第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性
类型一 三角函数的周期性
【例1】 求下列函数的最小正周期．
(1)y＝2sin；
(2)y＝3；
(3)y＝|tan x|；
(4)y＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1.
求三角函数最小正周期的基本方法
1．通常将所给函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再用周期公式求出；
2．利用图象的根本特征，作出图象，观察得出．
【训练1】 (1)下列函数中，是周期函数的为( )
A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|
C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0
(2)若f(x)＝sin ωx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是________.
类型二 三角函数的奇偶性
【例2】 (1)函数f(x)＝2sin2－1是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数
(2)已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为________．
三角函数奇偶性的判断及应用
三角函数奇偶性的判断借助定义，而根据奇偶性求解问题则利用性质：y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)．
【训练2】 (1)已知函数f(x)＝cos是奇函数，且φ∈，则φ的值为________．
(2)(2024·湖北四调)设函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)对任意的x(x∈R)均满足f(－x)＝f(x)，则tan φ＝________.
类型三 三角函数的对称性
【例3】 已知函数f(x)＝3sin，则下列说法正确的是( )
A．图象关于点对称
B．图象关于点对称
C．图象关于直线x＝对称
D．图象关于直线x＝对称
三角函数对称性应用技巧
1．求函数图象的对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式．
2．判断某一直线、某一点是否为函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断．
【训练3】 (1)函数y＝tan的图象的对称中心是________．
(2)(2025·合肥质量检测)已知函数f(x)＝2sin(3x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴为直线x＝，当x∈[0，t]时，f(x)的最小值为－，则t的最大值为________．
1．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是( )
A． B．
C． D．
2．(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有( )
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
3．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝( )
A．－ B．－
C． D．
4．(多选题)(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则( )
A．f(x)在区间单调递减
B．f(x)在区间有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴
D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线
5．(2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若A．1 B．
C． D．3
6．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性
关键能力·落实
【例1】 解 (1)因为y＝2sin，所以T＝＝3π，即y＝2sin的最小正周期为3π.
(2)y＝3的最小正周期是y＝3cos的最小正周期的一半，即T＝×＝.
(3)画出y＝|tan x|的大致图象如图所示：
由图象易知T＝π.
(4)因为y＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1＝－sin 2xcos－cos 2xsin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin，所以最小正周期T＝＝π.
【训练1】 (1)B 解析 因为cos|x|＝cos x，所以y＝cos|x|是周期函数．其余函数均不是周期函数．故选B.
(2) 解析 由f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象知，一个周期内有一个最小值点，若在[0,1]上至少存在50个最小值点，则1≥49T＋＝＝·，解得ω≥.所以ω的取值范围是.
【例2】 (1)D 解析 f(x)＝2sin2－1＝－＝－cos＝sin 2x，可得f(x)的最小正周期为＝π.因为f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．故选D.
(2) 解析 因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋＝＋kπ，k∈Z，解得θ＝＋kπ，k∈Z.又θ∈，所以θ＝，经检验，符合题意．
【训练2】 (1) 解析 由已知，得＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)，又因为φ∈，所以当k＝0时，φ＝符合题意．
(2)1 解析 f(x)＝sin，因为f(－x)＝f(x)，x∈R，所以f(x)是偶函数，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ＋(k∈Z)，故tan φ＝tan＝1.
【例3】 C 解析 由题可得，设2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．设2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以函数f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z)．通过对比选项可知C正确．
【训练3】 (1)(k∈Z) 解析 由＋＝(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，即其对称中心为(k∈Z)．
(2) 解析 因为函数f(x)＝2sin(3x＋φ)图象的对称轴为x＝，所以3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，因为－π<φ<0，所以k＝0，φ＝－，所以函数f(x)＝2sin，当x∈[0，t]时，3x－∈，因为函数f(x)的最小值为－，所以－<3t－≤，解得0高考真题·重温
1．A 解析 令2kπ－2．BC 解析 令f(x)＝0，得sin 2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)．令g(x)＝0，得sin＝0，所以2x－＝k1π(k1∈Z)，解得x＝＋(k1∈Z)．因此f(x)与g(x)没有相同的零点，选项A错误．f(x)与g(x)的最大值都是1，选项B正确．f(x)与g(x)的最小正周期都是T＝＝π，选项C正确．由2x＝k2π＋(k2∈Z)得x＝＋(k2∈Z)，所以f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k2∈Z)．由2x－＝k3π＋(k3∈Z)得x＝＋(k3∈Z)，所以g(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k3∈Z)．因此，选项D错误，故选BC.
3．D 解析 因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，且直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，所以f(x)在x＝和x＝处分别取得最小值和最大值，所以＝－＝，T＝π，得|ω|＝2，不妨取ω＝2，由f＝sin＝1，得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.取k＝0，得φ＝－，从而f＝sin＝sin＝，故选D.
4．AD 解析 因为f(x)的图象关于点对称，所以sin ＝0，即＋φ＝kπ，k∈Z，故φ＝kπ－，k∈Z.结合0<φ<π，得φ＝，所以f(x)＝sin.对于A，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故f(x)的单调递减区间为，k∈Z.显然?，k∈Z，故A正确．对于B，f′(x)＝2cos，令f′(x)＝0，得2x＋＝kπ＋，k∈Z，即x＝－，k∈Z.又因为x∈，所以x＝，故f(x)在区间只有一个极值点，故B错误．对于C，令2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，故C错误．对于D，结合B，令2cos＝－1，得2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，故其中一个切点为，则曲线y＝f(x)在该点处的切线方程为y－＝－x，即y＝－x，故D正确．故选AD.
5．A 解析 因为0，所以<<π，所以2<ω<3 ①.又y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以从而ω＝k－(k∈Z) ②，由①②知ω＝(取k＝4)，所以f(x)＝sin＋2，所以f＝sinπ＋2＝1.故选A.
6．[2,3) 解析 函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点等价于方程cos ωx＝1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个不等的实根，因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2πω，所以4π≤2πω<6π，即2≤ω<3，所以ω的取值范围为[2,3)．(共32张PPT)
第2课时
第四章 三角函数与解三角形
三角函数的周期性、奇偶性与对称性
关键能力/落实
第一部分
——考向探究
类型一
三角函数的周期性
解
解
解
解
解析
解析
类型二
三角函数的奇偶性
解析
解析
解析
解析
类型三
三角函数的对称性
解析
解析
解析
高考真题/重温
第二部分
——明确方向
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
y
---
i
I
一T
T
0
不
3π
x
2
2
2
2
y米
0
无微练(三十四) 三角函数的周期性、奇偶性与对称性
基础过关
一、单项选择题
1．函数f(x)＝2tan图象的对称中心是( )
A． B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
2．已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos
C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos
3．若函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为，则ω＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数f(x)＝cos x－cos 2x，则该函数是( )
A．奇函数，最大值为2
B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为
D．偶函数，最大值为
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为( )
A． B． C． D．
6．已知函数f(x)＝cos(x＋a)＋sin(x＋b)，则下列结论正确的是( )
A．若a＋b＝0，则f(x)为奇函数
B．若a＋b＝，则f(x)为偶函数
C．若b－a＝，则f(x)为偶函数
D．若a－b＝π，则f(x)为奇函数
7．已知函数f(x)＝sin|x|－cos 2x，则下列结论错误的是( )
A．f(x)为偶函数
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)的最小值为－
D．f(x)的最大值为2
二、多项选择题
8．(2025·昆明一模)已知函数f(x)＝sin 2x，若f(x1)＝f(x2)＝，则|x1－x2|的值可以为( )
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系xOy中，角φ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(1，－)，函数f(x)＝sin(2x＋φ)，则( )
A．f(x)的图象关于直线x＝－对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)在内恰有一个极大值点
D．f(x)在上单调递减
三、填空题
10．若函数f(x)为奇函数，当x≤0时，f(x)＝2sin＋m，则f＝________.
11．已知函数f(x)＝sin(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若f(x)在(－m，m)上是增函数，则正数m的取值范围是________．
12．(2024·惠州一模)函数f(x)＝sin(ω>0)的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，….若x3－x2＝，则xn的值可以是________．(写出符合条件的一个值即可)
四、解答题
13．已知函数f(x)＝4sin ωxsin－1(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω及f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)图象的对称中心．
14．设函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－1.
(1)设x∈，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)设函数g(x)＝f(x＋φ)＋4m为偶函数，求φ的值，并求函数g(x)的单调递增区间．
素养提升
15．已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的周期是
B．f(x)的值域是{y|y≠0，y∈R}
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z
16．(2025·潍坊模拟)已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x，且f(x)≤f(θ)对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P(4，m)，则m＝________.
微练(三十四) 三角函数的周期性、奇偶性与对称性
1．D 解析 令2x－＝(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，故函数图象的对称中心为，k∈Z.故选D.
2．B 解析 由于C、D项的周期为8，A、B项的周期为4，故排除CD.对于A，当x＝2时，f(2)＝sin＝sin π＝0，所以直线x＝2不是该函数的对称轴；对于B，当x＝2时，f(2)＝cos＝cos π＝－1，所以直线x＝2是该函数的对称轴．故选B.
3．A 解析 因为函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为，所以＝，则T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝1.故选A.
4．D 解析 函数f(x)定义域为R，且f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．又f(x)＝cos x－cos 2x＝cos x－(2cos2x－1)＝－2cos2x＋cos x＋1＝－22＋，故最大值为，故选D.
5．B 解析 解法一(平移法)：f(x)＝sin(2x＋φ)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，而y＝sin 2x图象的一条对称轴是直线x＝，由＝－＝，得φ＝.故选B.
解法二(代入法)：依题意，得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，得φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<π，所以φ＝.故选B.
6．B 解析 f(x)的定义域为R，对A，若a＋b＝0，则当f(x)为奇函数时，f(0)＝0，而f(0)＝cos a－sin a＝0不恒成立，故f(x)不是奇函数，A错误；对B，若a＋b＝，则f(x)＝cos(x＋a)＋sin＝cos(x＋a)＋cos(x－a)，f(－x)＝cos(－x＋a)＋cos(－x－a)＝cos(x－a)＋cos(x＋a)＝f(x)，故f(x)为偶函数，B正确；对C，若b－a＝，则f(x)＝cos(x＋a)＋sin＝2cos(x＋a)，f(－x)＝2cos(－x＋a)≠f(x)，故f(x)不是偶函数，C错误；对D，若a－b＝π，则f(x)＝cos(x＋b＋π)＋sin(x＋b)＝－cos(x＋b)＋sin(x＋b)，当f(x)为奇函数时，f(0)＝0，而f(0)＝－cos b＋sin b＝0不恒成立，故f(x)不是奇函数，D错误．故选B.
7．B 解析 因为f(－x)＝sin|－x|－cos(－2x)＝sin|x|－cos 2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，则A正确；若f(x)的最小正周期为π，则f(x＋π)＝f(x)恒成立，即sin|x＋π|－cos 2(x＋π)＝sin|x|－cos 2x，即sin|x＋π|＝sin|x|恒成立，而当x＝时，sin≠sin，所以“f(x)的最小正周期为π”是错误的，则B错误；由f(x)是偶函数，只需考虑x≥0时的最值即可，当x≥0时，f(x)＝sin x－cos 2x＝2sin2x＋sin x－1＝22－，因为sin x∈[－1,1]，所以22－∈，即f(x)的值域为，则C和D正确．故选B.
8．BD 解析 由题意知sin 2x＝，2x＝＋2k1π(k1∈Z)或2x＝＋2k2π(k2∈Z)，即x＝＋k1π(k1∈Z)或x＝＋k2π(k2∈Z)．
解法一(特殊值法)：令x1＝，x2＝，则|x1－x2|＝，故B正确；令x1＝，x2＝，则|x1－x2|＝，故D正确．故选BD.
解法二(直接法)：令x1＝＋k1π(k1∈Z)，x2＝＋k2π(k2∈Z)，则|x1－x2|＝|x2－x1|＝(k1，k2∈Z)，因为k1，k2∈Z，所以k2－k1∈Z，则|x2－x1|＝(n∈Z)．令n＝0，得|x2－x1|＝，令n＝－1，得|x2－x1|＝，故选BD.
9．AD 解析 由题意得sin φ＝－且φ的终边在第四象限，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，因此f(x)＝sin＝sin.对于A，当x＝－时，2x－＝2×－＝－，f＝sin＝－1，所以f(x)的图象关于直线x＝－对称，故A正确；对于B，当x＝时，2x－＝2×－＝－，所以f＝sin＝－≠0，所以f(x)的图象不关于点对称，故B错误；对于C，当x∈时，2x－∈，结合y＝sin x在上的图象可知f(x)在内有极小值点，无极大值点，故C错误；对于D，当x∈时，2x－∈，结合y＝sin x在上的图象知f(x)在上单调递减，故D正确．故选AD.
10．－3 解析 因为函数是奇函数，所以f(0)＝2sin＋m＝－2＋m＝0，得m＝2，即当x≤0时，f(x)＝2sin＋2＝－2cos x＋2，所以f＝－f＝－＝－3.
11. 解析 因为×＝，所以ω＝2，则f(x)＝sin包含0的增区间为，因为0∈(－m，m)，所以(－m，m) ，所以故m的取值范围为.
12. 解析 由题意得＝x3－x2＝，所以T＝π，因为ω>0，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin.令2x＋＝kπ，k∈Z，即x＝－，k∈Z，所以xn＝－(n＝1,2,3，…)，对n取特殊值即可，取n＝1，得x1＝；取n＝2，得x2＝；….(答案不唯一)
13．解 (1)f(x)＝4sin ωx－1＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx－1＝1－cos 2ωx＋sin 2ωx－1＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin.因为最小正周期为π，所以＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心为点，k∈Z.
14．解 (1)f(x)＝2sin－1，x∈，因为－≤x≤，－π≤2x≤，－≤2x－≤0，所以sin∈，所以函数f(x)的最大值为－1，最小值为－3.
(2)g(x)＝f(x＋φ)＋4m＝2sin＋4m－1，因为该函数为偶函数，所以2φ－＝＋kπ，得φ＝＋，k∈Z.又因为0<φ<，所以k取0，φ＝，所以g(x)＝2cos 2x＋4m－1.令π＋2kπ≤2x≤2π＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，从而得到其单调递增区间为，k∈Z.
15．D 解析 函数f(x)的周期是2π，故A错误；f(x)的值域是[0，＋∞)，故B错误；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，所以直线x＝不是函数f(x)图象的一条对称轴，故C错误；令kπ－16．3 解析 因为f(x)＝3sin x＋4cos x＝5sin(x＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，则sin(θ＋φ)＝1，所以θ＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以θ＝－φ＋2kπ(k∈Z)，所以sin θ＝sin＝cos φ＝，同理cos θ＝，所以tan θ＝＝＝，所以m＝3.(共32张PPT)
微练(三十四)
三角函数的周期性、奇偶性与对称性
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