第五节 函数y＝Asin(ωx＋φ)及应用
【课程标准】 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
教|材|回|顾
1．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x ____ ____ ____ ____ ____
ωx＋φ ____ ____ ____ ____ ____
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
方法一 方法二
[微点清] 两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度．
3．简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝ ＝ ______ φ
微|点|延|伸
1．“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为.
2．变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
3．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝.
小|题|快|练
1．(人A必一P254T10改编)函数y＝5sin的振幅、频率和初相分别为( )
A．5，， B．5，，
C．5，，－ D．5，，－
2．(人A必一P239T2(2)改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
3．若将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为______________．
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________.
5．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<φ<π)，则这段曲线的函数解析式为________．
类型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的作图及图象变换
【例1】 (1)已知函数f(x)＝2sin.
①作出f(x)在[0，π]上的图象；
②函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象常用的两种方法
1．五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
2．图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
【训练1】 (1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是( )
A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度
(2)用“五点法”作出y＝2sin在内的图象．
类型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
请你用三种不同的方法进行解答．
根据三角函数的图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下三个方面考虑：
1．根据最大值或最小值求出A的值．
2．根据最小正周期求出ω的值．
3．求φ的常用方法：①代入法，把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．②五点法，确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．③平移法，由y＝Asin ωx平移得到y＝Asin(ωx＋φ)．
【训练2】 (1)(2025·云南曲靖质监)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的部分图象，如图所示，则g＝( )
A． B． C．－ D．－
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，且f(x)的图象关于点中心对称，则f(φ)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
类型三 三角函数图象与性质的综合应用
【例3】 (多选题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<φ<2π)的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)在区间上单调递增
B．f(x)图象的一条对称轴方程为x＝
C．f(x)图象的一个对称中心为点
D．f(x)在区间上的值域为[1，]
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
【训练3】 (多选题)将函数f(x)＝sin(0<ω<6)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若是g(x)的一个单调递增区间，则( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)在上单调递增
C．函数F(x)＝f(x)＋g(x)的最大值为
D．方程f(x)＝－在上有5个实数根
类型四 三角函数的实际应用
【例4】 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2 m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：s)之间的关系为d＝Asin(ωt＋φ)＋K.则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为( )
A． s B． s C．10 s D． s
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
【训练4】 如图，某港口某天从6 h到18 h的水深y(单位：m)与时间x(单位：h)之间的关系可用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋5近似刻画，据此可估计当天12 h的水深为( )
A． m B．4 m
C． m D． m
第五节 函数y＝Asin(ωx＋φ)及应用
必备知识·梳理
教材回顾
1．－ －＋ － 0 π 2π
3．ωx＋φ
小题快练
1．C
2．B
3．y＝sin 解析 将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得到的函数图象对应的解析式为y＝sin＝sin.
4．2 解析 设f(x)的最小正周期为T，根据题图可知，＝－＝，所以T＝π，故ω＝2.
5．y＝10sin＋20，x∈[6,14] 解析 从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，×＝14－6＝8，所以|ω|＝，又ω>0，所以ω＝.又×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
关键能力·落实
【例1】 解 (1)①因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得f(x)在[0，π]上的图象如图所示．
②将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数f(x)＝2sin的图象．
(2)C 解析 因为函数y＝2sin的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin与y＝sin x在[0,2π]上的图象如图所示，由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.
【训练1】 (1)C 解析 C2：y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos 2.故把y＝cos x的图象横坐标缩短到原来的，得到y＝cos 2x的图象，再把y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度即得到C2的图象．故选C.
(2)解 2×＋＝－，2×＋＝，令2x＋＝0，解得x＝－.令2x＋＝，解得x＝.令2x＋＝π，解得x＝.令2x＋＝，解得x＝.列表如下：
2x＋ － 0 π
x － －
y － 0 2 0 －2 －
描点作图如图：
【例2】 D 解析 由图象可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为－2，故A＝2.f(x)图象的两个相邻的对称中心分别为(－2，0)，(6,0)，所以函数f(x)的最小正周期T＝2×[6－(－2)]＝16，所以ω＝＝＝.所以f(x)＝2sin.
解法一(由对称中心定φ)：由点(－2,0)在函数图象上可得f(－2)＝2sin＝2sin＝0，又点(－2,0)在函数图象的下降段上，所以φ－＝π＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．因为|φ|<π，所以k＝－1，φ＝－.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.故选D.
解法二(由最值点定φ)：由函数图象可知，相邻两个对称中心分别为(－2,0)，(6,0)，所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2，－2)．代入函数解析式可得f(2)＝2sin＝－2，即sin＝－1，所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|<π，所以k＝0，φ＝－.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
解法三(平移法)：由图象间关系可知y＝f(x)可以看作y＝2sinx向右平移6个单位长度得到，即f(x)＝2sin＝2sin.故选D.
【训练2】 (1)B 解析 由题意可知，g(x)＝Acos，由题图知，A＝1，T＝－＝(T为g(x)的最小正周期)，解得T＝π，所以ω＝＝2.因为函数g(x)的图象过点，所以cos＝0，又点在函数图象的上升段上，所以＋＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|<，所以φ＝－，所以g(x)＝cos，所以g＝，故选B.
(2)A 解析 由题知A＝B＝2，因为f(0)＝2sin φ＋2＝3，所以sin φ＝.因为0<φ<π，且点(0,3)的横坐标x＝0在f(x)的一个递减区间内，所以φ＝.根据五点作图法可知，×ω＋＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin＋2，f(φ)＝f＝2sin＋2＝2sin＋2＝4，故选A.
【例3】 ABC 解析 由图可知A＝2，k∈Z，解得ω＝2，φ＝2kπ＋，k∈Z，所以f(x)＝2sin.当x∈时，2x＋∈，所以f(x)在区间上单调递增，故A正确；f＝2sin＝2sin＝－2为其最小值，所以x＝为f(x)图象的一条对称轴，故B正确；f＝2sin＝2sin 2π＝0，所以点为f(x)图象的一个对称中心，故C正确；当x∈时，2x＋∈，当2x＋＝即x＝0时，f(x)min＝1，当2x＋＝即x＝时，f(x)max＝2，即f(x)在区间上的值域为[1,2]，故D错误．故选ABC.
【训练3】 ACD 解析 函数f(x)＝sin(0<ω<6)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝sin＝sin的图象，所以g(x)的最小正周期为T＝，区间的长度恰好等于半个最小正周期．又是g(x)的一个单调递增区间，所以g(0)＝－1，即－－＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝－12k＋2，k∈Z.因为0<ω<6，所以ω＝2，故f(x)＝sin，f(x)的最小正周期T＝＝π，故A正确；令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为，k∈Z，所以f(x)在上单调递增，故B错误；g(x)＝sin＝sin＝－cos 2x，所以F(x)＝sin－cos 2x＝sin 2xcos－cos 2xsin－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin，所以函数F(x)的最大值为，故C正确；当x∈[0,2π]时，2x－∈，令f(x)＝sin＝－，则2x－＝－，2x－＝，2x－＝，2x－＝，2x－＝，即方程f(x)＝－在上有5个实数根，故D正确．故选ACD.
【例4】 D 解析 因为筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，所以T＝＝40，则ω＝＝，振幅A为筒车的半径，即A＝4，K＝2，由题意，t＝0时，d＝0，所以0＝4sin φ＋2，即sin φ＝－，因为－<φ<，所以φ＝－.则d＝4sin＋2，由d＝6，得6＝4sin＋2，所以sin＝1，所以t－＝＋2kπ，k∈Z，得t＝＋40k，k∈Z.所以当k＝0时，t取最小值为.故选D.
【训练4】 A 解析 由题图可得，＝18－6＝12，则ω＝，当sin(ωx＋φ)＝－1时，y取得最小值，为－A＋5＝2，得A＝3，因为函数y＝Asin(ωx＋φ)＋5的图象过点，所以sin＝，又|φ|<，所以φ＝－，所以y＝3sin＋5.当x＝12时，y＝3sin＋5＝－＋5＝.故选A.(共49张PPT)
第五节
第四章 三角函数与解三角形
函数y＝Asin(ωx＋φ)及应用
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
函数y＝Asin(ωx＋φ)的作图及图象变换
解
解
解
解析
解析
解
解
类型二
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
解析
解析
解析
解析
解析
解析
类型三
三角函数图象与性质的综合应用
解析
解析
解析
解析
解析
类型四
三角函数的实际应用
解析
解析
R
赢在欲点
步
画出y=sinx的图象
画出y=sinx的图象
1
纵坐标
不变
向左（右）平移|9|个单位长度
横坐标变为原来
的1倍
步
得到y=sin(x+p)的图象
得到y=sin(wx)的图象
纵坐标
不变
2
横坐标变为
原米的1倍
向左（右）平移
1”|个单位长度
步
得到y=sin(wx十o)的图象
得到
y
sin(wx+o)的图象
3
横坐标
不变
横坐标
不变
纵坐标变为
原来的A倍
纵坐标变为
原来的A倍
步
得到y=Asin(wx十p)的图象
得到y=Asin(wx十o)的图象
4
个y
5π
0
X
12
↑T/℃
30
20
1
10
I
1
I
I
6
10
14
t/h
2
I
1
I
I
2π
3
T
T
5n
11π
X
6
12
12
I
-2
y个
2不
4π
3
3
2T
T
X
-1
y
23
T
不
7π2π
3
6
12
3
0
I
X
12
I
I
3
-2
y
2N3
-2
0
6
X
-2W3
y
1
I
7π
0
X
12
6
1
y个
3
2
!
!
O
X
12
y
2
1
0
5π
X
12
P
0.
I
水面
y/m
I
1
I
I
2
1
1
0
6
18
x/h微练(三十六) 函数y＝Asin(ωx＋φ)及应用
基础过关
一、单项选择题
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
2．由y＝sin x的图象变换得到y＝3sin的图象主要有两种方法：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度．( )
A．， B．，
C．， D．，
3．某艺术展览馆在开馆时间段(9：00－16：00)的参观人数(单位：千)随时间t(单位：时)的变化近似满足函数关系f(t)＝Asin＋5(A>0,9≤t≤16)，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为( )
A．1万 B．9千
C．8千 D．7千
4．设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( )
A． B．
C． D．
5．将函数y＝sin(2x＋φ)图象上各点横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度得到曲线C．若曲线C关于y轴对称，则φ的值为( )
A．－ B．－
C．－ D．
6．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，若不等式f(x)≤对 x∈R成立，且f(x)的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
二、多项选择题
7．设函数f(x)＝sin的图象为曲线E，则下列结论中正确的是( )
A．是曲线E的一个对称中心
B．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为
C．将曲线y＝sin 2x向右平移个单位长度，与曲线E重合
D．将曲线y＝sin上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线E重合
8．(2025·潍坊模拟)函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1(0<ω<1)的图象如图所示，则( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．y＝f是奇函数
C．y＝fcos x的图象关于直线x＝对称
D．若y＝f(tx)(t>0)在[0，π]上有且仅有2个零点，则t∈
三、填空题
9．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y＝sin的图象，则f(x)的解析式是________；函数f(x)在区间上的值域是________．
10．(2025·重庆调研)已知f(x)＝2asin ωx·cos ωx＋bcos 2ωx(ω>0)的部分图象如图所示，当x∈时，f(x)的最大值为________．
11．已知函数f(x)＝2sin，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则t的取值范围是________．
四、解答题
12．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)填下表并在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象.
ωx＋φ
x
f(x)
13．(2025·岳阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的最小正周期及解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
素养提升
14．函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
15．(多选题)函数f(x)＝Asin (2x＋φ)的部分图象如图所示，且f(a)＝f(b)＝0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则( )
A．f(0)＝
B．a＋b＝
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)在区间上有极小值
16．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则φ＝________.
微练(三十六) 函数y＝Asin(ωx＋φ)及应用
1．A 解析 令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D项，当x∈时，－≤2x－≤－，在此区间上函数不会出现最高点，排除C项．故选A.
2．C
3．B 解析 下午两点整即t＝14，当t＝14时，f(t)＝7，即Asin＋5＝7，所以A＝4.因为当9≤t≤16时，t－∈，所以当t－＝时，f(t)取得最大值，且最大值为4＋5＝9.故选B.
4．C 解析 解法一：由题图知，f＝0，所以－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．设f(x)的最小正周期为T，易知T＜2π＜2T，所以＜2π＜，所以1＜|ω|＜2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，所以T＝＝.故选C.
解法二：由题图知，f＝0且f(－π)＜0，f(0)＞0，所以－ω＋＝－(ω＞0)，解得ω＝，所以f(x)的最小正周期T＝＝.故选C.
5．B 解析 将函数y＝sin(2x＋φ)图象上各点横坐标缩短到原来的，得到的图象对应函数y＝sin(4x＋φ)，再向左平移个单位长度得到曲线C，则曲线C对应的函数解析式为y＝sin＝sin，又曲线C关于y轴对称，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ－，又|φ|<，所以φ＝－.故选B.
6．B 解析 由已知得＝＝1，又0<φ<π，故＋φ＝，得φ＝，因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以＋＝＋kπ，k∈Z，则ω＝2＋8k>0，k∈Z，所以当k＝0时，ω的最小值为2.故选B.
7．BD 解析 令x＝－，得f＝－1，为最小值，故f(x)的图象关于直线x＝－对称，故A错误；若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为＝×＝，故B正确；将曲线y＝sin 2x向右平移个单位长度，可得y＝sin的图象，故C错误；将曲线y＝sin上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得y＝sin的图象，与曲线E重合，故D正确．故选BD.
8．ACD 解析 f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin.由题图知x＝时f(x)取得最大值，所以sin＝1，得＋＝＋2kπ，k∈Z，ω＝＋3k，k∈Z，因为0<ω<1，所以ω＝，f(x)＝2sin.对于A，f(x)的最小正周期T＝＝2π，故A正确；对于B，f＝2sin＝2sin＝2cos 2x，所以y＝f是偶函数，故B错误；对于C，fcos x＝2sincos x＝(sin x＋cos x)cos x＝sin xcos x＋cos2x＝＝sin＋，当x＝时，2x＋＝，所以y＝fcos x的图象关于直线x＝对称，故C正确；对于D，f(tx)＝2sin，当x∈[0，π]时，tx＋∈，结合y＝sin x的图象知，若y＝f(tx)(t>0)在[0，π]上有且仅有2个零点，则tπ＋∈[2π，3π)，得t∈，故D正确．综上，选ACD.
9．f(x)＝sin 解析 由题意，把y＝sin的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得y＝sin的图象，再把所得图象向右平移个单位长度，可得f(x)＝sin＝sin的图象．当x∈时，2x－∈，则sin∈.
10. 解析 由题意可知f(x)＝asin 2ωx＋bcos 2ωx＝sin(2ωx＋φ)，其中ω>0，tan φ＝，由题图可知＝2，＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，即＝π，所以ω＝1，则f(x)＝2sin(2x＋φ)，又函数f(x)的图象过点，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝2sin＝2sin.令t＝2x＋，因为x∈，所以t∈，所以当t＝，即x＝0时，f(x)取得最大值，且最大值为.
11．[－1,1)∪{2} 解析 因为x∈，所以2x－∈，所以2sin∈，且当x＝时，f＝1，所以其函数图象如图所示．因为y＝f(x)与y＝t只有一个交点，即关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，结合函数图象可知－1≤t<1或t＝2.
12．解 (1)由题意知T＝＝π，解得ω＝2，又f＝cos＝cos＝－sin φ＝，－<φ<0，解得φ＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝cos，填表如下：
ωx＋φ － 0 π
x 0 π
f(x) 1 0 －1 0
图象如图：
13．解 (1)由题图可知y＝f(x)的最大值为1，最小值为－1，故A＝1.又＝－＝＝，所以ω＝2，将点代入y＝f(x)，f＝sin＝－1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝，故f(x)的最小正周期为π，f(x)＝sin.
(2)由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝sin＝sin，因为x∈，所以2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，g(x)min＝－；当2x－＝，即x＝时，g(x)max＝1.故函数g(x)在区间上的最大值为1，最小值为－.
14．C 解析 函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得y＝cos＝cos＝－sin 2x的图象，即f(x)＝－sin 2x的图象，画出函数y＝f(x)与y＝x－的图象如图，可得它们有3个交点，故选C.
15．ACD 解析 由题图可得A＝2，由f(a)＝f(b)＝0得b－a＝(T为f(x)的最小正周期)，又T＝＝π，所以b－a＝.因为x1，x2∈[a，b]，f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝a＋b.由题图可得，f＝2sin(x1＋x2＋φ)＝2sin(a＋b＋φ)＝2，所以a＋b＋φ＝，即a＋b＝－φ.因为f(x1＋x2)＝，所以f(a＋b)＝，所以2sin(2a＋2b＋φ)＝，所以sin(2a＋2b＋φ)＝sin(π－2φ＋φ)＝sin(π－φ)＝sin φ＝，又|φ|≤，所以φ＝，f(x)＝2sin，则f(0)＝2sin＝，故A正确；a＋b＝－φ＝－＝，故B错误；当x∈时，2x＋∈，函数f(x)单调递增，故C正确；当x∈时，2x＋∈(π，2π)，f(x)有极小值，故D正确．故选ACD.
16. 解析 如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形ABCD和矩形EFGH的面积之和，即S＝S矩形ABCD＋ S矩形EFGH＝2S矩形ABCD.因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象，所以S矩形ABCD＝θ×1＝θ.又因为图中阴影部分的面积为，所以2θ＝，解得θ＝.又由图象可得＝，所以T＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．因为f＝sin＝1，可得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝.(共37张PPT)
函数y＝Asin(ωx＋φ)及应用
微练(三十六)
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