云南省曲靖市2023-2024学年高一下学期学业水平检测数学试卷
1．（2024高一下·曲靖期末）某学校高三体检时将学生分为10人一组，测得其中一组的心率依次为61、64、65、62、61、74、62、62、70、78，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A．65 B．67 C．67.5 D．70
2．（2024高一下·曲靖期末）若复数为纯虚数，则的虚部为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024高一下·曲靖期末）已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·曲靖期末）已知是三条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024高一下·曲靖期末）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·曲靖期末）如图，在四棱锥中，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·曲靖期末）正四棱柱中，，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·曲靖期末）在中国文化中，八边形常常被看作是四平八稳、镇宅保平安的象征.比如，八角楼、八角塔、八边花窗、八角门环和八遍园林门径等，都有着这样的寓意.如图，在边长为的正八边形中，若内的一点满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·曲靖期末）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现的点数大于3”，“第一枚出现的点数小于3”，“第一枚出现的点数小于4”，“第二枚出现的点数小于5”，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一下·曲靖期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．在复平面内对应的点位于第四象限
D．
11．（2024高一下·曲靖期末）在棱长为2的正方体中，点是正方形内一动点（包括边界），则（ ）
A．平面
B．若，则点的轨迹长度为
C．若平面，则点的轨迹长度是
D．当点在直线上运动时，的最小值是
12．（2024高一下·曲靖期末）某中学高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，若用分层抽样在该中学抽取容量为60的样本，则应从高三年级抽取 人.
13．（2024高一下·曲靖期末）若一个正四棱柱的表面积为64，高为2，则该正四棱柱的外接球的体积为 .
14．（2024高一下·曲靖期末）已知复数，并且，则的最大值为 ，此时的实部为 .
15．（2024高一下·曲靖期末）某乡镇企业2024年1～4月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表：
月份
产品产量千件 …
收益万元 …
已知且，给出以下4个函数模型：①；②；③；④.
（1）选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式；
（2）已知该乡镇企业由于场地小，最多只能生产500千件，否则需要搬迁，现镇政府想使该企业的收益在10万元以上（含10万元），此企业是否应搬迁？
16．（2024高一下·曲靖期末）深州蜜桃具有个头硕大、色泽鲜艳、肉质鲜嫩、口味香甜的特点，在历史上一直备受推崇和喜爱.每个桃子的质量约6、7两，最大的可有1斤2两，被称为“桃中之魁”.如今，深州市大力倡导恢复古法种植技术，蜜桃种植户小李现在老树上有6000个蜜桃，新树上有4000个蜜桃，为了测蜜桃的质量，从新树上随机摘了8个蜜桃，从老树上随机摘了12个蜜桃，经称量，这8个新树上的蜜桃的质量（单位：克）依次为：310、446、480、441、451、510、475、407.
（1）求这8个蜜桃质量的平均数与方差；
（2）经检测12个老树上的蜜桃的质量的平均数为440，方差为3882，计算总样本的平均数与方差；
（3）小李按新树与老树上的蜜桃个数用分层抽样随机取了5个蜜桃，然后再从这5个蜜桃中随机拿出两个让顾客品尝，求拿出的两个蜜桃至少有1个是新树上的蜜桃的概率.
17．（2024高一下·曲靖期末）在中，角所对的边分别是，的面积为，若.
（1）求角；
（2）若，点是边的中点，求的最大值.
18．（2024高一下·曲靖期末）如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面.
（1）求证：平面；
（2）已知点为棱上的点，若直线与平面所成的角的正弦值为.
①求三棱锥的体积；
②过点作平面，使平面平面，求平面截三棱锥所得截面的面积.
19．（2024高一下·曲靖期末）所有非零向量构成的集合为，对于，定义.
（1）已知，若，且，求；
（2）已知，若，且，求；
（3）已知，当时，若关于的方程有三个连续的实数根，且，求实数的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：10组心率从小到大排列为61、61、62、62、62、64、65、70、74、78，
，则第70百分位数为.
故答案为：C.
【分析】先将数据从小到大排列，再利用百分位数求法计算即可.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：若复数为纯虚数，
则，解得，则复数，
则，虚部为4.
故答案为：B.
【分析】根据纯虚数的定义，求出，再结合复数四则运算以及复数概念求解即可.
3．【答案】B
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆的半径为，
由题意可得：，解得，则圆锥的高为，
圆锥体积为.
故答案为：B.
【分析】设圆锥底面圆的半径为，求出圆锥的半径、高，再根据圆锥的体积公式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、 当时，不能推出，故A错误；
B、 当时，不能推出，故B错误；
C、，不能同时成立，故C错误；
D、，则，因为，所以，又因为，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据线面位置关系面面位置关系判断即可.
5．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：向量，
若，则，解得，
故向量，，
.
故答案为：A.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求出，再根据向量的夹角坐标公式计算即可.
6．【答案】A
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解： 在四棱锥中，
因为平面平面，
所以，，，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，所以，
因为，所以是直线与所成的角即为直线与所成的角，
在中，，
则，即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】由，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，由已知条件，计算出的长度，利用三角函数的定义求解即可.
7．【答案】D
【知识点】二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：连接交于，连接，如图所示：
因为四棱柱为正四棱柱，所以平面，，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
在中，，
，则，
因为，所以.
故答案为：D.
【分析】连接交于，连接，可得为二面角的平面角，在中求出的余弦值，再求的余弦值即可.
8．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【解答】解：设正八边形的中心为，，
在中，，，
由余弦定理得，解得，
在中，，由勾股定理得，则，
即，
设，，，又，
则
，
，
则
.
故答案为：A.
【分析】设，利用余弦定理求出，再在中由勾股定理得出，求出，再由求解即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设M=“第一枚出现的点数大于3”，N=“第一枚出现的点数小于3”，S=“第一枚出现的点数小于4”，Q=“第二枚出现的点数小于5”，
则
A、是互斥事件，则，故A错误；
B、是必然事件，则，故B正确；
C、是独立事件，则，故C正确；
D、是独立事件，，
则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先分别求的概率，再根据互斥事件独立事件分别判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B正确；
C、在复平面内对应的点为，
因为，则，所以对应的点位于第三象限，故C错误；
D、
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】代入欧拉公式运算即可判断AB；结合欧拉公式计算，求在复平面对应的点坐标即可判断C；将代入化简，再求即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、连接，如图所示：
因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
因为，平面，所以平面，故A正确；
B、因为平面，平面，所以，
因为，，所以，
所以点在以为圆心，1为半径的弧上，如图在上，
则点的轨迹长度为，故B正确；
C、连接，如图所示：
因为平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，
又因为平面，平面，所以∥平面，
同理可证∥平面，
因为，平面，所以平面∥平面，
所以当平面时，∥平面，
因为平面平面，所以点的轨迹为，故C错误；
D、将平面和平面展在同一个平面，如图所示：
则，当三点共线时取等号，
因为，
所以，即的最小值是，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据正方体的性质结合线面垂直的判定定理分析即可判断A；由于平面，则，从而可得，进求出点的轨迹即可判断B；连接，可证得当平面时，点的轨迹为，求出长度即可判断C；将平面和平面展在同一个平面求解即可判断D.
12．【答案】20
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：根据分层抽样可知：高三年级应抽取.
故答案为：20.
【分析】利用分层抽样计算即可.
13．【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正四棱柱的底面正方形的边长为，
由题意可得：，解得，
正四棱柱的外接球的直径为正四棱柱的体对角线，
则该正四棱柱的外接球的半径为，
故该正四棱柱的外接球的体积为.
故答案为：.
【分析】设正四棱柱的底面正方形的边长为，根据表面积列出方程可求得底面正方形边长，再求外接球半径，结合球的体积公式计算即可.
14．【答案】0；
【知识点】基本不等式；复数相等的充要条件；共轭复数
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以，解得，
又因为，所以，
则，
即，
当且仅当，即时等号成立，的最大值为；
当时，，解得，的实部为.
故答案为：0；.
【分析】先求，根据复数相等列方程组，结合基本不等式求解的最大值；把代入方程组即可解.
15．【答案】（1）解：由表中数据可知，收益随着产品产量的递增而递增，且增长速度越来越慢，
而①单调递减，不合题意，
③是单调递减函数，不合题意，
对于②，由题意可知，从而增长率越来越快，不合题意，
故只能选择④的模型，且，
将，代入，可得，解得，则，
当时，，当时，，符合题意，
故可用④来描述，之间的关系，解析式为；
（2）解：令，则，因为，所以此企业需要搬迁.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）先根据函数的性质判断符合的函数，再代入表格数据，求解函数的解析式即可；
（2）根据（1）的结果，列不等式求解即可.
（1）由表中数据可知，收益随着产品产量的递增而递增，且增长速度越来越慢.
而①单调递减，不合题意，
③是单调递减函数，不合题意，
对于②，由题意可知，从而增长率越来越快，不合题意.
故只能选择④的模型，且.
将，代入，可得，
解得，所以，
当时，，
当时，，所以符合题意，
所以可用④来描述，之间的关系，解析式为；
（2）令，则，
又，所以此企业需要搬迁.
16．【答案】（1）解：易知蜜桃质量的平均数为，
方差为
；
（2）解：抽取样本的平均数为，
抽取样本方差为：，
由样本估计总体，则总样本的平均数为440，方差为；
（3）解：小李按新树与老树上的蜜桃个数用分层抽样随机取了5个蜜桃，
则新数上的蜜桃个数为2个，记为：，，老树上的蜜桃个数为3个，记为：，，，
则所有基本事件为：，，，，，，，，，共10个，
拿出的两个蜜桃至少有1个是新树上的蜜桃的基本事件有：
，，，，，，共7个；
则拿出的两个蜜桃至少有1个是新树上的蜜桃的概率：.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由平均数与方差公式计算即可；
（2）计算出样本平均数与方差，由样本估计总体即可；
（3）由分层抽样得到5各种新老树上蜜桃的个数，写出所有的基本事件数，利用古典概型概率公式计算即可.
（1）这8个蜜桃质量的平均数为，
方差为
（2）抽取样本的平均数为，
因为平均数都一样，所以抽取样本方差为：
由样本估计总体，则总样本的平均数为440，方差为
（3）小李按新树与老树上的蜜桃个数用分层抽样随机取了5个蜜桃，
则新数上的蜜桃个数为2个，记为：，，老树上的蜜桃个数为3个，记为：，，，
则所有基本事件为：，，，，，，，，，共10个，
拿出的两个蜜桃至少有1个是新树上的蜜桃的基本事件有：，，，，，，共7个；
所以拿出的两个蜜桃至少有1个是新树上的蜜桃的概率：
17．【答案】（1）解：由，可得，
则，因为，所以；
（2）解：由（1），根据余弦定理可得，
则，即，
因为点是边的中点，所以，
则
，即，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
【知识点】向量加法的三角形法则；向量在几何中的应用；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理结合三角形面积公式化简求角即可；
（2）由余弦定理结合不等式可得，根据点是边的中点，可得，两边同时平方求解即可.
（1）因为，
所以，
所以，因为，
所以；
（2）由（1），根据余弦定理可得，
所以，所以，
又点是边的中点，所以，
，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
18．【答案】（1）证明：因为，，，
所以，，，
，
满足，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为，，平面，平面，所以平面；
（2）解：①，连接，如图所示：
由（1）知平面，即为直线与平面所成的角，
，因为，所以，
在中，，
因为平面，平面，所以，所以为直角三角形，
；
②、过点作交于，交于，
则平面截三棱锥所得截面图形为，
由平面平面，可得，
由①知，，可得，
则平面截三棱锥所得截面的面积为.
【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）在平面图形中可得，由平面平面可得平面，进一步得到，由线线垂直证明线面垂直即可；
（2）①由（1）知为直线与平面所成的角，可得，通过转换顶点求解即可；
②过点作平面交于，交于，由已知平面截三棱锥所得截面图形为，由面积比等于相似比的平方求解即可.
（1）因为，，，
所以，，，
，
所以，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以，
又，，平面，平面，
所以平面；
（2）①连接，由（1）知平面，
所以为直线与平面所成的角，
所以，又，所以，
在中，，
因为平面，平面，所以，
所以为直角三角形，
；
②过点作交于，交于，
则平面截三棱锥所得截面图形为，
由平面平面，
所以，
由①知，，
所以，
所以平面截三棱锥所得截面的面积为.
19．【答案】（1）解：设向量，则，即，
由，可得，解得，
当时，，当时，，
故或；
（2）解：由题意得，即，故，
；
（3）解：，
即，
故，
故，
根据正弦图象及可知，且，，又，
故，故，
则，所以，
即，解得.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；正弦函数的图象；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）设向量，根据题意得到，结合求解即可；
（2）根据题意得到方程，求出，化简得到，代入求解即可；
（3）化简得到，故，结合正弦函数图象得到且，，又，得到方程，求出，代入，得到，求解即可.
（1）设，则，即，
又，解得，
当时，，当时，，
故或；
（2）由题意得，即，
故，
；
（3），
即，
故，
故，
根据正弦图象及可知，且，，
又，
故，故，
则，所以，
即，解得.
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1．（2024高一下·曲靖期末）某学校高三体检时将学生分为10人一组，测得其中一组的心率依次为61、64、65、62、61、74、62、62、70、78，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A．65 B．67 C．67.5 D．70
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：10组心率从小到大排列为61、61、62、62、62、64、65、70、74、78，
，则第70百分位数为.
故答案为：C.
【分析】先将数据从小到大排列，再利用百分位数求法计算即可.
2．（2024高一下·曲靖期末）若复数为纯虚数，则的虚部为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：若复数为纯虚数，
则，解得，则复数，
则，虚部为4.
故答案为：B.
【分析】根据纯虚数的定义，求出，再结合复数四则运算以及复数概念求解即可.
3．（2024高一下·曲靖期末）已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆的半径为，
由题意可得：，解得，则圆锥的高为，
圆锥体积为.
故答案为：B.
【分析】设圆锥底面圆的半径为，求出圆锥的半径、高，再根据圆锥的体积公式求解即可.
4．（2024高一下·曲靖期末）已知是三条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、 当时，不能推出，故A错误；
B、 当时，不能推出，故B错误；
C、，不能同时成立，故C错误；
D、，则，因为，所以，又因为，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据线面位置关系面面位置关系判断即可.
5．（2024高一下·曲靖期末）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：向量，
若，则，解得，
故向量，，
.
故答案为：A.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求出，再根据向量的夹角坐标公式计算即可.
6．（2024高一下·曲靖期末）如图，在四棱锥中，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解： 在四棱锥中，
因为平面平面，
所以，，，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，所以，
因为，所以是直线与所成的角即为直线与所成的角，
在中，，
则，即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】由，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，由已知条件，计算出的长度，利用三角函数的定义求解即可.
7．（2024高一下·曲靖期末）正四棱柱中，，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：连接交于，连接，如图所示：
因为四棱柱为正四棱柱，所以平面，，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
在中，，
，则，
因为，所以.
故答案为：D.
【分析】连接交于，连接，可得为二面角的平面角，在中求出的余弦值，再求的余弦值即可.
8．（2024高一下·曲靖期末）在中国文化中，八边形常常被看作是四平八稳、镇宅保平安的象征.比如，八角楼、八角塔、八边花窗、八角门环和八遍园林门径等，都有着这样的寓意.如图，在边长为的正八边形中，若内的一点满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【解答】解：设正八边形的中心为，，
在中，，，
由余弦定理得，解得，
在中，，由勾股定理得，则，
即，
设，，，又，
则
，
，
则
.
故答案为：A.
【分析】设，利用余弦定理求出，再在中由勾股定理得出，求出，再由求解即可.
9．（2024高一下·曲靖期末）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现的点数大于3”，“第一枚出现的点数小于3”，“第一枚出现的点数小于4”，“第二枚出现的点数小于5”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设M=“第一枚出现的点数大于3”，N=“第一枚出现的点数小于3”，S=“第一枚出现的点数小于4”，Q=“第二枚出现的点数小于5”，
则
A、是互斥事件，则，故A错误；
B、是必然事件，则，故B正确；
C、是独立事件，则，故C正确；
D、是独立事件，，
则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先分别求的概率，再根据互斥事件独立事件分别判断即可.
10．（2024高一下·曲靖期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．在复平面内对应的点位于第四象限
D．
【答案】A,B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B正确；
C、在复平面内对应的点为，
因为，则，所以对应的点位于第三象限，故C错误；
D、
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】代入欧拉公式运算即可判断AB；结合欧拉公式计算，求在复平面对应的点坐标即可判断C；将代入化简，再求即可判断D.
11．（2024高一下·曲靖期末）在棱长为2的正方体中，点是正方形内一动点（包括边界），则（ ）
A．平面
B．若，则点的轨迹长度为
C．若平面，则点的轨迹长度是
D．当点在直线上运动时，的最小值是
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、连接，如图所示：
因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
因为，平面，所以平面，故A正确；
B、因为平面，平面，所以，
因为，，所以，
所以点在以为圆心，1为半径的弧上，如图在上，
则点的轨迹长度为，故B正确；
C、连接，如图所示：
因为平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，
又因为平面，平面，所以∥平面，
同理可证∥平面，
因为，平面，所以平面∥平面，
所以当平面时，∥平面，
因为平面平面，所以点的轨迹为，故C错误；
D、将平面和平面展在同一个平面，如图所示：
则，当三点共线时取等号，
因为，
所以，即的最小值是，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据正方体的性质结合线面垂直的判定定理分析即可判断A；由于平面，则，从而可得，进求出点的轨迹即可判断B；连接，可证得当平面时，点的轨迹为，求出长度即可判断C；将平面和平面展在同一个平面求解即可判断D.
12．（2024高一下·曲靖期末）某中学高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，若用分层抽样在该中学抽取容量为60的样本，则应从高三年级抽取 人.
【答案】20
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：根据分层抽样可知：高三年级应抽取.
故答案为：20.
【分析】利用分层抽样计算即可.
13．（2024高一下·曲靖期末）若一个正四棱柱的表面积为64，高为2，则该正四棱柱的外接球的体积为 .
【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正四棱柱的底面正方形的边长为，
由题意可得：，解得，
正四棱柱的外接球的直径为正四棱柱的体对角线，
则该正四棱柱的外接球的半径为，
故该正四棱柱的外接球的体积为.
故答案为：.
【分析】设正四棱柱的底面正方形的边长为，根据表面积列出方程可求得底面正方形边长，再求外接球半径，结合球的体积公式计算即可.
14．（2024高一下·曲靖期末）已知复数，并且，则的最大值为 ，此时的实部为 .
【答案】0；
【知识点】基本不等式；复数相等的充要条件；共轭复数
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以，解得，
又因为，所以，
则，
即，
当且仅当，即时等号成立，的最大值为；
当时，，解得，的实部为.
故答案为：0；.
【分析】先求，根据复数相等列方程组，结合基本不等式求解的最大值；把代入方程组即可解.
15．（2024高一下·曲靖期末）某乡镇企业2024年1～4月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表：
月份
产品产量千件 …
收益万元 …
已知且，给出以下4个函数模型：①；②；③；④.
（1）选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式；
（2）已知该乡镇企业由于场地小，最多只能生产500千件，否则需要搬迁，现镇政府想使该企业的收益在10万元以上（含10万元），此企业是否应搬迁？
【答案】（1）解：由表中数据可知，收益随着产品产量的递增而递增，且增长速度越来越慢，
而①单调递减，不合题意，
③是单调递减函数，不合题意，
对于②，由题意可知，从而增长率越来越快，不合题意，
故只能选择④的模型，且，
将，代入，可得，解得，则，
当时，，当时，，符合题意，
故可用④来描述，之间的关系，解析式为；
（2）解：令，则，因为，所以此企业需要搬迁.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）先根据函数的性质判断符合的函数，再代入表格数据，求解函数的解析式即可；
（2）根据（1）的结果，列不等式求解即可.
（1）由表中数据可知，收益随着产品产量的递增而递增，且增长速度越来越慢.
而①单调递减，不合题意，
③是单调递减函数，不合题意，
对于②，由题意可知，从而增长率越来越快，不合题意.
故只能选择④的模型，且.
将，代入，可得，
解得，所以，
当时，，
当时，，所以符合题意，
所以可用④来描述，之间的关系，解析式为；
（2）令，则，
又，所以此企业需要搬迁.
16．（2024高一下·曲靖期末）深州蜜桃具有个头硕大、色泽鲜艳、肉质鲜嫩、口味香甜的特点，在历史上一直备受推崇和喜爱.每个桃子的质量约6、7两，最大的可有1斤2两，被称为“桃中之魁”.如今，深州市大力倡导恢复古法种植技术，蜜桃种植户小李现在老树上有6000个蜜桃，新树上有4000个蜜桃，为了测蜜桃的质量，从新树上随机摘了8个蜜桃，从老树上随机摘了12个蜜桃，经称量，这8个新树上的蜜桃的质量（单位：克）依次为：310、446、480、441、451、510、475、407.
（1）求这8个蜜桃质量的平均数与方差；
（2）经检测12个老树上的蜜桃的质量的平均数为440，方差为3882，计算总样本的平均数与方差；
（3）小李按新树与老树上的蜜桃个数用分层抽样随机取了5个蜜桃，然后再从这5个蜜桃中随机拿出两个让顾客品尝，求拿出的两个蜜桃至少有1个是新树上的蜜桃的概率.
【答案】（1）解：易知蜜桃质量的平均数为，
方差为
；
（2）解：抽取样本的平均数为，
抽取样本方差为：，
由样本估计总体，则总样本的平均数为440，方差为；
（3）解：小李按新树与老树上的蜜桃个数用分层抽样随机取了5个蜜桃，
则新数上的蜜桃个数为2个，记为：，，老树上的蜜桃个数为3个，记为：，，，
则所有基本事件为：，，，，，，，，，共10个，
拿出的两个蜜桃至少有1个是新树上的蜜桃的基本事件有：
，，，，，，共7个；
则拿出的两个蜜桃至少有1个是新树上的蜜桃的概率：.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由平均数与方差公式计算即可；
（2）计算出样本平均数与方差，由样本估计总体即可；
（3）由分层抽样得到5各种新老树上蜜桃的个数，写出所有的基本事件数，利用古典概型概率公式计算即可.
（1）这8个蜜桃质量的平均数为，
方差为
（2）抽取样本的平均数为，
因为平均数都一样，所以抽取样本方差为：
由样本估计总体，则总样本的平均数为440，方差为
（3）小李按新树与老树上的蜜桃个数用分层抽样随机取了5个蜜桃，
则新数上的蜜桃个数为2个，记为：，，老树上的蜜桃个数为3个，记为：，，，
则所有基本事件为：，，，，，，，，，共10个，
拿出的两个蜜桃至少有1个是新树上的蜜桃的基本事件有：，，，，，，共7个；
所以拿出的两个蜜桃至少有1个是新树上的蜜桃的概率：
17．（2024高一下·曲靖期末）在中，角所对的边分别是，的面积为，若.
（1）求角；
（2）若，点是边的中点，求的最大值.
【答案】（1）解：由，可得，
则，因为，所以；
（2）解：由（1），根据余弦定理可得，
则，即，
因为点是边的中点，所以，
则
，即，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
【知识点】向量加法的三角形法则；向量在几何中的应用；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理结合三角形面积公式化简求角即可；
（2）由余弦定理结合不等式可得，根据点是边的中点，可得，两边同时平方求解即可.
（1）因为，
所以，
所以，因为，
所以；
（2）由（1），根据余弦定理可得，
所以，所以，
又点是边的中点，所以，
，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
18．（2024高一下·曲靖期末）如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面.
（1）求证：平面；
（2）已知点为棱上的点，若直线与平面所成的角的正弦值为.
①求三棱锥的体积；
②过点作平面，使平面平面，求平面截三棱锥所得截面的面积.
【答案】（1）证明：因为，，，
所以，，，
，
满足，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为，，平面，平面，所以平面；
（2）解：①，连接，如图所示：
由（1）知平面，即为直线与平面所成的角，
，因为，所以，
在中，，
因为平面，平面，所以，所以为直角三角形，
；
②、过点作交于，交于，
则平面截三棱锥所得截面图形为，
由平面平面，可得，
由①知，，可得，
则平面截三棱锥所得截面的面积为.
【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）在平面图形中可得，由平面平面可得平面，进一步得到，由线线垂直证明线面垂直即可；
（2）①由（1）知为直线与平面所成的角，可得，通过转换顶点求解即可；
②过点作平面交于，交于，由已知平面截三棱锥所得截面图形为，由面积比等于相似比的平方求解即可.
（1）因为，，，
所以，，，
，
所以，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以，
又，，平面，平面，
所以平面；
（2）①连接，由（1）知平面，
所以为直线与平面所成的角，
所以，又，所以，
在中，，
因为平面，平面，所以，
所以为直角三角形，
；
②过点作交于，交于，
则平面截三棱锥所得截面图形为，
由平面平面，
所以，
由①知，，
所以，
所以平面截三棱锥所得截面的面积为.
19．（2024高一下·曲靖期末）所有非零向量构成的集合为，对于，定义.
（1）已知，若，且，求；
（2）已知，若，且，求；
（3）已知，当时，若关于的方程有三个连续的实数根，且，求实数的值.
【答案】（1）解：设向量，则，即，
由，可得，解得，
当时，，当时，，
故或；
（2）解：由题意得，即，故，
；
（3）解：，
即，
故，
故，
根据正弦图象及可知，且，，又，
故，故，
则，所以，
即，解得.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；正弦函数的图象；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）设向量，根据题意得到，结合求解即可；
（2）根据题意得到方程，求出，化简得到，代入求解即可；
（3）化简得到，故，结合正弦函数图象得到且，，又，得到方程，求出，代入，得到，求解即可.
（1）设，则，即，
又，解得，
当时，，当时，，
故或；
（2）由题意得，即，
故，
；
（3），
即，
故，
故，
根据正弦图象及可知，且，，
又，
故，故，
则，所以，
即，解得.
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