中小学教育资源及组卷应用平台
第1章因式分解
1.3.1 公式法
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解平方差公式的结构特征，能够准确识别可以使用平方差公式进行因式分解的多项式。
2.掌握平方差公式=(x+y)(x y)，并能够熟练运用该公式进行因式分解。
3.理解平方差公式与整式乘法的关系，能够通过整式乘法验证因式分解的正确性。
学习重点：
平方差公式的结构特征及应用。
学习难点：
准确识别平方差公式的结构特征。
教学过程
一、复习回顾
比一比
计算：（1）101×99； （2）51×49.
二、新知探究
探究：公式法——平方差公式
教材第9页
计算：.
做一做：你能将进行因式分解吗？
【归纳】像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解.这种因式分解的方法叫作公式法.
例1把多项式因式分解.
做一做：把多项式因式分解.
三、合作交流
议一议：具有什么特征的多项式可用平方差公式分解因式？
例2把多项式因式分解.
例3把多项式因式分解.
例4把多项式因式分解.
【做一做】
用简便方法计算：
(1) ； (2) .
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2.因式分解“”得，则“”是（ ）
A． B． C． D．
3.若，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或-2 D．4
选做题
4.分解因式： ．
5.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差 ，则这两个正方形的边长之和为 .
6.如果两数满足，那么 ．
【综合拓展类作业】
7.在实数范围内因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
六、作业布置
1.下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2.对于任何整数m．多项式一定能（ ）
A．被8整除 B．被x整除
C．被9整除 D．被整除
3.若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
4.当为整数时，试说明：能被整除．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】C
【解析】解：A、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
D、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：∵，
∴“”是，
故选：．
3.【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴
故选：B．
4.【答案】
【解析】解：
，
故答案为： ．
5.【答案】40
【解析】解：设正方形Ⅰ的边长为 ，正方形Ⅱ的边长为 ，
由题意得：，，
，，
解得：，
这两个正方形的边长之和为，
故答案为：．
6.【答案】
【解析】解：，
①②，得，
∴，
②①，得，
则，
故答案为：．
7.【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：A、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意；
C、，可写成，9可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意；
D、，可写成，可写成，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意；
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：
，
∴多项式一定能8整除，
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
4．【答案】解：，
为整数，
为整数，
能被整除．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
第1章 因式分解
1.3.1 公式法
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1.理解平方差公式的结构特征，能够准确识别可以使用平方差公式进行因式分解的多项式。
01
掌握平方差公式=(a+b)(a b)，并能够熟练运用该公式进行因式分解。
02
理解平方差公式与整式乘法的关系，能够通过整式乘法验证因式分解的正确性。
03
02
新知导入
比一比
计算：（1）101×99; （2）51×49.
你有什么方法能够快速得到结果吗？
解：（1）101×99
=(100+1)×(1001)
=10021
=9999
（2）51×49=(50+1)×(501)=5021 =2499
02
新知导入
刚刚的运算运用了什么公式？
平方差公式
(x+y)(x)=x2y2
注意：公式中的 x,y,可以分别用任何数或任意多项式代入.
03
新知探究
计算：.
解：在平方差公式中，将y用5代入得到等式：
.
你能将进行因式分解吗？
03
新知探究
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式因式分解：
.
03
新知探究
把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解. 这种因式分解的方法叫作公式法.
x2y2=(x+y)(x)
整式乘法
平方差公式 (x+y)(x)=x2y2
从右到左使用
因式分解
03
新知探究
把多项式因式分解.
例1
解：
03
新知探究
把多项式因式分解.
分析：可以将和分别看成一个整体
解：由平方差公式得
于是
03
新知探究
具有什么特征的多项式可用平方差公式分解因式？
议一议
主要特点：
1.共有两项
2.两项符号相反
3.每项的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方
口诀：首平方减尾平方，等于首加尾乘首减尾。
x2y2=(x+y)(x)
03
新知探究
把多项式因式分解.
例2
解：
=
=
=
因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止。
03
新知探究
把多项式因式分解.
例3
解：
=
=
03
新知探究
把多项式因式分解.
例4
解：
=
=
=
03
新知探究
用简便方法计算：
(1) ; (2) .
解：
=
=10×2.2
=22
(2)
=
=1×0.76
=0.76
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2.因式分解“”得，则“”是（ ）
A． B． C． D．
3.若，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或-2 D．4
C
C
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.分解因式： ．
5.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差 ，则这两个正方形的边长之和为 .
6.如果两数满足，那么 ．
40
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.在实数范围内因式分解：
(1)； (2)； (3)．
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
．
05
课堂小结
主要特点：
1.共有两项
2.两项符号相反
3.每项的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方
x2y2=(x+y)(x)
注意：因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止。
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2.对于任何整数m．多项式一定能（ ）
A．被8整除 B．被x整除
C．被9整除 D．被整除
D
A
06
作业布置
【知识技能类作业】
3.若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205
B．250
C．502
D．520
D
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.当为整数时，试说明：能被整除．
解：
，
为整数，
为整数，
能被整除．
07
板书设计
x2y2=(x+y)(x)
主要特点：
1.共有两项
2.两项符号相反
3.每项的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方
1.3.1 公式法
习题讲解书写部分
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第1章
课标要求 1.理解因式分解的意义，掌握因式分解的基本方法，包括提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等。 2.能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)。 3.能够根据多项式的特征，灵活选择合适的方法进行因式分解，确保分解彻底、准确。 4.通过因式分解的学习，进一步发展学生的符号意识、运算能力和推理能力，体会数学知识之间的内在联系。 5.能够运用因式分解解决简单的代数问题，如求值、化简等，培养学生的数学应用意识和创新思维。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第1章《因式分解》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”。本章内容围绕因式分解展开，系统地介绍了因式分解的概念、方法及其应用。教材从因式分解的基本概念入手，逐步引导学生学习提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等常用方法，并通过丰富的例题和练习帮助学生掌握因式分解的技巧。通过本章的学习，学生不仅能够掌握因式分解的基本方法，还能进一步提升数学思维能力和运算能力，为后续学习方程、不等式、函数等内容奠定坚实基础。
学情分析 学生在学习本章内容之前，已经掌握了整式的加减乘除运算，对多项式的形式和结构有一定的了解。然而，因式分解是一种全新的概念，学生在学习过程中可能会遇到以下困难： 1.对因式分解的概念理解不够深刻，难以区分因式分解与整式乘法的关系。 2.在提取公因式时，部分学生可能无法准确识别多项式中的公因式，尤其是当公因式为多项式时。 3.在运用公式法进行因式分解时，学生可能对公式结构特征的识别不够准确，容易混淆平方差公式和完全平方公式。 4.对于复杂的多项式，学生在综合运用多种方法进行因式分解时，思维不够灵活，缺乏整体策略意识。 5.部分学生在因式分解过程中容易出现符号错误或因式不完整的情况，需要进一步强化训练。
单元目标 （一）教学目标 1.理解因式分解的概念，掌握因式分解的基本方法，包括提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等。 2.能够根据多项式的特征，灵活选择合适的方法进行因式分解，确保分解彻底、准确。 3.掌握因式分解的综合应用，能够解决简单的代数问题，如求值、化简等。 4.通过观察、分析和归纳，帮助学生理解因式分解的概念和方法，培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力。 5.通过对比整式乘法与因式分解的关系，引导学生理解数学知识之间的内在联系，培养学生的转化思想。 6.让学生体会因式分解在数学中的重要性和实用性，培养学生的数学素养和科学态度。 7.通过因式分解的学习，帮助学生养成良好的学习习惯，如总结归纳、反思纠错等。 （二）教学重点、难点 重点：1.理解因式分解的概念，掌握因式分解的基本方法，包括提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等。 2.能够根据多项式的特征，灵活选择合适的方法进行因式分解，确保分解彻底、准确。 3.掌握因式分解的综合应用，能够解决简单的代数问题。 难点：1.准确识别多项式中的公因式，尤其是当公因式为多项式时。 2.灵活运用公式法进行因式分解，避免混淆平方差公式和完全平方公式。 3.综合运用多种因式分解方法进行复杂多项式的分解，确保分解彻底、准确。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数1.1多项式的因式分解11.2提公因式法21.3公式法2第1章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1 多项式的因式分解1.理解因式分解的概念，能够准确判断一个式子是否为因式分解。 2.明确因式分解与整式乘法的互逆关系，能够通过整式乘法验证因式分解的正确性。 3.通过对比整式乘法与因式分解的关系，引导学生学会运用类比和转化的思想解决问题。1.理解因式分解的概念，能够准确判断一个式子是否为因式分解。 2.明确因式分解与整式乘法的互逆关系，能够通过整式乘法验证因式分解的正确性。任务一：复习导入，回顾整式的乘法与乘法公式。 任务二：抽象，探究因式分解的概念 任务三：议一议，探究因式分解与整式乘法的互逆关系 任务四：巩固练习，课堂小结1.2.1 提公因式法1.理解公因式的概念，能够准确找出多项式中各项的公因式。 2.掌握提公因式法的步骤和方法，能够正确地提取单项式公因式进行因式分解。 3.通过具体实例的分析和练习，引导学生总结提公因式法的步骤和技巧，培养学生的归纳能力和运算能力。1.能够准确判断多项式中各项的公因式，尤其是当公因式为负数或分数时。 2.提取公因式后，能够正确处理剩余因式，避免出现符号错误或因式不完整的情况。任务一：复习导入，回顾因式分解的概念和因式分解与整式乘法的互逆关系。 任务二：探究新知，探究提公因式法 任务三：例题精讲，用提公因式法进行因式分解 任务四：巩固练习，课堂小结1.2.2 提公因式法1.理解多项式公因式的概念，能够准确识别多项式中的公共多项式因式。 2.掌握提取多项式公因式的方法和步骤，能够正确地进行因式分解。 3.理解提取多项式公因式与提取单项式公因式的联系与区别，进一步巩固因式分解的基本思想。1.能够准确识别多项式中的公共多项式因式，尤其是当多项式较为复杂时。 2.提取多项式公因式后，能够正确处理剩余部分，避免出现符号错误或因式不完整的情况。任务一：复习导入，回顾提公因式法。 任务二：探究新知，探究提公因式法——提多项式公因式 任务三：例题精讲，用提公因式法进行因式分解 任务四：巩固练习，课堂小结1.3.1 公式法1.理解平方差公式的结构特征，能够准确识别可以使用平方差公式进行因式分解的多项式。 2.掌握平方差公式=(a+b)(a b)，并能够熟练运用该公式进行因式分解。 3.理解平方差公式与整式乘法的关系，能够通过整式乘法验证因式分解的正确性。能够准确识别平方差公式的结构特征，并使用平方差公式进行因式分解任务一：复习巩固，回顾乘法公式。 任务二：探究新知，探究公式法（平方差公式）。 任务三：例题精讲，用公式法进行因式分解 任务四：巩固练习，课堂小结1.3.2 公式法1.理解完全平方公式的结构特征，能够准确识别可以使用完全平方公式进行因式分解的多项式。 2.掌握完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(ab)2=a22ab+b2，并能够熟练运用该公式进行因式分解。 3.理解完全平方公式与整式乘法的关系，能够通过整式乘法验证因式分解的正确性。能够准确识别完全平方公式的结构特征并能够使用完全平方公式进行因式分解任务一：复习巩固，回顾完全平方公式。 任务二：探究新知，探究公式法（完全平方公式）。 任务三：例题精讲，用公式法进行因式分解 任务四：巩固练习，课堂小结第1章 小结与复习1.系统回顾因式分解的概念、方法及其适用条件，包括提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等。 2.能够根据多项式的特征，灵活选择合适的方法进行因式分解，提高因式分解的准确性和效率。 3.掌握因式分解的综合应用，能够解决简单的代数问题，如求值、化简等。1.根据多项式的特征，快速准确地选择合适的因式分解方法。 2.综合运用多种因式分解方法进行复杂多项式的分解，确保分解彻底、准确。 任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《1.3.1 公式法》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《1.3.1 公式法——平方差公式》是湘教版版八年级上册第1章《因式分解》的第三节第一课时的内容。平方差公式是因式分解中的一种重要公式法，它在数学中具有广泛的应用。平方差公式的学习不仅为学生提供了一种高效的因式分解方法，还进一步巩固了因式分解的基本思想，同时也为后续学习其他公式法（如完全平方公式）奠定了基础。通过本节内容的学习，学生能够更好地理解和运用数学公式解决实际问题，培养他们的数学思维和运算能力。
学习者分析 学生在学习本节内容之前，已经掌握了因式分解的基本概念和提公因式法，对因式分解的基本步骤有一定的了解。然而，平方差公式作为一种新的因式分解方法，学生可能会在以下方面遇到困难：一是对平方差公式的结构特征理解不够深刻，无法准确识别哪些多项式可以使用平方差公式进行因式分解；二是对公式中的字母a和b的含义理解不够透彻，容易在实际应用中混淆；三是部分学生可能对公式的推导过程缺乏兴趣，导致对公式记忆不牢固。因此，教师需要通过具体的实例和练习，引导学生逐步理解平方差公式的结构特征和应用方法，帮助他们克服学习中的困难。
教学目标 1.理解平方差公式的结构特征，能够准确识别可以使用平方差公式进行因式分解的多项式。 2.掌握平方差公式=(x+y)(x y)，并能够熟练运用该公式进行因式分解。 3.理解平方差公式与整式乘法的关系，能够通过整式乘法验证因式分解的正确性。 4.通过对比平方差公式与整式乘法的关系，帮助学生理解数学知识之间的内在联系，培养学生的转化思想。
教学重点 平方差公式的结构特征及应用。
教学难点 准确识别平方差公式的结构特征，尤其是当多项式较为复杂时，学生容易混淆。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 比一比 计算：（1）101×99； （2）51×49. 教师提问：你有什么方法能够快速得到结果吗？ 回顾：刚刚的运算运用了什么公式？它有什么特征？ 平方差公式：(x+y)(x)=x2y2 等号左边是两数和与这两数差的积，等号右边是它们的平方差． 公式中的x，y既可代表单项式，还可代表具体的数或多项式.学生活动1： 认真思考，举手回答问题活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：公式法——平方差公式 计算：. 解：在平方差公式中，将y用5代入得到等式： . 做一做：你能将进行因式分解吗？ 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式因式分解： . 【归纳】像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解.这种因式分解的方法叫作公式法. 例1把多项式因式分解. 解： 做一做：把多项式因式分解. 分析：可以将和分别看成一个整体 解：由平方差公式得 于是 学生活动2： 认真计算，运用已学知识解决问题 利用整式乘法与因式分解的关系解决问题 认真听讲，了解公式法的概念 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 活动意图说明：通过对比平方差公式与整式乘法的关系，帮助学生理解数学知识之间的内在联系，培养学生的转化思想。环节三：合作交流教师活动3： 议一议：具有什么特征的多项式可用平方差公式分解因式？ 主要特点： 1.共有两项 2.两项符号相反 3.每项的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方 例2把多项式因式分解. 解： = = = 注意：因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止。 例3把多项式因式分解. 解：== 例4把多项式因式分解. 解： = = = 回顾： 【做一做】 用简便方法计算： (1) ； (2) . 解： = =10×2.2 =22 (2) = =1×0.76 =0.76学生活动3： 学生合作交流，举手回答问题 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真思考，举手回答问题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 平方差公式的逆用：x2y2=(x+y)(x) 主要特点： 1.共有两项 2.两项符号相反 3.每项的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方 注意：因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止。学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2.因式分解“”得，则“”是（ ） A． B． C． D． 3.若，且，则的值为（ ） A．1 B．2 C．2或-2 D．4 选做题： 4.分解因式： ． 5.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差 ，则这两个正方形的边长之和为 . 6.如果两数满足，那么 ． 【综合拓展类作业】 7.在实数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2.对于任何整数m．多项式一定能（ ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 3.若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ） A．205 B．250 C．502 D．520 【综合拓展类作业】 4.当为整数时，试说明：能被整除．
教学反思 在使用公式法的过程中，部分学生存在一些问题：一是对公式中字母a和b的含义理解不够透彻，导致在实际应用中混淆；二是对于一些需要先提取公因式再使用平方差公式的情况，学生难以掌握正确的解题顺序。针对这些问题，我在后续教学中增加了更多的练习，特别是对于复杂多项式的因式分解，通过专项练习帮助学生逐步克服困难。同时，我还通过对比分析和总结，帮助学生理解平方差公式与整式乘法的关系，进一步巩固他们的知识体系。通过本节课的学习，学生对平方差公式有了更深入的理解，但在实际应用中仍然需要进一步巩固和练习，以提高他们的因式分解能力。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
