青岛版数学九年级上册 第4章 一元二次方程 单元测试（含答案）

青岛版九年级上 第4章 一元二次方程 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．2024年“村BA”球王争霸赛全国总决赛于2024年9月30日至10月4日在贵州省台江县台盘“村BA”篮球场举行．组委会将参赛球队平均分成2个小组进行单循环赛（同组所有对手之间都进行一次比赛），每个小组决出一二名进入4强交叉赛．已知每个小组的单循环比赛总场次为10场，若设每个小组有x支球队，则列出方程正确的是（　　）
A．x（x+1）=10 B．
C．x（x-1）=10 D．
2．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（　　）
A． B．2x2=5x-1
C．（x-3）（x+1）=x2-5 D．ax2+bx+c=0
3．一元二次方程2x2=x-3的二次项系数和常数项分别是（　　）
A．2，-3 B．2，3 C．-1，3 D．1，-3
4．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　）
A．3x+1=0 B．x2+3=0 C．3x2-1=0 D．3x2+6x+1=0
5．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为-1，则a-b+c的值是（　　）
A．-1 B．1 C．0 D．不能确定
6．将一元二次方程x（x-1）=2化为一般形式为（　　）
A．x2-x=2 B．x2-x-2=0 C．x2-x+2=0 D．x2+x+2=0
7．（2025 安阳一模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则t的值可以为（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．
8．（2025春 凤阳县校级期中）若m是方程x2-3x+1=0的一个根，则m2-3m+2025的值为（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
9．若关于x的方程x2-x-m=0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．关于x的方程x2-2mx+m2=4的两个根x1，x2满足x1=2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　）
A．-3 B．1 C．3 D．9
11．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x,则可列方程为（　　）
A．x2+（10-x）2=32 B．x2+32=（10-x）2
C．x2+32=102 D．（10-x）2+32=x2
12．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；
②当a＜0，b+c＞0，b-c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a=0，4a+2b+c=0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
二．填空题（共5小题）
13．（2025春 龙湾区期中）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x,则方程可以列为 ______．
14．（2025春 招远市期中）关于x的一元二次方程mx2+mx=3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为______．
15．若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是 ______．
16．若a,b是一元二次方程x2+3x-1=0的两个不相等的实数根，则的值为______．
17．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有______（填序号）
①方程x2-x-2=0是倍根方程；
②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0；
③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac.
三．解答题（共5小题）
18．（2025春 凤阳县校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+k+2=0有两个实数根．
（1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根；
（2）当a=1时，求实数k的取值范围．
19．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利60元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不超过35元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利2400元，每个模型应降价多少元？
20．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若一元二次方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0满足|x1-x2|=2，求k的值．
21．（2025春 鲤城区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程x2-7x+12=0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2-（m-1）x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx-2=0是“邻根方程”，令t=20a+25-b2，试求t的最大值．
22．材料1：法国数学家弗朗索瓦 韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：x1+x2=-；
材料2：如果实数m、n满足m2-m-1=0、n2-n-1=0，且m≠n,则可利用根的定义构造一元二次方程x2-x-1=0，将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）已知实数m、n满足3m2-m-2=0、3n2-n-2=0，求的值．
（2）已知实数a、b、c满足a+b=c-5、ab=，且c＜5，求c的最大值．
青岛版九年级上 第4章 一元二次方程 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、B 3、B 4、D 5、C 6、B 7、A 8、B 9、C 10、C 11、B 12、B
二．填空题（共5小题）
13、200+200（1+x）+200（1+x）2=728； 14、3； 15、1； 16、3； 17、②③④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）设方程的另一个根为x2，
则，
∴x2=-4；
（2）当a=1时，方程为x2+2x+k+2=0，
由题意可得：4-4（k+2）≥0，
解得k≤-1．
19、解：（1）根据题意得：若每个模型降价4元，平均每天可以售出20+2×4=28（个），
此时每天获利（60-4）×28=1568（元）．
答：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1568元；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型盈利（60-x）元，平均每天可售出（20+2x）个，
根据题意得：（60-x）（20+2x）=2400，
整理得：x2-50x+600=0，
解得：x1=20，x2=30，
当x=20时，60-x=60-20=40＞35，不符合题意，舍去；
当x=30时，60-x=60-30=30＜35，符合题意．
答：每个模型应降价30元．
20、（1）证明：当k+1=0时，即k=-1，此时方程化为-4x-4=0，
解得x=-1；
当k+1≠0时，即k≠-1，
∵Δ=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）
=k2-6k+9
=（k-3）2≥0，
∴方程有两个实数根，
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：∵x=（k≠-1），
∴x1=-1，x2=，
∵|x1-x2|=2，
∴|+1|=2，
当+1=2，解得k=，
经检验k=为原方程的解，
当+1=-2，解得k=-5，
经检验k=-5为原方程的解，
综上所述，k的值为-5或．
21、解：（1）解一元二次方程x2-7x+12=0，
（x-3）（x+4）=0，
解得，x=3或x=4，
4-3=1，
∴x2-7x+12=0，是邻根方程．
（2）x2-（m-1）x-m=0，
（x-m）（x+1）=0，
∴x1=m或x2=-1，
|m-（-1）|=1，
∴解得m=0或m=-2；
（3）ax2+bx-2=0，
x=，
∵ax2+bx-2=0是邻根方程，
∴|x1-x2|=||=1，
∴=±1，
∴b2=a2-8a,
∴t=20a+25-a2+8a=-a2+28a+25，
对于y=-a2+28a+25开口向下，在对称轴处取最大值，
∴当a=14，t取最大值，
tmax=221．
22、解：（1）实数m、n满足3m2-m-2=0、3n2-n-2=0，
当m=n时，+=1+1=2；
当m≠n时，m、n可看作方程3x2-x-2=0的两根，
∴m+n=，mn=-，
∴+====-；
综上所述，+的值为2或-；
（2）（2）把a、b看作关于x的一元二次方程x2-（c-5）x+=0的两根，
∵Δ=（c-5）2-4×≥0，
∵c＜5，
∴（5-c）3-64≥0，
即（5-c）3≥64，
即5-c≥4，
解得c≤1，
∴c的最大值为1．