人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试
一.选择题(共12小题)
1.(2025 双城区一模)二次函数y=5(x-1)2+2的顶点坐标是( )
A.(-1,2) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(1,2)
2.若方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1,那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线( )
A.x=-3 B.x=-2 C.x=-1 D.x=1
3.把二次函数y=3x2的图象向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数表达式是( )
A.y=3(x+1)2+2 B.y=3(x+1)2-2
C.y=3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2+2
4.观察表格,估算一元二次方程x2-x-1=0的近似解:
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
x2-x-1 -0.44 -0.25 -0.04 0.19 0.44
由此可确定一元二次方程x2-x-1=0的一个近似解x的范围是( )
A.1.4<x<1.5 B.1.5<x<1.6 C.1.6<x<1.7 D.1.7<x<1.8
5.下列二次函数中,最大值为1的是( )
A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=-x2-1 D.y=-x2+1
6.若A(-4,y1),B(-1,y2),C(1,y3)为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1<y2<y3 B.y3<y1<y2 C.y2<y1<y3 D.y1<y3<y2
7.已知二次函数函数y=(k-3)x2+2x-1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )
A.k≥2 B.k≤2 C.k≥2且k≠3 D.k≥-4且k≠3
8.如何将二次函数平移得到二次函数,下列选项正确的是( )
A.向左平移1个单位,再向上平移1个单位
B.向左平移1个单位,再向下平移1个单位
C.向右平移1个单位,再向上平移1个单位
D.向右平移1个单位,再向下平移1个单位
9.已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴的正半轴交于点A,与y轴交于点B.点M(x0,y0)是抛物线上的任意一点,且位于线段AB的上方,过点M作MN⊥x轴交AB于点N.若MN的长度随x增大而减小,则x0的取值范围是( )
A. B. C.1<x<3 D.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),顶点的纵坐标为-4,其中2a+b=0,下列说法错误的是( )
A.抛物线的对称轴是直线x=1
B.抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)
C.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是-4
D.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
11.关于x的一元二次方程有一个根是-1,若二次函数的图象的顶点在第一象限,设t=2a+b,则t的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.如图,抛物线与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方),且CD=3.当四边形ABCD的周长最小时,点D的坐标为( )
A.(4,3) B.(4,4) C.(4,5) D.(4,6)
二.填空题(共5小题)
13.已知二次函数y=ax2-4ax+4a+1(a≠0),则此函数的顶点坐标是______.
14.将抛物线y=(x+m)2向右平移3个单位后,对称轴是y轴,那么m的值是 ______.
15.(2025 宝安区二模)在平面直角坐标系中,将抛物线y=(x+1)(x-2)+5向下平移5个单位长度,所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q,则PQ=______.
16.(2025 番禺区一模)定义运算:a b=(a+2b)(a-b),例如,4 3=(4+2×3)×(4-3),则函数y=(x+1) 2的对称轴为直线______.
17.如图,抛物线与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,线段DE在抛物线的对称轴上移动(点E在点D下方),且DE=3.当CD+AE的值最小时,点E的坐标为______.
三.解答题(共5小题)
18.某大米成本为每袋40元,当售价为每袋80元时,每天可销售100袋,为了吸引更多顾客,采取降价措施,据市场调查反映:销售单价每降1元,则每天可多销售5袋,设每袋大米的售价为x元(x为正整数),每天的销售量为y袋.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)设每天获得的利润为w元,当销售单价为多少元时,每天获得的利润最大,最大利润是多少?
19.在直角坐标系中,设函数y=(x-m)(x-n)(m,n是实数).
(1)当m=1时,若该函数的图象经过点(2,6),求函数的表达式.
(2)若n=m-1,且当x≤-2时,y随x的增大而减小,求m的取值范围.
(3)若该函数的图象经过(0,a),(3,b)两点(a,b是实数).当2≤m<n≤3时,求证:0≤ab<4.
20.法国巴黎奥运会期间,吉祥物“弗里热”风靡全球.某玩偶商店销售一批“弗里热”玩偶,每个进价40元,因考虑到成本问题,销售的单价不能低于45元,但物价部门规定获利不得高于40%.在试营销期间发现,销售单价定为45元时,每天可以销售350个,单价每上涨1元,每天销量减少10个.
(1)当销售单价定为多少元时,每天的销售利润可达到3000元?
(2)当销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
21.已知二次函数y=-x2-2x+c(c为常数).
(I)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点,求c的取值范围;
(Ⅱ)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0),求一元二次方程-x2-2x+c=0的解;
(Ⅲ)在自变量x的值满足-3≤x≤2的情况下,与其对应的函数值y的最小值为-5,求c值.
22.已知,题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字,导致题目缺少一个条件而无法解答,经查询结果发现,抛物线L的函数解析式为y=x2+2x-3,已知抛物线L:y=ax2+bx+c经过点A(0,-3),B(1,0),求抛物线L的函数解析式.
(1)请根据已有信息添加一个适当的条件:______;
(2)将抛物线L向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L1.若抛物线L1的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L上,求m的值;
(3)如图,点N为抛物线L的顶点坐标,若平移抛物线L的图象,使其顶点在直线y=-x-5上运动,且平移后的抛物线与y轴负半轴相交,交点为M,则△NOM面积的最大值为 ______.
人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一.选择题(共12小题)
1、D 2、C 3、C 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 9、D 10、B 11、D 12、B
二.填空题(共5小题)
13、(2,1); 14、3; 15、3; 16、x=-2; 17、(3,);
三.解答题(共5小题)
18、解:(1)根据题意得:y=100+5(80-x)=500-5x;
∴y与x的函数关系式为y=-5x+500;
(2)根据题意得:w=(x-40)y=(x-40)(-5x+500)=-5(x-70)2+4500,
∵-5<0,
∴当x=70时,w取最大值4500,
∴当销售单价为70元时,每天获得的利润最大,最大利润是4500元.
19、解:(1)当m=1时,则y=(x-1)(x-n),
把点(2,6)代入y=(x-1)(x-n)得,6=(2-1)(2-n),
∴n=-4,
∴y=(x-1)(x+4),即y=x2+3x-4;
(2)∵y=(x-m)(x-n),
∴抛物线与x轴的交点为(m,0),(n,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=,
∴n=m-1,
∴对称轴为直线x=m-,
∵抛物线开口向上且当x≤-2时,y随x的增大而减小,
∴m-≥-2,
∴m≥-;
(3)证明:∵函数的图象经过(0,a),(3,b)两点(a,b是实数),
∴a=mn,b=(3-m) (3-n),
∴ab=mn (3-m) (3-n)
=m(3-m) n(3-n)
=[-(m-)2+][-(n-)2+],
∵2≤m<n≤3,
∴0<-(m-)2+≤2,
0≤-(n-)2+<2,
∴0≤ab<4.
20、解:(1)设当销售单价定为a元时,每天的销售利润可达到3000元,
由题意可得:(a-40)×[350-(a-45)×10]=3000,
解得a1=50,a2=70,
∵物价部门规定获利不得高于40%.
∴售价不能高于40(1+40%)=56(元),
∴当销售单价定为50元时,每天的销售利润可达到3000元;
(2)设销售单价定为x元,销售利润为w元,
由题意可得:w=(x-40)×[350-(x-45)×10]=-10(x-60)2+4000,
由(1)知:45≤x≤56,
∴当x=56时,w取得最大值,此时w=3840,
答:当销售单价定为56元时,每天的销售利润最大,最大利润是3840元.
21、解:(I)∵二次函数y=-x2-2x+c的图象与x轴有两个公共点,
∴Δ>0,即4+4c>0,
解得c>-1;
(Ⅱ)∵y=-x2-2x+c=-(x+1)2+1+c,
∴二次函数y=-x2-2x+c的图象对称轴为直线x=-1,
∵(1,0)关于直线x=-1的对称点为(-3,0),
∴一元二次方程-x2-2x+c=0的解为x1=1,x2=-3;
(Ⅲ)∵二次函数y=-x2-2x+c的图象对称轴为直线x=-1,抛物线开口向下,且2-(-1)>(-1)-(-3),
∴当x=2时,二次函数y=-x2-2x+c取最小值-5,
∴-4-4+c=-5,
解得c=3,
∴c的值为3.
22、解:(1)根据抛物线y=x2+2x-3,
∴x2+2x-3=0,
解得x1=1,x2=-3,
∴可以添加条件抛物线经过点Q(-3,0);
故答案为:抛物线经过点Q(-3,0).
(2)∵抛物线L:y=(x+1)2-4,
∴将抛物线L向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L1的解析式为y=(x+1)2+(m-4),
∴其顶点坐标为(-1,m-4),
∴其关于原点的对称坐标为(1,4-m),
∵抛物线L1的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L上,
代入解析式y=(x+1)2-4得:
4-m=(1+1)2-4,
解得m=4.
(3)∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
∴抛物线的顶点N(-1,-4),
∵新抛物线顶点在直线y=-x-5上,
设新抛物线的顶点为(n,-n-5),
∴解析式为y=(x-n)2-n-5,
当x=0时,y=n2-n-5,
∴点M(0,n2-n-5),
∴OM=0-(n2-n-5)=-n2+n+5,
∴
=
=
=,
故答案为:.