湖南省株洲市二中教育集团2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题
1．（2024高一下·株洲期末）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·株洲期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高一下·株洲期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）
A．2 B． C．4 D．8
4．（2024高一下·株洲期末）若圆锥的表面积为，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·株洲期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·株洲期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·株洲期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ）
A．当时， B．当时，事件与事件不独立
C．当时， D．当时，事件与事件不独立
8．（2024高一下·株洲期末）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
9．（2024高一下·株洲期末）下列说法正确的是（ ）
A．若事件与事件互为对立事件，则；
B．数据36，28，22，24，22，78的第80百分位数为36；
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是；
D．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8.
10．（2024高一下·株洲期末）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（ ）（参考数据：）
A．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年；
B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失；
C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的；
D．若年后，样本中氚元素的含量为，则.
11．（2024高一下·株洲期末）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则（ ）
A．与平面所成的角为
B．若点为正四棱锥外接球的球心，则四棱锥的体积为4
C．若点在底面内（包含边界）运动，为中点，则当平面时，点的轨迹长度为
D．若以点为球心，为半径的球的球面与正四棱锥的棱，，，分别交于点，，，，则多面体的体积为
12．（2024高一下·株洲期末）已知函数则 .
13．（2024高一下·株洲期末）已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则 .
14．（2024高一下·株洲期末）在中，，是角的角平分线，且.
（1）的取值范围为 .
（2）若，当最小时，的值为 .
15．（2024高一下·株洲期末）在中，设角，，的对边分别为，，.已知向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
16．（2024高一下·株洲期末）某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
（1）求图中的值；
（2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
（3）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差.
17．（2024高一下·株洲期末）如图，在三棱柱中，，，在底面的射影为的中点，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18．（2024高一下·株洲期末）我校南门有条长米，宽米的道路（如图所示的矩形），路的一侧划有100个长米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中.
（1）若，求和的长；
（2）求关于的函数表达式；
（3）若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
19．（2024高一下·株洲期末）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若为连续可表数列，且，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
则.
故答案为：A.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解： 复数满足 ，则，即在复平面上对应点是，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用复数的模长公式以及复数代数形式的除法运算化简求得复数z及其共轭复数，再根据复数在复平面内的表示判断即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由图易知：向量，，即，
则.
故答案为：B.
【分析】由图写出向量的坐标，再利用向量模的坐标运算求值即可.
4．【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆半径，母线，高，
因为圆锥的表面积为，，所以，解得，
则，
故该圆锥的体积.
故答案为：C.
【分析】设圆锥底面圆半径，母线，高，利用圆锥表面积公式求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即可.
5．【答案】C
【知识点】平行公理；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以则，
又因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，；
又因为都与相交，所以与都不平行.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用面面平行的性质定理可得，再逐项分析判断即可.
6．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：令，则，即，
则.
故答案为：.
【分析】令，则，再根据三角函数诱导公式、二倍角公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可知：当时，表示一正一反，
则，，，
A、，故正确；
B、，故正确；
C、当时，表示一正二反，，故正确；
D、，，
则，即事件与事件独立，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由题意，计算出，根据，求，根据与的关系判断两个事件是否独立即可.
8．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且，，
令，则，解得；
令，则，解得；
因为①，
令，则，满足，则为偶函数，
令，则，
即，即②，
①②可得，，则③，
③式中，令，可得④，
④式中，令，可得⑤，
由④⑤得，则为周期函数且周期为6，
故，，
故.
故答案为：C.
【分析】利用赋值求解，再赋式证明奇偶性性与周期性，利用性质转化求值即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】简单随机抽样；众数、中位数、平均数；互斥事件与对立事件；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、若事件与事件互为对立事件，则，故A正确；
B、 数据36，28，22，24，22，78 从小到大排列为22，22，24，28，36，78，
，则第80百分位数为第5个数36，故B正确；
C、用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是，故C错误；
D、若样本数据的平均数为2，则的平均数为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据对立事件的性质分析即可判断A；根据百分位数的定义求解即可判断B；根据古典概型的概率公式分析即可判断C；根据平均数的性质分析即可判断D.
10．【答案】A,C
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解： 样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，
A、当时，，样本中氚的质量衰变了一半，故A正确；
B、当时，，故B错误；
C、当时，，即经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；
D、由题意，化简得，
将代入其中，可得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意，分别将、、依次代入计算即可判断ABC；根据求出即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解： 正四棱锥中，， 侧棱长为，
连接，交于点，则，，
A、在中，，则与平面所成角为，故A正确；
B、连接，如图所示：
则平面，，点在上，
因为平面，所以，
设正四棱锥外接球的半径为，
在中，，即，解得，
则，即，故B错误；
C、取，的中点，，连接，，，如图所示：
则，因为四边形为正方形，所以，，
又因为，的中点为，，所以，
所以四边形为平行四边形，则，，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又因为，平面，且，所以平面平面，
因为平面，且平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以，即点的轨迹为，则点的轨迹长度为，故C正确；
D、以点为球心，为半径的球的球面与正四棱锥的棱，，，分别交于点，，，，如图所示：
则，即，，，，
则四边形为正方形，
在中，，
在中，，得，
则，且多面体是一个正四棱台且正四棱台的高，上底面面积，下底面面积，
且正四棱台的体积，
故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，与平面所成角为，代入相关长度计算即可判断A；易知正四棱锥外接球的球心在上，根据勾股定理求得外接球半径，再计算体积即可判断B；根据面面平行可得点的轨迹为即可判断C；判断出四边形为正方形，由余弦定理求出边长即可判断D.
12．【答案】3
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，则，，
即.
故答案为：3.
【分析】根据函数的解析式直接代入求值即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，，，则，
，，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，以向量为基底表示，再利用向量数量积运算法则计算即可.
14．【答案】；
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：（1）是角的角平分线 ，设，，，，由角平分线定理，，，
由余弦定理，
则，化简得，
因为，所以；
（2）由题意，，因此，
由余弦定理，，
故，
当且仅当时等号成立，此时，显然为锐角，
由代入中，得，
由（1）知，此时.
故答案为：；.
【分析】（1）由三角形内角平分线的性质可得：；在和中，分别利用余弦定理求得，据此求解的取值范围即可；
（2）若，得到，由余弦定理可得，利用基本不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：向量，，
若，则，即，因为，所以；
（2）解：，由正弦定理得，
由余弦定理，可得，解得，
则，，的面积为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由根据向量共线的坐标表示雷士求解即可；
（2）由正弦定理可得，再由余弦定理求出，最后利用三角形面积公式求解即可.
（1）由可得，
所以，
而，所以.
（2）因为，所以由正弦定理得，
所以由余弦定理知，即，
解得，故，，
所以的面积为.
16．【答案】（1）解：根据频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，
解得；
（2）解：由图可知：原始分在和中的频率之比为，
根据分层抽样可知：抽取的6人中，原始分在中的有2人，记为，在中的有4人，记为，
则从6人中抽取2人，样本空间为：
，共15个基本事件，
其中抽取这2人中怡有一人原始成绩在内的结果有：
共8个基本事件，
则抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
（3）解：，
.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式，求的值即可；
（2）根据分层抽样得两组抽取人数，再由古典概型概率公式求概率即可；
（3）利用分层抽样的均值和方差公式求解即可.
（1）由题可知，
解得；
（2）由原始分在和中的频率之比为，
故抽取的6人中，原始分在中的有2人，记为，在中的有4人，记为，
则从6人中抽取2人，所有可能的结果有：
共15个基本事件，
其中抽取这2人中怡有一人原始成绩在内的结果有：
共8个基本事件，
所以抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
（3），
.
17．【答案】（1）证明：记为的中点，由题意得平面，
因为平面，所以，
又因为，为的中点，所以，
又因为，平面，所以平面，
由，分别为，的中点，得且，，则四边形为平行四边形，
即，又因为平面，所以平面；
（2）解：，且，连结，如图所示：
由，，得，
因为，，所以≌，
由，得，则为二面角的平面角，
由（1）得平面，平面，所以，
由，，，得，
故，
由余弦定理可得：，
则，即二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）设为的中点，由线面垂直得到，由三线合一得到，从而得到线面垂直，证明出四边形为平行四边形，得到证明即可；
（2）作出辅助线，证明出为二面角的平面角，结合（1）得到，求出各边长，利用余弦定理求出的余弦值，再利用同角三角函数基本关系求线面角的正弦值即可.
（1）设为的中点，由题意得平面，
∵平面，
，
，为的中点，
，
∵，平面，
故平面，
由，分别为，的中点，得且，
从而，
四边形为平行四边形，
故，
又平面，
平面；
（2）作，且，连结，
由，，得，
由，，得≌，由，得，
因此为二面角的平面角，
由（1）得平面，平面，
所以，
由，，，得，
故，
由余弦定理得，，
所以.
18．【答案】（1）解：易知，，
则，
则，
因为，所以，；
（2）解：由图可知：，
又由（1）可得：，则，；
（3）解：由（2）可得：，
则，则，
化简得：，解得或，
因，则，故，，
设改造后停车位数量最大值为，
如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为，
则顶点到线段距离为：，
又由图及题意可得：，，
则，
注意到，则，
，则，
则，，又，
则，
令，
即改造后最大停车位数量为，则改造后的停车位比改造前增加个.
【知识点】解三角形；三角函数模型的其他应用
【解析】【分析】（1）根据图，找到的等角，解直角三角形即可；
（2）在（1）的思路下结合图，解直角三角形，表示出即可；
（3）由（2）和先求出，设改造后停车位数量的最大值为，由图可得第个车位顶点到的距离为，利用求解即可.
（1）注意到，又，
则.
则，
又，则，；
（2）由图，，
又由（1），则，
即，；
（3）由（2），.
则，则，
化简得：，解得或.
因，则，故，
设改造后停车位数量最大值为.
如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为.
则顶点到线段距离为：.
又由图及题意可得：，，
则.
注意到，则.
，则.
则，，又.
则，
令，
即改造后最大停车位数量为，则改造后的停车位比改造前增加个.
19．【答案】（1）解：，，，，，则是连续可表数列；
易知，不存在使得，则不是连续可表数列；
（2）证明：若，设为，则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时，数列，满足，，，，，
，，，故；
（3）证明：先证明，
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，
取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，
取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示个正整数，不能表示20个正整数，即，
若，最多可以表示个正整数，
由于为连续可表数列，且，所以至少有一项为负数，
既然任意5个正整数都不可能为20-连续可表数列，那么中间若插入一个负数项，更不能连续表示的正整数，
所以至少要有6个正整数才能连续表示的正整数.所以中至少包含6个正整数和一个负数，故，
当时，数列满足题意，
故．
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】（1）由题意，直接利用定义验证即可；
（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；
（3）先证明，再说明时不合题意，找出且满足题意的数列即可得解．
（1），，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．
（2）若，设为，则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时，数列，满足，，，，，，，，．
（3）先证明.
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，
取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，
取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示个正整数，不能表示20个正整数，即.
若，最多可以表示个正整数，
由于为连续可表数列，且，所以至少有一项为负数，
既然任意5个正整数都不可能为20-连续可表数列，那么中间若插入一个负数项，更不能连续表示的正整数.
所以至少要有6个正整数才能连续表示的正整数.所以中至少包含6个正整数和一个负数，故.
当时，数列满足题意，
．
1 / 1湖南省株洲市二中教育集团2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题
1．（2024高一下·株洲期末）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
则.
故答案为：A.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高一下·株洲期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解： 复数满足 ，则，即在复平面上对应点是，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用复数的模长公式以及复数代数形式的除法运算化简求得复数z及其共轭复数，再根据复数在复平面内的表示判断即可.
3．（2024高一下·株洲期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由图易知：向量，，即，
则.
故答案为：B.
【分析】由图写出向量的坐标，再利用向量模的坐标运算求值即可.
4．（2024高一下·株洲期末）若圆锥的表面积为，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆半径，母线，高，
因为圆锥的表面积为，，所以，解得，
则，
故该圆锥的体积.
故答案为：C.
【分析】设圆锥底面圆半径，母线，高，利用圆锥表面积公式求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即可.
5．（2024高一下·株洲期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行公理；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以则，
又因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，；
又因为都与相交，所以与都不平行.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用面面平行的性质定理可得，再逐项分析判断即可.
6．（2024高一下·株洲期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：令，则，即，
则.
故答案为：.
【分析】令，则，再根据三角函数诱导公式、二倍角公式求解即可.
7．（2024高一下·株洲期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ）
A．当时， B．当时，事件与事件不独立
C．当时， D．当时，事件与事件不独立
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可知：当时，表示一正一反，
则，，，
A、，故正确；
B、，故正确；
C、当时，表示一正二反，，故正确；
D、，，
则，即事件与事件独立，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由题意，计算出，根据，求，根据与的关系判断两个事件是否独立即可.
8．（2024高一下·株洲期末）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且，，
令，则，解得；
令，则，解得；
因为①，
令，则，满足，则为偶函数，
令，则，
即，即②，
①②可得，，则③，
③式中，令，可得④，
④式中，令，可得⑤，
由④⑤得，则为周期函数且周期为6，
故，，
故.
故答案为：C.
【分析】利用赋值求解，再赋式证明奇偶性性与周期性，利用性质转化求值即可.
9．（2024高一下·株洲期末）下列说法正确的是（ ）
A．若事件与事件互为对立事件，则；
B．数据36，28，22，24，22，78的第80百分位数为36；
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是；
D．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8.
【答案】A,B,D
【知识点】简单随机抽样；众数、中位数、平均数；互斥事件与对立事件；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、若事件与事件互为对立事件，则，故A正确；
B、 数据36，28，22，24，22，78 从小到大排列为22，22，24，28，36，78，
，则第80百分位数为第5个数36，故B正确；
C、用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是，故C错误；
D、若样本数据的平均数为2，则的平均数为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据对立事件的性质分析即可判断A；根据百分位数的定义求解即可判断B；根据古典概型的概率公式分析即可判断C；根据平均数的性质分析即可判断D.
10．（2024高一下·株洲期末）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（ ）（参考数据：）
A．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年；
B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失；
C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的；
D．若年后，样本中氚元素的含量为，则.
【答案】A,C
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解： 样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，
A、当时，，样本中氚的质量衰变了一半，故A正确；
B、当时，，故B错误；
C、当时，，即经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；
D、由题意，化简得，
将代入其中，可得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意，分别将、、依次代入计算即可判断ABC；根据求出即可判断D.
11．（2024高一下·株洲期末）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则（ ）
A．与平面所成的角为
B．若点为正四棱锥外接球的球心，则四棱锥的体积为4
C．若点在底面内（包含边界）运动，为中点，则当平面时，点的轨迹长度为
D．若以点为球心，为半径的球的球面与正四棱锥的棱，，，分别交于点，，，，则多面体的体积为
【答案】A,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解： 正四棱锥中，， 侧棱长为，
连接，交于点，则，，
A、在中，，则与平面所成角为，故A正确；
B、连接，如图所示：
则平面，，点在上，
因为平面，所以，
设正四棱锥外接球的半径为，
在中，，即，解得，
则，即，故B错误；
C、取，的中点，，连接，，，如图所示：
则，因为四边形为正方形，所以，，
又因为，的中点为，，所以，
所以四边形为平行四边形，则，，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又因为，平面，且，所以平面平面，
因为平面，且平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以，即点的轨迹为，则点的轨迹长度为，故C正确；
D、以点为球心，为半径的球的球面与正四棱锥的棱，，，分别交于点，，，，如图所示：
则，即，，，，
则四边形为正方形，
在中，，
在中，，得，
则，且多面体是一个正四棱台且正四棱台的高，上底面面积，下底面面积，
且正四棱台的体积，
故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，与平面所成角为，代入相关长度计算即可判断A；易知正四棱锥外接球的球心在上，根据勾股定理求得外接球半径，再计算体积即可判断B；根据面面平行可得点的轨迹为即可判断C；判断出四边形为正方形，由余弦定理求出边长即可判断D.
12．（2024高一下·株洲期末）已知函数则 .
【答案】3
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，则，，
即.
故答案为：3.
【分析】根据函数的解析式直接代入求值即可.
13．（2024高一下·株洲期末）已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，，，则，
，，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，以向量为基底表示，再利用向量数量积运算法则计算即可.
14．（2024高一下·株洲期末）在中，，是角的角平分线，且.
（1）的取值范围为 .
（2）若，当最小时，的值为 .
【答案】；
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：（1）是角的角平分线 ，设，，，，由角平分线定理，，，
由余弦定理，
则，化简得，
因为，所以；
（2）由题意，，因此，
由余弦定理，，
故，
当且仅当时等号成立，此时，显然为锐角，
由代入中，得，
由（1）知，此时.
故答案为：；.
【分析】（1）由三角形内角平分线的性质可得：；在和中，分别利用余弦定理求得，据此求解的取值范围即可；
（2）若，得到，由余弦定理可得，利用基本不等式求解即可.
15．（2024高一下·株洲期末）在中，设角，，的对边分别为，，.已知向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）解：向量，，
若，则，即，因为，所以；
（2）解：，由正弦定理得，
由余弦定理，可得，解得，
则，，的面积为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由根据向量共线的坐标表示雷士求解即可；
（2）由正弦定理可得，再由余弦定理求出，最后利用三角形面积公式求解即可.
（1）由可得，
所以，
而，所以.
（2）因为，所以由正弦定理得，
所以由余弦定理知，即，
解得，故，，
所以的面积为.
16．（2024高一下·株洲期末）某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
（1）求图中的值；
（2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
（3）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差.
【答案】（1）解：根据频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，
解得；
（2）解：由图可知：原始分在和中的频率之比为，
根据分层抽样可知：抽取的6人中，原始分在中的有2人，记为，在中的有4人，记为，
则从6人中抽取2人，样本空间为：
，共15个基本事件，
其中抽取这2人中怡有一人原始成绩在内的结果有：
共8个基本事件，
则抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
（3）解：，
.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式，求的值即可；
（2）根据分层抽样得两组抽取人数，再由古典概型概率公式求概率即可；
（3）利用分层抽样的均值和方差公式求解即可.
（1）由题可知，
解得；
（2）由原始分在和中的频率之比为，
故抽取的6人中，原始分在中的有2人，记为，在中的有4人，记为，
则从6人中抽取2人，所有可能的结果有：
共15个基本事件，
其中抽取这2人中怡有一人原始成绩在内的结果有：
共8个基本事件，
所以抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
（3），
.
17．（2024高一下·株洲期末）如图，在三棱柱中，，，在底面的射影为的中点，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：记为的中点，由题意得平面，
因为平面，所以，
又因为，为的中点，所以，
又因为，平面，所以平面，
由，分别为，的中点，得且，，则四边形为平行四边形，
即，又因为平面，所以平面；
（2）解：，且，连结，如图所示：
由，，得，
因为，，所以≌，
由，得，则为二面角的平面角，
由（1）得平面，平面，所以，
由，，，得，
故，
由余弦定理可得：，
则，即二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）设为的中点，由线面垂直得到，由三线合一得到，从而得到线面垂直，证明出四边形为平行四边形，得到证明即可；
（2）作出辅助线，证明出为二面角的平面角，结合（1）得到，求出各边长，利用余弦定理求出的余弦值，再利用同角三角函数基本关系求线面角的正弦值即可.
（1）设为的中点，由题意得平面，
∵平面，
，
，为的中点，
，
∵，平面，
故平面，
由，分别为，的中点，得且，
从而，
四边形为平行四边形，
故，
又平面，
平面；
（2）作，且，连结，
由，，得，
由，，得≌，由，得，
因此为二面角的平面角，
由（1）得平面，平面，
所以，
由，，，得，
故，
由余弦定理得，，
所以.
18．（2024高一下·株洲期末）我校南门有条长米，宽米的道路（如图所示的矩形），路的一侧划有100个长米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中.
（1）若，求和的长；
（2）求关于的函数表达式；
（3）若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
【答案】（1）解：易知，，
则，
则，
因为，所以，；
（2）解：由图可知：，
又由（1）可得：，则，；
（3）解：由（2）可得：，
则，则，
化简得：，解得或，
因，则，故，，
设改造后停车位数量最大值为，
如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为，
则顶点到线段距离为：，
又由图及题意可得：，，
则，
注意到，则，
，则，
则，，又，
则，
令，
即改造后最大停车位数量为，则改造后的停车位比改造前增加个.
【知识点】解三角形；三角函数模型的其他应用
【解析】【分析】（1）根据图，找到的等角，解直角三角形即可；
（2）在（1）的思路下结合图，解直角三角形，表示出即可；
（3）由（2）和先求出，设改造后停车位数量的最大值为，由图可得第个车位顶点到的距离为，利用求解即可.
（1）注意到，又，
则.
则，
又，则，；
（2）由图，，
又由（1），则，
即，；
（3）由（2），.
则，则，
化简得：，解得或.
因，则，故，
设改造后停车位数量最大值为.
如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为.
则顶点到线段距离为：.
又由图及题意可得：，，
则.
注意到，则.
，则.
则，，又.
则，
令，
即改造后最大停车位数量为，则改造后的停车位比改造前增加个.
19．（2024高一下·株洲期末）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若为连续可表数列，且，求证：．
【答案】（1）解：，，，，，则是连续可表数列；
易知，不存在使得，则不是连续可表数列；
（2）证明：若，设为，则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时，数列，满足，，，，，
，，，故；
（3）证明：先证明，
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，
取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，
取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示个正整数，不能表示20个正整数，即，
若，最多可以表示个正整数，
由于为连续可表数列，且，所以至少有一项为负数，
既然任意5个正整数都不可能为20-连续可表数列，那么中间若插入一个负数项，更不能连续表示的正整数，
所以至少要有6个正整数才能连续表示的正整数.所以中至少包含6个正整数和一个负数，故，
当时，数列满足题意，
故．
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】（1）由题意，直接利用定义验证即可；
（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；
（3）先证明，再说明时不合题意，找出且满足题意的数列即可得解．
（1），，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．
（2）若，设为，则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时，数列，满足，，，，，，，，．
（3）先证明.
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，
取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，
取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示个正整数，不能表示20个正整数，即.
若，最多可以表示个正整数，
由于为连续可表数列，且，所以至少有一项为负数，
既然任意5个正整数都不可能为20-连续可表数列，那么中间若插入一个负数项，更不能连续表示的正整数.
所以至少要有6个正整数才能连续表示的正整数.所以中至少包含6个正整数和一个负数，故.
当时，数列满足题意，
．
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