第4节 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性(课件 学案 练习)2026届高中数学人教A版(2019)大一轮复习

文档属性

名称 第4节 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性(课件 学案 练习)2026届高中数学人教A版(2019)大一轮复习
格式 zip
文件大小 22.9MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-06-19 21:25:03

文档简介

第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性
类型一 三角函数的周期性
【例1】 求下列函数的最小正周期.
(1)y=2sin;
(2)y=3;
(3)y=|tan x|;
(4)y=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1.
求三角函数最小正周期的基本方法
1.通常将所给函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再用周期公式求出;
2.利用图象的根本特征,作出图象,观察得出.
【训练1】 (1)下列函数中,是周期函数的为(  )
A.y=sin|x| B.y=cos|x|
C.y=tan|x| D.y=(x-1)0
(2)若f(x)=sin ωx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点,则ω的取值范围是________.
类型二 三角函数的奇偶性
【例2】 (1)函数f(x)=2sin2-1是(  )
A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的偶函数
D.最小正周期为π的奇函数
(2)已知函数f(x)=2sin是偶函数,则θ的值为________.
三角函数奇偶性的判断及应用
三角函数奇偶性的判断借助定义,而根据奇偶性求解问题则利用性质:y=Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z),若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=+kπ(k∈Z).
【训练2】 (1)已知函数f(x)=cos是奇函数,且φ∈,则φ的值为________.
(2)(2024·湖北四调)设函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)对任意的x(x∈R)均满足f(-x)=f(x),则tan φ=________.
类型三 三角函数的对称性
【例3】 已知函数f(x)=3sin,则下列说法正确的是(  )
A.图象关于点对称
B.图象关于点对称
C.图象关于直线x=对称
D.图象关于直线x=对称
三角函数对称性应用技巧
1.求函数图象的对称轴方程或对称中心坐标时,可利用整体换元法进行求解,注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式.
2.判断某一直线、某一点是否为函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的对称轴、对称中心时,可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断.
【训练3】 (1)函数y=tan的图象的对称中心是________.
(2)(2025·合肥质量检测)已知函数f(x)=2sin(3x+φ)(-π<φ<0)图象的一条对称轴为直线x=,当x∈[0,t]时,f(x)的最小值为-,则t的最大值为________.
1.(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是(  )
A. B.
C. D.
2.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有(  )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
3.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f=(  )
A.- B.-
C. D.
4.(多选题)(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则(  )
A.f(x)在区间单调递减
B.f(x)在区间有两个极值点
C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴
D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线
5.(2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B.
C. D.3
6.(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是________.
第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性
关键能力·落实
【例1】 解 (1)因为y=2sin,所以T==3π,即y=2sin的最小正周期为3π.
(2)y=3的最小正周期是y=3cos的最小正周期的一半,即T=×=.
(3)画出y=|tan x|的大致图象如图所示:
由图象易知T=π.
(4)因为y=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1=-sin 2xcos-cos 2xsin+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=2sin,所以最小正周期T==π.
【训练1】 (1)B 解析 因为cos|x|=cos x,所以y=cos|x|是周期函数.其余函数均不是周期函数.故选B.
(2) 解析 由f(x)=sin ωx(ω>0)的图象知,一个周期内有一个最小值点,若在[0,1]上至少存在50个最小值点,则1≥49T+==·,解得ω≥.所以ω的取值范围是.
【例2】 (1)D 解析 f(x)=2sin2-1=-=-cos=sin 2x,可得f(x)的最小正周期为=π.因为f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以f(x)是最小正周期为π的奇函数.故选D.
(2) 解析 因为函数f(x)为偶函数,所以θ+=+kπ,k∈Z,解得θ=+kπ,k∈Z.又θ∈,所以θ=,经检验,符合题意.
【训练2】 (1) 解析 由已知,得+φ=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ+(k∈Z),又因为φ∈,所以当k=0时,φ=符合题意.
(2)1 解析 f(x)=sin,因为f(-x)=f(x),x∈R,所以f(x)是偶函数,所以φ+=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),故tan φ=tan=1.
【例3】 C 解析 由题可得,设2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z).设2x+=kπ+,k∈Z,解得x=+,k∈Z,所以函数f(x)的对称轴为x=+(k∈Z).通过对比选项可知C正确.
【训练3】 (1)(k∈Z) 解析 由+=(k∈Z),得x=kπ-(k∈Z),即其对称中心为(k∈Z).
(2) 解析 因为函数f(x)=2sin(3x+φ)图象的对称轴为x=,所以3×+φ=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z),因为-π<φ<0,所以k=0,φ=-,所以函数f(x)=2sin,当x∈[0,t]时,3x-∈,因为函数f(x)的最小值为-,所以-<3t-≤,解得0高考真题·重温
1.A 解析 令2kπ-2.BC 解析 令f(x)=0,得sin 2x=0,所以2x=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z).令g(x)=0,得sin=0,所以2x-=k1π(k1∈Z),解得x=+(k1∈Z).因此f(x)与g(x)没有相同的零点,选项A错误.f(x)与g(x)的最大值都是1,选项B正确.f(x)与g(x)的最小正周期都是T==π,选项C正确.由2x=k2π+(k2∈Z)得x=+(k2∈Z),所以f(x)图象的对称轴方程为x=+(k2∈Z).由2x-=k3π+(k3∈Z)得x=+(k3∈Z),所以g(x)图象的对称轴方程为x=+(k3∈Z).因此,选项D错误,故选BC.
3.D 解析 因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,且直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,所以f(x)在x=和x=处分别取得最小值和最大值,所以=-=,T=π,得|ω|=2,不妨取ω=2,由f=sin=1,得+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=-+2kπ,k∈Z.取k=0,得φ=-,从而f=sin=sin=,故选D.
4.AD 解析 因为f(x)的图象关于点对称,所以sin =0,即+φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ-,k∈Z.结合0<φ<π,得φ=,所以f(x)=sin.对于A,令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为,k∈Z.显然?,k∈Z,故A正确.对于B,f′(x)=2cos,令f′(x)=0,得2x+=kπ+,k∈Z,即x=-,k∈Z.又因为x∈,所以x=,故f(x)在区间只有一个极值点,故B错误.对于C,令2x+=+kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,故C错误.对于D,结合B,令2cos=-1,得2x+=+2kπ,k∈Z或2x+=+2kπ,k∈Z,解得x=kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,故其中一个切点为,则曲线y=f(x)在该点处的切线方程为y-=-x,即y=-x,故D正确.故选AD.
5.A 解析 因为0,所以<<π,所以2<ω<3 ①.又y=f(x)的图象关于点中心对称,所以从而ω=k-(k∈Z) ②,由①②知ω=(取k=4),所以f(x)=sin+2,所以f=sinπ+2=1.故选A.
6.[2,3) 解析 函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点等价于方程cos ωx=1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个不等的实根,因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2πω,所以4π≤2πω<6π,即2≤ω<3,所以ω的取值范围为[2,3).(共32张PPT)
第2课时
第四章 三角函数与解三角形
三角函数的周期性、奇偶性与对称性
关键能力/落实
第一部分
——考向探究
类型一
三角函数的周期性




解析
解析
类型二
三角函数的奇偶性
解析
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类型三
三角函数的对称性
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解析
高考真题/重温
第二部分
——明确方向
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R
赢在欲点
y
---
i
I
一T
T
0


x
2
2
2
2
y米
0
无微练(三十四) 三角函数的周期性、奇偶性与对称性
 基础过关
一、单项选择题
1.函数f(x)=2tan图象的对称中心是(  )
A.    B.,k∈Z
C.,k∈Z    D.,k∈Z
2.已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,f(x)的一个周期为4,则f(x)的解析式可能为(  )
A.f(x)=sin B.f(x)=cos
C.f(x)=sin D.f(x)=cos
3.若函数y=cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为,则ω=(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知函数f(x)=cos x-cos 2x,则该函数是(  )
A.奇函数,最大值为2
B.偶函数,最大值为2
C.奇函数,最大值为
D.偶函数,最大值为
5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=对称,则φ的值为(  )
A. B. C. D.
6.已知函数f(x)=cos(x+a)+sin(x+b),则下列结论正确的是(  )
A.若a+b=0,则f(x)为奇函数
B.若a+b=,则f(x)为偶函数
C.若b-a=,则f(x)为偶函数
D.若a-b=π,则f(x)为奇函数
7.已知函数f(x)=sin|x|-cos 2x,则下列结论错误的是(  )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的最小值为-
D.f(x)的最大值为2
二、多项选择题
8.(2025·昆明一模)已知函数f(x)=sin 2x,若f(x1)=f(x2)=,则|x1-x2|的值可以为(  )
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系xOy中,角φ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(1,-),函数f(x)=sin(2x+φ),则(  )
A.f(x)的图象关于直线x=-对称
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在内恰有一个极大值点
D.f(x)在上单调递减
三、填空题
10.若函数f(x)为奇函数,当x≤0时,f(x)=2sin+m,则f=________.
11.已知函数f(x)=sin(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,若f(x)在(-m,m)上是增函数,则正数m的取值范围是________.
12.(2024·惠州一模)函数f(x)=sin(ω>0)的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1,x2,…,xn,….若x3-x2=,则xn的值可以是________.(写出符合条件的一个值即可)
四、解答题
13.已知函数f(x)=4sin ωxsin-1(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω及f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)图象的对称中心.
14.设函数f(x)=sin 2x-cos 2x-1.
(1)设x∈,求函数f(x)的最大值和最小值;
(2)设函数g(x)=f(x+φ)+4m为偶函数,求φ的值,并求函数g(x)的单调递增区间.
 素养提升
15.已知函数f(x)=,则下列说法正确的是(  )
A.f(x)的周期是
B.f(x)的值域是{y|y≠0,y∈R}
C.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
D.f(x)的单调递减区间是,k∈Z
16.(2025·潍坊模拟)已知函数f(x)=3sin x+4cos x,且f(x)≤f(θ)对任意x∈R恒成立,若角θ的终边经过点P(4,m),则m=________.
微练(三十四) 三角函数的周期性、奇偶性与对称性
1.D 解析 令2x-=(k∈Z),解得x=+(k∈Z),故函数图象的对称中心为,k∈Z.故选D.
2.B 解析 由于C、D项的周期为8,A、B项的周期为4,故排除CD.对于A,当x=2时,f(2)=sin=sin π=0,所以直线x=2不是该函数的对称轴;对于B,当x=2时,f(2)=cos=cos π=-1,所以直线x=2是该函数的对称轴.故选B.
3.A 解析 因为函数y=cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为,所以=,则T=π,所以T==π,解得ω=1.故选A.
4.D 解析 函数f(x)定义域为R,且f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.又f(x)=cos x-cos 2x=cos x-(2cos2x-1)=-2cos2x+cos x+1=-22+,故最大值为,故选D.
5.B 解析 解法一(平移法):f(x)=sin(2x+φ)的图象可由y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到,而y=sin 2x图象的一条对称轴是直线x=,由=-=,得φ=.故选B.
解法二(代入法):依题意,得2×+φ=kπ+,k∈Z,得φ=kπ+,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=.故选B.
6.B 解析 f(x)的定义域为R,对A,若a+b=0,则当f(x)为奇函数时,f(0)=0,而f(0)=cos a-sin a=0不恒成立,故f(x)不是奇函数,A错误;对B,若a+b=,则f(x)=cos(x+a)+sin=cos(x+a)+cos(x-a),f(-x)=cos(-x+a)+cos(-x-a)=cos(x-a)+cos(x+a)=f(x),故f(x)为偶函数,B正确;对C,若b-a=,则f(x)=cos(x+a)+sin=2cos(x+a),f(-x)=2cos(-x+a)≠f(x),故f(x)不是偶函数,C错误;对D,若a-b=π,则f(x)=cos(x+b+π)+sin(x+b)=-cos(x+b)+sin(x+b),当f(x)为奇函数时,f(0)=0,而f(0)=-cos b+sin b=0不恒成立,故f(x)不是奇函数,D错误.故选B.
7.B 解析 因为f(-x)=sin|-x|-cos(-2x)=sin|x|-cos 2x=f(x),所以f(x)是偶函数,则A正确;若f(x)的最小正周期为π,则f(x+π)=f(x)恒成立,即sin|x+π|-cos 2(x+π)=sin|x|-cos 2x,即sin|x+π|=sin|x|恒成立,而当x=时,sin≠sin,所以“f(x)的最小正周期为π”是错误的,则B错误;由f(x)是偶函数,只需考虑x≥0时的最值即可,当x≥0时,f(x)=sin x-cos 2x=2sin2x+sin x-1=22-,因为sin x∈[-1,1],所以22-∈,即f(x)的值域为,则C和D正确.故选B.
8.BD 解析 由题意知sin 2x=,2x=+2k1π(k1∈Z)或2x=+2k2π(k2∈Z),即x=+k1π(k1∈Z)或x=+k2π(k2∈Z).
解法一(特殊值法):令x1=,x2=,则|x1-x2|=,故B正确;令x1=,x2=,则|x1-x2|=,故D正确.故选BD.
解法二(直接法):令x1=+k1π(k1∈Z),x2=+k2π(k2∈Z),则|x1-x2|=|x2-x1|=(k1,k2∈Z),因为k1,k2∈Z,所以k2-k1∈Z,则|x2-x1|=(n∈Z).令n=0,得|x2-x1|=,令n=-1,得|x2-x1|=,故选BD.
9.AD 解析 由题意得sin φ=-且φ的终边在第四象限,所以φ=-+2kπ,k∈Z,因此f(x)=sin=sin.对于A,当x=-时,2x-=2×-=-,f=sin=-1,所以f(x)的图象关于直线x=-对称,故A正确;对于B,当x=时,2x-=2×-=-,所以f=sin=-≠0,所以f(x)的图象不关于点对称,故B错误;对于C,当x∈时,2x-∈,结合y=sin x在上的图象可知f(x)在内有极小值点,无极大值点,故C错误;对于D,当x∈时,2x-∈,结合y=sin x在上的图象知f(x)在上单调递减,故D正确.故选AD.
10.-3 解析 因为函数是奇函数,所以f(0)=2sin+m=-2+m=0,得m=2,即当x≤0时,f(x)=2sin+2=-2cos x+2,所以f=-f=-=-3.
11. 解析 因为×=,所以ω=2,则f(x)=sin包含0的增区间为,因为0∈(-m,m),所以(-m,m) ,所以故m的取值范围为.
12. 解析 由题意得=x3-x2=,所以T=π,因为ω>0,所以ω==2,所以f(x)=sin.令2x+=kπ,k∈Z,即x=-,k∈Z,所以xn=-(n=1,2,3,…),对n取特殊值即可,取n=1,得x1=;取n=2,得x2=;….(答案不唯一)
13.解 (1)f(x)=4sin ωx-1=2sin2ωx+2sin ωxcos ωx-1=1-cos 2ωx+sin 2ωx-1=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin.因为最小正周期为π,所以=π,所以ω=1,所以f(x)=2sin,令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令2x-=kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,所以f(x)图象的对称中心为点,k∈Z.
14.解 (1)f(x)=2sin-1,x∈,因为-≤x≤,-π≤2x≤,-≤2x-≤0,所以sin∈,所以函数f(x)的最大值为-1,最小值为-3.
(2)g(x)=f(x+φ)+4m=2sin+4m-1,因为该函数为偶函数,所以2φ-=+kπ,得φ=+,k∈Z.又因为0<φ<,所以k取0,φ=,所以g(x)=2cos 2x+4m-1.令π+2kπ≤2x≤2π+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,从而得到其单调递增区间为,k∈Z.
15.D 解析 函数f(x)的周期是2π,故A错误;f(x)的值域是[0,+∞),故B错误;当x=时,x-=≠,k∈Z,所以直线x=不是函数f(x)图象的一条对称轴,故C错误;令kπ-16.3 解析 因为f(x)=3sin x+4cos x=5sin(x+φ),其中cos φ=,sin φ=,则sin(θ+φ)=1,所以θ+φ=+2kπ(k∈Z),所以θ=-φ+2kπ(k∈Z),所以sin θ=sin=cos φ=,同理cos θ=,所以tan θ===,所以m=3.(共32张PPT)
微练(三十四)
三角函数的周期性、奇偶性与对称性
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