广东省清远市四校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（含详解）
文档属性
| 名称 | 广东省清远市四校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（含详解） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 846.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-21 17:34:30 | ||
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文档简介
广东省清远市四校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知平面向量，，若，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
2．若为实数，是纯虚数，则复数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．在 △ABC中，已知角，，则角C=
A． B．
C． D．或
5．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
6．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm
7．如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（ ）
A．30米 B．米 C．米 D．米
8．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A．13 B． C． D．
二、多选题
9．已知平面向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
10．对于函数和，下列说法中正确的是（ ）
A．与有相同的零点
B．与有相同的最小值
C．函数的图象与的图象有相同的对称轴
D．的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到
11．已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为的垂心
C．若且（，），则
D．若，，，且，则的值为
三、填空题
12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ．
13．如图，在△ABC中，，，，，则＝
14．如图，已知正三棱柱中，，，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱运动到点，则点P运动的最短路程为 .
四、解答题
15．已知复数，．
(1)若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围．
(2)若，求的共轭复数及的模．
16．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，若．
(1)求的值；
(2)若，，求b的值．
17．已知长方体中，，求：
(1)长方体表面积；
(2)三棱锥的体积．
18．已知向量，，其中，且.
（1）求和的值；
（2）若，且，求角.
19．已知.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求；
(3)若对于任意，恒成立，求的取值范围.
广东省清远市四校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D B D A B ACD BD
题号 11
答案 BCD
1．D
【详解】由，，且，得，解得.
故选：D.
2．D
【详解】为实数，则，
是纯虚数，则，
则
故选：D
3．C
【详解】由题意得，向量在向量上的投影向量为．
4．D
【详解】由正弦定理： 可得： ，
则角C=或.
本题选择D选项.
5．B
【详解】还原直观图为原图形，如图所示，
因为，所以，
还原回原图形后，，
所以原图形面积为.
故选：B
6．D
【详解】由已知可得：液体的体积为，
如图，易知，、两个相似的直角三角形，
因为圆锥的底面半径是，高是，
所以圆锥的体积为，
计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为，
设计时结束后，“沙漏”中液体的高度为，
则，
，解得，
所以计时结束后.“沙漏”中液体的高度为.
故选：D.
7．A
【详解】设，依题意，，，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，解得，
所以雁鸣塔的高度为30米.
故选：A
8．B
【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y）
则，可得，，
所以，即，故，，
所以，当且仅当即时等号成立．
故选：B．
9．ACD
【详解】对于A, ，A正确，
对于B，，故B错误，
对于C, ，故，C正确，
对于D，，故与的夹角为，故D正确，
故选：ACD
10．BD
【详解】对于A，令中，可得，
但，故A错误；
对于B，由正余弦函数的值域可得两函数具有相同的最小值为，故B正确；
对于C，函数的对称轴方程为，即，
所以，故C错误；
对于D，的图象向左平移个单位得到，故D正确；
故选：BD
11．BCD
【详解】解：因为，所以点是外接圆的圆心，
A．，即选项错误，不符合题意；
B．若，则点是的中点，所以是圆的直径，即，
所以点是的垂心，即选项正确，符合题意；
C．由知，，，三点共线，设的以为底边的高为，则，即，故选项正确，符合题意；
D．由知，，
所以，
即，
整理得，
由知，，
同理可得，
联立解得，，
所以，即选项正确，符合题意．
故选：BCD．
12．或
【详解】在中，，由正弦定理得，
而，则或,
所以或.
故答案为：或
13．
【详解】在△ABC中，，，，，
．
故答案为：.
14．
【详解】如图所示：将翻折到与共面，故点P运动的最短路程为.
在中，，故.
故答案为：.
15．(1)
(2)，
【详解】（1）因为，，
所以．
因为复数在复平面上对应的点在第三象限，所以
解得，即实数的取值范围为．
（2）因为，
所以．
．
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题意，整理得，
所以由余弦定理有.
（2）因为，，，所以，
所以
，
所以由正弦定理有.
17．(1)10；
(2).
【详解】（1）长方体中，，，
因此长方体的侧面积，
所以长方体的表面积.
（2）的面积，
显然三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积.
18．（1），；（2）.
【详解】知
又
（1）
（2）
又
又
19．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由题意可得：
可得函数的最小正周期.
（2）因为，，.
所以，又因为，
所以，所以，
所以
（3）由（1）知，函数，
可得，
因为对于任意，恒成立，
即对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
又因为，
因为，可得，
又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减，
可得，则，
所以的取值范围为.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知平面向量，，若，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
2．若为实数，是纯虚数，则复数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．在 △ABC中，已知角，，则角C=
A． B．
C． D．或
5．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
6．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm
7．如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（ ）
A．30米 B．米 C．米 D．米
8．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A．13 B． C． D．
二、多选题
9．已知平面向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
10．对于函数和，下列说法中正确的是（ ）
A．与有相同的零点
B．与有相同的最小值
C．函数的图象与的图象有相同的对称轴
D．的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到
11．已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为的垂心
C．若且（，），则
D．若，，，且，则的值为
三、填空题
12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ．
13．如图，在△ABC中，，，，，则＝
14．如图，已知正三棱柱中，，，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱运动到点，则点P运动的最短路程为 .
四、解答题
15．已知复数，．
(1)若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围．
(2)若，求的共轭复数及的模．
16．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，若．
(1)求的值；
(2)若，，求b的值．
17．已知长方体中，，求：
(1)长方体表面积；
(2)三棱锥的体积．
18．已知向量，，其中，且.
（1）求和的值；
（2）若，且，求角.
19．已知.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求；
(3)若对于任意，恒成立，求的取值范围.
广东省清远市四校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D B D A B ACD BD
题号 11
答案 BCD
1．D
【详解】由，，且，得，解得.
故选：D.
2．D
【详解】为实数，则，
是纯虚数，则，
则
故选：D
3．C
【详解】由题意得，向量在向量上的投影向量为．
4．D
【详解】由正弦定理： 可得： ，
则角C=或.
本题选择D选项.
5．B
【详解】还原直观图为原图形，如图所示，
因为，所以，
还原回原图形后，，
所以原图形面积为.
故选：B
6．D
【详解】由已知可得：液体的体积为，
如图，易知，、两个相似的直角三角形，
因为圆锥的底面半径是，高是，
所以圆锥的体积为，
计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为，
设计时结束后，“沙漏”中液体的高度为，
则，
，解得，
所以计时结束后.“沙漏”中液体的高度为.
故选：D.
7．A
【详解】设，依题意，，，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，解得，
所以雁鸣塔的高度为30米.
故选：A
8．B
【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y）
则，可得，，
所以，即，故，，
所以，当且仅当即时等号成立．
故选：B．
9．ACD
【详解】对于A, ，A正确，
对于B，，故B错误，
对于C, ，故，C正确，
对于D，，故与的夹角为，故D正确，
故选：ACD
10．BD
【详解】对于A，令中，可得，
但，故A错误；
对于B，由正余弦函数的值域可得两函数具有相同的最小值为，故B正确；
对于C，函数的对称轴方程为，即，
所以，故C错误；
对于D，的图象向左平移个单位得到，故D正确；
故选：BD
11．BCD
【详解】解：因为，所以点是外接圆的圆心，
A．，即选项错误，不符合题意；
B．若，则点是的中点，所以是圆的直径，即，
所以点是的垂心，即选项正确，符合题意；
C．由知，，，三点共线，设的以为底边的高为，则，即，故选项正确，符合题意；
D．由知，，
所以，
即，
整理得，
由知，，
同理可得，
联立解得，，
所以，即选项正确，符合题意．
故选：BCD．
12．或
【详解】在中，，由正弦定理得，
而，则或,
所以或.
故答案为：或
13．
【详解】在△ABC中，，，，，
．
故答案为：.
14．
【详解】如图所示：将翻折到与共面，故点P运动的最短路程为.
在中，，故.
故答案为：.
15．(1)
(2)，
【详解】（1）因为，，
所以．
因为复数在复平面上对应的点在第三象限，所以
解得，即实数的取值范围为．
（2）因为，
所以．
．
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题意，整理得，
所以由余弦定理有.
（2）因为，，，所以，
所以
，
所以由正弦定理有.
17．(1)10；
(2).
【详解】（1）长方体中，，，
因此长方体的侧面积，
所以长方体的表面积.
（2）的面积，
显然三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积.
18．（1），；（2）.
【详解】知
又
（1）
（2）
又
又
19．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由题意可得：
可得函数的最小正周期.
（2）因为，，.
所以，又因为，
所以，所以，
所以
（3）由（1）知，函数，
可得，
因为对于任意，恒成立，
即对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
又因为，
因为，可得，
又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减，
可得，则，
所以的取值范围为.
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