山东省青岛市即墨区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
1．（2024高一下·即墨期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意知，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据复数除法运算法则和共轭复数的概念，从而得出复数z.
2．（2024高一下·即墨期末）已知，，若，则（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，且，
所以，
解得.
故答案为：A.
【分析】由可得，再结合数量积的坐标表示，从而列方程求出的值.
3．（2024高一下·即墨期末）某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为（ ）
A．1000 B．900 C．800 D．700
【答案】D
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可得：全校的总人数为人，
因为高一、高二、高三的人数之比为，
所以该校高二年级的人数为人.
故答案为：D.
【分析】由题意，先求出全校的总人数，再利用各年级人数所占的比例求该校高二年级的人数即可.
4．（2024高一下·即墨期末）如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（ ）
A．数据中可能存在极端大的值 B．这组数据是不对称的
C．数据中众数一定不等于中位数 D．数据的平均数大于中位数
【答案】C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，
则其图单峰不对称，故B正确；
其大致图如下：
由图可知数据中可能存在极端大的值，故A正确；
由于“右拖尾”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，可能与众数相等，故C错误；
因为平均数靠近中点处，平均数容易受极端值的影响，
与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据频率分布直方图的性质结合样本的数字特征，从而逐项判断找出说法一定错误的选项.
5．（2024高一下·即墨期末）已知直线与平面，能使的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】充分条件
【解析】【解答】解：若，则也可能平行，故A错误；
若，则，故B正确；
若，则可能垂直，也可能平行，故C错误；
若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直，
所以可能相交，不一定垂直，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系，再根据充分条件的判断方法，从而逐项判断找出能使的充分条件.
6．（2024高一下·即墨期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．是的一个零点
D．是的一个单调减区间
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的图象向左平移个单位得，，则函数，
A、的最小正周期为，故A错误；
B、，则为图象的一条对称轴，故B正确；
C、，则不是的零点，故C错误；
D、当时，，，
因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，故D错误.
故答案为：B.
【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，再逐项分析判断即可.
7．（2024高一下·即墨期末）投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意得，
事件，中至少有一个发生的对立事件是事件，都不发生，
又因为事件不发生的概率为，事件不发生的概率为，
所以事件，都不发生的概率为，
故事件，中至少有一个发生的概率是.
故答案为：D.
【分析】将所求事件的概率转化为求对立事件的概率，再利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出事件，中至少有一个发生的概率.
8．（2024高一下·即墨期末）函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：根据图象可得，，
所以，
可求得，，
解之可得，
又因为，所以，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据正弦型函数的图象的最高点的纵坐标可得的值，再结合正弦型函数的最小正周期公式可得的值，再根据五点对应法和，从而可得的值，则得出函数的解析式，再代入得出函数的值.
9．（2024高一下·即墨期末）已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第一象限
【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，
可得.
对于A，因为，故A错误，
对于B，因为的虚部为，故B正确，
对于C，因为，故C正确，
对于D，因为在复平面内对应的点为，它在第一象限，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用复数的除法运算法则，从而化简可得复数z，再结合共轭复数的定义、复数的虚部的定义、复数的乘法运算法则、复数的几何意义，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2024高一下·即墨期末）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若则
B．最大值为3
C．若，则
D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为
【答案】B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以与不垂直，故A错误；
对于B，因为，
所以，
所以
当共线时，有最大值为1，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，
则，
所以，
所以，解得，故C错误；
对于D，因为，
所以，则，
所以在向量上的投影向量为，
故D正确.
故答案为：BD.
【分析】先利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，则判断出选项A；利用已知条件和数量积求向量的模的公式意数量积的运算律，再结合余弦型函数求最值的方法，则判断出选项B；移项之后再平方求解得出的值，则判断出选项C；利用在向量上的投影向量为，从而得出向量在向量上的投影向量坐标，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2024高一下·即墨期末）如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（ ）
A．该几何体的体积为
B．直线与平面所成角的正切值为
C．异面直线与的夹角余弦值为
D．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】对于A，根据长方体和棱锥的体积公式求解判断，对于B，连接交于，连接，则可得为直线与平面所成角，然后求解判断，对于C，由于∥，则可得的补角为异面直线与的夹角，然后在中求解判断，对于D，先求出长方体的外接球半径，然后判断点是否在该球上即可.
【解答】解：对于A，该几何体的体积为，所以A正确，
对于B，连接交于，连接，由题意可知四棱锥为正四棱锥，
所以平面，所以为直线与平面所成角，
因为正方形的边长为1，所以，
所以，所以B正确，
对于C，设，因为∥，
所以或其补角为异面直线与的夹角，
，，
所以，
所以，异面直线与的夹角余弦值为，所以C错误，
对于D，设长方体的外接球的球心为，半径为，
则为的中点，，得，
因为，所以点长方体的外接球上，
所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，所以D正确.
故选：ABD.
【分析】利用棱柱和棱锥的体积公式和求和的方法，从而得出该几何体的体积，进而判断出选项A；利用已知条件结合线面角的求解方法和正切函数的定义，进而判断出选项B；利用线线平行和异面直线所成的角的求解方法，从而由余弦定理得异面直线与的夹角余弦值，进而判断出选项C；利用长方体的结构特征和中点的性质，再利用勾股定理和几何法得出球的半径，再由点与球的位置关系，则判断出存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．（2024高一下·即墨期末）一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为，第三四分位数为，则 ；
【答案】
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为众数=5，
所以，从小到大排列是1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10，
又因为数据个数为14，且，
所以这组数据的第三四分位数为8.
故答案为：13.
【分析】根据众数的概念求得这组数据的众数，再从小到大排列后，则利用四舍五入法求得这组数据的第三四分位数.
13．（2024高一下·即墨期末）从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从四棱锥的八条棱中随机选取两条，基本事件总数，
这两条棱所在的直线为异面直线包含的基本事件个数，
则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是．
故答案为：.
【分析】利用基本事件总数，这两条棱所在的直线为异面直线包含的基本事件个数，再结合古典概率公式得出这两条棱所在的直线为异面直线的概率．
14．（2024高一下·即墨期末）已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 ．
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：将四面体补成正方体，
则四面体的棱长全是该正方体的面对角线，球与正四面体六条棱相切，
则球为正方体的内切球，且切点为面对角线的中点，
因为正四面体的棱长为，设正方体的棱长为，
则，
则，
故正方体内切球的半径，
因为正四面体的棱长为，设底面三角形的高为，
则，
所以，
则底面三角形的面积
因为顶点在底面的投影位为底面三角形高的处，设正四面体的高为，
由勾股定理得，
则正四面体的体积为，
因为球与正四面体四个面相切，
则球心到正四面体的各个面的距离都相等，且为半径，
则正四面体的体积为，
则由等体积法得，可得，
则.
故答案为：.
【分析】将四面体补成正方体，则正四面体的棱切球即正方体的内切球，从而求出正方体的棱长，则可得球的半径，由题意得球的球心到正四面体的各个面的距离都相等，且为半径，由等体积法求出的值，再利用球的体积公式得出两个球的体积比.
15．（2024高一下·即墨期末）在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，），设，.
（1）若，，，求与的夹角.
（2）若
①与夹角余弦值；
②判断四边形的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：，
，
所以，
则，
.
（2）解：①因为，，
又因为，
，
，
则与夹角余弦值为.
②，
，且，
四边形为梯形.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）利用已知条件和数量积的运算律和数量积的定义，从而得出与的夹角.
（2）①先求出，再证明出，从而求出与夹角的余弦值.
②先求出和的关系，再结合向量共线定理证出，从而判断出四边形的形状.
（1），，
即，则，；
（2）①，，
，
，，与夹角余弦值为；
②，
，且，
四边形为梯形.
16．（2024高一下·即墨期末）某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组．
（1）求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？
（2）由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替）
（3）在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率．
【答案】（1）解：由题意可得：，
则，
所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人.
（2）解：由题意可得：
又因为，
可知，则，
解得：.
（3）解：因为中的人数：，
分别记为；
中的人数：，
分别记为
中的人数：，记为，
则任选两人的情况有：
，共种，
其中来自同一组有：
，共种，
所以两个人来自同一组的概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的基本性质；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和频率和为1，从而求出x的值，再结合频数等于频率乘以样本容量，从而估计出开业当天所有滑雪的人年龄在的人数.
（2）根据频率分布直方图求平均数公式，从而可知，再结合中位数的概念估计出样本中位数的值.
（3）利用已知条件，先求出各层人数，再利用列举法结合古典概率公式，从而得出这两个人来自同一组的概率．
（1）由题意可得：，
则，
所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人.
（2）由题意可得：，
又因为，
可知，则解得：.
（3）中的人数：，分别记为；
中的人数：，分别记为
中的人数：，记为
则任选两人的情况有
，共种，
其中来自同一组有
，共种，
所以两个人来自同一组的概率为.
17．（2024高一下·即墨期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明：连结和交于，连结，
∵为正方形，
∴为中点，
∵为中点，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：作于，
∵平面，平面，
∴，
∵为正方形，
∴，
∵，平面，
∴平面，
∴，
∵，
∴平面，
∵平面，平面，
∴，
∵，
∴，，
∴四棱锥的体积为：.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 连结和交于，连结，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理证出直线平面.
(2)由四边形为正方形和直线平面，从而可证、，进而证出直线平面，作于，由面面垂直的性质定理证出直线平面，再由四棱锥的体积公式得出四棱锥的体积.
（1）连结和交于，连结，
∵为正方形，∴为中点，∵为中点，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（2）作于.
∵平面，平面，∴，
∵为正方形，∴，∵，平面，
∴平面，
∴，∵，∴平面，
∵平面，平面，∴，
∵，∴，.
∴四棱锥的体积.
18．（2024高一下·即墨期末）记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线．
（1）求；
（2）求；
（3）若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值．
【答案】（1）解：，
又因为，
化简得：，
.
（2）解：在中，由余弦定理得：
，
（负根舍去），
由正弦定理得：，
解得：，
或(舍去).
（3）解：连接，
则为线段的垂直平分线，，
设，则，，
设，
在中，由正弦定理得：，
，
最大时即为的补角，
又因为，
所以，
，
，
长度最小值.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和向量中线定理，从而建立方程求解得出b的值.
（2）先利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理和三角形中角A的取值范围，从而求解得出满足要求的角A的值.
（3）利用折叠性质结合正弦定理，从而将所求边长表示为三角函数，再结合三角函数有界性求解得出长度最小值.
（1）
化简得：，，
（2）在中，由余弦定理得：
，（负根舍去），
由正弦定理得：，解得：，
或(舍去)
（3）连接，则为线段的垂直平分线
，设，则，
设，在中，由正弦定理得：，
，最大时即为的补角，
而，所以，
，，
长度最小值.
19．（2024高一下·即墨期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”
（1）判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由；
（2）若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围；
（3）若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围．
【答案】（1）解：
，，
，，
故的值域为，当时，，
此时，不是的“4重覆盖函数”.
（2）解：，
，
则函数的图像如下：
是的“3重覆盖函数”，
，
在成立，
.
（3）解：，
，
令，
为的“9重覆盖函数”，
所以有9个实数根，
则有9个实数根，
因为与的图象如下，
当时，，解得：；
当时，，解得：，
综上所述，要满足题意，则，
所以.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；正切函数的图象与性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和的“重覆盖函数”定义，从而判断出不是的“4重覆盖函数”.
（2）利用已知条件和的“重覆盖函数”，从而建立不等式，进而求解得出实数m的取值范围.
（3）利用已知条件和的“重覆盖函数”，从而将问题转化为两函数交点问题，再结合两函数的交点的横坐标和方程的根的等价关系，则根据数形结合法得出的取值范围.
（1），
，
，，
故的值域为，当时，，
此时，不是的“4重覆盖函数”，
（2），，
的图像如下：
是的“3重覆盖函数”，
，
在成立，
，
（3），
，令，
为的“9重覆盖函数”，
即有9个实数根，
即有9个实数根，
因为与的图像如下，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
综上，要满足题意，所以，即.
1 / 1山东省青岛市即墨区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
1．（2024高一下·即墨期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·即墨期末）已知，，若，则（ ）
A． B．1 C． D．4
3．（2024高一下·即墨期末）某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为（ ）
A．1000 B．900 C．800 D．700
4．（2024高一下·即墨期末）如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（ ）
A．数据中可能存在极端大的值 B．这组数据是不对称的
C．数据中众数一定不等于中位数 D．数据的平均数大于中位数
5．（2024高一下·即墨期末）已知直线与平面，能使的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·即墨期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．是的一个零点
D．是的一个单调减区间
7．（2024高一下·即墨期末）投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·即墨期末）函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
9．（2024高一下·即墨期末）已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第一象限
10．（2024高一下·即墨期末）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若则
B．最大值为3
C．若，则
D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为
11．（2024高一下·即墨期末）如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（ ）
A．该几何体的体积为
B．直线与平面所成角的正切值为
C．异面直线与的夹角余弦值为
D．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上
12．（2024高一下·即墨期末）一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为，第三四分位数为，则 ；
13．（2024高一下·即墨期末）从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是 .
14．（2024高一下·即墨期末）已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 ．
15．（2024高一下·即墨期末）在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，），设，.
（1）若，，，求与的夹角.
（2）若
①与夹角余弦值；
②判断四边形的形状，并说明理由.
16．（2024高一下·即墨期末）某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组．
（1）求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？
（2）由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替）
（3）在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率．
17．（2024高一下·即墨期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
18．（2024高一下·即墨期末）记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线．
（1）求；
（2）求；
（3）若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值．
19．（2024高一下·即墨期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”
（1）判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由；
（2）若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围；
（3）若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意知，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据复数除法运算法则和共轭复数的概念，从而得出复数z.
2．【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，且，
所以，
解得.
故答案为：A.
【分析】由可得，再结合数量积的坐标表示，从而列方程求出的值.
3．【答案】D
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可得：全校的总人数为人，
因为高一、高二、高三的人数之比为，
所以该校高二年级的人数为人.
故答案为：D.
【分析】由题意，先求出全校的总人数，再利用各年级人数所占的比例求该校高二年级的人数即可.
4．【答案】C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，
则其图单峰不对称，故B正确；
其大致图如下：
由图可知数据中可能存在极端大的值，故A正确；
由于“右拖尾”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，可能与众数相等，故C错误；
因为平均数靠近中点处，平均数容易受极端值的影响，
与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据频率分布直方图的性质结合样本的数字特征，从而逐项判断找出说法一定错误的选项.
5．【答案】B
【知识点】充分条件
【解析】【解答】解：若，则也可能平行，故A错误；
若，则，故B正确；
若，则可能垂直，也可能平行，故C错误；
若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直，
所以可能相交，不一定垂直，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系，再根据充分条件的判断方法，从而逐项判断找出能使的充分条件.
6．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的图象向左平移个单位得，，则函数，
A、的最小正周期为，故A错误；
B、，则为图象的一条对称轴，故B正确；
C、，则不是的零点，故C错误；
D、当时，，，
因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，故D错误.
故答案为：B.
【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，再逐项分析判断即可.
7．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意得，
事件，中至少有一个发生的对立事件是事件，都不发生，
又因为事件不发生的概率为，事件不发生的概率为，
所以事件，都不发生的概率为，
故事件，中至少有一个发生的概率是.
故答案为：D.
【分析】将所求事件的概率转化为求对立事件的概率，再利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出事件，中至少有一个发生的概率.
8．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：根据图象可得，，
所以，
可求得，，
解之可得，
又因为，所以，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据正弦型函数的图象的最高点的纵坐标可得的值，再结合正弦型函数的最小正周期公式可得的值，再根据五点对应法和，从而可得的值，则得出函数的解析式，再代入得出函数的值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，
可得.
对于A，因为，故A错误，
对于B，因为的虚部为，故B正确，
对于C，因为，故C正确，
对于D，因为在复平面内对应的点为，它在第一象限，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用复数的除法运算法则，从而化简可得复数z，再结合共轭复数的定义、复数的虚部的定义、复数的乘法运算法则、复数的几何意义，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以与不垂直，故A错误；
对于B，因为，
所以，
所以
当共线时，有最大值为1，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，
则，
所以，
所以，解得，故C错误；
对于D，因为，
所以，则，
所以在向量上的投影向量为，
故D正确.
故答案为：BD.
【分析】先利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，则判断出选项A；利用已知条件和数量积求向量的模的公式意数量积的运算律，再结合余弦型函数求最值的方法，则判断出选项B；移项之后再平方求解得出的值，则判断出选项C；利用在向量上的投影向量为，从而得出向量在向量上的投影向量坐标，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】对于A，根据长方体和棱锥的体积公式求解判断，对于B，连接交于，连接，则可得为直线与平面所成角，然后求解判断，对于C，由于∥，则可得的补角为异面直线与的夹角，然后在中求解判断，对于D，先求出长方体的外接球半径，然后判断点是否在该球上即可.
【解答】解：对于A，该几何体的体积为，所以A正确，
对于B，连接交于，连接，由题意可知四棱锥为正四棱锥，
所以平面，所以为直线与平面所成角，
因为正方形的边长为1，所以，
所以，所以B正确，
对于C，设，因为∥，
所以或其补角为异面直线与的夹角，
，，
所以，
所以，异面直线与的夹角余弦值为，所以C错误，
对于D，设长方体的外接球的球心为，半径为，
则为的中点，，得，
因为，所以点长方体的外接球上，
所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，所以D正确.
故选：ABD.
【分析】利用棱柱和棱锥的体积公式和求和的方法，从而得出该几何体的体积，进而判断出选项A；利用已知条件结合线面角的求解方法和正切函数的定义，进而判断出选项B；利用线线平行和异面直线所成的角的求解方法，从而由余弦定理得异面直线与的夹角余弦值，进而判断出选项C；利用长方体的结构特征和中点的性质，再利用勾股定理和几何法得出球的半径，再由点与球的位置关系，则判断出存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为众数=5，
所以，从小到大排列是1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10，
又因为数据个数为14，且，
所以这组数据的第三四分位数为8.
故答案为：13.
【分析】根据众数的概念求得这组数据的众数，再从小到大排列后，则利用四舍五入法求得这组数据的第三四分位数.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从四棱锥的八条棱中随机选取两条，基本事件总数，
这两条棱所在的直线为异面直线包含的基本事件个数，
则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是．
故答案为：.
【分析】利用基本事件总数，这两条棱所在的直线为异面直线包含的基本事件个数，再结合古典概率公式得出这两条棱所在的直线为异面直线的概率．
14．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：将四面体补成正方体，
则四面体的棱长全是该正方体的面对角线，球与正四面体六条棱相切，
则球为正方体的内切球，且切点为面对角线的中点，
因为正四面体的棱长为，设正方体的棱长为，
则，
则，
故正方体内切球的半径，
因为正四面体的棱长为，设底面三角形的高为，
则，
所以，
则底面三角形的面积
因为顶点在底面的投影位为底面三角形高的处，设正四面体的高为，
由勾股定理得，
则正四面体的体积为，
因为球与正四面体四个面相切，
则球心到正四面体的各个面的距离都相等，且为半径，
则正四面体的体积为，
则由等体积法得，可得，
则.
故答案为：.
【分析】将四面体补成正方体，则正四面体的棱切球即正方体的内切球，从而求出正方体的棱长，则可得球的半径，由题意得球的球心到正四面体的各个面的距离都相等，且为半径，由等体积法求出的值，再利用球的体积公式得出两个球的体积比.
15．【答案】（1）解：，
，
所以，
则，
.
（2）解：①因为，，
又因为，
，
，
则与夹角余弦值为.
②，
，且，
四边形为梯形.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）利用已知条件和数量积的运算律和数量积的定义，从而得出与的夹角.
（2）①先求出，再证明出，从而求出与夹角的余弦值.
②先求出和的关系，再结合向量共线定理证出，从而判断出四边形的形状.
（1），，
即，则，；
（2）①，，
，
，，与夹角余弦值为；
②，
，且，
四边形为梯形.
16．【答案】（1）解：由题意可得：，
则，
所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人.
（2）解：由题意可得：
又因为，
可知，则，
解得：.
（3）解：因为中的人数：，
分别记为；
中的人数：，
分别记为
中的人数：，记为，
则任选两人的情况有：
，共种，
其中来自同一组有：
，共种，
所以两个人来自同一组的概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的基本性质；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和频率和为1，从而求出x的值，再结合频数等于频率乘以样本容量，从而估计出开业当天所有滑雪的人年龄在的人数.
（2）根据频率分布直方图求平均数公式，从而可知，再结合中位数的概念估计出样本中位数的值.
（3）利用已知条件，先求出各层人数，再利用列举法结合古典概率公式，从而得出这两个人来自同一组的概率．
（1）由题意可得：，
则，
所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人.
（2）由题意可得：，
又因为，
可知，则解得：.
（3）中的人数：，分别记为；
中的人数：，分别记为
中的人数：，记为
则任选两人的情况有
，共种，
其中来自同一组有
，共种，
所以两个人来自同一组的概率为.
17．【答案】（1）证明：连结和交于，连结，
∵为正方形，
∴为中点，
∵为中点，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：作于，
∵平面，平面，
∴，
∵为正方形，
∴，
∵，平面，
∴平面，
∴，
∵，
∴平面，
∵平面，平面，
∴，
∵，
∴，，
∴四棱锥的体积为：.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 连结和交于，连结，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理证出直线平面.
(2)由四边形为正方形和直线平面，从而可证、，进而证出直线平面，作于，由面面垂直的性质定理证出直线平面，再由四棱锥的体积公式得出四棱锥的体积.
（1）连结和交于，连结，
∵为正方形，∴为中点，∵为中点，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（2）作于.
∵平面，平面，∴，
∵为正方形，∴，∵，平面，
∴平面，
∴，∵，∴平面，
∵平面，平面，∴，
∵，∴，.
∴四棱锥的体积.
18．【答案】（1）解：，
又因为，
化简得：，
.
（2）解：在中，由余弦定理得：
，
（负根舍去），
由正弦定理得：，
解得：，
或(舍去).
（3）解：连接，
则为线段的垂直平分线，，
设，则，，
设，
在中，由正弦定理得：，
，
最大时即为的补角，
又因为，
所以，
，
，
长度最小值.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和向量中线定理，从而建立方程求解得出b的值.
（2）先利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理和三角形中角A的取值范围，从而求解得出满足要求的角A的值.
（3）利用折叠性质结合正弦定理，从而将所求边长表示为三角函数，再结合三角函数有界性求解得出长度最小值.
（1）
化简得：，，
（2）在中，由余弦定理得：
，（负根舍去），
由正弦定理得：，解得：，
或(舍去)
（3）连接，则为线段的垂直平分线
，设，则，
设，在中，由正弦定理得：，
，最大时即为的补角，
而，所以，
，，
长度最小值.
19．【答案】（1）解：
，，
，，
故的值域为，当时，，
此时，不是的“4重覆盖函数”.
（2）解：，
，
则函数的图像如下：
是的“3重覆盖函数”，
，
在成立，
.
（3）解：，
，
令，
为的“9重覆盖函数”，
所以有9个实数根，
则有9个实数根，
因为与的图象如下，
当时，，解得：；
当时，，解得：，
综上所述，要满足题意，则，
所以.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；正切函数的图象与性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和的“重覆盖函数”定义，从而判断出不是的“4重覆盖函数”.
（2）利用已知条件和的“重覆盖函数”，从而建立不等式，进而求解得出实数m的取值范围.
（3）利用已知条件和的“重覆盖函数”，从而将问题转化为两函数交点问题，再结合两函数的交点的横坐标和方程的根的等价关系，则根据数形结合法得出的取值范围.
（1），
，
，，
故的值域为，当时，，
此时，不是的“4重覆盖函数”，
（2），，
的图像如下：
是的“3重覆盖函数”，
，
在成立，
，
（3），
，令，
为的“9重覆盖函数”，
即有9个实数根，
即有9个实数根，
因为与的图像如下，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
综上，要满足题意，所以，即.
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