广西北海市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷
1．（2024高一下·北海期末）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·北海期末）在平行四边形中，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·北海期末）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为6，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·北海期末）在中，内角的对边分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·北海期末）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，密位写成“”.1周角等于密位，记作1周角，1直角.如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·北海期末）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·北海期末）如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·北海期末）若的图象与函数的图象交于A，B两点，则(O为坐标原点)的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·北海期末）如图，在方格中，向量的起点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·北海期末）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．正方体的内切球的表面积为
B．
C．三棱锥的体积随着的变化而变化
D．存在点，使得平面
11．（2024高一下·北海期末）已知函数，则（ ）.
A．函数的最小正周期为
B．直线是函数的图象的一条对称轴
C．若时，恒成立，则实数的取值范围为
D．将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数的取值范围为
12．（2024高一下·北海期末）在单位圆上有三点，设 三边长分别为 ，则 .
13．（2024高一下·北海期末）已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为 .
14．（2024高一下·北海期末）如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则 .
15．（2024高一下·北海期末）（1）已知，复数是纯虚数，求的值；
（2）已知，设是虚数单位），求.
16．（2024高一下·北海期末）已知角，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
17．（2024高一下·北海期末）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.
（1）求点D到塔底B的距离；
（2）若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高.
18．（2024高一下·北海期末）中，内角的对边分别为 ，记的面积为，且 .
（1）求角；
（2）若为的中点，且，求 的内切圆的半径.
19．（2024高一下·北海期末）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，，，，分别，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，
所以 ，
所以，
所以的虚部为.
故答案为：A.
【分析】先根据复数的运算法则和虚数单位i的周期性，从而求出复数，进而求出复数z的共轭复数，再结合复数的虚部的定义得出复数z的虚部.
2．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和向量共线定理以及三角形法则，从而得出正确的选项.
3．【答案】C
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为，
则，解得，
所以该圆锥的高，
所以该圆锥的体积.
故答案为：C.
【分析】利用等腰直角三角形的性质与圆锥的母线长以及勾股定理，从而得到圆锥的高和圆锥底面的半径，再结合圆锥的体积公式得出该圆锥的体积.
4．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，所以，
由正弦定理得，
所以.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数的基本关系式和正弦定理，从而得出a的值.
5．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形所对的圆心角为，所对的密位为，
则，解得，
由题意可得，解得，
所以该扇形圆心角用密位制表示为．
故答案为：B.
【分析】
根据扇形面积公式求得圆心角，结合密位制定义即可求解.
6．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意得：，
若函数为奇函数，
可得，
解得，
令，可得，
所以可能的取值为.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得函数的解析式，再根据函数为奇函数可得，从而得出的表达式，对k赋值得出可能的取值.
7．【答案】A
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，
则为异面直线EC与BD所成角或其补角，
不妨设，易得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为．
故答案为：A．
【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，再利用余弦定理得出异面直线EC与BD所成角的余弦值.
8．【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意得，则，
所以，解得或（舍去），
由，可得或，
则点A的坐标为，点B的坐标为，
所以线段中点的坐标为，
则的面积为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和同角三角函数基本关系式得出x的值，从而得出线段中点的坐标，再根据三角形的面积公式得出(O为坐标原点)的面积.
9．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
设小正方形的边长为1，则，，，
A、 ，，故A错误；
B、，则，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD .
【分析】建立平面直角坐标系，设小正方形的边长为1，利用向量的坐标运算逐项判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为棱长为的正方体内切球的半径为，
所以正方体内切球的表面积，故A正确；
在正方体中，平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，故B正确；
因为，且平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离为定值，
又因为的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故C错误；
当点是线段的中点时，则点也是线段的中点，
因为是棱的中点，
所以，
又因为，平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，同理可证，
又因为，平面，
所以平面，
所以平面，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据正方体和内切球的位置关系得出内切球的半径，结合球的表面积公式判断出选项A；先证明平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，则可判断选项B；先证明平面，再结合三棱锥的体积公式判断出选项C；当点是线段的中点，从而可证平面，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，
所以的最小正周期为，故正确；
因为，故错误；
当时，可得，
当时，即当时，取得最小值，
因为时，恒成立，所以，
则实数的取值范围为，故C错误；
由题意得函数，
因为，所以，
又因为函数有且仅有5个零点，
则满足，解得，
所以实数的取值范围是，故D正确.
故答案为：.
【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和辅助角公式化简原函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式判断出选项A；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，可判断出选项B；利用x的取值范围和正弦型函数的图象求值域的方法，再结合不等式恒成立问题求解方法可判断出选项C；利用正弦型函数的图象变换和函数零点存在性定理，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为单位圆的半径为，
所以的外接圆直径为，
根据正弦定理，得出，
根据合分比定理，得出.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和正弦定理以及合分比定理，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意知，，
因为，所以，
则，所以，
所以，
由，得.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和向量的模的坐标表示、数量积求向量的模的公式以及数量积的运算律，从而得出的值，再结合数量积求向量夹角公式和向量夹角的取值范围，从而得出与的夹角.
14．【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为，
设上底面面积为，则下底面面积为，设三棱台的高为，则点到平面的距离也为，所以，，
所以，
故答案为：.
【分析】因为点到平面的距离相等，所以，，利用锥体体积公式与棱台体积公式计算出三棱锥与三棱台的体积之比即可.
15．【答案】解：（1）因为复数是纯虚数，
所以，解得.
（2） 因为，
所以，
所以 ，解得，
所以.
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）由已知条件和纯虚数的定义，从而列出关于m的方程组，解方程组得出m的值.
（2）根据复数的运算法则和复数相等，从而求出的值，再结合复数求模公式得出的值.
16．【答案】（1）解：因为，，，所以，所以，
，
则；
（2）解：由（1）可得：.
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数关系求得，，再利用两角差的正切公式求得，最后化弦为切代值求解即可；
（2）由（1）的结论，结合两角和的正切公式求解即可.
（1）由题意角，，由得，
则.
所以，
所以.
（2）.
17．【答案】（1）解：由题意可知：，则，
在中， 由正弦定理，可得（米），
则点D到塔底B的距离为米；
（2）解：在中， 由正弦定理，可得
，
在中，，
则铁塔高为米.
【知识点】正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理求解即可；
（2）在中，利用正弦定求得，再在中求即可.
（1）由题意可知，，故，
在中， 由正弦定理， 得，即，
所以（米）.
因此点D到塔底B的距离为米；
（2）在中， 由正弦定理， 得，
得
，
在中，，
所以铁塔高为米.
18．【答案】（1）解：因为，
所以，
由余弦定理得，所以，
又因为，所以.
（2）解：因为为的中点，
所以，则
解得或（舍），
由余弦定理得，
所以，
设的内切圆半径为，
则，
所以，
解得.
【知识点】平面向量的数量积运算；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由已知等式结合三角形的面积公式和余弦定理，从而化简得出角的值.
（2）由题意得，两边平方化简可得的长，再利用余弦定理得出的长，结合等面积法得出的内切圆的半径.
（1）因为，所以，
由余弦定理得，所以，
又，所以；
（2）因为为的中点，所以，
所以，
解得或（舍），
由余弦定理得，所以
设的内切圆半径为，则，
所以，解得
19．【答案】（1）解：因为是等边三角形，点是的中点，，
所以，且，
因为点分别是的中点，所以，
在中，，且，，
所以，，
所以，
则，且，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面.
（2）解：在中，，，，
因为，所以，
过点作，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
作，连结，
因为平面，
所以，且，平面，
所以平面，平面，所以，
则为二面角的平面角，
在中，，
在中，，
所以，则，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）要证明面面垂直，则转化为证明线面垂直，根据几何关系证出直线平面，再结合线面垂直证出面面垂直，即证出平面平面.
（2）根据（1）的结果和勾股定理、面面垂直的性质定理以及线面垂直的定义，从而得出线线垂直，从而得出二面角的平面角，再结合三角形中对应边成比例和三角函数的对应以及同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的余弦值.
（1）因为是等边三角形，点是的中点，，
所以，且，
点分别是的中点，所以，
中，，且，，
所以，，
所以，即，
且，且平面，
所以平面，平面，
所以平面平面；
（2）中，，，，，
所以，
过点作，
因为平面平面，且平面平面；
所以平面，
作，连结，
因为平面，所以，
且，平面，
所以平面，平面，
所以，
则为二面角的平面角，
中，，
中，，
所以，，
所以二面角的余弦值为.
1 / 1广西北海市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷
1．（2024高一下·北海期末）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，
所以 ，
所以，
所以的虚部为.
故答案为：A.
【分析】先根据复数的运算法则和虚数单位i的周期性，从而求出复数，进而求出复数z的共轭复数，再结合复数的虚部的定义得出复数z的虚部.
2．（2024高一下·北海期末）在平行四边形中，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和向量共线定理以及三角形法则，从而得出正确的选项.
3．（2024高一下·北海期末）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为6，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为，
则，解得，
所以该圆锥的高，
所以该圆锥的体积.
故答案为：C.
【分析】利用等腰直角三角形的性质与圆锥的母线长以及勾股定理，从而得到圆锥的高和圆锥底面的半径，再结合圆锥的体积公式得出该圆锥的体积.
4．（2024高一下·北海期末）在中，内角的对边分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，所以，
由正弦定理得，
所以.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数的基本关系式和正弦定理，从而得出a的值.
5．（2024高一下·北海期末）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，密位写成“”.1周角等于密位，记作1周角，1直角.如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形所对的圆心角为，所对的密位为，
则，解得，
由题意可得，解得，
所以该扇形圆心角用密位制表示为．
故答案为：B.
【分析】
根据扇形面积公式求得圆心角，结合密位制定义即可求解.
6．（2024高一下·北海期末）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意得：，
若函数为奇函数，
可得，
解得，
令，可得，
所以可能的取值为.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得函数的解析式，再根据函数为奇函数可得，从而得出的表达式，对k赋值得出可能的取值.
7．（2024高一下·北海期末）如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，
则为异面直线EC与BD所成角或其补角，
不妨设，易得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为．
故答案为：A．
【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，再利用余弦定理得出异面直线EC与BD所成角的余弦值.
8．（2024高一下·北海期末）若的图象与函数的图象交于A，B两点，则(O为坐标原点)的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意得，则，
所以，解得或（舍去），
由，可得或，
则点A的坐标为，点B的坐标为，
所以线段中点的坐标为，
则的面积为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和同角三角函数基本关系式得出x的值，从而得出线段中点的坐标，再根据三角形的面积公式得出(O为坐标原点)的面积.
9．（2024高一下·北海期末）如图，在方格中，向量的起点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
设小正方形的边长为1，则，，，
A、 ，，故A错误；
B、，则，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD .
【分析】建立平面直角坐标系，设小正方形的边长为1，利用向量的坐标运算逐项判断即可.
10．（2024高一下·北海期末）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．正方体的内切球的表面积为
B．
C．三棱锥的体积随着的变化而变化
D．存在点，使得平面
【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为棱长为的正方体内切球的半径为，
所以正方体内切球的表面积，故A正确；
在正方体中，平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，故B正确；
因为，且平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离为定值，
又因为的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故C错误；
当点是线段的中点时，则点也是线段的中点，
因为是棱的中点，
所以，
又因为，平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，同理可证，
又因为，平面，
所以平面，
所以平面，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据正方体和内切球的位置关系得出内切球的半径，结合球的表面积公式判断出选项A；先证明平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，则可判断选项B；先证明平面，再结合三棱锥的体积公式判断出选项C；当点是线段的中点，从而可证平面，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2024高一下·北海期末）已知函数，则（ ）.
A．函数的最小正周期为
B．直线是函数的图象的一条对称轴
C．若时，恒成立，则实数的取值范围为
D．将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数的取值范围为
【答案】A,D
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，
所以的最小正周期为，故正确；
因为，故错误；
当时，可得，
当时，即当时，取得最小值，
因为时，恒成立，所以，
则实数的取值范围为，故C错误；
由题意得函数，
因为，所以，
又因为函数有且仅有5个零点，
则满足，解得，
所以实数的取值范围是，故D正确.
故答案为：.
【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和辅助角公式化简原函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式判断出选项A；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，可判断出选项B；利用x的取值范围和正弦型函数的图象求值域的方法，再结合不等式恒成立问题求解方法可判断出选项C；利用正弦型函数的图象变换和函数零点存在性定理，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高一下·北海期末）在单位圆上有三点，设 三边长分别为 ，则 .
【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为单位圆的半径为，
所以的外接圆直径为，
根据正弦定理，得出，
根据合分比定理，得出.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和正弦定理以及合分比定理，从而得出的值.
13．（2024高一下·北海期末）已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意知，，
因为，所以，
则，所以，
所以，
由，得.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和向量的模的坐标表示、数量积求向量的模的公式以及数量积的运算律，从而得出的值，再结合数量积求向量夹角公式和向量夹角的取值范围，从而得出与的夹角.
14．（2024高一下·北海期末）如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则 .
【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为，
设上底面面积为，则下底面面积为，设三棱台的高为，则点到平面的距离也为，所以，，
所以，
故答案为：.
【分析】因为点到平面的距离相等，所以，，利用锥体体积公式与棱台体积公式计算出三棱锥与三棱台的体积之比即可.
15．（2024高一下·北海期末）（1）已知，复数是纯虚数，求的值；
（2）已知，设是虚数单位），求.
【答案】解：（1）因为复数是纯虚数，
所以，解得.
（2） 因为，
所以，
所以 ，解得，
所以.
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）由已知条件和纯虚数的定义，从而列出关于m的方程组，解方程组得出m的值.
（2）根据复数的运算法则和复数相等，从而求出的值，再结合复数求模公式得出的值.
16．（2024高一下·北海期末）已知角，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：因为，，，所以，所以，
，
则；
（2）解：由（1）可得：.
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数关系求得，，再利用两角差的正切公式求得，最后化弦为切代值求解即可；
（2）由（1）的结论，结合两角和的正切公式求解即可.
（1）由题意角，，由得，
则.
所以，
所以.
（2）.
17．（2024高一下·北海期末）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.
（1）求点D到塔底B的距离；
（2）若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高.
【答案】（1）解：由题意可知：，则，
在中， 由正弦定理，可得（米），
则点D到塔底B的距离为米；
（2）解：在中， 由正弦定理，可得
，
在中，，
则铁塔高为米.
【知识点】正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理求解即可；
（2）在中，利用正弦定求得，再在中求即可.
（1）由题意可知，，故，
在中， 由正弦定理， 得，即，
所以（米）.
因此点D到塔底B的距离为米；
（2）在中， 由正弦定理， 得，
得
，
在中，，
所以铁塔高为米.
18．（2024高一下·北海期末）中，内角的对边分别为 ，记的面积为，且 .
（1）求角；
（2）若为的中点，且，求 的内切圆的半径.
【答案】（1）解：因为，
所以，
由余弦定理得，所以，
又因为，所以.
（2）解：因为为的中点，
所以，则
解得或（舍），
由余弦定理得，
所以，
设的内切圆半径为，
则，
所以，
解得.
【知识点】平面向量的数量积运算；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由已知等式结合三角形的面积公式和余弦定理，从而化简得出角的值.
（2）由题意得，两边平方化简可得的长，再利用余弦定理得出的长，结合等面积法得出的内切圆的半径.
（1）因为，所以，
由余弦定理得，所以，
又，所以；
（2）因为为的中点，所以，
所以，
解得或（舍），
由余弦定理得，所以
设的内切圆半径为，则，
所以，解得
19．（2024高一下·北海期末）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，，，，分别，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）解：因为是等边三角形，点是的中点，，
所以，且，
因为点分别是的中点，所以，
在中，，且，，
所以，，
所以，
则，且，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面.
（2）解：在中，，，，
因为，所以，
过点作，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
作，连结，
因为平面，
所以，且，平面，
所以平面，平面，所以，
则为二面角的平面角，
在中，，
在中，，
所以，则，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）要证明面面垂直，则转化为证明线面垂直，根据几何关系证出直线平面，再结合线面垂直证出面面垂直，即证出平面平面.
（2）根据（1）的结果和勾股定理、面面垂直的性质定理以及线面垂直的定义，从而得出线线垂直，从而得出二面角的平面角，再结合三角形中对应边成比例和三角函数的对应以及同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的余弦值.
（1）因为是等边三角形，点是的中点，，
所以，且，
点分别是的中点，所以，
中，，且，，
所以，，
所以，即，
且，且平面，
所以平面，平面，
所以平面平面；
（2）中，，，，，
所以，
过点作，
因为平面平面，且平面平面；
所以平面，
作，连结，
因为平面，所以，
且，平面，
所以平面，平面，
所以，
则为二面角的平面角，
中，，
中，，
所以，，
所以二面角的余弦值为.
1 / 1
