2）利用正弦定理可得，再借助余弦定理可得，最后三角形面积公式代入计算即可.
（1）由，
得，
则，即，又，则；
（2）由正弦定理，有，所以，
由题知，则，故，
根据余弦定理，有，解得或（舍去），
.
18．【答案】解：（1）由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得，解得，
则各个小组的频率分别为，，，，，
估计该工厂生产的零件重量的平均数约为；
（2）设分位数为，
因为前三组频率和为，前四组频率和为，所以，
所以，解得，故该工厂生产的零件重量的分位数为；
（3）由条件知：个零件中，重量在内的零件个数为，分别记为；重量在内的零件个数为，记为，
从中随机抽取个，样本空间为，则，
设“这个零件的重量均在内”为事件，
则，则，
故．
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各矩形面积和为，列式求得，再根据频率分布直方图估计平均数的方法直接求解即可；
（2）由频率可知分位数，由此构造方程求解即可；
（3）采用列举法可得样本空间，并确定符合题意的基本事件个数，由古典概型概率公式求解即可.
19．【答案】解：（1）由图可知，消费金额在“水果达人”的人数为：人，
消费金额在“水果达人”的人数为：人，
分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，这5人中消费金额不低于100元的人数为：人；
（2）由（1）得，
消费金额在的3个“水果达人”记为，，，
消费金额在的2个“水果达人”记为，，
所有基本事件有：，，，，，，，，，共种，2人中至少有1人购买金额不低于100元的有种，
则 2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率为；
（3）依题可知该游客要购买110元的水果，
若选择方案一，则需支付元，
若选择方案二，则需支付元，
所以应该选择方案二更优惠.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用分层抽样求解即可；
（2）由（1）可知抽取的5人中消费金额在的有3人，分别记为，，，消费金额在的有2人，记为，，即可列出所有的基本事件共有10种，其中满足条件的有7种，利用古典概型概率公式求解即可；
（3）由题意可得该游客要购买110元水果，分别计算两种方案所需支付金额即可.
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