第一节 任意角和弧度制、三角函数的概念
【课程标准】 1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
教|材|回|顾
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类：按旋转方向，角可以分成三类：________、负角和________．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝__________________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[微点清] 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算 1°＝rad； 1 rad＝________
弧长公式 l＝________
扇形面积公式 S＝lr＝________
[微点清] 角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
微|点|延|伸
1．任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．(r＝>0)
2．象限角与轴线角
3．一个结论
若α∈，则tan α>α>sin α.
小|题|快|练
1．(人A必一P184T2改编)已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则tan α的值为( )
A．2 B．－2
C． D．－
2．(人B必三P12练习AT4改编)教室里的钟表慢了30分钟，在同学们将它校正的过程中，时针所需要旋转的弧度数为( )
A．－ B． C．－ D．
3．(多选题)(苏教必一P176习题7.1T2,3,5改编)下列说法正确的是( )
A．与1 920°终边相同的角中，最小正角是120°
B．三角形的内角必是第一或第二象限角
C．22°30′化成弧度是
D．终边落在直线y＝x上的角α的集合为{α|α＝60°＋k·180°，k∈Z}
4．(人A必一P175T6改编)半径为2的圆中，有一条弧长是，则此弧所对的圆心角是( )
A．15° B．20°
C．30° D．40°
5．(苏教必一P181T6改编)已知α∈(0,2π)，sin α<0，cos α>0，则角α的取值范围是( )
A． B．
C． D．
类型一 角的表示自练自悟
1.(多选题)下列四个命题中正确的是( )
A．－是第二象限角
B．是第三象限角
C．－400°是第四象限角
D．－315°是第一象限角
2．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
3．若α是第一象限角，则－是( )
A．第一象限角
B．第一或第四象限角
C．第二象限角
D．第二或第四象限角
4．如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为________．
1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法：先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
类型二 弧制度及应用
【例1】 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
应用弧度制解决问题时的注意点
1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【训练】 (多选题)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列选项可能正确的有( )
A．圆的半径为2
B．圆的半径为1
C．圆心角的弧度数是1
D．圆心角的弧度数是2
类型三 三角函数的定义及应用
考向 ：三角函数的定义
【例2】 (2025·哈尔滨模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α＝( )
A．－ B．±
C．－ D．±
定义法求三角函数值的2种情况
1．已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
2．已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，再根据定义中的两个量，列方程求参数值．
考向 ：三角函数值的符号
【例3】 (1)若cos α·tan α<0，则角α的终边在( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
(2)设θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是( )
A．sin>0 B．cos>0
C．tan>0 D．sincos<0
判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，注意角的终边在坐标轴上的情况．
【题组对点练】
题号 1 2 3
考向
1.已知角α(0°<α<360°)的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边上A点坐标为(sin 310°，cos 310°)，则α＝( )
A．130° B．140°
C．220° D．230°
2．(2025·河南联考)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝x上，则有( )
A．sin α＝－
B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝±
D．tan α＝±1
3．(多选题)若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴且sin α·sin>0，则α的终边可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
第一节 任意角和弧度制、三角函数的概念
必备知识·梳理
教材回顾
1．(2)正角 零角 (3)α＋k·360°，k∈Z
2．(1)半径长 (2)° |α|r |α|r2
3．(1)y x
小题快练
1．B
2．A 解析 解法一：30分钟＝小时，则时针所需要旋转的弧度数为－×＝－.故选A.
解法二：在将钟表校正的过程中，易知时针顺时针旋转了15°，旋转角的大小为－15°，故时针所需要旋转的弧度数为－15×＝－.故选A.
3．ACD 解析 A．与1 920°终边相同的角为β＝k·360°＋1 920°＝(k＋5)·360°＋120°，k∈Z，当k＝－5 时，β＝120°，所以与1 920°终边相同的角中，最小正角是120°，故A正确．B.因为三角形的内角的范围是(0，π)，所以三角形的内角必是第一象限角或第二象限角或等于，故B错误．C.22°30′化成弧度是22.5×＝，故C正确．D.易得直线y＝x的倾斜角为60°，当角的终边在第一象限时，α＝60°＋k1·360°，k1∈Z；当角的终边在第三象限时，α＝240°＋k2·360°，k2∈Z.所以角α的集合为{α|α＝k·180° ＋60°，k∈Z}，故D正确．故选ACD.
4．C
5．D 解析 因为sin α<0，cos α>0，所以α为第四象限角，结合α∈(0,2π)，得α∈，故选D.
关键能力·落实
1．BCD 解析 －是第三象限角，故A错误；＝π＋，所以是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故D正确，故选BCD.
2．C 解析 若α是第一象限角，则90°－α的终边在第一象限，90°＋α的终边在第二象限，360°－α的终边在第四象限，180°＋α的终边在第三象限，故选C.
3．D 解析 由题意知，k·360°<α4．{α|k·360°＋30°≤α【例1】 解 (1)因为α＝，R＝10 cm，所以l＝|α|R＝×10＝(cm)．
(2)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5 cm时，S取得最大值，此时l＝10 cm，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝ cm，所以S弓形＝××2－×22×sin＝cm2.
【训练】 ABC 解析 设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得解得或可得当圆的半径为1时，圆心角的弧度数为4；当圆的半径为2时，圆心角的弧度数为1.故选ABC.
【例2】 C 解析 设O为坐标原点，则|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，即y＝±.当y＝时，sin α＝，tan α＝－，此时sin α·tan α＝－；当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，此时sin α·tan α＝－.所以sin α·tan α＝－.故选C.
【例3】 (1)C 解析 因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边在第三、四象限．故选C.
(2)C 解析 因为θ为第二象限角，所以＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z.则＋kπ<<＋kπ，k∈Z，所以为第一或第三象限角，则tan>0.故选C.
【题组对点练】
1．B 解析 因为sin 310°<0，cos 310°>0，所以角α的终边在第二象限，又因为tan α＝＝＝＝＝＝tan 140°，且0°<α<360°，所以α＝140°.故选B.
2．C 解析 因为角α的终边落在直线y＝x上，所以α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z.对于A，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＝，故A项错误．对于B，当α＝＋2kπ，k∈Z时，cos α＝－，故B项错误．对于C，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＋cos α＝，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＋cos α＝－，故C项正确．对于D，当α＝＋2kπ，k∈Z时，tan α＝1；当α＝＋2kπ，k∈Z时，tan α＝1，故D项错误．故选C.
3．AC 解析 因为sin＝cos α，所以由sin α·sin>0，得sin α·cos α>0.若sin α>0，cos α>0，则α的终边在第一象限；若sin α<0，cos α<0，则α的终边在第三象限．故选AC.(共41张PPT)
第一节
第四章 三角函数与解三角形
任意角和弧度制、三角函数的概念
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
角的表示 自练自悟
解析
解析
解析
解析
类型二
弧制度及应用
解
解析
解析
解析
类型三
三角函数的定义及应用
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
y
+
衣
+
sin
COS
x
tan
q
第一象限角
{2km<<+2kπ，k∈Z}
象限角的集合
第二象限角
{受+2T<<π+2kT,k∈Z}
第三象限角
am+2第四象限角
{3+2km终边落在x轴上的角
{ala=kT,k∈Z}
轴线角的集合
终边落在y轴上的角
{=kπ+罗，k∈Z}
终边落在坐标轴上的角
{a=智k∈Z
个)y
B
A
75
30°
0
X微练(二十九) 任意角和弧度制、三角函数的概念
基础过关
一、单项选择题
1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ－45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
2．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为( )
A．{α
B．{α
C．{α
D．{α
3．若α是第二象限角，则( )
A．－α是第一象限角
B．是第三象限角
C．＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上
4．(2025·广东江门一模)已知角α的终边上有一点P，则cos＝( )
A．－ B． C．－ D．
5．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝( )
A． B．±
C．－ D．－
6．在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为( )
A．4 B．2 C．2 D．1
7．已知角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边过点(m,6)，且tan(－π＋α)＝－3，则cos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
8．已知角α是第四象限角，则下列各式中一定为正的是( )
A．sin α＋cos α B．sin α·cos α
C．sin α·tan α D．sin α－cos α
二、多项选择题
9．若α是第三象限角，则下列各式中成立的是( )
A．sin α＋cos α<0 B．tan α－sin α<0
C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0
10．(2025·长沙模拟)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( )
A．α＋β＝540° B．α＋β＝360°
C．α＋β＝180° D．α＋β＝90°
11．已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是( )
A．sin θ＝－
B．α为钝角
C．cos α＝－
D．点(tan θ，sin α)在第一象限
三、填空题
12．－2 024°角是第________象限角，与－2 024°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．
13．已知一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，则此扇形的弧长为________ cm，面积为________cm2.
14．(2025·昆明一模)已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)在角θ终边上，且|OA|≤3，则tan θ的值可以是____________．(写一个即可)
素养提升
15．(2025·甘肃兰州诊断)球面上两点间距离的定义为经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度(大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆)．设地球的半径为R，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于北纬45°西经60°，则甲、乙两地的球面距离为( )
A．R B．R
C．R D．R
16.一场大雨过后，某市上空出现了圆弧形状的彩虹，某研究小组欲测量人们在地面可观察到的该彩虹(最外环)的弧长，已知彩虹所在圆面垂直于水平面，示意图如图所示，彩虹最高点为A，EF为彩虹所在圆面与水平面BCD的交线，点B为EF的中点，若在点C处测得点A的仰角为45°，在点D处测得点A的仰角为30°，并测得∠BCD＝120°，CD＝600 m，EF＝1 200 m，则彩虹所在圆的半径为________ m，彩虹的长度为________ m.
微练(二十九) 任意角和弧度制、三角函数的概念
1．C 解析 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C.
2．D 解析
如图可知，角α的取值集合为{α∪{α＝{α∪{α＝{α.故选D.
3．D 解析 因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确．故选D.
4．A 解析 角α的终边上有一点P，则|OP|＝＝1，故sin α＝，则cos＝－sin α＝－，故选A.
5．D 解析 由三角函数的定义得cos α＝＝，解得x＝±.又点P(x，)在第二象限内，所以x＝－.故选D.
6．C 解析 设扇形的半径为R(R>0)，圆心角为α，则αR2＝4，所以α＝，则扇形的周长为2R＋αR＝2R＋≥2＝8，当且仅当2R＝，即R＝2时，取等号，所以周长最小时半径的值为2.故选C.
7．B 解析 因为角α的终边经过点(m,6)，且tan(－π＋α)＝tan α＝－3，所以＝－3，解得m＝－2，所以cos α＝＝－.故选B.
8．C 解析 因为角α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，tan α<0，对于A，取α＝－，则sin α＋cos α＝－＋<0，故A不符合题意；对于B，sin α·cos α<0，故B不符合题意；对于C，sin α·tan α>0，故C符合题意；对于D，－cos α<0，则sin α－cos α<0，故D不符合题意．故选C.
9．ACD 解析 由α是第三象限角，得sin α<0，cos α<0，tan α>0，可得A、C、D成立．
10．AC 解析 假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，由α和β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，又根据终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°，k∈Z，所以满足条件的为AC.故选AC.
11．ACD 解析 角θ的终边经过点(－2，－)，则sin θ＝－，A正确；θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－，B错误，C正确；因为tan θ＝>0，sin α＝>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确．故选ACD.
12．二 136° －224° 解析 因为－2 024°＝－6×360°＋136°，所以－2 024°角的终边与136°角的终边相同．所以－2 024°角是第二象限角，与－2 024°角终边相同的最小正角是136°.又136°－360°＝－224°，故与－2 024°终边相同的最大负角是－224°.
13. 解析 由已知得α＝，R＝10 cm，所以l＝αR＝×10＝(cm)，S扇形＝αR2＝××102＝(cm2)．
14．1(答案不唯一，0，±1，±2均可) 解析 |OA|≤3，即1＋a2≤9，解得－2≤a≤2，又a∈Z，故a的值可为－2，－1,0,1,2，则tan θ＝＝a，即tan θ的值可以是0或±1或±2.
15．C 解析 如图，东经120°与西经60°两条经线刚好构成一个大圆，甲地(点B)与球心(点O)的连线与赤道面所成的角为45°，即∠BOD＝45°，同理可得∠AOC＝45°，所以∠AOB＝90°＝ rad，因此甲、乙两地的球面距离即劣弧的长度，为R，故选C.
16．1 200 800π 解析 由题意知AB⊥平面BCD，则点A到平面BCD的距离即为AB的长度，设BC＝x m，则AB＝x m，故BD＝x m．在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，即3x2＝x2＋6002－2×600x×cos 120°，整理得x2－300x－180 000＝0，解得x＝－300(舍去)或x＝600.BF＝EF＝600 m，设圆弧所在圆的半径为R m，如图，圆心为O，则(R－600)2＋BF2＝R2，所以R＝1 200 m，所以∠EOF＝，故彩虹的长度为×1 200＝800π(m)．(共24张PPT)
微练(二十九)
任意角和弧度制、三角函数的概念
基础过关
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素养提升
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