沪科版数学八年级下册 第18章 勾股定理 单元测试（含答案）

沪科版八年级下 第18章 勾股定理 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．（2025春 西城区校级期中）以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（　　）
A．1，2，5 B．6，7，8 C．1，1， D．
2．如图，三角形是直角三角形，以点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为x,则x的值为（　　）
A． B．- C．2 D．-2
3．如图，长方形纸片MPQN的宽MP为10cm,三角板ABC中，AC=8cm,∠A=60°，∠ACB=90°．将三角板的顶点C固定在纸片的边MN上，边AB与纸片的边PQ交于点D，则BD的最大值是（　　）
A． B．4cm
C． D．5cm
4．如图是由正方形和直角三角形拼组成的，若正方形A，B的面积分别为9，4，则正方形C的面积是（　　）
A．5 B． C．13 D．
5．如图，点A在数轴上，OA=3，AB=2，∠BAO=90°，以原点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的实数是（　　）
A． B． C．3 D．4
6．如图，在数轴上以长为2的OE为边，作一个正方形OEFG，以正方形的对角线OF的长为半径作圆，其与数轴的两个交点分别为A，B，则点B在数轴上表示的数是（　　）
A． B． C．-2.5 D．
7．学完直角三角形的性质后，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸公园B之间的距离，在学校附近选一点C，测量出AC=3km,利用测量仪器测得∠A=30°，∠C=90°，则学校与公园之间的直线距离AB等于（　　）
A．3km B．6km C． D．
8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是20dm,3dm,2dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁沿台阶面爬行到B处的最短路程为（　　）
A．25dm B．26dm C．24dm D．27dm
9．如图，AC⊥BC，垂足为C，AC=15，BC=20，AB=25．P是线段AB上的任意一点，连接PC，PC的长不可能是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．16
10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=30°，点E是AB的中点，DE⊥AB，交AB于点E，DE=2，，，则CE的长是（　　）
A．4 B． C． D．
11．（2025春 西城区校级期中）如图，是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，连结AE，DE，若AD=AE，，则正方形ABCD的边长是（　　）
A． B．2 C． D．
12．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成一个大正方形ABCD．连接AM，CP，射线NQ交边BC于点G．若小正方形MNPQ的面积为1，阴影部分的面积为a2（a＞0），则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示-1的点重合，则数轴上点A所表示的数为______．
14．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ______．
15．如图所示的是一个圆柱，底面圆的周长是12cm,高是5cm,现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B，则彩带最短需要 ______cm.
16．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF=2，则AE的长为 ______．
17．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，F为CD上一点，连结AF交BD于点E，AF⊥AB，已知∠BAG=∠ABC=45°，且．
（1）则AB的长是______；
（2）若AE=2EF，且∠AGD+∠BCD=180°，则AF=______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB=60°，OC=6．
（1）求证：OC=CP．
（2）求PD的长度．
19．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C=90°，AC=3m,AB=5m.
（1）求BC的长；
（2）若已知楼梯宽2.8m,每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，BC上的点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，BD=3，BE=2，DE=．
（1）求证：EF⊥BC；
（2）求证：△ADF是等腰三角形．
21．某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE（即MD⊥DE，NE⊥DE），一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端B到左墙的距离BD=7dm,顶端A到地面的距离AD=24dm.（图中所有点均在同一平面内）
（1）求梯子AB的长；
（2）如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的距离CE=20dm,求该教学楼走廊的宽度DE的长．
22．如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AM，BN分别是∠CAB与∠ABC的角平分线，且AM，BN相交于点O．
（1）∠AOB的度数为 ______°．
（2）求点O到AB边的距离及△AON的面积．
（3）如图2，若过点C作CD⊥AB，分别交AM，BN于P，Q两点，垂足为点D，求PQ的长．
沪科版八年级下 第18章 勾股定理 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、B 3、A 4、A 5、B 6、A 7、C 8、A 9、A 10、D 11、A 12、C
二．填空题（共5小题）
13、； 14、49； 15、13； 16、1+； 17、10；6；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：∵OP是∠AOB的角平分线，
∴∠AOP=∠BOP，
又∵PC∥OA，
∴∠AOP=∠OPC，
∴∠BOP=∠OPC，
∴OC=CP；
（2）解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA
∴PE=PD，
∵OP是∠AOB的角平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠BOP=30°，
由（1）知OC=CP=6，∠BOP=∠OPC=30°，
又∵∠CPE=180°-∠PEO-∠BOP-∠OPC=180°-90°-30°-30°=30°，
在Rt△CPE中，∠CPE=30°，
∴，
在Rt△CPE中，由勾股定理得：
，
∴PD=3．
19、解：（1）∵∠C=90°，AC=3m,AB=5m,
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
答：BC的长为4m；
（2）地毯长为：3+4=7（m），
已知楼梯宽2.8m,每平方米地毯25元，
∴地毯的面积为2.8×7=19.6（m2），
∴需要花费25×19.6=490（元），
答：需要花费490元地毯才能铺满所有台阶．
20、证明：（1）∵BD=3，BE=2，DE=．22+（）2=9=32，
∴△BDE是直角三角形，∠BED=90°，
∴EF⊥BC；
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE+∠B=90°，∠F+∠C=90°，
∴∠F=∠BDE，
∵∠BDE=∠FDA，
∴∠F=∠FDA，
∴AF=AD，
∴△ADF是等腰三角形．
21、解：（1）∵MD⊥DE，
∴∠ADB=90°，
∴AB===25（dm），
答：梯子AB的长为25dm；
（2）∵NE⊥DE，
∴∠CEB=90°，
∴BE===15（dm），
∴DE=BD+BE=7+15=22（dm），
答：该教学楼走廊的宽度DE的长为22dm.
22、解：（1）∵OA，OB分别平分∠BAC，∠ABC，
∴∠OAB=∠BAC，∠OBA=∠ABC，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠OAB+∠OBA=∠BAC+∠ABC=（∠BAC+∠ABC）=×90°=45°，
在△AOB中，
∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-45°=135°．
故答案为：135；
（2）作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，OI⊥AB于I，连接OC．
∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，
∴OG=OI，OH=OI，
设OG=OI=OH=x,
在Rt△ABC中，
∵AC=3，BC=4，
∴根据勾股定理，得，
∵S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，
∴，
即．
解得x=1，
∴O到AB的距离为1；
如图，作NJ⊥AB于J．
∵BN平分∠ABC，NJ⊥AB，NC⊥BC，
∴NJ=NC，
∴，同时，
∴，即．
又∵NC+NA=AC=3，
∴，即，
解得．
∵O到AB的距离为1，
∴S△AON=NA×1=××1=．
（3）∵CD⊥AB，
∴，
∴．
在RtACD中，
根据勾股定理，得．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=∠DCB+∠ABC=90°，
∴∠CAD=∠DCB，
∵∠CQN=∠DCB+∠NBC，∠CNQ=∠CAB+∠ABN，且∠ABN=∠NBC，
∴∠CQN=∠CNQ，
∴CN=CQ，
由（2）知，，，
∴．
如图，过P作PR⊥AC于R．
∵PD⊥AB，AP平分∠BAC，
∴PR=PD，
∴==，
∴，即．
又∵，
∴，
解得．
∴．