沪科版数学九年级上册 第22章 相似形 单元测试（含答案）
文档属性
| 名称 | 沪科版数学九年级上册 第22章 相似形 单元测试（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 121.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-20 20:51:54 | ||
图片预览
文档简介
沪科版九年级上 第22章 相似形 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．已知，则代数式的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，且有AF=CF，若，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABCD中，点E为边AD上一点，连结BE交对角线AC于点G．若，AD=6，则DE的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
4．如图，DE∥BC，BD，CE相交于O，，AE=4，则线段BE的长为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．7
5．如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（ ）
A．∠A=∠A B．∠ADE=∠AED C． D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，DE：CE=2：3，联结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于（ ）
A．4：10：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．2：5：25
7．如图，在 ABCD中，点E是AD的中点，BE交对角线AC于点F，FG∥AD交AB于点G，若FG=1，则AD的长是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
8．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边的中点．连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点，已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结BD交CH于点P，若△BPC为等腰三角形，则DH：HP的值是（ ）
A．2：1 B． C． D．
10．如图，DE是△ABC的中位线，点F为DE上一点，且EF=2DF，CF的延长线交AB于点G，若DG=1，则AG的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OD的中点，连接CE，过点E作EG⊥EC，EG与AC，AB分别交于点F，G，若EC=EG，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
12．如图，在正方形ABCD中，AB=5，E为边CD上一动点（不与端点重合），AE交BD于点F，过点F作FH⊥AE交BC于点H，过点H作HG⊥BD于点G，连接AH，HE．给出下列结论：①AF=HE；②∠HAE=45°；③；④，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
13．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，且AE⊥EF．若AB=2，AD=4，BE=1，则EF的长为______．
14．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=90°，点D、E分别为AC，BA的中点，点P从A点向D点运动，点Q在DE上，且DQ=DP，连接CQ，过点Q作QF⊥CQ交AB与点F，设点P运动的路程为x,△CQF的面积为y,则y与x之间关系为______．
15．如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若AB=60cm,则AF的长度为______cm.
16．（2025 临安区一模）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB：AD=3：5，过D作CB所在直线的垂线，垂足为E，连结CD，F为DC中点，则线段EF的长是 ______．
17．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．∠DAC=45°，BD=2CD，E是BC上一点，连接AE交BD于点F，AB=AE，连接DE交AC于点P，，若EC=2，则AE= ______，= ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E、F分别在边AD、AB上，EF∥BD，延长CB到G，且BG=BC，联结GF、CE．
（1）求证：GF=CE；
（2）延长GF交CE于点H，联结BH，求证：2BH2=GH GF．
19．已知：如图，四边形ABCD是菱形，P是对角线BD上一点，联结AP、CP并延长，分别与边CD、AD交于点E、F．
（1）求证：AE=CF；
（2）如果∠APF=2∠ABD，求证：BP BD=2AB2．
20．如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD交于点F．
（1）若BF=5，DC=2，求AB的长．
（2）在图1上过点F作BE的垂线，过点A作AB的垂线，两条垂线交于点G，连接BG，如图2．求证：．
21．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：△ABC∽△GDF；
（2）当点E为AC的中点时，求证：．
22．已知△ABC中，∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC，AB=8，AG=．点D、E分别是边BC、AC上的点（点D不与点B、C重合），且∠ADE=∠ABC，AD、BG相交于点F．
（1）求BC的长；
（2）如图1，如果BF=2CE，求BF：GF的值；
（3）如果△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求BD长．
沪科版九年级上 第22章 相似形 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、C 3、B 4、A 5、C 6、A 7、B 8、D 9、C 10、D 11、D 12、B
二．填空题（共5小题）
13、； 14、； 15、15； 16、； 17、；；
三．解答题（共5小题）
18、证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠CDA=90°，AB=AD，
∴∠GBF=∠CDE=90°，∠ABD=∠ADB，
∵EF∥BD，
∴∠AFE=∠ABD，∠AEF=∠ADB，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
∴AB-AF=AD-AE，
∴BF=DE，
∵BG=BC，DC=BC，
∴BG=DC，
在△GBF和△CDE中，
，
∴△GBF≌△CDE（SAS），
∴GF=CE．
（2）延长GF交CE于点H，联结BH，
∵BC∥AD，
∴∠GCH=∠CED，
由（1）得△GBF≌△CDE，
∴∠G=∠DCE，
∴∠G+∠GCH=∠DCE+∠CED=90°，
∴∠GHC=180°-（∠G+∠GCH）=90°，
∴BH=GB=GC，
∴GC=2BH，
∴GC GB=2BH BH=2BH2，
∵∠GBF=∠GHC=90°，∠G=∠G，
∴△GBF∽△GHC，
∴=，
∴GC GB=GH GF，
∴2BH2=GH GF．
19、证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，BD垂直平分AC，
∴∠ACD=∠CAD，
∵点P在BD上，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
在△ACE和△CAF中，
，
∴△ACE≌△CAF（ASA），
∴AE=CF．
（2）设AC交BD于点L，则LB=LD=BD，
∵AB=CB，BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠APF=2∠ABD，
∴∠APF=∠ABC，
∴∠ABC+∠APC=∠APF+∠APC=180°，
∴∠BAP+∠BCP=360°-（∠ABC+∠APC）=180°，
∵∠BAC=∠BCA，∠PAC=∠PCA，
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=∠BCA+∠PCA=∠BCP，
∴2∠BAP=180°，
∴∠BLA=∠BAP=90°，
∵∠ABL=∠PBA，
∴△ABL∽△PBA，
∴=，
∴=，
∴BP BD=2AB2．
20、（1）解：∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD交于点F，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF=∠DAC=90°-∠C，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴BD=AD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF=DC=2，
∵BF=5，
∴BD2=BF2-DF2=52-22=21，
∴AB====，
∴AB的长为．
（2）证明：如图2，作FH∥BD交AB于点H，则∠AFH=∠ADB=90°，∠AHF=∠ABD=∠HAF，
∴AF=HF，
∴AH==AF，
∵GF⊥BF，AG⊥AB，
∴∠GFB=∠GAB=90°，
∴∠AFG=∠HFB=90°-∠GFH，∠BLG=∠AGF+90°=∠HBF+90°，
∴∠AGF=∠HBF，
在△AGF和△HBF中，
，
∴△AGF≌△HBF（AAS），
∴AG=HB，
∴AB=HB+AH=AG+AF．
21、证明：（1）∵BC2=BF BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC．
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴=，
∴．
22、解：（1）∵∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠BGC=∠C，
∴BG=CG，
又∵∠BAG=∠CAB，
∴△ABG∽△ACB，
∴==，
∴AC===12，
∴CG=AC-AG=，
∴BC==10；
（2）由（1）知，△ABG∽△CAB，
∴∠AGB=∠ABC，
∵∠ADE=∠ABC，
∴∠AGB=∠ADE，
∵∠FAG=∠DAE，
∴∠AFG=∠AED，
∵∠AFG+∠AFB=180°，∠AED+∠CED=180°，
∴∠AFG=∠CED，
又∵∠ABG=∠C，
∴△ABF∽△DCE，
∴==2，
∴CD=4，
∴BD=BC-CD=6，
过G作HG∥BC交AD于H，如图：
∴=，
∴GH==，
同理，==，
∴BF：FG=；
（3）∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=∠ABC=∠AGB，
∴DE∥BG，
∴∠AFG=∠ADE=∠AGF，
∴AF=AG，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴CE=DE，
由（2）知，△ABF∽△CDE，
∴AF=BF，
∴GF=BG-BF=CG-AG=，
∵DE∥BG，
∴=，
∴DE=CE=，
同理，=，
∴CD=，
∴BD=．
另外，DA=DE时，作CE中垂线交BC于点H，同理可证得△ABD≌△DHE．此时BD=1．
一．选择题（共12小题）
1．已知，则代数式的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，且有AF=CF，若，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABCD中，点E为边AD上一点，连结BE交对角线AC于点G．若，AD=6，则DE的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
4．如图，DE∥BC，BD，CE相交于O，，AE=4，则线段BE的长为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．7
5．如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（ ）
A．∠A=∠A B．∠ADE=∠AED C． D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，DE：CE=2：3，联结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于（ ）
A．4：10：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．2：5：25
7．如图，在 ABCD中，点E是AD的中点，BE交对角线AC于点F，FG∥AD交AB于点G，若FG=1，则AD的长是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
8．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边的中点．连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点，已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结BD交CH于点P，若△BPC为等腰三角形，则DH：HP的值是（ ）
A．2：1 B． C． D．
10．如图，DE是△ABC的中位线，点F为DE上一点，且EF=2DF，CF的延长线交AB于点G，若DG=1，则AG的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OD的中点，连接CE，过点E作EG⊥EC，EG与AC，AB分别交于点F，G，若EC=EG，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
12．如图，在正方形ABCD中，AB=5，E为边CD上一动点（不与端点重合），AE交BD于点F，过点F作FH⊥AE交BC于点H，过点H作HG⊥BD于点G，连接AH，HE．给出下列结论：①AF=HE；②∠HAE=45°；③；④，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
13．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，且AE⊥EF．若AB=2，AD=4，BE=1，则EF的长为______．
14．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=90°，点D、E分别为AC，BA的中点，点P从A点向D点运动，点Q在DE上，且DQ=DP，连接CQ，过点Q作QF⊥CQ交AB与点F，设点P运动的路程为x,△CQF的面积为y,则y与x之间关系为______．
15．如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若AB=60cm,则AF的长度为______cm.
16．（2025 临安区一模）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB：AD=3：5，过D作CB所在直线的垂线，垂足为E，连结CD，F为DC中点，则线段EF的长是 ______．
17．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．∠DAC=45°，BD=2CD，E是BC上一点，连接AE交BD于点F，AB=AE，连接DE交AC于点P，，若EC=2，则AE= ______，= ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E、F分别在边AD、AB上，EF∥BD，延长CB到G，且BG=BC，联结GF、CE．
（1）求证：GF=CE；
（2）延长GF交CE于点H，联结BH，求证：2BH2=GH GF．
19．已知：如图，四边形ABCD是菱形，P是对角线BD上一点，联结AP、CP并延长，分别与边CD、AD交于点E、F．
（1）求证：AE=CF；
（2）如果∠APF=2∠ABD，求证：BP BD=2AB2．
20．如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD交于点F．
（1）若BF=5，DC=2，求AB的长．
（2）在图1上过点F作BE的垂线，过点A作AB的垂线，两条垂线交于点G，连接BG，如图2．求证：．
21．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：△ABC∽△GDF；
（2）当点E为AC的中点时，求证：．
22．已知△ABC中，∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC，AB=8，AG=．点D、E分别是边BC、AC上的点（点D不与点B、C重合），且∠ADE=∠ABC，AD、BG相交于点F．
（1）求BC的长；
（2）如图1，如果BF=2CE，求BF：GF的值；
（3）如果△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求BD长．
沪科版九年级上 第22章 相似形 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、C 3、B 4、A 5、C 6、A 7、B 8、D 9、C 10、D 11、D 12、B
二．填空题（共5小题）
13、； 14、； 15、15； 16、； 17、；；
三．解答题（共5小题）
18、证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠CDA=90°，AB=AD，
∴∠GBF=∠CDE=90°，∠ABD=∠ADB，
∵EF∥BD，
∴∠AFE=∠ABD，∠AEF=∠ADB，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
∴AB-AF=AD-AE，
∴BF=DE，
∵BG=BC，DC=BC，
∴BG=DC，
在△GBF和△CDE中，
，
∴△GBF≌△CDE（SAS），
∴GF=CE．
（2）延长GF交CE于点H，联结BH，
∵BC∥AD，
∴∠GCH=∠CED，
由（1）得△GBF≌△CDE，
∴∠G=∠DCE，
∴∠G+∠GCH=∠DCE+∠CED=90°，
∴∠GHC=180°-（∠G+∠GCH）=90°，
∴BH=GB=GC，
∴GC=2BH，
∴GC GB=2BH BH=2BH2，
∵∠GBF=∠GHC=90°，∠G=∠G，
∴△GBF∽△GHC，
∴=，
∴GC GB=GH GF，
∴2BH2=GH GF．
19、证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，BD垂直平分AC，
∴∠ACD=∠CAD，
∵点P在BD上，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
在△ACE和△CAF中，
，
∴△ACE≌△CAF（ASA），
∴AE=CF．
（2）设AC交BD于点L，则LB=LD=BD，
∵AB=CB，BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠APF=2∠ABD，
∴∠APF=∠ABC，
∴∠ABC+∠APC=∠APF+∠APC=180°，
∴∠BAP+∠BCP=360°-（∠ABC+∠APC）=180°，
∵∠BAC=∠BCA，∠PAC=∠PCA，
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=∠BCA+∠PCA=∠BCP，
∴2∠BAP=180°，
∴∠BLA=∠BAP=90°，
∵∠ABL=∠PBA，
∴△ABL∽△PBA，
∴=，
∴=，
∴BP BD=2AB2．
20、（1）解：∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD交于点F，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF=∠DAC=90°-∠C，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴BD=AD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF=DC=2，
∵BF=5，
∴BD2=BF2-DF2=52-22=21，
∴AB====，
∴AB的长为．
（2）证明：如图2，作FH∥BD交AB于点H，则∠AFH=∠ADB=90°，∠AHF=∠ABD=∠HAF，
∴AF=HF，
∴AH==AF，
∵GF⊥BF，AG⊥AB，
∴∠GFB=∠GAB=90°，
∴∠AFG=∠HFB=90°-∠GFH，∠BLG=∠AGF+90°=∠HBF+90°，
∴∠AGF=∠HBF，
在△AGF和△HBF中，
，
∴△AGF≌△HBF（AAS），
∴AG=HB，
∴AB=HB+AH=AG+AF．
21、证明：（1）∵BC2=BF BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC．
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴=，
∴．
22、解：（1）∵∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠BGC=∠C，
∴BG=CG，
又∵∠BAG=∠CAB，
∴△ABG∽△ACB，
∴==，
∴AC===12，
∴CG=AC-AG=，
∴BC==10；
（2）由（1）知，△ABG∽△CAB，
∴∠AGB=∠ABC，
∵∠ADE=∠ABC，
∴∠AGB=∠ADE，
∵∠FAG=∠DAE，
∴∠AFG=∠AED，
∵∠AFG+∠AFB=180°，∠AED+∠CED=180°，
∴∠AFG=∠CED，
又∵∠ABG=∠C，
∴△ABF∽△DCE，
∴==2，
∴CD=4，
∴BD=BC-CD=6，
过G作HG∥BC交AD于H，如图：
∴=，
∴GH==，
同理，==，
∴BF：FG=；
（3）∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=∠ABC=∠AGB，
∴DE∥BG，
∴∠AFG=∠ADE=∠AGF，
∴AF=AG，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴CE=DE，
由（2）知，△ABF∽△CDE，
∴AF=BF，
∴GF=BG-BF=CG-AG=，
∵DE∥BG，
∴=，
∴DE=CE=，
同理，=，
∴CD=，
∴BD=．
另外，DA=DE时，作CE中垂线交BC于点H，同理可证得△ABD≌△DHE．此时BD=1．