第2课时 简单的三角恒等变换
类型一 三角函数式求值
考向 ：给值求值
【例1】 (1)若cos＝，α∈(0，π)，则sin α的值为( )
A． B．
C． D．
(2)若tan(α＋2β)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(α＋5β)＝( )
A． B． C． D．
给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．
考向 ：给值求角
【例2】 (1)已知cos α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β＝( )
A． B． C． D．
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；
(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
【题组对点练】
题号 1 2 3
考向
1.已知cos＝，则sin＝( )
A．－ B． C．－ D．
2．已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，则α＋β的值为( )
A． B．
C．和 D．
3．已知sin(2α＋β)＝2sin β，且tan ＝1－tan2，则tan(α＋β)＝________.
类型二 三角恒等变换的综合应用
【例3】 设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)．
(1)求函数y＝2的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)f在上的最大值．
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质．解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意使用整体思想解决相关问题．
【训练】 (2025·哈尔滨模拟)已知<θ<，若a＝，b＝－cos 2θ，c＝－cos θ，则a，b，c的大小关系是( )
A．c>a>b B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
1．(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( )
A． B． C． D．
2．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝( )
A．－ B．－
C． D．
3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin＝( )
A． B．
C． D．
4．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝( )
A． B． C． D．
5. (2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝( )
A． B．
C． D．
3 三角函数的求值问题
一、教材题组·加固练■
人教A版必修第一册
1 2 3 4 5
【选题说明】看似简单平常的习题，实质上却隐含着丰富的内容，很多三角函数求值的高考试题就是以这组题为源头，通过挖掘其所蕴含的知识链、方法链，逐步变换演绎而成.
【题1】 (一题多解)已知sin β＋cos β＝，β∈(0，π), 求tan β的值．
【题2】 已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，求tan αtan β的值．
【题3】 已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，求cos(α－β)的值．
【题4】 (一题多解)已知sin α－cos α＝，0≤α≤π，求sin的值．
【题5】 (一题多解)在△ABC中，cos A＝，tan B＝2，求tan(2A＋2B)的值．
二、创新变式·提升练■
【变式1】 已知sin(α＋β)＝3m，tan β＝2tan α，则sin(α－β)＝( )
A．－m B．m
C．0 D．2m
【变式2】 已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，若tan α＝mtan β，则m的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【变式3】 若sin α＋sin β＝，cos α－cos β＝，则( )
A．cos(α＋β)＝－ B．cos(α＋β)＝
C．cos(α－β)＝－ D．cos(α－β)＝
【变式4】 在△ABC中，sin(A＋B)＝，sin A cos B＝，则cos(2A－2B)＝________.
三、链接高考·体验练■
1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝( )
A．－3m B．－
C． D．3m
2．(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos α·sin β＝，则cos(2α＋2β)＝( )
A． B． C．－ D．－
3．(2022·新课标Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则( )
A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1
4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝________.
第2课时 简单的三角恒等变换
关键能力·落实
【例1】 (1)A 解析 因为α∈(0，π)，所以α＋∈，又cos＝，所以sin＝＝，所以sin α＝sin＝sincos －cossin＝×－×＝.故选A.
(2)B 解析 因为tan(α＋2β)＝3，所以tan 2(α＋2β)＝＝＝－，所以tan(α＋5β)＝tan[2(α＋2β)－(α－β)]＝＝＝.故选B.
【例2】 (1)C 解析 因为cos α＝，sin(β－α)＝－<0，α，β均为锐角，所以sin α＝＝，β－α∈，可得cos(β－α)＝＝，sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝－×＋×＝，所以β＝.故选C.
(2)－ 解析 因为tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，所以0<α<.又tan 2α＝＝＝>0，所以0<2α<，所以tan(2α－β)＝＝＝1.因为tan β＝－<0，所以<β<π，所以－π<2α－β<0，所以2α－β＝－.
【题组对点练】
1．D 解析 sin＝sin＝－cos 2＝1－2cos2＝1－2×＝.故选D.
2．D 解析 因为α和β均为钝角，cos α＝－＝－，cos β＝－＝－.cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－×－×＝.由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，所以α＋β＝.故选D.
3．6 解析 因为tan ＝1－tan2，所以tan α＝＝2.又sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]，所以sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝2sin(α＋β)cos α－2cos(α＋β)sin α，即sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α，等号两边同时除以cos αcos(α＋β)，得tan(α＋β)＝3tan α＝6.
【例3】 解 (1)因为f(x)＝sin x＋cos x，所以f＝sin＋cos＝cos x－sin x，所以y＝2＝(cos x－sin x)2＝1－sin 2x.所以函数y＝2的最小正周期T＝＝π.
(2)f＝sin＋cos＝sin x，所以y＝f(x)f＝sin x(sin x＋cos x)＝(sin xcos x＋sin2x)＝＝sin＋.当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝，即x＝时，函数y＝f(x)f在上取得最大值，且ymax＝1＋.
【训练】 C 解析 a＝＝＝sin θcos θ，b＝(1－cos 2θ)＝sin2θ，c＝－cos θ＝＝sin θtan θ，又<θ<，则sin θ∈，且tan θ>1>sin θ>>cos θ>，所以c＝sin θtan θ>b＝sin2θ>a＝sin θcos θ.故选C.
高考真题·重温
1．A 解析 由3cos 2α－8cos α＝5，得3cos2α－4cos α－4＝0，所以cos α＝－或cos α＝2(舍去)，因为α∈(0，π)，所以sin α＝，故选A.
2．C 解析 ＝＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝＝＝＝.故选C.
3．D 解析 因为cos α＝1－2sin2＝，所以sin2＝＝＝，因为α为锐角，所以也为锐角，所以sin＝.故选D.
4．A 解析 因为tan 2α＝，且α∈，所以＝，所以2sin 2α＝cos αcos 2α＋sin αsin 2α，即4sin αcos α＝cos(2α－α)＝cos α.又cos α≠0，所以4sin α＝1，所以sin α＝，所以cos α＝，所以tan α＝.故选A.
5．B 解析 由题意知，△OAB是等边三角形，所以AB＝OA＝2.连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，OC＝＝，又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，所以CD＝OD－OC＝2－，所以s＝AB＋＝2＋＝.故选B.
教考衔接3 三角函数的求值问题
一、教材题组·加固练
题1 解 解法一(直接法)：由可得25sin2β－5sinβ－12＝0，又因为β∈(0，π)，可得sin β＝，cos β＝－sin β＝－，于是tan β＝－.
解法二(1的代换)：sin β＋cos β＝两边平方得sin2β＋2sin βcos β＋cos2β＝，又sin2β＋cos2β＝1，代入得12sin2β＋25sin βcos β＋12cos2β＝0，显然cos β≠0，两边同除以cos2β，得12tan2β＋25tan β＋12＝0，解得tan β＝－或tan β＝－，又sin β＋cos β＝，β∈(0，π)，从而|sin β|>|cos β|，所以|tan β|>1，所以tan β＝－.
解法三(引入辅助角)：由sin β＋cos β＝及辅助角公式可得sin＝，又β∈(0，π)，所以β＋∈，而0
解法四(利用三角函数定义)：设P(x，y)是角β的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义及已知条件得y＋x＝(y>0)，又x2＋y2＝1，从而得x＝－，y＝，所以tan β＝＝－.
题2 解 由题意得
所以cos αcos β＝，sin αsin β＝.
所以tan αtan β＝＝.
题3 解 因为cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，
所以两式平方相加可得，
cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＋sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝2＋2，化简可得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.
题4 解 解法一：由及0≤α≤π，
可得sin α＝，cos α＝sin α－＝，所以sin 2α＝，cos 2α＝－，所以sin＝sin 2αcos－cos 2αsin＝.
解法二：由sin α－cos α＝，得(sin α－cos α)2＝，sin 2α＝，所以cos22α＝.又由sin α－cos α＝，得sin＝，因为α∈[0，π]，所以α－∈，而0题5 解 解法一：在△ABC中，由cos A＝，0又tan B＝2，所以tan 2B＝＝＝－.于是tan(2A＋2B)＝＝＝.
解法二：在△ABC中，由cos A＝，0二、创新变式·提升练
变式1 A 解析 由tan β＝2tan α，可得sin βcos α＝2sin αcos β.由sin(α＋β)＝3m，可得sin αcos β＋cos αsin β＝3m，则sin αcos β＋2sin αcos β＝3m，所以sin αcos β＝m.所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－sin αcos β＝－m.故选A.
变式2 C 解析 由sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以tan α＝5tan β，所以m＝5.故选C.
变式3 B 解析 由sin α＋sin β＝，cos α－cos β＝，得(sin α＋sin β)2＝sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝ ①，(cos α－cos β)2＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝ ②.①②相加得sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＋cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝，2－2(cos αcos β－sin αsin β)＝2－2cos(α＋β)＝，解得cos(α＋β)＝.故选B.
变式4 解析 因为sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，sin Acos B＝，所以cos Asin B＝，所以sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝－＝－，所以cos(2A－2B)＝cos2(A－B)＝1－2sin2(A－B)＝1－2×2＝.
三、链接高考·体验练
1．A 解析 由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m ①.由tan αtan β＝2得＝2 ②，由①②得所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.故选A.
2．B 解析 因为sin(α－β)＝，所以sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝＋cos αsin β＝＋＝，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B.
3．C 解析 由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin (α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.故选C.
4．－ 解析 由题知tan(α＋β)＝＝＝－2，即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z,2mπ＋π＜β＜2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π＜α＋β＜2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)＜0，所以α＋β是第四象限角，故sin(α＋β)＝－.(共25张PPT)
第2课时
第四章 三角函数与解三角形
简单的三角恒等变换
关键能力/落实
第一部分
——考向探究
类型一
三角函数式求值
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
类型二
三角恒等变换的综合应用
解
解
解析
高考真题/重温
第三部分
——明确方向
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
D
A
B
C
O微练(三十二) 简单的三角恒等变换
基础过关
一、单项选择题
1．“sin α＝”是“sin－cos＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．tan 70°·cos 10°·(1－tan 20°)＝( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
3．已知cos－cos α＝，则sin＝( )
A．－ B．
C． D．
4．若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈，则＝( )
A．2 B．
C．3 D．
5．已知θ为第一象限角，sin θ－cos θ＝，则tan 2θ＝( )
A． B．
C．－ D．－
6．(2025·石家庄质量检测)已知α∈，且cos＝2cos 2α，则tan＝( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．已知f(x)＝sin xsin－，则f(x)的值不可能是( )
A．－ B．
C．－2 D．2
8．已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，则( )
A．cos α＝－ B．sin α－cos α＝
C．β－a＝ D．cos αcos β＝－
三、填空题
9．计算＝________.
10．已知cos2＝，则sin 2α＝________.
11．已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，则角β的大小是________．
四、解答题
12．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x.
(1)求f的值；
(2)若f＝，α∈，求cos α的值．
13．已知函数f(x)＝sin＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
素养提升
14．(2025·广州综合测试)已知α，β是函数f(x)＝3sin－2在上的两个零点，则cos(α－β)＝( )
A． B．
C． D．
15．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10 cm和20 cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为( )
A．20 cm B．30 cm
C．40 cm D．60 cm
16．已知a＝，b＝，记f(x)＝a·b，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若f＝，x0∈，求cos 2x0.
微练(三十二) 简单的三角恒等变换
1．B 解析 若sin－cos＝，则2＝＝1－sin α，所以sin α＝，必要性成立；若sin α＝，则2＝1－sinα＝，所以sin－cos＝±，充分性不成立．故“sin α＝”是“sin－cos＝”的必要不充分条件．故选B.
2．A 解析 由tan 70°·cos 10°·(1－tan 20°)＝cos 10°·(tan 70°－tan 70°·tan 20°)＝cos 10°·＝cos 10°·＝cos 10°·＝1，故选A.
3．A 解析 由cos－cos α＝，得－cos α＝sin α＋cos α＝sin＝.故sin＝cos＝cos＝cos＝－cos＝2sin2－1＝2×2－1＝－.故选A.
4．A 解析 因为sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，所以sin αcos β＝2cos αsin β，所以tan α＝2tan β，即＝2.故选A.
5．D 解析 由sin θ－cos θ＝，得1－2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝，2＝1＋2sin θcos θ＝.因为θ是第一象限角，所以sin θ＋cos θ＝，所以sin θ＝，cos θ＝，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝2×÷＝－.故选D.
6．D 解析 因为cos＝2cos 2α，所以(cos α＋sin α)＝2(cos2α－sin2α)＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，因为α∈，所以cos α＋sin α>0，所以cos α－sin α＝，即＝，所以cos＝，因为α∈，所以α＋∈，所以sin＝＝＝，所以tan＝＝，故选D.
7．CD 解析 因为f(x)＝sin xsin－＝sin x－＝sin2x＋sin xcos x－＝×＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin，所以－≤f(x)≤，f(x)的值不可能是－2和2.故选CD.
8．BC 解析 因为≤α≤π，所以≤2α≤2π.又sin 2α＝>0，故有≤2α<π，≤α<，则cos 2α＝－.又cos 2α＝2cos2α－1，则cos2α＝，故cos α＝，故A错误；因为(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，≤α<，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；因为π≤β≤，所以≤α＋β<2π.又cos(α＋β)＝－<0，所以≤α＋β<，解得sin(α＋β)＝－，所以cos(β－α)＝cos [(α＋β)－2α]＝－×＋×＝－.又因为≤α＋β<，－π<－2α≤－，所以<β－α<π，则有β－α＝，故C正确；对于D选项，cos(α＋β)＝－，可得cos αcos β－sin αsin β＝－，由C知，cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误．故选BC.
9．2 解析 ＝－＝－＝－＝2.
10. 解析 解法一：因为cos2＝，所以sin 2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝.
解法二：由已知得＝，即＝，所以sin 2α＝.
11. 解析 因为sin(π－α)＝，所以sin α＝.因为0<α<，所以cos α＝＝.因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，所以0<α－β<，所以sin(α－β)＝＝.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.因为0<β<，所以β＝.
12．解 (1)因为f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin，所以f＝1＋2sin＝1＋2sin＝1＋1＝2.
(2)由f＝，α∈，得α＋∈，sin＝，cos＝，所以cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝.
13．解 (1)f(x)＝sin 2xcos －cos 2xsin＋1－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，所以T＝＝π，即f(x)的最小正周期为π.
(2)因为x∈，所以2x－∈，所以－≤sin≤1，所以－≤sin＋1≤＋1，所以f(x)的值域为.
14．A 解析 因为α，β是函数f(x)在上的两个零点，所以sin＝，sin＝，且2α＋∈，2β＋∈，所以2α＋＋2β＋＝π，α＋β＝.所以cos(α－β)＝cos＝cos＝cos＝sin＝，故选A.
15．D 解析 如图所示，EF＝10，FG＝20，令∠AEF＝α，则AF＝10sin α，∠AFE＝－α，则∠BFG＝α，BF＝20cos α，BG＝20sin α，∠BGF＝－α，则∠CGH＝α，CG＝10cos α，所以周长＝2AB＋2BC＝2(10sin α＋20cos α)＋2(20sin α＋10cos α)＝60sin α＋60cos α＝60sin≤60，故选D.
16．解 (1)因为f(x)＝a·b＝2cos2x－2sincos＝1＋cos 2x－sin＝1＋cos 2x－sin 2x－cos 2x＝－sin 2x－cos 2x＋1＝－sin＋1，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f＝－sin＋1＝，可得sin＝，又因为x0∈，则x0＋∈，则cos＝－＝－，cos x0＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝，所以cos 2x0＝2cos2x0－1＝.(共27张PPT)
微练(三十二)
简单的三角恒等变换
基础过关
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