第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【课程标准】 1.能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
教|材|回|顾
1．两角和与差的三角公式
(1)基本公式
①sin(α±β)＝____________.
②cos(α±β)＝____________.
③tan(α±β)＝____________.
(2)公式变形
①asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，(辅助角公式)
其中cos φ＝________，sin φ＝________.
或asin x＋bcos x＝cos(x－θ)，
其中cos θ＝________，sin θ＝________.
②sin α±cos α＝sin.
③tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
④＝tan.
⑤＝tan.
2．二倍角公式
(1)基本公式
①sin 2α＝________.
②cos 2α＝______＝______－1＝1－______.
③tan 2α＝________.
(2)公式变形
①降幂公式：cos2α＝______；sin2α＝______；tan2α＝.
升幂公式：cos 2α＝________＝________.
②半角公式：sin＝±；cos＝±；tan＝±＝＝.
小|题|快|练
1．sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45°＝( )
A． B．
C．－ D．－
2．已知α∈，sin α＝，则tan＝( )
A． B．7
C．－ D．－7
3．sin－cos的值为( )
A．0 B．－
C．2 D．
4．cos 15°＋sin 15°＝________.
5．tan 21°＋tan 39°＋tan 21°·tan 39°＝________.
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
类型一 公式的基本应用
【例1】 已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B． C． D．－
利用三角函数公式时应注意的问题
1．首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”．
2．应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用．
3．应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
【训练1】 (1)已知tan＝9，则tan α＝( )
A． B．－
C． D．－
(2)若sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，则sin 2αcos β＝( )
A． B． C． D．
类型二 公式的逆用
【例2】 (1)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为( )
A． B． C． D．
(2)－＝________.
三角函数公式的活用技巧
1．逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，角之间的关系，创造条件逆用公式．
2．注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
3．tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
【训练2】 (1)求值： cos 15°－4sin215°cos 15°＝( )
A． B． C．1 D．
(2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________.
类型三 角的变换
【例3】 (1)已知cos＝－，α∈，则sin＝________.
(2)(2025·临沂模拟)已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，则sin(α＋β)＝________.
1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
2．当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
3．常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等．
【训练3】 已知0<β<α<，且cos(α－β)＝，cos 2β＝，则cos(α＋β)＝( )
A． B． C． D．
第三节 三角恒等变换
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)①sin αcos β±cos αsin β ②cos αcos β sin αsin β
③ (2)①
2．(1)①2sin αcos α ②cos2α－sin2α 2cos2α 2sin2α ③
(2)① 2cos2α－1 1－2sin2α
小题快练
1．C 解析 sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45°＝－(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＝－cos(15°＋45°)＝－cos 60°＝－.故选C.
2．A 解析 因为α∈，所以cos α<0.因为sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－，所以tan＝＝＝.故选A.
3．B 解析 sin－cos＝2＝2sin＝2sin＝－.故选B.
4. 解析 解法一：原式＝(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)＝cos(45°－15°)＝×＝.
解法二：因为(cos 15°＋sin 15°)2＝1＋sin 30°＝，且cos 15°＋sin 15°>0，所以cos 15°＋sin 15°＝.
5. 解析 原式＝tan(21°＋39°)(1－tan 21°tan 39°)＋tan 21°tan 39°＝tan 60°(1－tan 21°tan 39°)＋tan 21°tan 39°＝(1－tan 21°tan 39°)＋tan 21°tan 39°＝－tan 21°tan 39°＋tan 21°tan 39°＝.
第1课时 两角和与差的正弦、
余弦和正切公式
关键能力·落实
【例1】 A 解析 因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，则tan(α－β)＝＝－.故选A.
【训练1】 (1)A 解析 解法一：由tan＝＝9，解得tan α＝.故选A.
解法二：tan α＝tan＝＝.故选A.
(2)B 解析 由sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝①，sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝②，由①＋②得，2sin 2αcos β＝，所以sin 2αcos β＝.故选B.
【例2】 (1)B 解析 在△ABC中，因为C＝120°，所以tan C＝－.因为A＋B＝π－C，所以tan(A＋B)＝－tan C＝.所以tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)．又因为tan A＋tan B＝，所以tan Atan B＝.故选B.
(2)4 解析 原式＝＝＝＝＝4.
【训练2】 (1)D 解析 原式＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.故选D.
(2)(答案不唯一) 解析 由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，得1＋tan β＋tan α＋tan αtan β＝2，所以tan β＋tan α＝1－tan αtan β，所以＝1，所以tan(α＋β)＝1，所以α＋β＝kπ＋，k∈Z，所以可令α＝0，β＝(答案不唯一)．
【例3】 (1) 解析 因为cos＝－，α∈，所以α∈，sin＝，所以sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.
(2) 解析 因为<α<，所以<＋α<π，所以sin＝＝.又因为0<β<，所以<＋β<π，所以cos＝－＝－，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin＝－＝－＝.
【训练3】 A 解析 由0<β<α<，得0<α－β<，又cos(α－β)＝，则sin(α－β)＝＝，而0<2β<π，cos 2β＝，则sin 2β＝＝，所以cos(α＋β)＝cos[(α－β)＋2β]＝cos(α－β)cos 2β－sin(α－β)sin 2β＝×－×＝.故选A.(共30张PPT)
第三节
第四章 三角函数与解三角形
三角恒等变换
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
第1课时
第四章 三角函数与解三角形
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
公式的基本应用
解析
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类型二
公式的逆用
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类型三
角的变换
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R
赢在欲点(共25张PPT)
微练(三十一)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
基础过关
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解微练(三十一) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
基础过关
一、单项选择题
1．tan 105°＝( )
A．2－ B．－2－
C．－2 D．－
2．cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°＝( )
A． B．
C．－ D．－
3．已知tan＝3，则＝( )
A．3 B．
C．－3 D．－
4．已知sin α＋cos α＝，则sin＝( )
A．± B．
C．－ D．－
5．(2025·长沙适应性考试)若tan 2α＋4tan＝0，则sin 2α＝( )
A．－ B．－
C． D．
6．已知2cos(2α＋β)－3cos β＝0，则tan αtan(α＋β)＝( )
A．5 B．
C．－5 D．－
二、多项选择题
7．下列四个选项中，化简正确的是( )
A．cos(－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
8．已知α，β，γ∈，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列说法正确的是( )
A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝
C．β－α＝ D．β－α＝－
三、填空题
9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________.
10．(2025·郑州质量检测)已知＝2，则sin 2α＝________.
11．已知sin＝，x∈(0，π)，则sin 2x＝________.
四、解答题
12．化简并求值．
(1)；
(2)·.
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别为，－.
(1)求cos(β－α)的值；
(2)求cos－cos2α的值．
素养提升
14. 1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形就要将圆十七等分，如图所示．设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则cos(π－α)·cos 2αcos 4αcos 8α的值为________．
15．若α，β为锐角，且α＋β＝，则tan α＋tan β的最小值为( )
A．2－2 B．－1
C．2－2 D．－1
16．已知cos＝－，sin＝，且<α<π，0<β<，求cos(α＋β)．
微练(三十一) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．B 解析 tan 105°＝tan(60°＋45°)＝＝＝＝＝－2－.故选B.
2．D 解析 原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°＝cos(50°＋160°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－.故选D.
3．B 解析 因为tan＝3，所以＝＝＝＝.故选B.
4．C 解析 因为sin α＋cos α＝sin＝，所以sin＝，所以sin＝sin＝－sin＝－.故选C.
5．A 解析 因为tan 2α＋4tan＝0，所以＋4·＝0，化简得2tan2α＋5tan α＋2＝0，解得tan α＝－2或tan α＝－.当tan α＝－2时，sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝－；当tan α＝－时，sin 2α＝＝－.故选A.
6．D 解析 2cos(2α＋β)＝3cos β，则2cos(α＋β＋α)＝3cos(α＋β－α)，则2cos(α＋β)cos α－2sin(α＋β)sin α＝3cos(α＋β)cos α＋3sin(α＋β)sin α，即－5sin(α＋β)sin α＝cos(α＋β)cos α，所以－5tan(α＋β)tan α＝1，所以tan αtan(α＋β)＝－.故选D.
7．BCD 解析 对于A，原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，A错误．对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确．对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C正确．对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．故选BCD.
8．BD 解析 由已知可得所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sin α－sin β)2＋(cos β－cos α)2＝2－2(cos βcos α＋sin βsin α)＝2－2cos(β－α)，所以cos(β－α)＝.因为α，β，γ∈，所以－<β－α<，因为sin γ＝sin α－sin β>0，函数y＝sin x在上单调递增，所以α>β，则－<β－α<0，故β－α＝－.故选BD.
9. 解析 依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－.又β是第三象限角，因此有cos β＝－，所以sin＝－sin＝－sin βcos－cos βsin＝.
10. 解析 ＝tan＝tan α＝2，则sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝.
11．－ 解析 由题意知＝(sin x＋cos x)，则＝(sin x＋cos x)2＝(1＋2sin xcos x)，则sin 2x＝2sin xcos x＝－1＝－.
12．解 (1)原式＝＝＝＝＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝＝＝32.
13．解 (1)因为锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B，且点A，B的横坐标分别为，－，显然点A在第一象限，点B在第二象限，则点A，B的纵坐标分别为，.由已知及三角函数定义得sin α＝，sin β＝，而cos α＝，cos β＝－，所以cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
(2)由(1)知sin α＝，cos α＝，所以cos－cos2α＝sin 2α－cos2α＝2sin αcos α－cos2α＝2××－2＝.
14. 解析 cos(π－α)cos 2αcos 4αcos 8α＝－···＝－，易知α＝，所以cos(π－α)cos 2αcos 4αcos 8α＝－＝－＝＝.
15．A 解析 因为tan(α＋β)＝＝1，所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2.因为(1＋tan α)(1＋tan β)≤2，即2≤，得(tan α＋tan β＋2)2≥8.由于α，β为锐角，则tan α＋tan β＋2>0，所以tan α＋tan β＋2≥2，当且仅当tan α＝tan β＝－1时等号成立，所以tan α＋tan β的最小值为2－2.故选A.
16．解 由已知，得<α－<π，－<－β<，所以sin＝，cos＝，所以cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.则cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.
