第四节 三角函数的图象与性质
【课程标准】 1.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性；2.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性与对称性.
教|材|回|顾
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，________，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，________，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R __________
值域 ________ ________ ______
周期性 T＝____ T＝____ T＝____
奇偶性 ________ ________ ________
递增 区间 ____________ ____________ __________
递减 区间 ____________ ____________ 无
对称 中心 ________ __________
对称轴 方程 ____________ ________ 无
3.关于周期性
y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
微|点|延|伸
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝(k∈Z)．
小|题|快|练
1．(苏教必一P204T2改编)函数y＝tan 2x的定义域是( )
A．x≠kπ＋，k∈Z}
B．x≠＋，k∈Z}
C．x≠kπ＋，k∈Z}
D．x≠＋，k∈Z}
2．(苏教必一P224T7)下列各组函数中，在区间上都单调递增的函数为( )
A．y＝sin x，y＝cos x
B．y＝sin x，y＝tan x
C．y＝cos x，y＝tan x
D．y＝－sin x，y＝－cos x
3．(人A必一P199例1改编)函数y＝1＋cos x(x∈[0,2π])的简图是( )
4．函数y＝3sin的最小正周期是π，则a＝________.
5．(人A必一P214T10改编)函数y＝cos，x∈的值域是________．
第1课时 三角函数的定义域、值域与单调性
类型一 三角函数的定义域自练自悟
1.函数y＝tan的定义域是( )
A．{x
B．{x
C．{x
D．{x
2．函数y＝的定义域为( )
A．
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．R
3．函数y＝lg(2sin x＋1)的定义域为( )
A．{x
B．{x
C．{x
D．{x
4．函数y＝的定义域为________________________________.
三角函数的定义域的求法
1．求三角函数的定义域一般可归结为解三角不等式(或等式)；
2．求三角函数的定义域经常借助两个工具：三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；
3．对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．
注意 解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略.
类型二 三角函数的单调性及应用
考向 ：划分单调区间
【例1】 函数y＝sin的单调递减区间是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
求三角函数单调区间的方法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
考向 ：比较大小
【例2】 (多选题)(2025·石家庄调研)下列不等式成立的是( )
A．sin
B．cos 400°>cos(－50°)
C．sinD．sin 3三角函数值比较大小要把三角函数化为同名函数，而且自变量值化为同一单调区间内的值，有时也可以采用插值法，比如插入0，等特殊值．
考向 ：求参数的取值范围
【例3】 已知f(x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，且f(x)在上有最小值，那么φ的取值范围是( )
A． B．
C． D．
根据三角函数的单调性求参数的方法
1．子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
2．反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
3．周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解．
【题组对点练】
题号 1 2 3
考向
1.设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区间是( )
A． B．
C． D．
2．(2025·济南模拟)若a＝sin 1，b＝lg(tan 1)，c＝，则( )
A．cC．b3．若函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是________.
类型三 三角函数的值域(最值)
【例4】 (1)(2024·天津高考)已知函数f(x)＝sin 3的最小正周期为π，则f(x)在的最小值为( )
A．－ B．－ C．0 D．
(2)函数y＝－2tan2x＋3tan x－1，x∈的值域为________．
求三角函数的值域(最值)的方法
1．形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数，可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)．
2．形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可设t＝sin x，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)．
【训练】 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________．
(2)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为________．
第四节 三角函数的图象与性质
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1) (2)(π，－1)
2．{x [－1,1] [－1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数 奇函数 [2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π] (kπ，0) x＝＋kπ x＝kπ
小题快练
1．D 2.B 3.D
4．±2 解析 因为＝π，所以|a|＝2，所以a＝±2.
5. 解析 由x∈得x＋∈，所以y＝cos∈.
第1课时 三角函数的定义域、值域与单调性
关键能力·落实
1．D 解析 函数y＝tan＝－tan，令x－≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋kπ，k∈Z，所以函数y的定义域是{x.故选D.
2．C 解析 由cos x－≥0，得cos x≥，所以2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．故选C.
3．D 解析 由2sin x＋1>0，得sin x>－，所以2kπ－4．{x 解析 解法一：要使函数有意义，则sin x－cos x≥0.在同一坐标系中画出y＝sin x和y＝cos x在[0,2π]上的图象，如图所示，在[0,2π]内，当x＝，时，满足sin x＝cos x，再结合正弦、余弦函数的最小正周期是2π，可知原函数的定义域为{x.
解法二：要使函数有意义，则sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以原函数的定义域为{x.
【例1】 A 解析 y＝sin＝－sin，要求函数y＝sin的单调递减区间，即求函数y＝sin的单调递增区间．令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数y＝sin的单调递减区间是(k∈Z)．故选A.
【例2】 BD 解析 因为－<－<－<0，且函数y＝sin x在上单调递增，所以sincos 50°，即cos 400°>cos(－50°)，故B正确；因为<<<，且函数y＝sin x在区间上单调递减，所以sin>sin，故C错误；因为<2<3<，且函数y＝sin x在区间上单调递减，所以sin 3【例3】 B 解析 由x∈，可得2x－φ∈，又由0<φ<，且f(x)在上单调递增，可得－φ≤，所以≤φ<.当x∈时，2x－φ∈，由f(x)在上有最小值，可得－φ>，所以φ<.综上，≤φ<.故选B.
【题组对点练】
1．D 解析 由已知f(x)＝cos，得2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈，所以f(x)在上的单调递减区间为.故选D.
2．C 解析 因为y＝sin x在上单调递增，所以a＝sin 1>sin ＝＝c，因为y＝tan x在上单调递增，所以tan 13. 解析 令＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ(k∈Z)，则＋≤x≤＋，k∈Z，因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递减，所以解得＋6k≤ω≤＋4k，k∈Z，又＋6k≤＋4k，且4k＋>0，k∈Z，所以－【例4】 (1)A 解析 由f(x)的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin(2x＋π)＝－sin 2x.当x∈时，2x∈，sin 2x∈，所以f(x)min＝－，故选A.
(2) 解析 因为x∈，所以tan x∈[－1,1]，又y＝－2tan2x＋3tan x－1＝－22＋，则当tan x＝时，f(x)max＝，当tan x＝－1时，f(x)min＝－6，所以所求函数的值域为.
【训练】 (1)2 解析 由题意知f(x)＝sin x－cos x＝2sin，当x∈[0，π]时，x－∈，所以sin∈，于是f(x)∈[－，2]，故f(x)在[0，π]上的最大值为2.
(2)5 解析 因为f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，又sin x∈[－1,1]，所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.(共43张PPT)
第四节
第四章 三角函数与解三角形
三角函数的图象与性质
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
第1课时
第四章 三角函数与解三角形
三角函数的定义域、值域与单调性
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
三角函数的定义域 自练自悟
解析
解析
解析
解析
解析
类型二
三角函数的单调性及应用
解析
解析
解析
解析
解析
解析
类型四
三角函数的值域(最值)
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
)y个
1
3π
T
2
0
T
2π
X
2
-1
y
不
0
T
3π2Tx
2
-1
2
y
2
π2
不
I
I
I
I
2
2
要2m文0开要2m
2
2
A
B
y
2
2
2
T
T
2π
罗02n
2
C
D
y
1
Y=cOS x
5π
4
T
2
X
4
-1
y=sin x微练(三十三) 三角函数的定义域、值域与单调性
基础过关
一、单项选择题
1．函数y＝lg(tan 2x)的定义域是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
3．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－
C． D．0
4．已知α，β为锐角三角形的两个内角，则下列结论正确的是( )
A．sin αC．cos αcos β
5．(2025·温州模拟)已知函数f(x)＝cos x，若关于x的方程f(x)＝a在上有两个不同的根，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
6．(2025·长沙联考)已知函数f(x)＝(sin x－cos x)cos x，若f(x)在区间上是单调函数，则实数θ的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝tan 2x
C．y＝cos 2x D．y＝sin 2x
8．已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间单调递增
C．f(x)在[－π，π]有4个零点
D．f(x)的最大值为2
三、填空题
9．(2025·衡水调研)函数f(x)＝2cos x－cos 2x的最大值为________．
10．函数f(x)＝sin xsin－1(x∈(0，π))的最大值是________，单调递增区间是________．
11．已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是________(用“<”表示)．
四、解答题
12．已知函数f(x)＝sin.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
13．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
素养提升
14．(2024·天津一模)下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是( )
A．f(x)＝sin|x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝|cos 2x|
15．(多选题)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调，且f＝－f＝1，则( )
A．ω＝3 B．φ＝－
C．ω＝2 D．φ＝
16．(2025·湖北调研)已知函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(x)≤f恒成立，且在区间上无最小值，则ω＝________.
微练(三十三) 三角函数的定义域、值域与单调性
1．D 解析 由函数y＝lg(tan 2x)有意义得tan 2x>0，所以kπ<2x2．B 解析 由题意，得2sin x－1≥0，x∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z)．故选B.
3．B 解析 由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.故选B.
4．B 解析 因为α，β是锐角三角形的两个内角，所以α＋β>，所以0<－β<α<.所以cos α5．C 解析 如图，作出函数y＝cos x，x∈的图象及直线y＝a，由图可知当a∈时，直线y＝a与曲线y＝cos x，x∈有两个交点，即关于x的方程f(x)＝a在区间上有两个不同的根．故选C.
6．C 解析 f(x)＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－·＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，令t＝2x－，则y＝sin t－，因为x∈，所以t∈，又因为f(x)在区间上是单调函数，则y＝sin t－在区间上是单调函数，所以－π<2θ－≤－，即－<2θ≤－，解得－<θ≤－.故选C.
7．AC 解析 对于A，y＝|cos x|的周期为π，在上单调递增，符合要求；对于B，y＝tan 2x的周期为，在和上单调递增，不符合要求；对于C，y＝cos 2x的周期为π，在上单调递增，符合要求；对于D，y＝sin 2x的周期为π，在上不单调，不符合要求．故选AC.
8．AD 解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；当9. 解析 f(x)＝2cos x－cos 2x＝－2cos2x＋2cos x＋1，设t＝cos x，t∈[－1,1]，g(t)＝－2t2＋2t＋1＝－22＋，则当t＝时，g(t)max＝，所以函数f(x)＝2cos x－cos 2x的最大值为.
10．－ 和 解析 f(x)＝sin xsin－1＝sin x－1＝sin2x＋sin xcos x－1＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin－，因为011．c12．解 (1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
13．解 (1)因为函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
14．D 解析 对于A，f(0)＝sin|0|＝0，f＝sin＝1≠f(0)，故f(x)＝sin|x|不以为周期，故A错误；对于B，f＝|sin(2x＋π)|＝|sin 2x|＝f(x)，故f(x)＝|sin 2x|的一个周期为，当x∈时，2x∈，y＝sin x在上单调递减，且y＝sin x>0，故f(x)＝|sin 2x|在上单调递减，故B错误；对于C，f(0)＝cos|0|＝1，f＝cos＝0≠f(0)，故f(x)＝cos|x|不以为周期，故C错误；对于D，f＝|cos(2x＋π)|＝|cos 2x|＝f(x)，故f(x)＝|cos 2x|以为周期，当x∈时，2x∈，y＝cos x在上单调递减，但y＝cos x<0，故x∈时，f(x)＝|cos 2x|＝－cos 2x，故f(x)＝|cos 2x|在上单调递增，故D正确．
15．CD 解析 因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调，所以＝·≥－＝，所以0<ω≤2，因为f＝－f＝1，所以sin＝－sin＝1，所以ω＋φ＝＋2k1π，ω＋φ＝＋2k2π，k1，k2∈Z，故ω＝π＋2(k2－k1)π，所以ω＝2＋4(k2－k1)，k2，k1∈Z，因为0<ω≤2，k2－k1∈Z，所以ω＝2，则φ＝＋2k1π，k1∈Z，又0<|φ|<，所以φ＝.故选CD.
16. 解析 由题意知直线x＝为函数f(x)图象的一条对称轴，所以ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以ω＝＋3k(k∈Z) ①.因为函数f(x)在区间上无最小值，所以(k∈Z)，解得6k－≤ω≤2k＋(k∈Z) ②.又ω>0，所以由①②可得，ω＝.(共30张PPT)
微练(三十三)
三角函数的定义域、值域与单调性
基础过关
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