广西柳州铁一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
1．（2024高一下·柳州期末）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·柳州期末）已知直线，直线，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·柳州期末） “”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高一下·柳州期末）已知平面向量满足，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5．（2024高一下·柳州期末）函数的图象是下列的（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·柳州期末）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
7．（2024高一下·柳州期末）2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.已知火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系为.若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·柳州期末）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·柳州期末）实验：甲、乙、丙三名同学各自从、、中选了一个字母（不可重复）.记事件为“乙同学选字母”，事件为“甲同学没有选字母”，则下列正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一下·柳州期末）如图，矩形中，为的中点，为的中点，交于点，将沿直线翻折到，连接为的中点，则在翻折过程中，下列合题中正确的是（ ）
A．翻折过程中，始终有平面平面
B．翻折过程中，的长是定值
C．若，则
D．存在某个位置，使得
11．（2024高一下·柳州期末）定义域为的函数，对任意，且不恒为0，下列说法中正确的有（ ）
A． B．为偶函数
C． D．若，则
12．（2024高一下·柳州期末）由数学王子高斯证明出的代数基本定理的内容可知一元次多项式方程有个复数根，且对于一元二次方程，其两个复数根互为共轭复数．若复数是一元二次方程的一个根，则 ．
13．（2024高一下·柳州期末）已知，则 ．
14．（2024高一下·柳州期末）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大
15．（2024高一下·柳州期末）已知圆：.
（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径；
（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求C的值.
16．（2024高一下·柳州期末）2023年国庆节假期期间，某超市举行购物抽奖赢手机的活动．活动规则如下：在2023年9月29日至10月6日期间消费金额（单位：元）不低于100元的顾客获得一张奖券（假设每名顾客只消费一次），奖券尾数随机生成，尾数为奇数和偶数的奖券数量相同，若顾客的奖券尾数为奇数，则获得一份价值5元的礼品，若顾客的奖券尾数为偶数，则获得抽取价值6999元的手机的资格．根据统计，顾客进入该超市消费金额的频率分布直方图如图所示．
以样本估计总体，以频率估计概率．
（1）若有1000名购物的顾客，求送出的礼品的价值金额；
（2）若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求每1000名顾客最多送出多少部手机．
17．（2024高一下·柳州期末）如图，的内角，，的对边分别为，，，已知，为线段上一点，且.
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值；
18．（2024高一下·柳州期末）在正方体中
（1）若分别为和的中点，求证：平面
（2）求二面角的正切值
（3）如图，为的中点，问：在棱上是否存在一点，使平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
19．（2024高一下·柳州期末）已知椭圆的离心率为，A，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程：
（2）设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．
①若点，点在椭圆上且位于轴下方，设和的面积分别为，，若，求点的坐标；
②若直线与直线交于点，直线交轴于点，如下图，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；并集及其运算
【解析】【解答】解： 集合， ，
若中恰有三个元素，则或或，
当，集合， ，符合题意；
当，即，当时，集合，不满足互异性 ，不符合题意；
当时，集合， ，符合题意；
当时，或，当时，集合， ，符合题意，
则的取值组成得集合为.
故答案为：D．
【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.
2．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：易知直线的斜率，
因为，所以直线的斜率，倾斜角为．
故答案为：D．
【分析】先求直线额斜率，再根据垂直关系求直线的斜率，倾斜角即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：若，则，所以方程表示双曲线；
若方程表示双曲线，则，解得或，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】本题考查双曲线方程，充分必要条件的判断.根据方程表示双曲线方程，可列出不等式，解不等式可求出实数m的取值范围，再根据充分、必要条件的概念可判断出选项.
4．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用平面向量的模，结合数量积的运算律求解即可.
5．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得：，
即函数的定义域为，定义域关于原点对称，且满足，
则函数为奇函数.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域即可判断BD；再利用奇偶性定义判断函数的奇偶性即可判断AC.
6．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
由诱导公式可知：
又
则，即只需把图象向右平移个单位.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用辅助角公式化简函数，再利用诱导公式统一函数名，最后根据三角函数图象平移变换规律判断即可．
7．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：根据题意，，
令，则，
所以，则，
即
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意列方程，结合指数、对数运算求解即可.
8．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设，
因为，则，，
由椭圆的定义可得，，
因为，即，
在中，则，即，
解得，可得，
在△中，可得，整理得，
所以椭圆E的离心率为.
故答案为：B．
【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理，
解得，进而可得，在△中，利用勾股定理列式求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解： 按甲、乙、丙顺序选字母，有，，，，，，共6种结果，
A、事件的有，，共2种，则，故A正确；
B、事件的有，，，，共4种，则，故B错误；
C、同时发生的有1种，则，故C正确；
D、或发生有5种，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据题意，利用列举法，结合古典概型的概率公式求解判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】平面与平面平行的判定；余弦定理
【解析】【解答】解：A、因为E，F为中点，则，所以四边形CEFD是平行四边形，
所以是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理平面，又，所以平面平面，故A正确；
B、因为（定值），（定值），（定值），
在中由余弦定理可知的长是定值，故B正确；
C、若，则，所以，所以，故C正确；
D、因为，所以，所以，
因为在同一平面内，所以不可能垂直于，
因为，所以不可能垂直于，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】易知为的中点，再利用面面平行的判定定理即可判断A；利用等角定理得到以及（定值），（定值），在中由余弦定理可知的长是定值即可判断B；由，利用直角三角形中线定理可得即可判断C；由等角定理，根据，得到，即，即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、令，有，所以或，
若，则只令，有，即恒为0，不合题意，
则，故A正确；
B、由A可知，不妨令，有，
即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，
所以偶函数，即为偶函数，故B正确；
C、令，有，令，由，得，
所以当时，有，即当时，，故C正确；
D、若，令，有，
所以关于中心对称，又为偶函数，
所以，
所以是周期为4的周期函数，又，
所以，
所以，
所以，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】令，可得或，结合不恒为0，可得，即可判断A；由，不妨令即可判断B；令，通过换元即可判断C；令，得关于成中心对称，结合为偶函数，可得为周期为4的函数，算出即可判断D.
12．【答案】64
【知识点】方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：是一元二次方程的一个根，则也是方程得根，
由韦达定理可得，解得，则.
故答案为：64.
【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理列方程求解即可.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】
故答案为：.
【分析】
先利用两角和差公式，再利用二倍角公式即可求得函数值；
14．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：过点C作交AB于D，连接，如图所示：
由题知，则就是遮阳篷ABC与地面所成的角，
因为，则求遮阴影面面积最大，即是求最大，，，
设，，由正弦定理，得，
当且仅当时取等号，此时所遮阴影面面积最大，.
故答案为：.
【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，找出角度取值与面积之间的关系求解即可．
15．【答案】（1）解：由，得，
则圆的标准方程为，
圆的圆心坐标为，半径为.
（2）解：由，得圆心到直线的距离为，
则圆心到直线的距离为，
得或-5.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】本题考查圆的方程的应用，直线与圆位置关系的应用.
（1）圆M的方程 配方可得： ，据此可求出圆心坐标和半径；
（2）根据圆的弦长公式变形可得： ，代入数据可求出圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程 ，解方程可求出答案.
16．【答案】（1）解：由频率分布直方图可以得到不低于100元的顾客所占频率为
，
故每位进入超市消费的顾客获得一张奖券的概率为0.9，
则1000名购物的顾客中，获得一张奖券的有人，
其中奖券尾数为奇数，获得礼品的顾客人数为（人），
故送出的礼品的价值金额为（元）；
（2）解：由频率分布直方图可知，顾客消费金额的平均值为
（元），
则1000名顾客的消费金额为（元）．
设每1000名顾客送出部手机，则，
得，故每1000名顾客最多送出3部手机．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可以得到不低于100元的顾客所占频率，从而得到1000名购物的顾客中，获得一张奖券的人数，求送出的礼品的价值金额即可；
（2）由频率分布直方图求出顾客消费金额的平均值，得到1000名顾客的消费金额，列不等式，求解即可.
（1）由频率分布直方图可以得到不低于100元的顾客所占频率为
，
故每位进入超市消费的顾客获得一张奖券的概率为0.9．
则1000名购物的顾客中，获得一张奖券的有人，
其中奖券尾数为奇数，获得礼品的顾客人数为（人），
故送出的礼品的价值金额为（元）．
（2）由频率分布直方图可知，顾客消费金额的平均值为
（元），
则1000名顾客的消费金额为（元）．
设每1000名顾客送出部手机，
则，
得，故每1000名顾客最多送出3部手机．
17．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
即，
所以
所以，
又因为，所以，所以，即，
又因为，，所以，则；
（2）解：因为，所以，
所以
即，
解得，当且仅当即，时等号成立，
故，当且仅当，即，时等号成立，
所以面积的最大值为.
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，根据正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求解即可；
（2）根据向量的线性运算及向量数量积与模长公式，结合基本不等式可得，即可求得面积的最值.
（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
所以
所以，
又，所以，所以，
即，
又，，所以，则；
（2）因为，所以，
所以
即，
解得，当且仅当即，时等号成立，
故，当且仅当即，等号成立.
所以面积的最大值为.
18．【答案】（1）证明：取中点，连接，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：连接，设正方体边长为1，
由正方体性质可得，
又平面，平面，所以，
平面，所以平面，
又平面，则，
所以为二面角的平面角，
中，.
（3）解：在棱上存在一点M，使平面平面，
连接，如图所示：
则O是AC的中点，，
因为O是正方体中，BD的中点，所以，
所以，因为平面平面，所以面MBD，
所以，所以，
又，
则，
则，所以，
即.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，由四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）设正方体的棱长为1，由平面，可知为二面角的平面角，求解即可；
（3）连接，则O是AC的中点，易证，根据平面平面，得到面MBD，进而得到，由求解即可.
（1）取中点，连接，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面；
（2）连接，设正方体边长为1，
由正方体性质可得，
又平面，平面，所以，
平面，所以平面，
又平面，则，
所以为二面角的平面角，
中，.
（3）如图所示：
在棱上存在一点M，使平面平面，
连接，则O是AC的中点，
则，
因为O是正方体中，BD的中点，
所以，
所以，因为平面平面，
所以面MBD，
所以，
所以，
又，
则，
则，
所以，
即.
19．【答案】（1）解：由题意，可得，解得，则椭圆的标准方程为；
（2）解： ① 由（1）可得，
因为，
则，可知，
所以，可知直线的方程为，
联立方程，解得或（舍去），即；
② 设直线的斜率为，则直线的方程为：，
又因为，，则直线的方程为，
联立方程，解得，即，
联立方程，消去y得，
则，可得，解得，
则，即，
依题意、不重合，则，即，可得，
则直线的方程为，令，即，解得，
即，可得，
所以为定值.
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆性质列式求解、、，即可得椭圆的标准方程；
（2） ① 连接，由面积公式推导出，从而得到，即可求出的方程，联立直线与椭圆方程，求出点坐标即可；
② 设直线的斜率为，的方程为，再求出直线的方程，联立求出、点坐标，从而求出的方程，即可求出点坐标，再由斜率公式计算即可.
（1）由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）（ⅰ）由（1）可得，
因为，
则，可知，
所以，可知直线的方程为，
联立方程，解得或（舍去），即；
（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为：，
又因为，，则直线的方程为，
联立方程，解得，即，
联立方程，消去y得，
则，可得，解得，
则，即，
依题意、不重合，则，即，可得，
则直线的方程为，令，即，解得，
即，可得，
所以为定值.
1 / 1广西柳州铁一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
1．（2024高一下·柳州期末）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；并集及其运算
【解析】【解答】解： 集合， ，
若中恰有三个元素，则或或，
当，集合， ，符合题意；
当，即，当时，集合，不满足互异性 ，不符合题意；
当时，集合， ，符合题意；
当时，或，当时，集合， ，符合题意，
则的取值组成得集合为.
故答案为：D．
【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.
2．（2024高一下·柳州期末）已知直线，直线，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：易知直线的斜率，
因为，所以直线的斜率，倾斜角为．
故答案为：D．
【分析】先求直线额斜率，再根据垂直关系求直线的斜率，倾斜角即可.
3．（2024高一下·柳州期末） “”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：若，则，所以方程表示双曲线；
若方程表示双曲线，则，解得或，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】本题考查双曲线方程，充分必要条件的判断.根据方程表示双曲线方程，可列出不等式，解不等式可求出实数m的取值范围，再根据充分、必要条件的概念可判断出选项.
4．（2024高一下·柳州期末）已知平面向量满足，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用平面向量的模，结合数量积的运算律求解即可.
5．（2024高一下·柳州期末）函数的图象是下列的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得：，
即函数的定义域为，定义域关于原点对称，且满足，
则函数为奇函数.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域即可判断BD；再利用奇偶性定义判断函数的奇偶性即可判断AC.
6．（2024高一下·柳州期末）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
由诱导公式可知：
又
则，即只需把图象向右平移个单位.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用辅助角公式化简函数，再利用诱导公式统一函数名，最后根据三角函数图象平移变换规律判断即可．
7．（2024高一下·柳州期末）2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.已知火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系为.若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：根据题意，，
令，则，
所以，则，
即
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意列方程，结合指数、对数运算求解即可.
8．（2024高一下·柳州期末）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设，
因为，则，，
由椭圆的定义可得，，
因为，即，
在中，则，即，
解得，可得，
在△中，可得，整理得，
所以椭圆E的离心率为.
故答案为：B．
【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理，
解得，进而可得，在△中，利用勾股定理列式求解即可.
9．（2024高一下·柳州期末）实验：甲、乙、丙三名同学各自从、、中选了一个字母（不可重复）.记事件为“乙同学选字母”，事件为“甲同学没有选字母”，则下列正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解： 按甲、乙、丙顺序选字母，有，，，，，，共6种结果，
A、事件的有，，共2种，则，故A正确；
B、事件的有，，，，共4种，则，故B错误；
C、同时发生的有1种，则，故C正确；
D、或发生有5种，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据题意，利用列举法，结合古典概型的概率公式求解判断即可.
10．（2024高一下·柳州期末）如图，矩形中，为的中点，为的中点，交于点，将沿直线翻折到，连接为的中点，则在翻折过程中，下列合题中正确的是（ ）
A．翻折过程中，始终有平面平面
B．翻折过程中，的长是定值
C．若，则
D．存在某个位置，使得
【答案】A,B,C
【知识点】平面与平面平行的判定；余弦定理
【解析】【解答】解：A、因为E，F为中点，则，所以四边形CEFD是平行四边形，
所以是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理平面，又，所以平面平面，故A正确；
B、因为（定值），（定值），（定值），
在中由余弦定理可知的长是定值，故B正确；
C、若，则，所以，所以，故C正确；
D、因为，所以，所以，
因为在同一平面内，所以不可能垂直于，
因为，所以不可能垂直于，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】易知为的中点，再利用面面平行的判定定理即可判断A；利用等角定理得到以及（定值），（定值），在中由余弦定理可知的长是定值即可判断B；由，利用直角三角形中线定理可得即可判断C；由等角定理，根据，得到，即，即可判断D.
11．（2024高一下·柳州期末）定义域为的函数，对任意，且不恒为0，下列说法中正确的有（ ）
A． B．为偶函数
C． D．若，则
【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、令，有，所以或，
若，则只令，有，即恒为0，不合题意，
则，故A正确；
B、由A可知，不妨令，有，
即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，
所以偶函数，即为偶函数，故B正确；
C、令，有，令，由，得，
所以当时，有，即当时，，故C正确；
D、若，令，有，
所以关于中心对称，又为偶函数，
所以，
所以是周期为4的周期函数，又，
所以，
所以，
所以，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】令，可得或，结合不恒为0，可得，即可判断A；由，不妨令即可判断B；令，通过换元即可判断C；令，得关于成中心对称，结合为偶函数，可得为周期为4的函数，算出即可判断D.
12．（2024高一下·柳州期末）由数学王子高斯证明出的代数基本定理的内容可知一元次多项式方程有个复数根，且对于一元二次方程，其两个复数根互为共轭复数．若复数是一元二次方程的一个根，则 ．
【答案】64
【知识点】方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：是一元二次方程的一个根，则也是方程得根，
由韦达定理可得，解得，则.
故答案为：64.
【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理列方程求解即可.
13．（2024高一下·柳州期末）已知，则 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】
故答案为：.
【分析】
先利用两角和差公式，再利用二倍角公式即可求得函数值；
14．（2024高一下·柳州期末）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：过点C作交AB于D，连接，如图所示：
由题知，则就是遮阳篷ABC与地面所成的角，
因为，则求遮阴影面面积最大，即是求最大，，，
设，，由正弦定理，得，
当且仅当时取等号，此时所遮阴影面面积最大，.
故答案为：.
【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，找出角度取值与面积之间的关系求解即可．
15．（2024高一下·柳州期末）已知圆：.
（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径；
（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求C的值.
【答案】（1）解：由，得，
则圆的标准方程为，
圆的圆心坐标为，半径为.
（2）解：由，得圆心到直线的距离为，
则圆心到直线的距离为，
得或-5.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】本题考查圆的方程的应用，直线与圆位置关系的应用.
（1）圆M的方程 配方可得： ，据此可求出圆心坐标和半径；
（2）根据圆的弦长公式变形可得： ，代入数据可求出圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程 ，解方程可求出答案.
16．（2024高一下·柳州期末）2023年国庆节假期期间，某超市举行购物抽奖赢手机的活动．活动规则如下：在2023年9月29日至10月6日期间消费金额（单位：元）不低于100元的顾客获得一张奖券（假设每名顾客只消费一次），奖券尾数随机生成，尾数为奇数和偶数的奖券数量相同，若顾客的奖券尾数为奇数，则获得一份价值5元的礼品，若顾客的奖券尾数为偶数，则获得抽取价值6999元的手机的资格．根据统计，顾客进入该超市消费金额的频率分布直方图如图所示．
以样本估计总体，以频率估计概率．
（1）若有1000名购物的顾客，求送出的礼品的价值金额；
（2）若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求每1000名顾客最多送出多少部手机．
【答案】（1）解：由频率分布直方图可以得到不低于100元的顾客所占频率为
，
故每位进入超市消费的顾客获得一张奖券的概率为0.9，
则1000名购物的顾客中，获得一张奖券的有人，
其中奖券尾数为奇数，获得礼品的顾客人数为（人），
故送出的礼品的价值金额为（元）；
（2）解：由频率分布直方图可知，顾客消费金额的平均值为
（元），
则1000名顾客的消费金额为（元）．
设每1000名顾客送出部手机，则，
得，故每1000名顾客最多送出3部手机．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可以得到不低于100元的顾客所占频率，从而得到1000名购物的顾客中，获得一张奖券的人数，求送出的礼品的价值金额即可；
（2）由频率分布直方图求出顾客消费金额的平均值，得到1000名顾客的消费金额，列不等式，求解即可.
（1）由频率分布直方图可以得到不低于100元的顾客所占频率为
，
故每位进入超市消费的顾客获得一张奖券的概率为0.9．
则1000名购物的顾客中，获得一张奖券的有人，
其中奖券尾数为奇数，获得礼品的顾客人数为（人），
故送出的礼品的价值金额为（元）．
（2）由频率分布直方图可知，顾客消费金额的平均值为
（元），
则1000名顾客的消费金额为（元）．
设每1000名顾客送出部手机，
则，
得，故每1000名顾客最多送出3部手机．
17．（2024高一下·柳州期末）如图，的内角，，的对边分别为，，，已知，为线段上一点，且.
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值；
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
即，
所以
所以，
又因为，所以，所以，即，
又因为，，所以，则；
（2）解：因为，所以，
所以
即，
解得，当且仅当即，时等号成立，
故，当且仅当，即，时等号成立，
所以面积的最大值为.
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，根据正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求解即可；
（2）根据向量的线性运算及向量数量积与模长公式，结合基本不等式可得，即可求得面积的最值.
（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
所以
所以，
又，所以，所以，
即，
又，，所以，则；
（2）因为，所以，
所以
即，
解得，当且仅当即，时等号成立，
故，当且仅当即，等号成立.
所以面积的最大值为.
18．（2024高一下·柳州期末）在正方体中
（1）若分别为和的中点，求证：平面
（2）求二面角的正切值
（3）如图，为的中点，问：在棱上是否存在一点，使平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：取中点，连接，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：连接，设正方体边长为1，
由正方体性质可得，
又平面，平面，所以，
平面，所以平面，
又平面，则，
所以为二面角的平面角，
中，.
（3）解：在棱上存在一点M，使平面平面，
连接，如图所示：
则O是AC的中点，，
因为O是正方体中，BD的中点，所以，
所以，因为平面平面，所以面MBD，
所以，所以，
又，
则，
则，所以，
即.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，由四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）设正方体的棱长为1，由平面，可知为二面角的平面角，求解即可；
（3）连接，则O是AC的中点，易证，根据平面平面，得到面MBD，进而得到，由求解即可.
（1）取中点，连接，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面；
（2）连接，设正方体边长为1，
由正方体性质可得，
又平面，平面，所以，
平面，所以平面，
又平面，则，
所以为二面角的平面角，
中，.
（3）如图所示：
在棱上存在一点M，使平面平面，
连接，则O是AC的中点，
则，
因为O是正方体中，BD的中点，
所以，
所以，因为平面平面，
所以面MBD，
所以，
所以，
又，
则，
则，
所以，
即.
19．（2024高一下·柳州期末）已知椭圆的离心率为，A，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程：
（2）设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．
①若点，点在椭圆上且位于轴下方，设和的面积分别为，，若，求点的坐标；
②若直线与直线交于点，直线交轴于点，如下图，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．
【答案】（1）解：由题意，可得，解得，则椭圆的标准方程为；
（2）解： ① 由（1）可得，
因为，
则，可知，
所以，可知直线的方程为，
联立方程，解得或（舍去），即；
② 设直线的斜率为，则直线的方程为：，
又因为，，则直线的方程为，
联立方程，解得，即，
联立方程，消去y得，
则，可得，解得，
则，即，
依题意、不重合，则，即，可得，
则直线的方程为，令，即，解得，
即，可得，
所以为定值.
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆性质列式求解、、，即可得椭圆的标准方程；
（2） ① 连接，由面积公式推导出，从而得到，即可求出的方程，联立直线与椭圆方程，求出点坐标即可；
② 设直线的斜率为，的方程为，再求出直线的方程，联立求出、点坐标，从而求出的方程，即可求出点坐标，再由斜率公式计算即可.
（1）由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）（ⅰ）由（1）可得，
因为，
则，可知，
所以，可知直线的方程为，
联立方程，解得或（舍去），即；
（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为：，
又因为，，则直线的方程为，
联立方程，解得，即，
联立方程，消去y得，
则，可得，解得，
则，即，
依题意、不重合，则，即，可得，
则直线的方程为，令，即，解得，
即，可得，
所以为定值.
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