苏教版高中数学必修第二册-第11章 解三角形 章末演练（含解析）

苏教版高中数学必修第二册-第11章 章末演练
[A　基础达标]
1．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边长为(　　)
A． B．
C． D．
2．若三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则该三角形的面积是(　　)
A．6　　　　 B．
C．8 D．10
3．(多选)若△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A的值为(　　)
A．30° B．60°
C．150° D．120°
4．在△ABC中，已知sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sin B cos C，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10 000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标C的距离为(　　)
A．5 000米 B．5 000米
C．4 000米 D．4 000米
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________．
7．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若2a sin B＝b，b＋c＝5，bc＝6，则a＝________．
8．在△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．
9.如图，在△ABC中，点P在边BC上，C＝，AP＝2，AC·PC＝4.
(1)求∠APB；
(2)若△ABC的面积为，求sin ∠PAB.
10．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝，且(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc.
(1)求cos C的值；
(2)若a＝5，求△ABC的面积．
[B　能力提升]
11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)
A． B．5
C．6 D．7
12．某船在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到B处，测得灯塔在其北偏东60°方向上，然后该船向东偏南30°方向行驶2海里到C处，此时船到灯塔D的距离为(　　)
A． 海里 B． 海里
C．6海里 D．5海里
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
14．(2021·徐州高一期末)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C－c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，求△ABC的周长的取值范围．
[C　拓展探究]
15．在①cos 2B－sin B＋2＝0；②2b cos C＝2a－c；③＝三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________，且2b＝a＋c，则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选B．A＝180°－(60°＋45°)＝75°，
故最短边为b，由正弦定理可得＝，
即b＝＝＝，故选B．
2．解析：选A．解方程5x2－7x－6＝0，得x＝－或x＝2(舍去).设三角形边长为3，5的两边的夹角为α，则cos α＝－，sin α＝，故该三角形的面积S＝×3×5×＝6.
3．解析：选BD．由S△ABC＝bc sin A＝，
得sin A＝，sin A＝，
由0°4．解析：选D．由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理可知a2＝b2＋c2 A为直角；而由sinA＝2sin B cos C，可得sin (B＋C)＝2sin B cos C, 整理得sin B cos C＝cos B sin C，即sin (B－C)＝0，故B＝C.综合上述，B＝C＝，A＝.即△ABC为等腰直角三角形．
5．解析：选B．如图，在△ABC中，AB＝10 000米，A＝30°，C＝75°－30°＝45°.根据正弦定理得，BC＝＝＝5 000 (米).
6．解析：因为3sin A＝2sin B，所以3a＝2b.
又a＝2，所以b＝3.
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2ab cos C，
所以c2＝22＋32－2×2×3×＝16，
所以c＝4.
答案：4
7．解析：因为2a sin B＝b，所以2sin A sin B＝sin B．　
因为0所以sin A＝，因为△ABC为锐角三角形，
所以cos A＝，因为bc＝6，b＋c＝5，
所以b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.
所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝22＋32－2×6×＝7，所以a＝.
答案：
8．解析：设AB＝8k，AC＝5k，k>0，所以S△ABC＝AB·AC sin A＝10k2＝10.所以k＝1，AB＝8，AC＝5.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝82＋52－2×8×5×＝49，所以BC＝7.所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝20.
答案：20
9.解：(1)在△APC中，设AC＝x, 因为AC·PC＝4，所以PC＝，
又因为C＝，AP＝2，由余弦定理得，AP2＝AC2＋PC2－2·AC·PC·cos ，
即22＝x2＋2－2·x··cos ，解得x＝2，所以AC＝PC＝AP，
所以△APC为等边三角形，所以∠APB＝.
(2)由S△ABC＝AC·BC·sin ＝，解得BC＝5，则BP＝3，作AD⊥BC交BC于D，如图所示：
由(1)知，在等边△APC中，AD＝，PD＝1，在Rt△ABD 中，AB＝＝＝.在△ABP中，由正弦定理得＝，所以sin ∠PAB＝＝.
10．解：(1)由(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc，
得a2－(b－c)2＝bc，
即a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理，
得cos A＝＝，
所以sin A＝.又因为B＝，
所以cos C＝－cos (A＋B)＝－cos A cos B＋sin Asin B＝.
(2)由(1)得sin C＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝＝.
所以c＝＝8，所以S＝ac sin B＝×5×8×sin ＝10.
[B　能力提升]
11．解析：选B．连接BD，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以BD＝2，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.
12．解析：选A．根据题意可画图形如图所示，
因为在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向，即∠BAD＝60°，
船继续向正南方向行驶5海里到B处，即AB＝5，
在B处测得灯塔在其北偏东60°方向上，即∠ABD＝60°，
所以△ABD为一个等边三角形，即AB＝BD＝5，
船向东偏南30°方向行驶2海里到C处，
根据图形可得∠DBC＝60°且BC＝2，
在△BCD中，由余弦定理可得，
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝25＋4－2×5×2×＝19，解得CD＝，故选A．
13．解析：因为bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
所以由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C．
又sin Bsin C>0，所以sin A＝.
由余弦定理得cos A＝＝＝>0，
所以cos A＝，bc＝＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝××＝.
答案：
14．解：(1)由a cos C－c＝b及正弦定理，
得sin A cos C－sin C＝sin B．
又因为A＋B＋C＝π，
所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，
所以sin C＝－cos A sin C．
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，
所以cos A＝－.
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由正弦定理，得b＝＝2sin B，c＝2sin C，
所以a＋b＋c＝3＋2(sin B＋sin C)
＝3＋2
＝3＋2＝3＋2sin .
因为A＝，
所以B∈，B＋∈.
所以sin ∈.
所以△ABC的周长的取值范围为(6，3＋2].
[C　拓展探究]
15．解：选择①cos 2B－sin B＋2＝0，
证明：由余弦降幂公式可得1－2sin 2B－sin B＋2＝0，
即＝0，
由0又因为2b＝a＋c，则B为锐角，B＝，
由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac cos B，
代入可得b2＝2－3ac，即b2＝ac，
则2＝ac，化简可得2＝0，
即a＝c，又因为B＝，
所以△ABC为等边三角形．
选择②2b cos C＝2a－c.
由正弦定理得2sin B cos C＝2sin A－sin C，
故2sin B cos C＝2sin (B＋C)－sin C，
整理得2cos B sin C－sin C＝0，
因为00，
即cos B＝，
因为00，
即cos B＝，因为0所以B＝.又因为2b＝a＋c，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
得a2＋c2－2ac＝0，即a＝c，
故△ABC为等边三角形．
选择③＝.
由正弦定理得＝，
因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝1，
即sin (B－)＝，因为0所以－得B＝，由余弦定理可得a2＋c2－2ac＝0，即a＝c，
故△ABC为等边三角形．