吉林省友好学校2024-2025学年高二下学期第79届期中联考数学试卷（含详解）

友好学校第79届期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线运动物体的位移与时间满足方程 则时瞬时速度为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
2．某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（ 　）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．的展开式中项的系数为（ ）
A．-55 B．64 C．-80 D．124
4．4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报1个项目，则不同的报名方式有（ ）种
A．81 B．64 C．36 D．72
5．点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．240 B．360 C．480 D．600
7．林老师希望从中选2个不同的字母，从中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的后五位，要求数字互不相邻，那么满足要求的车牌号有（ ）
A．576个 B．288个
C．144个 D．72个
8．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）

A．在上单调递减 B．有极小值
C．有3个极值点 D．在处取得最大值
10．现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ）
A．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种
B．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种
C．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种
D．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种
11．已知，则下列描述不正确的是（ ）
A． B．除以5所得的余数是1
C． D．
三、填空题
12．计算： (用数字作答).
13．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间是 ．
14．已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
15．从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动.
(1)共有多少种不同的选法？
(2)既有男生又有女生的选法有多少种？
16．已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
17．二项式展开式前三项的二项式系数和为22.
(1)求的值；
(2)求展开式中各项的二项式系数和；
(3)求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.
18．已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性．
19．已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数a的取值范围.
吉林省友好学校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C D C C A ABC ABC
题号 11
答案 ACD
1．D
【详解】因为，所以，所以，
所以时瞬时速度为.
故选：D
2．B
【详解】依题意，从6位专家中选出2位组成评审委员会是组合问题，
所以组成该评审委员会的不同方式共有种.
故选：B
3．C
【详解】展开式的通项为，，，
令，得，
因此展开式中项的系数为.
故选：C
4．C
【详解】将4名学生分成3个组有种方法，
再将3个组分配到3个兴趣小组有种方法，
故选：C
5．D
【详解】因为点是曲线上任意一点，
所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小．
因为直线的斜率等于1，曲线的导数，
令，可得或(舍去)，
所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为，
所以点P到直线的最小距离为.
故选：D.
6．C
【详解】将区域标号，如下图所示：

因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；
所以共有种不同的涂色方法.
故选：C.
7．C
【详解】依题意，从中选2个不同的字母有种，然后从中选3个不同的数字有种，再从选出的2个不同的字母有种排法，最后从选出3个不同的数字插空有种，根据分步乘法计数原理知，满足要求的车牌号有种.
故选：C.
8．A
【详解】函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故选:A.
9．ABC
【详解】由的图象可知时，，
则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，
所以当时，有极小值，故B正确；
由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确；
当时，，则单调递增，所以，
则在处不能取得最大值，故D错误．
故选：ABC．
10．ABC
【详解】由题意知，现有2名男生和3名女生，
对于A中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有种排法，所以A正确；
对于B中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有种排法，所以B正确；
对于C中，全体排成一排，男生互不相邻，则有种排法，所以C正确；
对于D中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾
可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有种排法，
此时乙有种排法，共有种排法；
（2）当甲站在排尾时，甲只有一种排法，此时乙有种排法，
共有种排法，综上可得，共有种不同的排法，所以D错误.
故选：ABC.
11．ACD
【详解】，
令，可得，再令，可得，
,故A错误．
由于，即展开式各项系数和系数和，
故，，故C错误．
由题意，，
显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确．
把函数两边同时对求导数，可得，
再令，可得，，可得，
故,故D错误．
故选：ACD．
12．
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
13．
【详解】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝4x－＞0，得x＞.递增区间为
14．
【详解】因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为．
15．(1)70
(2)65
【详解】（1）从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动，
共有种不同的选法.
（2）选出4名同学既有男生又有女生有三种情况：
有1名男同学和3名女同学，则有：种不同的选法．
有2名男同学和2名女同学，则有：种不同的选法．
有3名男同学和1名女同学，则有：种不同的选法．
所以既有男生又有女生的选法有种．
16．(1)
(2)，
【详解】（1），
∵函数在处取得极值，
∴，即，
即，
当时，，当时，，符合题意，
∴.
（2）由（1）知，
则，
令，解得或；
令，解得；
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
则极大值，而，.
故函数在上的最大值和最小值分别为，
，.
17．(1)6
(2)64
(3)常数项为960，二项式系数最大的项为
【详解】（1）展开式前三项的二项式系数和为22，
或（舍），
故的值为6.
（2）展开式中各项的二项式系数和为.
（3）设展开式中常数项为第项，
即，
令，得，
，
由题可得，展开式中最大的二项式系数为，
展开式中二项式系数最大的项为第4项，
即，
综上所述：常数项为，二项式系数最大的项为.
18．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，则，，
所以，
所以函数在点处的切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，
又，
当时恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，由，解得，由，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上可得：当时，单调递增区间为，无单调递减区间；
当时单调递增区间为，单调递减区间为.
19．(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值；
(2)
【详解】（1）当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值；
（2）当，在上有解，即在上有解，
即在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是.