第二节 同角三角函数基本关系式与诱导公式
【课程标准】 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x； 2．能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
教|材|回|顾
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：________________________.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α ______ ______ ______ ______ ______
余弦 cos α ______ ______ ______ ______ ______
正切 tan α ______ ______ ______
口诀 奇变偶不变，符号看象限
微|点|延|伸
1．同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
sin α＝tan α·cos α.
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
3．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
小|题|快|练
1．(多选题)(人A必一P194练习T2改编)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin(－x)＝sin x
B．sin＝cos x
C．cos＝－sin x
D．cos(x－π)＝－cos x
2．(人A必一P185T6改编)若sin α＝，<α<π，则tan α＝( )
A．－2 B．2
C． D．－
3．已知sin＝，那么cos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
4．已知cos α＝，－<α<0，则的值为________．
5．已知sin α·cos α＝，且<α<，则cos α－sin α＝________.
类型一 同角三角函数的基本关系
考向 ：公式的直接运用
【例1】 (1)已知cos α＝，且α是第四象限角，求sin α和tan α.
(2)已知sin α＝，求tan α.
利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
考向 ：弦切互化
【例2】 (2024·全国甲卷)已知＝，则tan＝( )
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
形如，asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α等类型可进行弦化切．
考向 ：“sin α±cos α”与“sin αcos α”的转换
【例3】 (多选题)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( )
A．sin θ＝ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
正弦、余弦“sin α±cos α，sin αcos α”的应用
sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.
【题组对点练】
题号 1 2 3
考向
1.(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________.
2．已知tan α＝2，则＝( )
A． B．
C．2 D．4
3．若sin α＋cos α＝，则tan α＋＝________.
类型二 诱导公式的应用
【例4】 (1)已知sin α＝，则＝( )
A．－ B． C．－ D．
(2)已知sin＝，则cos＝( )
A． B． C．－ D．－
(3)若f(x)＝sin＋1，且f(2 024)＝2，则f(2 025)＝________.
1．诱导公式的两个应用方向与原则：(1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．(2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．
2．含2π整数倍的诱导公式的应用：由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【训练】 (1)＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为________．
第二节 同角三角函数基本关系式与诱导公式
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)sin2α＋cos2α＝1
2．－sin α －sin α sin α cos α cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α tan α －tan α －tan α
小题快练
1．CD 解析 sin(－x)＝－sin x，故A不成立；sin＝－cos x，故B不成立；cos＝－sin x，故C成立；cos(x－π)＝－cos x，故D成立．故选CD.
2．D 解析 因为<α<π，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.故选D.
3．B 解析 因为sin＝－cos α＝，所以cos α＝－.故选B.
4. 解析 因为－<α<0，所以sin α＝－＝－，所以tan α＝－2.则＝＝－＝＝.
5．－ 解析 因为<α<，所以sin α>cos α，而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，所以cos α－sin α＝－.
关键能力·落实
【例1】 (1)解 因为cos α＝，且α是第四象限角，所以sin α＝－＝－＝－.所以tan α＝＝＝－.
(2)解 因为sin α＝，所以α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝＝＝.所以tan α＝＝；当α是第二象限角时，易知tan α＝－.
【例2】 B 解析 根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan＝＝＝2－1，故选B.
【例3】 ABD 解析 由题意知sin θ＋cos θ＝，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝－＜0，又因为θ∈(0，π)，所以＜θ＜π，所以sin θ－cos θ＞0，所以sin θ－cos θ＝＝＝＝，所以sin θ＝，cos θ＝－.所以tan θ＝－，所以A，B，D正确．
【题组对点练】
1．－ 解析 因为tan θ＝，所以9sin2θ＝cos2θ，即10sin2θ＝1.又因为θ∈，所以sin θ＝，cos θ＝，所以sin θ－cos θ＝－.
2．A 解析 因为tan α＝2，所以＝＝＝＝.故选A.
3．4 解析 因为sin α＋cos α＝，等式两边同时平方得(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝，所以tan α＋＝＋＝＝＝4.
【例4】 (1)D 解析 原式＝＝sin α＝.故选D.
(2)B 解析 因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.故选B.
(3)1 解析 因为f(2 024)＝sin＋1＝sin(1 012π＋α)＋1＝sin α＋1＝2，所以sin α＝1，cos α＝0，所以f(2 025)＝sin＋1＝sin＋1＝cos α＋1＝1.
【训练】 (1)B 解析 原式＝＝＝－·＝－1.故选B.
(2)－ 解析 因为α与β的终边关于原点对称，所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，所以cos β＝cos(2kπ＋π＋α)＝－cos α.因为α∈，所以cos α∈，所以cos β∈，所以cos β的最大值为－.(共30张PPT)
第二节
第四章 三角函数与解三角形
同角三角函数基本关系式与诱导公式
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
同角三角函数的基本关系
解
解
解析
解析
解析
解析
解析
类型二
诱导公式的应用
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点微练(三十) 同角三角函数基本关系式与诱导公式
基础过关
一、单项选择题
1．下列各数中与sin 2 024°的值最接近的是( )
A． B．
C．－ D．－
2．已知α∈，cos＝，则tan α等于( )
A．－ B．
C．－ D．
3．已知角α是第二象限角，且满足sin＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )
A． B．－
C．－ D．－1
4.化简的结果是( )
A．sin 3－cos 3 B．cos 3－sin 3
C．±(sin 3－cos 3) D．以上都不对
5．已知sin α＝2cos α，则＝( )
A． B．
C．－ D．－
6．(2025·成都模拟)已知α为锐角，且sin4α－cos4α＝，则tan α＝( )
A． B．
C．2 D．2
7．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α的值为( )
A．－ B．
C．0 D．或0
8．(2025·陕西联考)已知x∈，sin4x＋cos4x＝，则sin x－cos x＝( )
A． B．－
C． D．－
二、多项选择题
9．已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式＋(k∈Z)的取值为( )
A．－2 B．－1
C．2 D．1
10．已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是( )
A．＝
B．＝
C．sin(53°－x)＝cos(37°＋x)
D．sin(60°－x)＝cos(480°＋x)
11．下列式子中化简正确的是( )
A．tan(π＋1)＝tan 1
B．＝cos α
C．＝1
D．若θ∈，则＝sin θ－cos θ
三、填空题
12．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝________.
13．(2025·福建厦门一模)若sin＝－，则cos＝________.
14．若sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个实数根，则实数a的值为________．
素养提升
15．(2025·重庆调研)英国著名数学家布鲁克·泰勒(Brook Taylor)以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限项连加式来表示一个函数，如：sin x＝x－＋－＋…，其中n！＝1×2×3×…×n.根据该展开式可知，与2－＋－＋…的值最接近的是( )
A．sin 2° B．sin 24.6°
C．cos 24.6° D．cos 65.4°
16．在①4sin(2 022π＋α)＝－3cos(2 024π＋α)；②sin α＋cos α＝；③α，β的终边关于x轴对称，并且4sin β＝3cos β这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题．
已知第四象限角α满足________，求下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α＋3sin αcos α.
微练(三十) 同角三角函数基本关系式与诱导公式
1．D 解析 2 024°＝5×360°＋180°＋44°，所以sin 2 024°＝－sin 44°和－sin 45°最接近．故选D.
2．A 解析 由已知条件，得cos＝－sin α＝，即sin α＝－，因为α∈，所以cos α＝＝＝，所以tan α＝＝＝－.故选A.
3．B 解析 由sin＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－，因为角α是第二象限角，所以sin α＝，所以tan(π＋α)＝tan α＝＝－.故选B.
4．A 解析 sin(π－3)＝sin 3，cos(π＋3)＝－cos 3，所以原式＝＝＝|sin 3－cos 3|.因为<3<π，所以sin 3>0，cos 3<0.所以原式＝sin 3－cos 3.故选A.
5．B 解析 sin α＝2cos α，则tan α＝2，故＝＝sin αcos α＝＝＝.故选B.
6．B 解析 由题意得sin2α－cos2α＝，与sin2α＋cos2α＝1联立可得sin2α＝，cos2α＝，则tan2α＝2 tan α＝±，由α为锐角可得tan α＝.故选B.
7．D 解析 由2sin α＝1＋cos α得4sin2α＝1＋2cos α＋cos2α，5cos2α＋2cos α－3＝0，解得cos α＝或cos α＝－1，所以或所以tan α＝或0.故选D.
8．B 解析 因为sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－2sin2xcos2x＝，所以sin2xcos2x＝，又x∈，所以sin x<0，cos x>0，sin x－cos x<0，所以sin xcos x＝－，sin x－cos x＝－＝－＝－＝－.故选B.
9．AC 解析 当k奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；当k为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.所以原表达式的取值为－2或2.故选AC.
10．ABC 解析 对于A，＝＝＝＝，故A正确；对于B，＝＝＝，故B正确；对于C，sin(53°－x)＝sin[90°－(37°＋x)]＝cos(37°＋x)，故C正确；对于D，cos(480°＋x)＝cos(120°＋x)＝cos[180°－(60°－x)]＝－cos(60°－x)，故D错误．故选ABC.
11．ABD 解析 由诱导公式易知，A正确；＝＝cos α，B正确；＝＝－1，C错误；＝＝＝|sin θ－cos θ|，因为θ∈，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ，D正确．故选ABD.
12．0 解析 因为cos(180°－α)＝－cos α，于是得cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos 91°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°－cos 89°－…－cos 3°－cos 2°－cos 1°＝cos 90°＝0.
13．－ 解析 cos＝cos＝sin＝－.
14．1－ 解析 因为sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个实数根，所以Δ＝a2－4a≥0，即a≥4或a≤0，则得a2－2a－1＝0，解得a＝1－或a＝1＋(舍去)，所以a＝1－.
15．C 解析 由题意知，sin 2＝2－＋－＋…，又sin 2＝sin≈sin 114.6°，根据诱导公式得，sin 114.6°＝sin(90°＋24.6°)＝cos 24.6°，所以与2－＋－＋…的值最接近的是cos 24.6°.故选C.
16．解 若选择条件①：因为4sin(2 022π＋α)＝－3cos(2 024π＋α)，所以4sin α＝－3cos α，所以tan α＝－.
若选择条件②：因为α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，又sin α＋cos α＝，所以2＋cos2α＝1，所以cos α＝，sin α＝－，所以tan α＝－.
若选择条件③：因为α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，又因为α，β的终边关于x轴对称，所以sin α＝－sin β，cos α＝cos β.又因为4sin β＝3cos β，所以－4sin α＝3cos α，即tan α＝－.
(1)＝＝＝1.
(2)sin2α＋3sin αcos α＝＝＝＝－.(共24张PPT)
微练(三十)
同角三角函数基本关系式与诱导公式
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